ТЕОРИЯ РЯДОВ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3.7. Некоторые приложения степенных рядов. 1. Приближенное вычисление значений функций Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при х=х1 с.
Download
Report
Transcript ТЕОРИЯ РЯДОВ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3.7. Некоторые приложения степенных рядов. 1. Приближенное вычисление значений функций Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при х=х1 с.
ТЕОРИЯ РЯДОВ
3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
3.7. Некоторые приложения степенных
рядов.
1. Приближенное вычисление значений функций
Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при х=х1
с заданной точностью δ>0.
Если функцию f(x) в интервале (-R;R) можно разложить в
степенной ряд
f ( x) a0 a1x a2 x a3 x ... an x ...
2
3
n
и x1∈(-R;R), то точное значение f(x1) равно сумме этого
ряда при х=х1, т.е.
f ( x1 ) a0 a1x1 a2 x12 a3 x13 ... an x1n ...
а приближенное значение равно частичной сумме Sn(x1),
т.е.
f ( x1 ) Sn ( x1 ) a0 a1x1 a2 x12 a3 x13 ... an x1n
Точность этого равенства увеличивается с ростом n.
Абсолютная погрешность этого приближенного равенства
равна модулю остатка ряда, т.е.
f ( x1 ) Sn ( x1 ) rn ( x1 )
где
n1
n1 1
rn ( x1 ) a x
n2
n2 1
a
x
...
Т.о. ошибку вычисления можно найти, оценив остаток rn ( x1 )
ряда.
Для рядов лейбницевского типа:
rn ( x1 ) un 1 x1 un 2 x1 un 3 x1 ... un 1 x1
В остальных случаях (ряд знакопеременный или
знакоположительный) составляют ряд из модулей членов
ряда и для него стараются найти (подобрать)
положительный ряд с большими членами (обычно это
сходящийся ряд геометрической прогрессии), который
легко бы суммировался.
И в качестве оценки
берут
величину
rn ( x1 )
остатка этого нового ряда.
Пример 1
Найти sin1 с точностью до δ=0,001
Для получения требуемой точности каждое слагаемое
следует взять с более высокой точностью так, чтобы при
суммировании не получить погрешности, превышающей
требуемую; на практике для этого достаточно взять один
лишний десятичный знак.
Решение
3
Имеем:
2 n 1
5
x x
x
n
sin x x ... 1
...
3! 5!
2n 1!
Вместо х подставим 1:
x ;
1 1 1
sin1 1 ...
3! 5! 7!
Полученный ряд- лейбницевский. Следует выяснить,
сколько членов ряда надо взять, чтобы абсолютная
погрешность суммы не превышала 0,001, т.е.
rn ( x1 ) un 1 x1 , где un+1(x1)- первый из отброшенных
членов.
Так как
1
1
0, 008(3) 0, 001
5! 120
1
1
0, 0002 0, 001
7! 5040
то для нахождения sin1 с точностью до δ=0,001
достаточно первых трех слагаемых:
1 1
sin1 1 0,842
3! 5!
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый
отброшенный член, т.е. меньше, чем 0,0002
Пример 2
Вычислить число е с точностью до δ=0,001
Решение
Воспользуемся следующим разложением:
2
n
x
x
x
e x 1 ... ...
1! 2!
n!
x ;
Вместо х подставим 1:
1 1 1
1
e e 1 ... ...
1! 2! 3!
n!
1
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем n
слагаемых и оценим ошибку rn(x).
1
1
1
rn ( x)
....
n 1! n 2! n 3!
1
1
1
...
1
n 1! n 2 n 2 n 3
1
1
1
1 1
...
1
2
n 1!
1
n 1! n 1 n 1
1
n 1
Убывающая
геометрическая
прогрессия
1
n 1
n 1
1
n 1! n 1 1 n n 1! n n!
1
Т.е. rn ( x )
n n!
Остается подобрать наименьшее натуральное число n,
чтобы выполнялось неравенство:
1
0, 001
n n!
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется
при n 6 :
n 5:
n 6:
1
1
0, 001
5 5! 600
1
1
0, 001
6 6! 4320
Имеем:
1 1 1 1 1 1
e 1
1! 2! 3! 4! 5! 6!
1 1 1
1
1
517
11
2
2, 7181 2, 718
2! 6 24 120 720
720
Ответ. e 2,718
Пример 3
Найти sin100 с точностью до δ=10-5
Решение
3
Имеем:
2 n 1
5
x x
x
n
sin x x ... 1
...
3! 5!
2n 1!
x ;
Градусную меру переведем в радианную:
10
0
18
Вместо х подставим
18
:
1 1 1
sin10 ...
18 3! 18 5! 18 7! 18
0
0,174533
3
5
7
Полученный ряд- лейбницевский. Следует выяснить,
сколько членов ряда надо взять, чтобы абсолютная
погрешность суммы не превышала 0,00001, т.е.
rn ( x1 ) un 1 x1 , где un+1(x1)- первый из отброшенных
членов.
Так как
1 1
1 3 3
3
5
0,
2
2
10
10
3! 18 6
6
3
1
1
1
32 6
5
1
5
5
5
0,
2
10
2
10
10
10
5! 18 120
12
12
5
Т.о. ограничимся первыми двумя членами:
1
sin10 0,173647 0,17365
18 3! 18
0
3
При этом делаем ошибку, которая по абсолютной
величине меньше первого из отброшенных членов.
Ответ.
sin100 0,17365
2. Приближенное вычисление определенных
интегралов
Бесконечные ряды применяются также для приближенного
вычисления неопределенных и определенных интегралов в
случаях, когда первообразная не выражается в конечном
виде через элементарные функции, либо нахождение
первообразной сложно.
Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в
ряд по степеням х и интервал сходимости (-R;R) включает
в себя отрезок [a;b], то для вычисления заданного
интеграла можно воспользоваться свойством почленного
интегрирования этого ряда.
Ошибку вычислений определяют также, как и при
вычислений значений функций.
Пример 4
Вычислить
1
4
e dx
0
x2
с точностью до δ=0,001
Решение
Воспользуемся следующим разложением:
2
n
x
x
x
e x 1 ... ...
1! 2!
n!
x ;
Вместо х подставим −х2:
e x
2
2n
x2 x4 x6
n x
1 ... 1
...
1! 2! 3!
n!
x ;
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем
почленно данный ряд на отрезке , лежащем внутри
интервала сходимости:
1
0; 4 ;
Получим:
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1 4
1 6
0 e dx 0 dx 0 x dx 2 0 x dx 6 0 x dx ...
x2
2
1
4
e
0
x2
1
4
3
x
dx x
0
3
1
4
5
1 x
0
2 5
1
4
7
1 x
0
6 7
1
4
0
...
1
1
1 1 1 1 1 1
5 7 ...
3
4 3 4 2 5 4 6 7 4
Полученный ряд- лейбницевский. Следует выяснить,
сколько членов ряда надо взять, чтобы абсолютная
погрешность суммы не превышала 0,001, т.е.
rn ( x1 ) un 1 x1 , где un+1(x1)- первый из отброшенных
членов.
Так как
1
0, 0052 0, 001
3
3 4
1
0, 000098 0, 001
5
254
то с точностью δ=0,001 имеем
1
4
1
1
47
0 e dx 4 3 43 192 0, 2448 0, 245
x2
1
4
Ответ.
e
0
x2
dx 0, 245
Пример 5
1
Вычислить
sin x
0 x dx с точностью до δ=0,0001
Решение
Известно, что
x3 x5
x 2 n 1
n
sin x x ... 1
...
3! 5!
2n 1!
x ;
Разделив ряд почленно на х, получаем:
sin x
x2 x4 x6
1 ...
x
3! 5! 7!
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем
почленно данный ряд на отрезке , лежащем внутри
интервала сходимости:
0;1 ;
Получим:
1
1
1
1
1
sin x
1 2
1 4
1 6
0 x dx 0 dx 3! 0 x dx 5! 0 x dx 7! 0 x dx ...
1 x3
x
0
3! 3
1
1 x5
0
5! 5
1
1 x7 1
...
0
7! 7 0
1
1
1
1
...
3! 3 5! 5 7! 7
1
Полученный ряд- лейбницевский.
Так как
1
1
0, 0001
5! 5 120 5
1
1
0, 0001
7! 7 5040 7
то достаточно взять первые три члена.
1
sin x
1
1
0 x dx 1 3! 3 5! 5 0,94611 0,9461
1
Ответ.
sin x
0 x dx 0,9461
Пример 6
1
Вычислить
2
sin
x
dx с точностью до δ=0,0001
0
Решение
Известно, что
x3 x5
x 2 n 1
n
sin x x ... 1
...
3! 5!
2n 1!
x ;
Вместо х подставим х2:
6
10
14
x
x
x
sin x 2 x 2
...
3! 5! 7!
Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем
почленно данный ряд:
x
3
7
11
15
x
x
x
x
2
sin
x
dx
...
0
3 3! 7 5!11 7!15
При х=1 получим лейбницевский ряд:
1
1 1
1
1
0 sin x dx 3 3! 7 5!11 7!15 ...
2
1
1
1
0, 0001
5!11 120 11 1320
1
1
1
0, 0001
7!15 5040 15 75600
Так как
то достаточно взять первые три члена.
1
1 1
1
0 sin x dx 3 3! 7 5!11 0,3103
2
1
Ответ.
2
sin
x
dx 0,3103
0
Интегралы, рассмотренные в примерах 4-6 не берутся в
элементарных функциях. Однако изложенный метод
вычисления интегралов оказывается удобным и в тех
случаях, когда интегралы выражаются через элементарные
функции.
Пример 7
Вычислить
1
2
dx
0 1 x4
с точностью до δ=0,001
Заметим, что
dx
1
x2 x 2 1
2
x 2
1 x4 4 2 ln x2 x 2 1 4 arctan 1 x2 C
но практическое применение этого результата приводит к
громоздким вычислениям.
Намного проще вычисляется данный интеграл при
помощи степенных рядов.
Решение
Известно, что
1
n n
2
3
1 x x x ... 1 x ...
1 x
x 1;1
Вместо х подставим х4:
1
4
8
12
1
x
x
x
...
4
1 x
1
0; 2 1;1
x 1;1
Так как
, то этот ряд можно почленно
интегрировать в пределах от 0 до ½.
1
2
5
9
13
dx
1 1 1 1 1 1 1
0 1 x4 2 2 5 2 9 2 13 ...
Учитывая, что
приближение
ряд
1
2
лейбницевский,
получаем,
5
dx
1 1 1
0 1 x4 2 2 5 0, 49375 0, 494
имеет границу абсолютной погрешности:
9
1 1
0,00022 0,001
2 9
что