Transcript Kabels en Bogen Parametrisch modelleren met “klassieke” mechanica m.b.v. “moderne” symbolische algebra pakketten 2014, MINOR Bend and Break Hans Welleman.

Kabels en Bogen
Parametrisch modelleren met “klassieke”
mechanica m.b.v. “moderne”
symbolische algebra pakketten
2014, MINOR Bend and Break
Hans Welleman
DOEL
Gereedschap om een boog te
ontwerpen en snel inzicht te krijgen in
de krachtsverdeling en de vervormingen
 Kennis verkrijgen over de werking van
(kabels en) bogen om uitvoer van
computerberekeningen te kunnen
verifiëren
 Gewoon eens iets leuks doen!

2
Opbouw

Kabel
Oplossen met
MAPLE
– Evenwichtsmethode
– Kabelvergelijking …. en kettinglijn
– Spankrachten

Boog
– Klassieke oplossingsmethode
– Differentiaalvergelijking voor bogen
– Tips voor controle
3
Kabel : evenwichtsmethode
Av
H
A
Bv
h
B
zk
H
F
a
b
In iedere snede is de horizontale component van de
kabel constant en gelijk aan H!
4
Maak een snede ..
Av
H
A
A
ha
ab
h
zk
B
zk
C
F
a
Av (a  b)  H  h  F  b  0
 ha

Av  a  H  
 zk   0
 ab

a
b
 T
 T
B
C
geheel  0

linkerdeel  0

Fab
H  zk 
ab
5
Conclusie
De stand die de kabel inneemt onder de
sluitlijn AB is identiek aan de vorm van
de momentenlijn van het liggersysteem.
 De afstand zk is daarbij recht evenredig
met de grootte van het moment M. De
horizontale component H van de
kabelkracht is daarbij een
schalingsfactor

6
Kabel: formele methode
snede
T
H
q
V
tan  
H
snede
V
x-as

z
H
x
dz
tan  
dx
V  V
T  T
z-as
V  q  x  V  V  0
V
 q
x

d2 z
H 2  q
dx
7
Hoe bepalen we H?
Bekende kabellengte
 (Externe) bekende kracht

8
1e mogelijkheid
Bekende lengte deel AB
L = 11.6344 m
B
sluitlijn AB
3,0 m
zk2
A
zk1
3,0 m
10 kN
C
60 kN
3,0 m
4,0 m
2,0 m
6,0 m
2
7
2



L  32  ( zk1  1) 2  42   zk 2   ( zk 1  1)   22   zk 2  
3
3



2
9
Bepaal de stand van de kabel op de
constante H na …
oplossen :
zk1  2, 0 m; zk 2  3,33 m; H  30 kN
10 kN
3,0 m
60 kN
4,0 m
20 kN
M-lijn
2,0 m
50 kN
H .z k 1
60 kNm
H .zk 2
100 kNm
H  zk1 60
10

 zk 2  zk 1
H  zk 2 100
6
10
1
qx(l  x)
zk ( x )  2
H
1e mogelijkheid
Bekende lengte L
q
A
2
 dz 
ds  1    dx
 dx 
B
f
L
l
x
s
z
L
x l
x l
x 0
x 0
 ds  
2
 dz 
1    dx
 dx 
OEPS ..
11
Vervolg …
q
A
B
f
L
l
2
x l
 1  dz 2 
1  dz 
q 2l 3
L   ds   1     dx  l     dx  l 
2
2
d
x
2
d
x
24
H






x 0
x 0 
x 0

x l
x l
Bekende overlengte ∆=L – l :
2 3
ql
H 
24
2
f 
3
8
l
12
2e mogelijkheid
oplegreactie
van de as van
het katrol
Met bekende kracht
oplegreactie van
de as van het
katrol
componenten
q
q
A
B
A
.
B
.
V
f
H
f
Vkatrol F
H
L
van de
krachten op
het katrol
F
katrolkabelkracht
H
F
F
L F
l
F
V
l
krachtenveelhoek voor het
katrol
1
V  ql
2
1 
H  F 2   ql 
2 
2
F
F
13
Gevoeligheid van kabels voor
variatie in de belasting
q1  q  p
q
q2  q  p
A
B
L
L
1
2
l
1
2
Volbelast met q:
q 2l 3
Ll
24 H 2
l
Variatie in de belasting:
d 2 z1
veld 1   H  H  2  q1    H  H  z1  12 q1 x 2  C1  C2 x
dx
d 2 z2
veld 2   H  H  2  q2    H  H  z2  12 q2 x 2  C3  C4 x
dx
14
Wat levert dit ons op …
Algemene oplossing met variatie in de belasting:
veld 1
  H  H  z1  12 q1 x 2  C1  C2 x z1 (0)  0; z1 ( 12 l )  z2 ( 12 l )
veld 2   H  H  z2  12 q2 x 2  C3  C4 x z2 (l )  0; z 1' ( 12 l )  z2' ( 12 l )
Totale kabellengte is onveranderd !
2
2
x  12 l
Stel: 2 3
x l
ql
1  dz1 
1  dz2 
L 25%
l  variatie
 in q1  2 
 dx   1  2 
 dx
2
24 H
 dx 
 dx 
x 0
x  12 l
0,78% variatie in H
7,5%
variatie in z
ff uitwerken
 p2

H  
 1  1 H
2
 4q



15
Conclusie
Kabelkracht redelijk ongevoelig voor
variaties in de belasting
 Verplaatsingen zijn wel gevoelig

16
Horizontale verplaatsingen
q1  q  p
q
q2  q  p
A
B
u
L
L
1
2
l
1
2
l
17
Iets meer detail …
x
A
dx

dz
B
w
A
u
z


dw
B
du
du   tan   dw
du  
dz
dw
dx
met: tan  

dz
dx
du
dz dw

dx
dx dx
dz dw
u  
dx  C1
dx dx
18
Bogen
F
q
w
z
x
Voornamelijk drukkrachten
 Vormvaste constructie met buigstijfheid
 Knikgevoelig voor hoge belasting

19
Kabel versus boog
q
H
A
B
H
x
l
z
q
EA, EI
H
A
B
H
x
boog
l
z
geen momenten
in de boog
20
Omgekeerde kabel ?
ANTONI
GAUDI
(1852-1926)
Alleen als de krachtlijn t.g.v. de belasting samenvalt
met de constructie is de boog een omgekeerde kabel
21
Krachtlijn
Het punt in de snede waar de snedekrachten
moeten aangrijpen zodanig dat deze het zelfde
snedemoment leveren als wanneer de krachten
aangrijpen in het normaalkrachtencentrum
8 kN/m
C
D
S
4,
0
m
A
B
6,0 m
3,0 m
M-lijn en N-lijn nodig …
M
e
N
22
Krachtijn vervolg
48
48
24
36
48
48
8 kN/m
x
C
D
S
36
48
M, e
4,0 m
M-lijn [kNm]
12
12 kN
A
B
12 kN
6,0 m
3,0 m
32
16
16 kN
32 kN
1
M ( x)  8  (6  x)   8  x  (6  x)
2
e( x)  13 x2  83 x  4
N-lijn [kN]
0, 0  x  6, 0
druklijn C-S
23
Krachtijn vervolg
Spelen met de
ligging van het
scharnier ….
S2
S3
D
x
1,33 m
8 kN/m
C
4,0 m
M, e
A
B
6,0 m
3,0 m
Zuivere boogvorm ….
Omgekeerde kabel
 Vorm is op constante na gelijk aan de
momentenlijn van een vervangende
ligger ….
 Uitproberen !

Boogbrug met velden
Brug over de Ulvsund bij Kalvehave in Denemarken
7,5 kN/m
5 kN/m
5 kN/m
EI = 10000 kNm2
H = 100 kN
15,0 m
25,0 m
10,0 m
H = 100 kN
Liggermodel en M-lijn ?
7,5 kN/m
5 kN/m
15,0 m
5 kN/m
25,0 m
10,0 m
Keer de M-lijn om en deel deze door H
Krachtsverdeling in bogen
Druklijnmethode of omgekeerde kabel,
alleen druk geen buiging en omslachtig
 Klassieke methode m.b.v. de
krachtenmethode
 Boogvergelijking, m.b.v. de
differentiaalvergelijking voor bogen met
kleine verplaatsingen

28
Klassieke aanpak - krachtenmethode
q
EA, EI
H
A
zb ( x)
B
H
x
Voorwaarde:
l
Alleen voor scharnierend
ondersteunde bogen
q
EA, EI
H
H
zb ( x)
A
l
h
x
B
z
29
Krachtenmethode

Kies een statisch bepaald hoofdsysteem:
gekromde ligger , bepaal M-lijn

Geef de statisch onbepaalden aan:
H

Stel de vormveranderingsvoorwaarden op:
h=0
…. horizontale verplaatsingen
30
Horizontale verplaatsing
Bepaal de h t.g.v. een momentenverdeling M in
de gebogen ligger:
d M

dx EI
ligger (recht):

ligger (krom):
d M


ds EI
A
 d 
M
dx
EI
M
 d 
ds
EI
dh   zd
d
-z
B
dh
Mz
h  
ds
EI
boog
horizontale verplaatsing = rotatie maal de verticale afstand tot het draaipunt
verticale verplaatsing
= rotatie maal de horizontale afstand tot het draaipunt
31
Moment t.g.v. S.O. H
H
M
H
a
H
x
M H  H  a  0  M H  H  a
z
a  z  MH  H  z
32
Vormveranderingsvoorwaarde
h a  h so  h   0
h  
Hl
EA
( H  z )  zds
H  z 2ds
h   
  
EI
EI
boog
boog
so
M a z ds
h   
EI
boog
a
met:
M a z ds
Hz 2ds Hl

 

0
EI
EI
EA
boog
boog
h a : t.g.v belasting op statisch bepaald hoofdsysteem
h so : t.g.v statisch onbepaalde
h  : axiale vervorming van de boog
33
Resultaat klassieke aanpak
a
H 
M z
dx

EI
boog
2
z
l
dx 

EI
EA
boog
M  M  Hz
a
Moment in de boog is het moment van het
statisch bepaalde hoofdsysteem plus het moment
t.g.v. de statisch onbepaalde
34
Voorbeeld
Gegeven:
l
f
q
EA
q
= 100 m
= 15 m
= 4,0 kN/m
= oneindig
EA, EI
H
A
zb ( x)   f sin
x
B
H
x
l
l
x 
z   f sin 

l


H 
Ma 
M az
dx

EI
boog
2
z
l
dx

 EI
EA
boog
1
qx(l  x)
2
M  M a  Hz
35
Resultaat
> restart;
> l:=100; q:=4; f:=15;
> z:=-f*sin(Pi*x/l);
> plot(-z,x=0..l,-50..50,title="boog");
moment Ma in het statisch bepaalde hoofdsysteem
> Ma:=(1/2)*q*x*(l-x);
> plot(-Ma,x=0..l,title="Momentenverdeling Ma");
los H op met de klassieke methode:
> H:=-int(Ma*z,x=0..l)/int(z^2,x=0..l);
> M:=simplify(Ma+H*z);
> plot(-M,x=0..l,title="Momentenverdeling in de boog");
36
Differentiaalvergelijking voor bogen
q
boogvorm z
EA, EI
A
B
zb ( x)
x
l
z


na gereedkomen van boog wordt
de belasting q gedragen door
boogwerking + buiging en
ontstaan verplaatsingen w t.o.v. de
boog en de horizontale component
H van de drukkracht in de boog
Voor alle typen randvoorwaarden
Buiging en “omgekeerde” kabel
d2 z
 H 2  qkabel
dx
en
d4 w
EI 4  qbuiging
dx
37
Draagwerking

Boog + Buiging
d2 z
H 2  qboog
dx
d4w
EI 4  qbuiging
dx
dw
d ( z  w)
EI 4  H
 qkabel  qbuiging  q
2
dx
dx
4
2
d4 w
d2 z
EI 4  q  H 2
dx
dx
38
MAPLE
Oplossing van de DV
Algemene oplossing =
homogene oplossing + particuliere oplossing
Formuleer vier randvoorwaarden
los de integratieconstanten op
Resultaat : DE oplossing met nog een
onbekende H
39
Extra eis voor bepaling van H
geen horizontale verplaatsing van de boog
Parabolische boog:
x l
dz dw
x0 dx dx dx  0
x l
 wdx  0
x 0
inclusief normaalkrachtvervorming in de boog
x l
Hl
dz dw
 
dx
EA
dx dx
x 0
40
q
parabolische boog
Voorbeeld
EA, EI
A
x
l
boog:
4 fx(l  x )
z
l2
B
zb ( x)
z
Gegeven:
q
l
f
EI
= 5 kN/m
= 80 m
= 15 m
= 150000 kNm2
belasting:
q  5,0  Heaviside( x  12 l )
randvoorwaarden:
DEMO met MAPLE
dw
x  0; w  0;   
0
dx
d2w
x  l ; w  0; M   EI 2  0
dx
41
Conclusie

Parametrische modellen voor bogen
eenvoudig met MAPLE oplosbaar

Resultaten in M-lijnen etc zijn uitgezet
t.o.v. de horizontale as (x-as) en niet
loodrecht op de staaf-as zoals bij EEM
??
42
43
Vertaal MAPLE oplossing
normaalkracht
dwarskracht
staaf-as
EEM
normaalkracht
dwarskracht

H
z(x)


Vboog+ Vbuiging

d3 w
dz 
N   H cos     EI 3  H  sin 
dx
dx 


d3 w
dz 
V  H sin     EI 3  H  cos 
dx
dx 

Vbuiging
Vboog
44
EEM versus MAPLE
q
Gegeven:
l
f
q
EI
EA
EA, EI
A
zb ( x)   f sin
x
B
H
x
l
l
Sinus boog
verplaatsingen w t.o.v boogvorm
0,25
0,2
0,15
0,1
w
H
= 19 m
=4m
= 25,0 kN/m
= 1000 kNm2
= 250000 kN
FemDem
0,05
Maple
0
-0,05 0
5
10
-0,1
-0,15
-0,2
x
15
20
MatrixFrame