Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: [email protected] http://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html Katedra experimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc.
Download ReportTranscript Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: [email protected] http://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html Katedra experimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc.
Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: [email protected] http://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html Katedra experimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky zisku zápočtu neúčast nejvýše na třech seminářích psát 3 písemné práce (asi dvacetiminutové, každá s maximálním ziskem 10 bodů) zisk nejméně 20 bodů každou písemku napsat alespoň na 3 body odevzdat vyřešené domácí úlohy Doporučená literatura BRABEC J., HRŮZA B.: Matematická analýza II. SNTL, Praha, 1989. BRABEC J., MARTAN F., ROZENSKÝ Z.: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 1989. JIRÁSEK F., ČIPERA S., VACEK M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I., II. a III.. SNTL, Praha, 1989. LEA S. M.: Mathematics for Physicists. Brooks/Cole, 2004. KUČERA J., HORÁK Z.: Tenzory v elektrotechnice a ve fyzice. Nakladatelství ČSAV, Praha, 1963. KVASNICA J.: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. ČECHOVÁ M., MARKOVÁ L.: Proseminář z matematiky A, B. UP Olomouc, 1990. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika I - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2004. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika II - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2002. ZIMMERMAN, R. L., OLNES, F. I.: Mathematica for Physics. Addison-Wesley, 2002. WOLFRAM S.: The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003. BAUMANN G.: Mathematica for Theoretical Physics. Springer-Verlag Heidelberg, 1993. DICK S., RIDDLE A., STEIN D.: Mathematica in the Laboratory. Cambridge University Press, 1997. Reálnou funkcí jedné reálné proměnné podle něhož je každému prvku množiny právě jeden prvek množiny Definiční rozumíme předpis, M R přiřazen N R. obor funkce M D f Obor hodnot funkce N Hf M ožnosti zad ání funkce TA B U L K O U GRAFEM F U N K Č N ÍM P Ř E D P IS E M explicitně parametricky implicitně Vlastnosti funkce Ohraničená funkce (shora, zdola ohraničená) C R, x D f : f x C Parita funkce Funkce f x se nazývá sudá x D f : f x f x Funkce f x se nazývá lichá x D f : f x f x Periodická funkce p R , p 0; x R D f : f x p f x Složená funkce Jsou dány funkce f z a u x . Jestliže funkce u x z , , ve kterém je funkce hodnotu definovaná , pak funkce y f z y f u x se nazývá složenou funkcí . vnější funkce ... y f z vnitřní x a , b lze přiřadit funkce ... z u x Vlastnosti funkce Prostá funkce Funkce f x se nazývá prostá na intervalu a,b D f x1 , x 2 a,b : x1 x 2 f x1 f x 2 Inverzní funkce Inverzní jestliže funkcí k funkci ji lze zapsat ve f x nazveme funkci y f 1 x , tvaru x f y . Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající Funkce f x se nazývá rostoucí na intervalu a,b D f x 1 , x 2 a,b : x 1 x 2 f x 1 f x 2 Funkce f x se nazývá klesající na intervalu a,b D f x 1 , x 2 a,b : x 1 x 2 f x 1 f x 2 Vlastnosti funkce Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající Funkce f x se nazývá nerostoucí na intervalu a,b D f x 1 , x 2 a,b : x 1 x 2 f x 1 f x 2 Funkce f x se nazývá neklesajíc í na intervalu a,b D f x 1 , x 2 a,b : x 1 x 2 f x 1 f x 2 Přehled elementárních funkcí T Y PY FU N K C Í A L G E B R A IC K É R A C IO N Á L N Í IR A C IO N Á L N Í T R A N SC E N D E N T N Í G O N IO M E TR IC K É C Y K L O M E TR IC K É CELÉ LO MENÉ E X P O N E N C IO N Á L N Í L O G A R ITM IC K É H Y P E R B O L IC K É Celé racionální funkce Lineární funkce Kvadratická funkce y x a b 2 Kubická funkce atd. Lomené racionální funkce y k xa b Iracionální funkce y 3 x Goniometrické funkce y sin x Goniometrické funkce y cos x Goniometrické funkce y sin x cos x tg x Goniometrické funkce y cos x sin x cotg x Cyklometrické funkce y arcsin x , D f 1,1 , H f , 2 2 Cyklometrické funkce y arccos x , D f 1,1 , H f 0 , Cyklometrické funkce y arctg x , D f R , H f , 2 2 Cyklometrické funkce y arccotg x , D f R , H f 0 , Exponenciální funkce y a , a 0, a 1 x Logaritmická funkce y log a x , a 0, a 1 Hyperbolické funkce e e x y sinh x 2 x e e x , y cosh x 2 x Hyperbolické funkce y tgh x sinh x cosh x e e x e e x x x , y cotgh x cosh x sinh x e e x e e x x x Úlohy 1. R ozhodn ěte, zda jsou funkcem i relace: x , y R R ; y 1 x 0 , x , y R R ; x y 1, y 0 , a) f1 b) f2 c) f3 x , y R R ; x 2 2 2. U rčete definiční obory funkcí 1 a) f 1 : y , x x 3 2 b) f2 : y x 4x c) f3 : y cos 2 x , d) 3 x6 f 4 : y ln ln ln x . 3. S estrojte grafy funkcí a) g1 : y 2 x 3 2 x , b) g2 : y x 3 , c) g 3 : y sgn x d) g 4 : y max x , x e) 4 f 1 t 3 sin t , 3 2 , 2 . y 2x 2 y 2 0 . , Úlohy 3 . S estro jte grafy fu n k cí 2 f 2 t 2 sin 2 t , f) 3 i) cos 3 t 1 , 2 2 f 4 t A sin t , A , , R , f 5 t A cos t , A , , R , j) f 6 t e , k) f 7 t e g) h) f 3 t 1 t -2t f 8 t 2 e , 3, A, , R t f t A e m) 9 , , A, , , R t n ) f 10 t A e sin t , . l) t -5 4. R ozhodn ěte, zda jsou si rovny funkce f , g , h . f : y 1 2 x x , g:y 1 2 2 , h:y 1 x 1 1 x x x 5. R ozhodn ěte, zda jsou sudé nebo liché funkce: 4 2 a) f1 : y 4 x x 5 , b) f 2 : y tg x 2 sin x , c) f3 : y x 1 , d) f4 : y x 1 . . Úlohy 6 . Z jistěte, zda jsou dané funkce periodické, a v kladném p řípadě určete periodu: x x cos a) f : y sin , 3 4 b) g : y sin x , 2 h : y sin x , x x d ) : y 2 tg - 3tg . 2 3 c) 7 . D okažte, že funkce f : y 2x x 1 je na intervalu 1, rostoucí. 8 . R ozhodn2ěte, zda jsou om ezené, shora om ezené nebo zdola om ezené funkce dané vzorci: y 2 x 7 x 4 , x , a) , 2 b ) y x 3 x 4, x 2,2 , 2 c) y x 1 2 x 1 x , . , 9 . D okažte, že k daným funkcím ex istují funkce inverzní a najd ěte je: 2 f : y x 1, x 2 , 5 a) , b) g : y 2x x3 , x R 3 : y x 10 x 27 , x , 5 : y x 10 x 27 , x 5, 2 c) 2 d) , . ,