Transcript 主 楼 “名人名言” 走自己的路，任何时候 都不要好高骛远，更不要灰 心丧气，良好的心态和坚韧 的毅力是你成功的忠实伴侣。 第三章 运动的守恒定律 conservation law of motion 物理规律是分层次的，有的只对某 些具体事物适用，如胡克定律只适用于 弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛 顿定律适用于一切低速运动的宏观物体； 有的则在自然界的所有领域起作用， 属于自然界更深层次、最为基本的 规律，如能量守恒、动 量守恒等守恒定律。 前沿课题——能量守恒和宇宙大爆炸 宇宙大爆炸论提出时间是有起 点的，时间不具有平移不变性了， 能量守恒的理论基础将出现裂痕。 同时又发现万有引力常数随时间变 化，能量守恒定律面临挑战。 王燕生《东北大学学报》 （社会科学版） 1999年10月 第一卷第4期 本 章 主 要 内 容 保守力 成对力作功 势能 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 动量守恒定律 碰撞 质点的角动量 角动量守恒定律 • 研究对象：质点系统 过程问题 • 守 恒 量：对于物体系统内发生的各种过程，如 果某物理量始终保持不变，该物理量就叫做守恒 量。 • 守恒定律：由宏观现象总结出来的最深刻、最简 洁的自然规律。（动量守恒定律、机械能守恒定 律、能量守恒定律和角动量守恒定律等） • 适用范围：不仅适用于宏观也适用于微观世界， 不仅适用于任何物理过程，也适用于化学、生物 等其他过程，是自然界的普遍规律。 §3.1 保守力 成对力作功 势能 conservative.

主
楼
1
“名人名言”
走自己的路，任何时候
都不要好高骛远，更不要灰
心丧气，良好的心态和坚韧
的毅力是你成功的忠实伴侣。
2
第三章
运动的守恒定律
conservation law of motion
3
物理规律是分层次的，有的只对某
些具体事物适用，如胡克定律只适用于
弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛
顿定律适用于一切低速运动的宏观物体；
有的则在自然界的所有领域起作用，
属于自然界更深层次、最为基本的
规律，如能量守恒、动
量守恒等守恒定律。
4
前沿课题——能量守恒和宇宙大爆炸
宇宙大爆炸论提出时间是有起
点的，时间不具有平移不变性了，
能量守恒的理论基础将出现裂痕。
同时又发现万有引力常数随时间变
化，能量守恒定律面临挑战。
王燕生《东北大学学报》
（社会科学版）
1999年10月 第一卷第4期
5
本 章 主 要 内 容
保守力
成对力作功 势能 功能原理
机械能守恒定律 能量守恒定律
动量守恒定律 碰撞
质点的角动量
角动量守恒定律
6
• 研究对象：质点系统
过程问题
• 守 恒 量：对于物体系统内发生的各种过程，如
果某物理量始终保持不变，该物理量就叫做守恒
量。
• 守恒定律：由宏观现象总结出来的最深刻、最简
洁的自然规律。（动量守恒定律、机械能守恒定
律、能量守恒定律和角动量守恒定律等）
• 适用范围：不仅适用于宏观也适用于微观世界，
不仅适用于任何物理过程，也适用于化学、生物
等其他过程，是自然界的普遍规律。
§3.1
保守力
成对力作功
势能
conservative force, work done by twin force, potential energy
• 一、保守力 conservative force
• 1、功与路径有关：由功的定义可知，一般来说，作功
与路径有关。
b
A

a ( L)
 
F cos ds   F  dr 
b
a( L)
b
 ( F dx  F dy  F dz )
x
y
z
a ( L)
• 2、保守力 conservative force ：作功的大小只与物体的始
末位置有关，而与所经历的路径无关，这种力叫做保守力。
重力、万有引力，弹性力及静电力都是保守力。没有这种
性 质 的 力 称 为 非 保 守 力 nonconservative force ( 耗 散 力
dissipative force），如摩擦力。
3、保守力作功
路径1
work done by conservative force
1 F1
有心力为例
central force
B
D r1
F2
2
r
 
F (r )  f (r )rˆ




F1  Dr1  F2  Dr2
D r2
A
o
路径2
r+D r
有心力central force做功与路径无关
AAB (1)  AAB (2)
所做的功与路径无关，这种力称为保守力 conservative
force 。
AAB (2)   AB A (2)
AAB (1)  AB A (2)  0
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。
万有引力 universal gravitation ,
静电力
electrostatic force,
弹性力
elastic force
4、保守力场： conservative force field
如果质点在某一部分空间内的任何位置，都受到
一个大小和方向完全确定的保守力的作用，称这部分
空间中存在着保守力场。
二、几种常见力的功
work done by common forces
1、重力的功：work done by gravity
A
M2
z2
 F dz   ( mg)dz  mg( z
z
M1
1
 z2 )
z1
功的特点：(1)与路径无关； (2) 沿任意闭合路径
一周重力作功必为零； (3)质点上升重力作负功。
2、万有引力作功
Work done by
universal gravitation

mM
f  G 2 rˆ
r
AB A  ABC  AC  A  AC  A
A
rA
A
AC  A  
C
C
o
rB
rA
 
dr
f  dr  GmM  2
r
rC
1 1
 GmM(  )
rC rA
B
AB A  AC  A
1 1
GmM GmM
 GmM(  ) 

rA rC
rA
rB
r2
mM
1 1
A    G 2 dr  GmM (  )
r
r2 r1
r1
• 功的特点：(1)与路径无关； (2) 沿任意闭合路径
一周引力作功必为零； (3) 质点移近时（r2<r1）
引力作正功。
3、弹簧的弹力的功： Work done by elastic force of spring
x2
1 2 1 2 1 2 1 2
A    kxdx  kx1  kx2  k1  k 2
2
2
2
2
x1
• 功的特点：(1) 与路径无关； (2) 沿任意闭合路径
一周弹力作功必为零； (3) 弹性形变减小时，弹
力作正功。
4、摩擦力的功:
Work done by friction
A
M2
 F cosds    mgs
M1
• 摩擦力功的特点：(1) 与路径有关； (2) 沿任意闭
合路径一周摩擦力作功不为零； (3) 摩擦力永远
作负功。
三、成对力的功 work done by twin force
•
力总是成对的，无论是保守力还是非保守
力。设质量为 m1 和 m2 的两个物体分别受到
F1 和 F2 的力，且 F1= - F2 ，

• 在 dt 时间内位移为 dr1

• 和 dr2 , 质点2相对于质
点 1 的相对位移为 d r  ，
• 则



dr2  dr1  dr 
，
 
• 元功为: dA1  F1  dr1
 
•
dA 2 F2  dr2
• 这一对力所作元功之和为：
   
  


dA  F1  dr1  F2  dr2  F1  dr1  F2  (dr1  dr  )




  
 (  F2  F2 )  dr1  F2  dr 
( F1   F2 )
 
 F2  dr 
• （1）成对力的功只与作用力和相对位移有关（一
般不为零）。

 relative displacement




dA  F1  dr1  F2  dr2  F2  dr 
•（2）成对力的总功具有与参考系选择无关的不
变性质。
为方便起见，计
算时常认为其中一个
质点静止，并以该质
点所在位置为原点，
再计算另一质点受力
所做的功，这就是一
对力的功。
(3)
一对滑动摩擦力的功恒小于零（摩擦生热是一
对滑动摩擦力作功的结果）。
 
以地面为参考系： A对  f  S   f  S
 
以滑块为参考系： A对  f   S   f   S   f  S
(4) 在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，
一对力的功必为零。


N 不垂直于v 1


N  不垂直于v 2
但 A对  AN  AN   0
AN  0
AN   0
 


（ Nv 12 ,即N d r12）
例题：光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦
系数  ，在外力作用下小物体（质量 m ）以速率 v做匀
速圆周运动，求转一周摩擦力做的功 friction 。
解：小物体对环带压力
r
走一段小位移 D s 所做的功
转一周
v2
A   DAi   m
r
i
v2
f m
r
v2
DA   m Ds
r
2
D
s

2


mv

i
例题：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置在
光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从
顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体
时速度 v ，求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。
internal force
解：重力只对小球做功
m
R
M
DA重力  mgDs cos  mgDh
A重力  mgR
水平方向无外力，系统保持
水平方向动量守恒。
Dh
Ds
mg

mv  MV  0
1
1
2
A重力  A内力  MV  mv 2
2
2
2
mv
1
mv
2
(V 
)
MV 
对M ，内力所做的功
M
2
2
M
internal force
1
2
mv
 mgR
对m ，内力所做的功
2
1
1
由机械能守恒定律：
2
2
mgR  MV  mv
The law of conservation
2
2
2
of mechanical energy
由于 A重力=mgR, 可见，内力所做功 A内力=0
内力与相对位移总垂直，故内力所做的功总和为零。
internal force
四、势能 potential energy
1、势能概念 conception of potential energy
质点因相对位置而具有的作功本领称为势能
（因有速度而具有的作功本领称为动能）， 势能
的引入是以保守力作功为前提的，非保守力作功
与路径有关，不能引入势能的概念。
B
A
在保守力场中，质点从A-->B，
保守力所做的功与路径无关，而只
与这两点的位置有关。可引入一个
只与位置有关的函数，B点的函数值
减去A点的函数值，定义为从B -->A
保守力所做的功，该函数就是势能
函数。
2、势能差 change in potential energy
质点从位置A到位置B，保守力作的功可以统
一写为：
B
AA B  
 
f  dr   E p ( B)  E P ( A)

A
定义了势能差，
• 函数 Ep只与质点的位置有关，称为质点的势能或
位能。上式表示，保守力作的功等于势能的减少：
或：
dA  dEp
3、势能的相对性 relativity of potential energy
选参考点（势能零点），设
B点的势能:
E P ( A)  0
EP ( B)  AB A
保守力的功只与始末位置有关，而与中间路径
无关，因此，要确定质点在保守力场中任一点的势
能，必须先选定零势能的位置，由于零势能位置的
选取是任意的，所以势能的值总是相对的，但两点
的势能差是不变的。
4、万有引力势能 universal gravitation potential energy
Gm M Gm M
AB A 

rA
rB
选无限远点势能为零
rA  

mM
mM
E p    G 2 dr  G
r
r
r
0
5、重力势能
E p   (  mg )dz  mgz
Gravitational potential energy
z
0
6、弹簧的弹性势能
elastic potential energy
1 2
E p    kxdx  kx
2
x
• 7、势能曲线 potential energy curves
•
势能是位置的函数, 把势能和相对位置的关系绘成曲线，
便得到势能曲线。
•
通过势能曲线，可以显示出系统总能量、动能和势能间
的关系 E  E  E ，由 E k  0 ，可以根据曲线的形
k
p
状讨论物体的运动；
8、由势能求保守力
conservative force from potential energy
还可以根据势能Ep(x,y,z)的情况，判断物体在各个位置
所受保守力的大小和方向：
dA  Fx dx  dEp
例如：由弹性势能
得
Fx  kx
Fx  
1 2
E p  kx
2
dE p
dx
如果势能是位置（x,y,z）的多元函数，则:




E p  E p  E p 
F  Fx i  Fy j  Fz k  (
i
j
k)
x
y
z
§3.2
功能原理
能量守恒定律
Work-energy principle
The law of conservation of energy
一、质点系动能定理 kinetic energy of particle system
• 1、什么是质点系？ particle system, many-body system
•
（由有限个或无限个质点组成的系统。可以是固体也可
以是液体，它概括了力学中最普遍的研究对象）
• 2、质点系的内力与外力是怎么规定的？
external and internal force
（质点系外的物体作用于质点系内各质点的力称为外
力，质点系内各质点之间的相互作用力称为内力，外力和
内力的区分完全决定于质点系（研究对象）的选取。）
3、质点系内力的功：work done by internal force
一切内力矢量和恒等于零。但一般情况下，
所有内力作功的总和并不为零。例如，两个彼此
相互吸引的物体，移动一段位移，都作正功。
外力和内力的功都可以改变质点系的动能。
4、质点系动能定理：
kinetic energy theorem of particle system
由质点动能定理： A  Ek 2  Ek 1  DEk
质点系动能定理：系统的外力和内力作功的总和等
于系统动能的增量。
1
1
2
2
Ae  A i   ( mi vi 2  mi vi 1 )  Ek 2  Ek 1  DEk
2
2
i
二、质点系功能原理
Work-energy principle of particle system
• 1、系统的机械能 mechanical energy of system
动能与势能的总和称为机械能
E  Ek  E p
• 2、内力的功可分为：（保守内力的功和非保守
内力功 conservative and nonconservative internal force）
A i  A ic A id
• 3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统
势能的减少
A ic  DE p
•（保守内力的功由势能代替）
4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）
Work-energy principle of system
Ae  A i  Ae  A ic A id  Ae  A id  DE p  DEk
DE  DEk  DE p  Ae  Aid
在选定的质点系内，在任一过程中，质点
系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内
力的功的代数和。
非保守内力的功将导致机械能与其他形式的
能量转换。energy transform
•三、能量守恒定律
law of conservation of energy
1、机械能守恒定律
law of conservation of mechanical energy
如果一个系统内只有保守内力作功，其他内力和一切
外力都不作功，或者它们（在每一瞬间所作）的总功为零，
则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但机械能的总
值不变。
即，如果： Ae  Aid  0
则： DE  DEk  DE p  0 或
Ek  E p  常量
（由系统的功能原理 DE  DEk  DE p  Ae  Aid ）
• 2、非保守内力作功，系统的机械能不守恒
•
例如，摩擦力作功，机械能转变成热能。
机械能守恒定律的条件的讨论 discussion
• 例：在一光滑的水平桌面上，有一个质量为m的
静止物体，用一个恒力Ｆ先推它，运动了Ｓ距离，
在这段时间里，物体做匀加速运动，速度从零增
加到 v，然后再用同样的力拉物体，物体将做匀
减速运动，当运动了Ｓ距离后，它一定停下来，
在这个过程中，外力Ｆ作的总功为： Ａ＝Ｆ•Ｓ
＋（－Ｆ•Ｓ）＝０
• 但机械能并不守恒！
• 可见，“非保守内力和一
• 切外力所作的总功为零”
• 并不能保证系统的机械能守恒！
右图：力 f 作正功，f ’ 作负功，总和
为零，机械能守恒。
“守恒”：指在一个过程中始终不变。
“相等”：指两个特定状态之间的关
系。
“Conservation” and “Equation”
3、孤立系统 isolated system
一个不受外界作用的系统叫作孤立系统。对于
孤立系统，外界的功一定是零。
4、能量守恒定律 law of conservation of energy
实验证明，一个孤立系统，历经任何变化过程，
该系统的所有能量的总和是不变的，能量只能从一
种形式变化为另一种形式，或从一个物体传给另一
个物体。——能量守恒定律。
5、能量守恒定律的意义及其重要性
signification and import of conservation of energy
（1）因为能量是各种运动的一般量度，所以能量
守恒定律所阐明的实质就是各种物质运动可以相互
转化，但是，就物质或运动本身来说，却既不能创
造，也不会消灭的。
（2）能量守恒定律是自然界中具有最大普遍性的定
律之一，适用于任何变化过程，包括机械的、热的、
电磁的、原子核的、化学的及生物的等等。
• （3）自然界一切已经实现的过程无一例外地遵
守着这一定律，如果发现有所违反，那常常是因
为过程中孕含着还未被认识的新事物。于是人们
就按守恒定律要求去寻找和发现新事物。例如：
中微子的发现。(20世纪初衰变的研究中发现实
验结果与能量守恒相违背，泡利提出中微子假说，
20年后，科学终于证实了中微子的存在）。
• （4）凡违背守恒定律的过程不可能实现，由此
判断哪些过程是不可能发生的，例如：“永动
机。”
例题3-2：
一汽车的速度 v0  36km / h ，
驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油
门，设车与路面间的摩擦阻力为车重
G的0.05倍，问汽车能冲上斜面多远？
• 解法一：应用动能定理，以车为研究对象。
• 车受力如图：摩擦力 fr ，支持力N（不作功），重力G。
1
2

f

s

G
sin


s

0

mv
r
0
由动能定理：
2
由于fr=0.05G： 0.05G  s  G sin  s  1 mv02
2
又由于：
sin  tg  0.010,
故有：
由此得：
G  mg
1 2
0.05gs  0.010gs  v 0
2
v02
102
s

 85(m )
2 g(0.05  0.010) 2  9.81(0.05  0.010)
• 解法二：取车和地球作为研究对象（系统），用功能原理。
• 车受的外力：摩擦力 fr ，支持力N，（重力G为内力）
• 设坡底势能为零，由功能原理 Ae  Aid  DE
则：
1
 f r  s  (0  mg s sin )  ( mv02  0)
2
1
0.05mg  s  mv02  0.010mg  s
2
v02
102
s

 85(m )
2 g(0.05  0.010) 2  9.81(0.05  0.010)
提示：在应用功能原理时，由于取车与地球为系统，考
虑了系统的重力势能，因此，就不能再把重力当成外力
来计算它的功了。
§3.3
动量守恒定律
law of conservation of momentum
• 一、质点系的动量定理
碰撞
collision
momentum theorem of particle system


1、质点系的动量：质点系
p  mi v i
内各质点动量的矢量和。
i

2、质点系的动量定理：


微分形式： d ( mi vi )   Fi  dt
i
i
t2



积分形式：  m i v i   m i v i 0    Fi dt
i
i
i
t1
质点系动量的增量，等于作用在质
点系上所有外力在同一时间内的冲
量的矢量和。——质点系动量定理

 
p  p0   I i
i
px  pox   I ix
3、分量式
i
p y  p0 y   I iy
i
pz  p0 z   I iz
i
4、内力不能改变质点系的总动量


因为内力总是成对出现的，且 Fi   Fi 则冲量和为：




 
Fi dt  Fidt  Fi dt  Fi dt  ( Fi  Fi )dt  0
即内力的冲量的矢量和恒为零。
5、内力可以改变质点系内各质点的动量
爆炸。
例如
二、质点系的动量守恒定律
law of conservation of momentum of particle system
t2



 mi v i   mi v i 0    Fi dt ）
1、动量守恒定律：（由动量定理
i
i
i t

•如果：  Fi  0 （质点系所受合外力的矢量和为零）
1
i

•则： d ( mi vi )  0
i

或  mi vi  常矢量
i
定律： 如果系统所受到的外力的矢量和为零，
则系统的总动量保持不变。
2、分量式：(投影式)
如果
F
ix
i
0 则
m v
i ix
i
常量
三、动量与动能的比较
momentum and kinetic energy
• 物理量
动量 (momentum)
动能 (kinetic energy)
• 表达式


p  mv
• 单
位
kg·m/s (千克·米/秒)
1
E k  mv 2
2
J(焦耳)(或N·m牛顿·米)
• 性
质
矢量
标量
• 变化量
•
对于给定两个时刻t1和t2： 对于给定两个时刻t1和t2：
•
△P与惯性系的选择无关
•
关
系
△P由力的冲量决定
△Ek由力的功决定
△Ek随惯性系的不同而不同
Ek  p /(2m)
2
四、碰撞 collision
• 1、碰撞的定义 definition of collision
•
质点、质点系或刚体之间，通过极短时间的相互作用而
使运动状态发生显著变化的过程——碰撞(collision)。
• （人从车上跳下，子弹打入墙壁等都属于碰撞）
• 2、碰撞过程的特点 characteristic of collision
•
(1) 作用时间极短
(2) 作用力变化极快
•
(3) 作用力峰值极大
(4) 过程中物体会产生形变
•
(5) 可认为仅有内力的作用，故系统遵守动量守恒定律。
• 3、碰撞定律
law of collision
v 2  v1 (分离速度)
e
v10  v 20 (接近速度)
e 称恢复系数 （决定于材料性质）
4、碰撞的分类 class collisions
(1) 弹性碰撞
当 e ＝ 1 时，
v2  v1  v10  v20
此时说明碰撞后形变能完全恢复，没有机械能的损失 (碰
撞前后机械能守恒)。elastic collision, perfectly elastic collision
(2) 完全非弹性碰撞 当 e＝ 0 时，
v2  v1  v
perfectly inelastic collision
此时，物体碰撞后以同一速度运动，不再分开，这就是
说物体碰撞后已经完全不能恢复形变。
(3) 非完全弹性碰撞 non-perfectly elastic collision
当0＜e＜1时， v2  v1  e(v10  v20 )
此时，碰撞后形变不能完全恢复，一部分机械
能将被转变为其他形式的能量 (如热能）。
5、碰撞中的力 (以两物体碰撞为例）
（1）动量守恒： m1v10  m2v20  m1v1  m2v2
v2  v1
e
v10  v20
（2）碰撞定律：
（3）非完全弹性碰撞： v  v  (1  e )m2 (v10  v20 )
1
10
m1  m2
(1)
( 2)
(3)
(1  e )m1 (v10  v20 )
v2  v20 
m1  m2
m2v 2  m2v 20
f 
Dt
m1m2 (1  e )(v10  v20 )
f 
( m1  m2 )Dt
（4）由动量定理 (对m2)
将(3)代入(4)
( 4)
讨论：力的大小与接近速度成正比，与接触时间成反比，还与物体的质量和材料有关。
6、碰撞中能量的损失
碰撞前后机械能的损失为：
1
1
1
1
DE  ( m1v10  m2v 20 )  ( m1v1  m2 v 2 )
2
2
2
2
6
将前面式(3)代入式 (6)便得：
DE 
讨论：
1
m1m2
(1  e 2 )
(v10  v20 )2
2
( m1  m2 )
(1) 对于完全弹性碰撞（e =1),
DE  0
无能量损失。
1
2
E

m
v
利用：
(2)打铁、打桩等 v20  0
0
1 10
2
1
m1m2
1
2
2
2
则： DE  (1  e )
v10  (1  e )
E0
2
(m1  m2 )
1  m1 m2
(3)损失的机械能，通常变为热能或形变能。
例题3-11
求两物到达最高处的张角 
解：分三个过程：
（1）小球自A下落到B，机械能守恒：
1
m1v 2  m1 gh1  m1 gl (1  cos )
2
1
（2）小球与蹄状物碰撞过程，动量守恒：
2
m1v  (m1  m2 )v
（3）小球与蹄状物开始运动到最高处，机械能守恒：
1
m1  m2  v  2  ( m1  m2 ) gl (1  cos )
2
由式(1)、(2)、(3)消去 v 和 v 
2
 m1 
 1  cos 
可求得： cos  1  
 m1  m 2 
3 
例题：在一平面上, 两相同的球做完全弹性碰撞，
其中一球开始时处于静止状态，另一球速度 v 。
求证：碰撞后两球速度总互相垂直。
解：设碰撞后两球速度
由动量守恒
  
v  v1  v 2
两边平方
v 
2
2
v1
 
v1 , v2
 
2
 2v1  v 2  v 2
由机械能守恒（势能无变化）
比较以上两式
 
 v1  v2  0



(mv  mv1  mv2 )
v 
2
2
v1
2
 v2
1
1
1
2
2
( mv  mv1  mv22 )
2
2
2
两球速度总互相垂直
§3.4 质点的角动量
角动量守恒定律
angular momentum, law of conservation of angular momentum
一、 质点角动量(angular momentum
 ) 的定义



M
1、力矩定义
M0  r  F

r
torque
方向：由右手定则
大小：

F

o

M 0  M 0  F  r  sin 
力的作用效果，不仅与力的大小 magnitude 有关、还
与力的方向 direction 和力的作用点 acting point 有关。力
矩是全面考虑这三要素的一个重要的概念。
2、角动量 angular momentum （moment of momentum ）
定义：任取一点o, 建立坐标系oxyz，设质点A


的质量为m，速度为 v ，矢径为 r ，则质点A对o
点的角动量为：
   

L  r  p  r  mv
方向：由右手螺旋定则确定，
right hand screw rule

大小： L  r  p  sin   mvr sin 
• 角动量与参考点O的选择有关，
• 同一质点对于不同的参考点其角动量是不同的。
二、 质点角动量定理
angular momentum theorem


dv
F m
1、 推导过程：由牛顿第二定律
dt

两边叉乘

r
dv
  
得: r  F  r  m
dt
 

L  r  mv
将角动量定义式
对时间求导数。



dL d 

d ( mv ) dr

 ( r  mv )  r 
  mv
dt dt
dt
dt

dv 




 r m
 v  mv
v  mv  0
dt


dv  


v  v  sin0  0
 r m
 r F  M
dt

即：
   dL
M  r F 
dt
2、角动量定理
angular momentum theorem

   dL
M  r F 
dt
质点对某点的角动量对时间的变化率
等于质点所受到的合力对同一点的力矩。
3、另一种表述：将

式中 Mdt

 dL
M
dt


变形为 Mdt  dL
称为外力矩的冲量矩 impulse torque
(角冲量angular impulse）
质点（转动物体）所受合外力矩torque的冲量
矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的增
量。
三、质点角动量守恒定律
law of conservation of angular momentum of particle

   dL
(M  r  F  )
dt
由角动量定理可知，

若： M  0 （ 条件)


dL
0
dL  0 （结论）
则：
或
dt
 

即： L  r  mv  恒矢量 (constant vector)
若质点所受外力矩对某给定点o的力
矩为零，则质点对o的角动量保持不变。
(具有普遍意义，对m变的也适用）
• 例题3-14 人造卫星绕地球沿椭圆轨道
运动，地球中心为椭圆的一个焦点，
已知地球平均半径 R= 6378 km，近地
距离 l1= 439 km , A1 点速度 v1 =8.10
km , 远地距离 l2 =2384 km , 求A2 点的
速度v2 = ?
• 解：卫星在运行时只受地球对它的引力，
• 方向始终指向地心o, 力的大小只依赖于
• 两点距离（这种力称为有心力），对于O

 
• 点，力矩为零， M0  r  F  0
故角动量守恒。
卫星在近地点A1 的角动量： L1  mv1 ( R  l1 )
卫星在远地点A2 的角动量:
因角动量守恒，所以：
L2  mv2 ( R  l2 )
mv1 ( R  l1 )  mv2 ( R  l2 )
R  l1
6378 439
于是： v2  v1
 8.10
 6.30 (km / s )
R  l2
6378 2384
问 题
1、哪些力是保守力？它们有哪些共同的特点？
（重力、万有引力、弹簧弹性力、静电力；作
功与路径无关）
2、成对力的功有什么特点？
（只与相对位移有关；与参考系的选择无关）
3、势能的大小与哪些因素有关？
（相对位置；零点的选择）
4、本章介绍几个“原理”？请你叙述一下？
（功能原理）
5、本章介绍哪几个“定理”？请叙述其中之
一。
（动能定理、动量定理、质心运动定理、角动
量定理）
6、本章介绍哪几个“定律”？请叙述其中之
一。
（碰撞定律、机械能守恒定律、能量守恒定律、
动量守恒定律、角动量守恒定律）
   

L

r

p

r

m
v
7、角动量是怎么定义的？它与哪些因素有关？
8、系统内力可否改变系统的总动量？可否改
变系统的总动能？
（不能改变总动量；可以改变总动能）
9、两个质量相等的小球，分别从两个高度相
同、倾角不同的光滑斜面的顶端由静止滑到底
部，它们的动量是否相同？它们的动能是否相
同？
（动量不同；动能相同）
10、质点在有心力场中的运动具有什么性质？
（角动量守恒）
第三章结束
59