Transcript Princip řešení úloh soustav těles s uvážením pasivních účinků Dvě tělesa A a B o hmotnostech mA, resp.

Princip řešení úloh soustav těles
s uvážením pasivních účinků
Dvě tělesa A a B o hmotnostech mA, resp. mB a zanedbatelných rozměrů se nacházejí
na nakloněné rovině. Úhel sklonu roviny k vodorovnému směru je b. Těleso A je proti
sklouznutí uchyceno k rámu prutem.
Prut je na obou koncích připojen kloubovou vazbou a je po své délce nezatížen.
Hmotnost prutu je vůči ostatním tělesům zanedbatelná.
Na těleso B má působít síla F, která s nakloněnou rovinou svírá úhel a. Součinitel
tření mezi tělesy i mezi tělesem B a nakloněnou rovinou je f.
Určete velikost síly F tak, aby nedošlo k pohybu těles soustavy.
F
prut
a
A
b
B
UVOLNĚNÍ (těles)
a) osamostatnit každé těleso
F
prut
a
A
b
B
F
prut
UVOLNĚNÍ (těles)
prut
hmotnost prutu je zanedbatelná,
tzn. G = 0 N
a
A
a) osamostatnit každé těleso
b) zavést akční síly
b
B
Kromě síly F ze zadání
zavedeme tíhové síly (svisle)
GA = mAg, GB = mBg
GB
GA
A
B
F
F
prut
UVOLNĚNÍ (těles)
RD
prut
C
D
RC
Prut  není zatížen po své délce  bude
přenášet síly ve směru spojnice kloubových
vazeb v bodech C a D.
a
A
a) osamostatnit každé těleso
b) zavést akční síly
c) zavést síly ve vazbách
b
B
V první řadě zavádíme do vazeb síly,
bez ohledu na působící pasivní účinky.
Těleso A  do kloubu C zavedeme vazbovou reakci RC
(princip akce a reakce, tj. opačným směrem)
Těleso B  na dotykovou plochu zavedeme normálovou
reakci NA (princip akce a reakce)
GA
RC
A
F
GB
NA
C
NA
Těleso A  na dotykovou plochu
zavedeme normálovou reakci NA
B
NB
Těleso B  na dotykovou plochu
zavedeme normálovou reakci NB
F
prut
UVOLNĚNÍ (těles)
RD
prut
C
D
RC
Nejprve určíme předpokládaný
pohyb těles soustavy
a
A
a) osamostatnit každé těleso
b) zavést akční síly
c) zavést síly ve vazbách
d) zavést pasivní účinky vazeb
b
B
 v zadání není určen  zvolíme: pohyb tělesa B nahoru (za silou F)
Poté zavedeme pasivní účinky
proti vzájemnému pohybu těles ve vazbě
Těleso B  dotyková plocha se vůči nehybnému tělesu A
pohybuje nahoru  třecí síla TA směřuje dolů
 zavádíme pouze do vazeb s pasivním účinkem
zde jsou to třecí síly na dotykových plochách
GA
pro všechny síly
jedné vazby musí platit
zákon akce a reakce
RC
F
GB
NA
TA
C
TB
A
TA
NA
Těleso A  tato dotyková plocha se vůči tělesu B
pohybuje dolů  třecí síla TA směřuje nahoru
B
NB
Těleso B  vůči nehybné podložce
se pohybuje nahoru  třecí síla TB směřuje dolů
F
prut
Výsledek UVOLNĚNÍ
RD
prut
C
D
a
A
RC
b
B
Pro každé
těleso
máme jehoavlastní
silovou
soustavu
Každé
těleso
je samostatně
veškeré
spolupůsobení
pro kterou
budeme
v dalším
psát rovnice
s ostatními
tělesy
nahrazují
vazbovérovnováhy
síly
GA
Proto identifikujme
příslušné silové soustavy
F
GB
NA
TA
RC
C
TB
A
TA
NA
V tomto případě máme pro každé
B těleso
Tělesa A a B jsou zanedbatelných
silovou
soustavu
sevelmi
společným
působištěm
rozměrů
 tzn. jsou
malá
NB
F
prut
RD
prut
C
D
F
 0:
- RD  RC  0
F
 0:
00
ix
iy
RC
- RC  cosb   TA  GA  sinb   0
iy
 0:
RC  sin b   NA  GA  cosb   0
GA
b
Pro každou silovou soustavu
příslušné rovnovážné rovnice
 0:
b
A
B
ix
F
F
ROVNICE
ROVNOVÁHY
a
ix
 0:
F cosa   TA  TB  GB  sinb   0
iy
 0:
F sin a   NA  NB  GB  cosb   0
F
F
GB
a
b
F
Ve finále máme celkem 5 rovnic
(protože jedna je triviální)
RC
A
b
TA
NA
ale až 7 neznámých:
RC, RD, NA, TA, NB, TB, F
NA
TA
Chybějící rovnice plynou ze vztahů
pro uvažované pasivní účinky
TB
B
NB
F
prut
RD
prut
C
D
F
ix
 0:
RC
A
b
B
- RD  RC  0
ix
 0:
- RC  cosb   TA  GA  sinb   0
iy
 0:
RC  sin b   NA  GA  cosb   0
F
F
ROVNICE
PASIVNÍCH ÚČINKŮ
a
ix
 0:
F cosa   TA  TB  GB  sinb   0
iy
 0:
F sin a   NA  NB  GB  cosb   0
F
F
GB
F
GA
Máme 2 vazby s uvažovanými
pasivními účinky:
RC
A
TA
NA
 dotyk těles A a B - smykové tření:
koef. tření f, normálový přítlak NA
TA  NA  f
NA
TA
TB
B
NB
 dotyk tělesa B s podložkou - smykové tření:
koef. tření f, normálový přítlak NB
TB  NB  f
F
prut
ŘEŠENÍ SOUSTAVY
ROVNIC
F
 0:
- RD  RC  0
F
F
ix
 0:
- RC  cosb   TA  GA  sinb   0
iy
 0:
RC  sin b   NA  GA  cosb   0
ix
 0:
F cosa   TA  TB  GB  sinb   0
iy
 0:
F sin a   NA  NB  GB  cosb   0
ix
F
F
 vztahů pasivních účinků (zde 2 rovnice)
A
b
B
Výsledná soustava rovnic sestává z:
 rovnic rovnováhy těles (zde 5 rovnic)
a
TA  NA  f
TB  NB  f
Vzniklá soustava rovnic je soustavou regulární, tzn. počet neznámých odpovídá počtu rovnic
 provedeme řešení soustavy pro neznámé: F , NA , NB , TA , TB , RC, RD
 provedeme rozbor a kontrolu výsledků
F
prut
ROZBOR A KONTROLA
VÝSLEDKŮ
U soustav s pasivními účinky má znamenko „-“ podstatně širší
význam, než je tomu u soustav bez pasivních účinků, tzn. že:
a
A
b
B
 má-li být výsledek správně, tj. určovat potřebnou hodnotu síly F,
musí být hodnota F smysluplná;
v tomto případě je předpokládaný pohyb tělesa B směrem nahoru způsobován sílou F (ostatní akční
síly by pohybovaly tělesem směrem dolů), takže hodnota F musí být kladná, jinak by nedošlo
k předpokládanému pohybu (záporný výsledek může ovšem u některých úloh znamenat, že
pro stav požadovaný zadáním může být hledaná síla nulová)
 značnou pozornost ve výsledcích je třeba věnovat hodnotám reakcí,
které se uplatňují ve vztazích pro pasivní účinky;
v tomto případě jsou to normálové síly NA a NB, ze kterých jsou určeny třecí síly TA a TB; obě třecí síly
jsme zavedli proti předpokládanému pohybu a tyto síly splní náš předpoklad budou-li kladné, takže
podle vztahů pro třecí síly musí být kladné normálové reakce, neboť koef. tření bude vždy kladný
(pokud tato podmínka není splněna je nutno v uvolnění otočit orientaci příslušné reakce a řešení opravit)
TA  NA  f
TB  NB  f
 v neposlední řadě je nutno prověřit, zda podmínky zadání nebudou splněny i pro opačný
směr pohybu;
v tomto případě jsme původně předpokládali, že síla F bude táhnout nahoru tak, že pohne tělesem B
nahoru; mohla by ale nastat situace, že pro malou nebo nulovou sílu F se těleso B bude posouvat dolů
vlivem své tíhy; k zabránění tomuto pohybu pak postačí jiná než námi zjištěná velikost síly F, kterou
získáme provedeme-li řešení s předpokládaným pohybem směrem dolů (síla F bude orientována nahoru)