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电路基础 (Fundamentals of Electric Circuits, INF0120002.05) 2015年03月24日 唐长文 教授 [email protected] http://rfic.fudan.edu.cn/Courses.htm 复旦大学/微电子学院/射频集成电路设计研究小组 版权©2015，版权保留，侵犯必究 版权©2015，版权保留，侵犯必究 第三章 电阻电路的分析 电路的图 支路电流法和支路电压法 回路电流法 节点电压法 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -012- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 电路的图 • 电路 6 – 节点 – 支路 • 图和图论 – 顶点 –边 1 4 1 2 • 无向图 和有向图 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 2 5 3 3 4 -013- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 路径，连通图和回路 • 路径 从一个顶点到另外一个顶点，经过的所有边构 成一条路径。 • 连通图 任意两个顶点之间至少有一条路径的图称为连 通图。 • 回路 如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其 他顶点不出现重复，这条闭合路径就是一个回路。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -014- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 n(= 4)个顶点和b(= 6)条边的连通图 • 路径 6 (1,2,3),(1,3),(1,4,3) • 回路 (1,2,4),(2,3,4), (1,3,4),(1,3,2), (1,2,3,4) (1,2,4,3) 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 1 4 2 5 3 P1 1 L1 2 3 4 -015- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 树，树支和连支 •树 包含图的全部顶点且不包含任何回路的连通子图。 • 树支 树中包含的边称为该树的树支。 • 连支 图中不包含在树中的边称为树的连支。 n个顶点和b条边的连通图，其树的树支数为(n − 1)， 连支数为(b − n + 1) 。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -016- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 n(= 4)个顶点和b(= 6)条边的连通图 •树 6 (4,2,3),(4,5,3), (4,2,5) 2 • 树支 1 4 5 3 3 2 1 4,2,5 • 连支 1,3,6 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 4 -017- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 基本回路，网孔和平面图 • 基本回路 只包含一个连支的回路称为基本回路，也称单 连支回路。基本回路数等于连支数。 • 平面图 如果一个图画在平面上，各条边除了连接的点 外不再交叉，这样的图称为平面图。 • 网孔 平面图的单孔回路。内部不存在任何边的网孔 称为内网孔。外部不存在任何边的网孔称为外网孔。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -018- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 n(= 4)个顶点和b(= 6)条边的连通图 • 基本回路 6 1 L1 1 • 网孔 (1,4,2),(2,5,3), (4,6,5) 2 5 L2 3 3 L3 4 2 (1,4,2),(2,5,3), (4,6,5) 4 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -019- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 电流和电压独立方程 对于具有n个节点和b条支路的电路，基本回路 数等于连支数(b − n + 1)。 在任意(n − 1)个节点上可以得到(n − 1)个独立 的KCL方程。 在任意(b − n + 1)个基本回路上可以得到(b − n + 1)个独立的KVL方程。 总共b个独立的KCL和KVL方程。 根据每条支路元件的VCR方程又可以列出b个 方程。因此，可由2b个方程解出2b个支路电压和电 流。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0110- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 n(= 4)个节点和b(= 6)条支路的电路 • KCL方程 I1 2 I1 3 I1 4 0 I1 2 I 2 3 I 2 4 0 I1 3 I 2 3 I 3 4 0 6 1 L3 4 2 L1 2 5 3 • KVL方程 V1 2 V 2 4 V1 4 0 V 2 3 V 3 4 V 2 4 0 V1 3 V 2 3 V1 2 0 1 L2 3 4 • VCR方程 V jk R jk I jk o r V jk V S , α V lm , rI lm o r I jk I S , g V lm , β I lm 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0111- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 支路电流法和支路电压法 (n − 1)个独立的KCL方程和(b − n + 1)个 独立的KVL方程，b个支路元件的VCR方程。 • 支路电流法 将支路电压以支路电流表示，然后代入 KVL方程，这种方法称为支路电流法。 • 支路电压法 将支路电流以支路电压表示，然后代入 KCL方程，这种方法称为支路电压法。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0112- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题1 列出如图所示电路的支路电流方程和支路电压方程。 • KCL方程 R4 I1 2 I1 3 I1 4 0 I1 2 I 2 3 I 2 4 0 I1 3 I 2 3 I 3 4 0 VS L3 • KVL方程 V1 2 V 2 4 V1 4 0 V 2 3 V 3 4 V 2 4 0 V1 3 V 2 3 V1 2 0 • VCR方程 1 L1 R2 R1 2 IS 3 L2 R3 V 1 4 R 1I1 4 , V 2 4 R 2 I 2 4 , V 3 4 R 3 I 3 4 , V 1 2 V S , 4 I 2 3 I S , V1 3 R 4 I1 3 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0113- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 支路电流法 I1 2 I1 3 I1 4 I1 2 I S I 2 4 I1 3 I S I 3 4 V S R 2 I 2 4 R 1I1 4 V R I R I 23 3 34 2 24 R 4 I1 3 V 2 3 V S 支路电压法 0 I1 2 G 4V1 3 G 1V 1 4 I1 2 I S G 2V 2 4 G V I G V 1 13 S 3 34 V S V 2 4 V1 4 V23 V34 V 24 V1 3 V 2 3 V S 0 0 0 0 0 电流源所在的支路电流为 确定量，其支路电压为待 求量。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 0 0 0 0 0 0 电压源所在的支路电压为 确定量，其支路电流为待 求量。 -0114- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题2 列出如图所示电路的支路电流方程和支路电压方程。 • KCL方程 I V S I1 0 I1 I 2 I 3 0 I3 I 4 I5 0 • KVL方程 V 4 1 V1 2 V 2 4 0 V 2 4 V 2 3 V 3 4 0 V 3 4 V IS 0 • VCR方程 2 I1 3 I3 I2 R3 I4 R1 1 L1 R2 L2 R4 VS IVS IS VIS L3 4 V12 R 1I1, V 23 R 3 I 3 , V 24 R 2 I 2 V 34 R 4 I 4 , V 41 V S , I 5 I S 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0115- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 支路电流方程 I V S I1 I1 I 2 I 3 I3 I 4 IS V S R 1I1 R 2 I 2 R I R I R I 2 2 3 3 4 4 R 4 I 4 V IS 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 支路电压方程 I V S G 1V1 2 G 1V1 2 G 2V 2 4 G 3V 2 3 G 3V 2 3 G 4V 3 4 I S V S V1 2 V 2 4 V 2 4 V 2 3 V 3 4 V 3 4 V I S 0 0 0 0 0 0 -0116- 0 0 0 0 0 0 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 受控源支路的处理方法 受控源支路的VCR方程由受控源表达式方程替 代。 受控电流源所在的支路电流为受控源表达式， 其支路电压为待求量。 受控电压源所在的支路电压为受源控表达式， 其支路电流为待求量。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0117- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题3 列出如图所示电路的支路电流方程和支路电压方程。 • KCL方程 VS I1 2 I1 3 I1 4 0 I1 2 I 2 3 I 2 4 0 I1 3 I 2 3 I 3 4 0 αV24 L3 • KVL方程 V1 2 V 2 4 V1 4 0 V 2 3 V 3 4 V 2 4 0 V1 3 V 2 3 V1 2 0 • VCR方程 1 2 gV24 3 I24 βI24 L1 R2 V24 L2 rI24 I1 4 β I 2 4 , V 2 4 R 2 I 2 4 , V 3 4 rI 2 4 , V 1 2 α V 2 4 , 4 I 2 3 g V 2 4 , V1 3 V S 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0118- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 支路电流方程 I1 2 I1 3 β I 2 4 I1 2 g R 2 I 2 4 I 2 4 I1 3 g R 2 I 2 4 I 3 4 α R 2 I 2 4 R 2 I 2 4 V1 4 V 23 rI24 R 2I24 V S V 2 3 α R 2 I 2 4 支路电压方程 0 I1 2 I1 3 β G 2V 2 4 I g V 2 4 G 2V 2 4 12 I1 3 g V 2 4 I 3 4 α V 2 4 V 2 4 V1 4 V rG V V 23 2 24 24 V S V 2 3 α V 2 4 0 0 0 0 0 受控电流源所在的支路电 流为受控源表达式，其支 路电压为待求量。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 0 0 0 0 0 0 受控电压源所在的支路电 压为受控源表达式，其支 路电流为待求量。 -0119- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 列出支路电流方程的步骤 1、给定各支路电流的参考方向； 2、对(n − 1)个独立节点列出KCL方程； 3、选取(b − n + 1)个独立回路，给定回路的绕行方 向，列出KVL方程； 4、将支路元件的VCR方程或者受控表达式方程代 入KCL和KVL方程。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0120- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 列出支路电压方程的步骤 1、给定各支路电压的参考方向； 2、选取(b − n + 1)个独立回路，给定回路的绕行方 向，列出KVL方程； 3、选取(n − 1)个独立节点，列出KCL方程； 4、将支路元件的VCR方程或者受控源表达式方程 代入KCL和KVL方程。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0121- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题4 如图所示电路中，电阻R1 = 1 Ω，R2 = 2 Ω，R3 = 4 Ω，VS = 9 V，求电流I1。 支路电流方程 I V S I1 I1 I 2 3 I1 3 I1 I 3 V S R 1I1 R 2 I 2 R 2 I 2 V 3 I1 R 3 I 3 1 0 0 0 2 I1 IVS VS R1 L1 I2 R2 射频集成电路设计研究小组 3 3I1 L2 I3 R3 4 0 0 I1 = 1 A, I2 = 4 A, I3 = −3 A, V3I1 = 20 V 复旦大学 V3I1 -0122- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 回路电流法 假设在每个独立回路中存在一个闭合流动的电 流，这个电流称为回路电流。 6 回路电流： Il1，Il2和Il3 IIm3 l3 4 网孔电流： Im1，Im2和Im3 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 1 Im1 Il1 -0123- 5 2 Im2 Il2 3 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 支路电流与回路电流 支路电流可以通过回路电流的代数和表示。若 支路电流与回路电流方向相同，回路电流前取正号， 否则取负号。 6 I6 Im3 支路电流： I4 I1 I m 1 , I 2 I m 1 I m 2 , I3 Im 2 , I 4 Im 1 Im 3 , I5 Im 2 Im 3 , I 6 Im 3 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 I5 4 I1 5 I2 1 Im1 -0124- I3 2 Im2 3 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 KCL方程与回路电流 当用回路电流表示支路电流时，相当于等价地 列出了KCL方程。 I6 节点2的KCL方程： I2 I 4 I5 0 (Im 1 Im 2 ) (Im 1 Im 3 ) (Im 2 Im 3 ) 0 6 Im3 I4 1 I1 2 I5 4 5 I2 1 Im1 3 I3 2 Im2 3 4 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0125- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 回路电流方程的列写 选择(b − n + 1)个独立回路，以各回路电流为 待求量列写KVL方程，这种方法称为回路电流法。 R4 KVL方程： V S 1 R 2 ( I m 1 I m 2 ) R 1I m 1 0 V S 2 R 3 I m 2 R 2 ( I m 1 I m 2 ) 0 R 4Im 3 VS 2 VS 1 0 ( R 1 R 2 )I m 1 R 2 I m 2 V S 1 R 2 I m 1 ( R 2 R 3 )I m 2 V S 2 R 4 I m 3 V S 2 V S 1 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 R1 -0126- VS1 Im3 VS2 Im1 R2 Im2 R3 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 回路电流方程的标准形式 R 1 1I m 1 R 1 2 I m 2 ... R 1m I m m R 2 1I m 1 R 2 2 I m 2 ... R 2 m I m m R I R I ... R I m2 m2 mm mm m1 m1 VS11 R11 R 21 ... Rm1 VS22 ... VSm m R12 ... R 22 ... ... ... Rm1 ... R 1m I m 1 V S 1 1 VS22 R 2m Im 2 ... ... ... R m m I m m V S m m • Rjj是第j条回路上电阻之和，称为回路的自阻。 • Rjk(j ≠ k)是第j条回路和第k条回路间公共支路上的电阻， 称为两条回路之间的互阻。如果这两条回路电流在公共支 路上的方向相同，互阻为正；否则为负。 • VSjj是第j条回路上电压源的代数和。与回路电流方向相同 的电压源前面取负，否则取正。 在仅有独立电压源和电阻组成的电路中，回路电阻矩阵具有 对称性，即Rjk = Rkj。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0127- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题5 列出如图所示电路的回路电流方程。 R4 ( R 1 R 2 )I m 1 R 2 I m 2 α R 2 ( I m 1 I m 2 ) R 2Im 1 R 2Im 2 VS r (Im 1 Im 2 ) R 4 I m 3 V S α R 2 ( I m 1 I m 2 ) [ R 1 (1 α )R 2 ]I m 1 (1 α )R 2 I m 2 0 ( R 2 r ) I m 1 ( R 2 r )I m 2 V S α R 2 I m 1 α R 2 I m 2 R 4 I m 3 V S 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 αV2 Im3 VS I2 Im1 R2 R1 -0128- V2 Im2 rI2 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题6 列出如图所示电路的回路电流方程。 R4 Im3 gV2 VgV2 ( R 1 R 2 )I m 1 R 2 I m 2 R 2Im 1 R 2Im 2 R 4 Im 3 g R 2 (Im 1 Im 2 ) β (Im 1 Im 2 ) 复旦大学 VS I2 VgV2 V S V β I2 R1 Im1 V S V g V 2 R2 V2 Im2 VβI2 βI2 Im 1 Im 3 Im 2 射频集成电路设计研究小组 -0129- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题7 如图所示电路中，电阻R1 = 1 Ω，R2 = 2 Ω，R3 = 4 Ω，VS = 9 V，求电流I1。 回路电流方程 ( R 1 R 2 )I m 1 R 2 I m 2 V S R 2 I m 1 ( R 2 R 3 )I m 2 V 3 I1 3 Im 1 Im 2 V3I1 I1 R1 VS Im1 I2 R2 3I1 Im2 R3 Im1 = 1 A, Im2 = −3 A, V3I1 = 20 V 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0130- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 节点电压法 任选一节点作为参考节点，其他各节点与参考 节点之间的电压称为该节点的节点电压。 6 参考节点电压： Vn4 = 0 节点电压： Vn1，Vn2和Vn3 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 1 4 1 2 5 2 3 3 4 -0131- 0 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 支路电压与节点电压 支路电压可以通过节点电压之差来表示。 6 支路电压： V1 4 V n 1 V n 4 V n 1 V 24 Vn2 Vn4 Vn2 1 4 2 5 3 V34 Vn3 Vn4 Vn3 V1 2 V n 1 V n 2 1 2 V 23 Vn2 Vn3 4 V1 3 V n 1 V n 3 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 3 -0132- 0 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 KVL方程与节点电压 当用节点电压表示支路电压时，相当于等价地 列出了KVL方程。 6 网孔M1的KVL方程： V1 4 V1 2 V 2 4 0 (V n 1 V n 4 ) (V n 1 V n 2 ) 1 4 1 M3 2 M1 2 (V n 2 V n 4 ) 0 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 5 M2 3 3 4 -0133- 0 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 节点电压方程的列写 给定参考节点，以(n − 1)个独立节点电压为待 求量列写KCL方程，这种方法称为节点电压法。 KCL方程： R4 G 1V n 1 I S 1 G 4 (V n 1 V n 3 ) 0 I S 1 G 2V n 2 I S 2 0 I S 2 G 3V n 3 G 4 (V n 1 V n 3 ) 0 (G 1 G 4 )V n 1 G 4V n 3 I S 1 G 2V n 2 I S 1 I S 2 G 4V n 1 (G 3 G 4 )V n 3 I S 2 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 IS1 2 1 R1 IS2 3 R2 R3 4 -0134- 0 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 回路电流方程的标准形式 G 1 1V n 1 G 1 2V n 2 ... G 1(n -1 )V n (n -1 ) G 2 1V n 1 G 2 2V n 2 ... G 2 (n -1 )V n (n -1 ) G (n -1 )1V n 1 G (n -1 )2V n 2 ... R (n -1 )(n -1 )V n (n -1 ) IS 11 IS 22 ... I S (n -1 )(n -1 ) G11 G 21 ... G (n -1 )1 G12 ... G 21 ... ... ... G (n -1 )1 ... G 1 (n -1 ) V n 1 I S 1 1 G 2 (n -1 ) Vn2 IS22 ... ... ... R (n -1 )(n -1 ) V n (n -1 ) I S (n -1 )(n -1 ) • Gjj是与第j个节点直接相连的各支路电导之和，称为节点 的自导。 • Gjk(j ≠ k)是第j节点和第k节点之间的各支路电导之和并带 负号，称为两个节点之间的互电导。 • ISjj是第j个节点相连的电流源的代数和。当电流流入节点时 取正号；否则取负号。 在仅有独立电流源和电阻组成的电路中，回路电阻矩阵具有 对称性，即Gjk = Gkj。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0135- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题8 列出如图所示电路的节点电压方程。 R4 gV2 (G 1 G 4 )V n 1 G 4V n 3 g V n 2 G 2V n 2 g V n 2 I S G 4V n 1 G 4V n 3 I S β G 2V n 2 IS 2 1 3 I2 R1 R2 V2 (G 1 G 4 )V n 1 g V n 2 G 4V n 3 0 (G 2 g )V n 2 I S G 4V n 1 β G 2V n 2 G 4V n 3 I S βI2 4 0 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0136- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题9 列出如图所示电路的节点电压方程。 R4 αV2 1 (G 1 G 4 )V n 1 G 4V n 3 G 2V n 2 G 4V n 1 G 4V n 3 Vn1 Vn2 Vn3 复旦大学 IαV2 IαV2 R1 IS 2 3 I2 IrI2 R2 V2 IαV2 IS rI2 4 I S I rI2 α V2 rI 2 射频集成电路设计研究小组 0 -0137- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题10 如图所示电路中，电阻R1 = 1 Ω，R2 = 2 Ω，R3 = 4 Ω，VS = 9 V，求电流I1。 节点电压方程 G 1V n 1 G 1V n 2 G 1V n 1 ( R 1 R 2 )V n 2 G 3V n 3 Vn1 I1 IVS 3 I1 3 I1 1 2 I1 IVS R1 VS 3I1 R2 R3 VS 4 G 1 (V n 1 V n 2 ) Vn2 = 8 V, Vn3 = −12 V, I1 = 1 A 复旦大学 3 射频集成电路设计研究小组 -0138- 0 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 思考 • 回路电流法中，存在有伴电压源和有伴电流源， 如何处理？ 有伴电压源保持不变；有伴电流源等效为有伴 电压源。 • 节点电压法中，存在有伴电压源和有伴电流源， 如何处理？ 有伴电压源等效为有伴电流源，有伴电流源保 持不变。 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 -0139- 唐长文 版权©2015，版权保留，侵犯必究 例题11 列出如图所示电路的回路电流方程和节点电压方程。 • 回路电流方程 1 ( R 1 R 2 )I m 1 R 2 I m 2 V S R 2 I m 1 ( R 2 R 3 R 4 )I m 2 R 4 I S 2 R3 R4 R1 • 节点电压方程 VS/R1 VS 1 1 1 1 ( ) V V n1 n2 R R3 R1 1 R2 R3 1 1 1 Vn1 ( )V n 2 I S R3 R3 R4 复旦大学 射频集成电路设计研究小组 R2 RI1m1 RI4m2 R4IS VS 3 0 -0140- 唐长文