Transcript Rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej veličiny Niektoré rozdelenia diskrétnej NV     Alternatívne rozdelenie Binomické rozdelenie Poissonovo rozdelenie Hypergeometrické rozdelenie Niektoré rozdelenia spojitej NV       Normálne rozdelenie Normované normálne rozdelenie Rovnomerné rozdelenie Exponenciálne rozdelenie Weibullovo rozdelenie Gama rozdelenie Výberové rozdelenia.

Rozdelenia
pravdepodobnosti
náhodnej veličiny
1
Niektoré rozdelenia diskrétnej NV




Alternatívne rozdelenie
Binomické rozdelenie
Poissonovo rozdelenie
Hypergeometrické rozdelenie
2
Niektoré rozdelenia spojitej NV






Normálne rozdelenie
Normované normálne rozdelenie
Rovnomerné rozdelenie
Exponenciálne rozdelenie
Weibullovo rozdelenie
Gama rozdelenie
3
Výberové rozdelenia NV
Majú mimoriadny význam pri analýze
štatistických údajov, získaných náhodným
výberom
Sú úzko spojené s normálnym rozdelením
Chí - kvadrát rozdelenie
Studentovo (t – rozdelenie)
F- rozdelenie
4
Alternatívne rozdelenie A(p)
Náhodná premenná x má alternatívne rozdelenie
s parametrom 0 < p < 1, ak nadobúda len dve hodnoty
x = 1 a x = 0, s pravdepodobnosťami P( x  1)  p
a P( x  0)  1  p
x
0
1
p(x)
1-p
p
Stredná hodnota
2
E ( x)   xi p( xi )  0(1  p)  1. p  p
i 1
5
Rozptyl náhodnej veličiny z alternatívneho
rozdelenia
2
V ( x)  E ( x  E ( x))2   xi  E ( x)  p( xi ) 
2
i 1
 1  p p  0  p q  q2 p  p2q 
2
2
 pq(q  p)  pq(1  p  p)  pq  p(1  p)
Nazýva sa nula – jednotkové rozdelenie
V praxi sa používa pri popise výskytu určitého
javu
Je zvláštnym prípadom binomického rozdelenia
pre n=1
6
Príklad alternatívneho rozdelenia
Z dodávky obsahujúcej 10% nekvalitných
výrobkov odoberieme jeden. Aká je
pravdepodobnosť že to bude nekvalitný
výrobok?
P(1)=p=0,10
P(0)=q=1-p=1-0,10=0,90
7
Binomické rozdelenie Bi(n,p)
Rozdelenie súčtu n vzájomne nezávislých
náhodných veličín, riadiacich sa alternatívnym
rozdelením
Pokusy, v ktorých výsledok neovplyvní
pravdepodobnosť výsledkov iných pokusov
Jav A môže nastať s pravdepodobnosťou p,
a nenastane s pravdepodobnosťou q=1-p
Pravdepodobnosť, že sa jav A objaví práve k- krát v
n opakovaných pokusoch
 n  k nk
pk  P( x)    p q
k 
8
Hodnoty n a p sú parametre binomického
rozdelenia tj. veličiny, ktoré musíme poznať,
aby sme mohli ľubovoľnej náhodnej veličine
x priradiť jej pravdepodobnosť
Stredná hodnota je súčet stredných hodnôt
nezávislých náhodných veličín
E( x)  E( x1 )   E( xn )  p   p  np
Rozptyl
V ( x)  V ( x1 )   V ( xn )  pq   pq  npq
9
Pravdepodobnostná funkcia binomického
rozdelenia
10
Príklady binomického rozdelenia
počet chybných výrobkov zistených vo
výbere n výrobkov, pričom výrobok do
dávky vraciame
počet prípadov, pri ktorých sa prejavila
účinnosť podaného prípravku, skúšaného
na n objektoch
11
Nájdite pravdepodobnosť, že z piatich narodených
detí budú štyri dievčatá (pravdepodobnosť
narodenia oboch pohlaví je 50%)
5!
P(4) 
0,504.0,5054 
5  4!4!
 5.0,0625.0,50  0,15625
12
Poissonove rozdelenie Po()
Predpokladajme, že počet pokusov n je
dostatočne veľký (n>30) a pravdepodobnosť p je
veľmi malá (p < 0,1), potom môžeme binomické
rozdelenie aproximovať Poissonovým rozdelením
s parametrom =np
Pravdepodobnostná funkcia Poissonovho
rozdelenia
P( x) 

k
x!
.e

13
Riadi sa ním počet javov v priestore
alebo počet udalostí v čase
Označuje sa ako zákon vzácnych
alebo zriedkavých javov
Napr. počet výskytov vzácneho
ochorenia, výskyt porúch zariadenia
v čase t, a pod.
14
Stredná hodnota a rozptyl
Pre strednú hodnotu

x
x 0
x!
E ( x)   x.e 

a rozptyl náhodnej veličiny

V ( x)    x    e 
x 0
2
x
x!

platí ich rovnosť, čo sa využíva pri testoch
štatistických hypotéz
15
Príklady
počet výskytov vzácneho ochorenia, výskyt
porúch zariadenia v čase t, a pod.
počet ťažkých dopravných nehôd v určitom
meste za deň
počet telefónnych výziev na určitom aparáte
Pozn.
Každá udalosť, ktorá sa vyskytuje na jednotke
plochy (času, objemu a pod.)
16
Pravdepodobnostná funkcia
17
Hypergeometrické rozdelenie
Predpokladajme, že v súbore N prvkov má M
určitú vlastnosť A. Zo súboru náhodne vyberieme
n prvkov, bez toho aby sme ich vrátili späť do
pôvodného súboru (výber bez vrátenia). Počet
prvkov s vlastnosťou A, ktoré boli vybrané do
výberu je náhodná premenná x, ktorá môže
nadobúdať hodnoty
 M  N  M 
 

k  n  k 

P( x) 
N
 
n 
18
Ak je rozsah výberu príliš malý, vzhľadom
na rozsah základného súboru n/N<0,1, je
možné hypergeometrické rozdelenie
úspešne nahradiť binomickým rozdelením s
parametrami n a p=M/N
Hypergeometrické rozdelenie sa používa
v štatistickej kontrole kvality
19
Stredná hodnota a variancia
 Stredná hodnota
 Variancia
M
E ( x)  n
N
M
V ( x)  n
N
 M  N n
1  
N  N 1

20
Typ
rozdelenia
Parametr
e
E(X)
D(X)
Rovnomerné
a, b
ab
2
b  a 2
Exponenciálne

1
1

12

2
Weibullovo
Hustota
pravdepodob
nosti
1
f x  
ba
F x  
f x  .ex
xa
ba
F x  1  ex
b
b 1
f x   b x  c  e
a
a, b, c
Distribučná
funkcia
 x c b
F x  1  e
x
 
a
b
a
x
Gama
a,b
a.b
a 2b
xb1 a
f x   b
e


a b
21
Rovnomerné rozdelenie
Rovnomerným rozdelením sa riadia náhodné
veličiny, ktoré majú rovnakú možnosť nadobudnúť
akúkoľvek hodnotu z nejakého konečného
intervalu
22
Chí - kvadrát rozdelenie 2(v)
Ak sú u1,u2,...u3 nezávislé náhodné veličiny,
z normovaného rozdelenia N(0,1), potom ich
súčet štvorcov je veličina
v
 2   ui2
i 1
ktorá má chí kvadrát rozdelenie s v stupňami
voľnosti
Počet stupňov voľnosti je daný počtom
nezávislých sčítancov a je jediným parametrom
rozdelenia
Má rozsiahle použitie v teórii odhadu, testovaní
štatistických hypotéz, pri overovaní nezávislosti
javov, ...
23
Studentovo rozdelenie (t-rozdelenie)
Nech u a z sú nezávislé náhodné velčiny, z
ktorých u má rozdelenie N(0,1) a z má chí kvadrát
rozdelenie s v stupňami voľnosti
Náhodná veličina t má Studentove rozdelenie s v
stupňami voľnosti
u
t
z
v
:
Počet stupňov voľnosti
je jediný parameter tohto
rozdelenia.
Stretávame sa s ním v teórii odhadu, pri testoch
štatistických hypotéz a pod..
24
F – rozdelenie (Snedecorove-Fisherove)
Ak uvažujeme dve nezávislé náhodné veličiny 12
a 22 s chí-kvadrát rozdelenia potom náhodná
veličina
2
1
F
v1
 22
v2
má F - rozdelenie s v1 a v2 stupňami voľnosti, čo
sú zároveň aj dva parametre tohto rozdelenia
Aplikácia: testy hypotéz, ANOVA , ...
25