Transcript Perkalian Titik (lanjutan)

TKS 4007
Matematika III
Diferensial Vektor
(PertemuanIII)
Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Perkalian Titik
Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang
dinyatakan oleh A.B (baca : A titik B).
Secara geometri : A.B didefinisikan sebagai perkalian antara
besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut  antara
keduanya.
Secara analitik : misal 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 dan 𝐁 = B1 𝐢 + B2 𝐣
adalah dua vektor pada bidang sistem koordinat x dan y, maka
A.B didefinisikan :
Perkalian Titik (lanjutan)
Sedangkan vektor pada bidang sistem koordinat x, y, dan z,
dimana 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 dan 𝐁 = B1 𝐢 + B2 𝐣 + B3 𝐤,
maka A.B didefinisikan :
Ingat : hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar!
Perkalian Titik (lanjutan)
Lihat gambar berikut :
Gambar tersebut menunjukkan sebuah obyek yang diberi
gaya. Obyek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke
titik B.
Perkalian Titik (lanjutan)
Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai :
Dengan menggunakan
diperoleh :
definsi
perkalian
titik,
maka
Jadi, usaha W merupakan hasil dari perkalian titik antara
gaya F dengan perpindahan r.
Perkalian Titik (lanjutan)
Perkalian Vektor-vektor Satuan
Dengan menggunakan definisi perkalian titik, didapatkan :
Perkalian Titik (lanjutan)
Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada
bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :
Perkalian Titik (lanjutan)
Sifat-sifat perkalian titik :
Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah
bilangan real, maka berlaku :
Perkalian Titik (lanjutan)
Bukti :
(i) 𝐀. 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 . A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤
Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh :
𝐀. 𝐀 = A1 2 + A2 2
2
=
𝐀. 𝐀 = 𝐀
A1 2 + A2 2
2
(Terbukti!)
Perkalian Titik (lanjutan)
(ii) 𝐀. 𝐁 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 . B1 𝐢 + B2 𝐣 + B3 𝐤
Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh :
𝐀. 𝐁 = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
Karena A1, A2, A3, B1, B2, dan B3 adalah bilangan real,
maka :
A1 B1 = B1 A1 , A2 B2 = B2 A2 , dan A3 B3 = B3 A3
sehingga :
𝐀. 𝐁 = B1 A1 + B2 A2 + B3 A3
𝐀. 𝐁 = 𝐁. 𝐀
(Terbukti!)
Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan (vii) dijadikan
untuk latihan!
Perkalian Titik (lanjutan)
Contoh :
Jika A = i + 2j dan B = 2i – 3j, tentukan A . B dan sudut 
yang dibentu oleh A dan B.
Penyelesaian
𝐀. 𝐁 = 𝐢 + 2𝐣 . 𝟐𝐢 − 3𝐣 = 1 2 + 2 −3 = 2 − 6 = 4
𝐀.𝐁
−4
cos 𝜃 =
= 2 2 2
2
=
𝐀 𝐁
−4
5 13
=
1 +2 2 +(−3)
−4
= −0,47
65
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos(−0,47) = 119,74o
Perkalian Silang
Perkalian silang dari dua buah vektor A dan B dinyatakan
dengan 𝐀 × 𝐁 (baca : A silang B).
Perhatikan gambar berikut :
Tinjau rotasi sebuah partikel dalam
lintasan dengan jari-jari r. Jarak
yang telah ditempuh dalam selang
waktu t adalah s dengan sudut yang
dibentuk adalah  (dalam radian).
Hubungan s dan  diberikan oleh
s = r.
Perkalian Silang (lanjutan)
Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar
kecepatan linier diberikan oleh :
𝑑𝜃
Besaran 𝜔 = , disebut sebagai kecepatan sudut yang
𝑑𝑡
arahnya diberikan oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus
bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier
dengan kecepatan sudut diberikan oleh :
Perkalian Silang (lanjutan)
Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama
dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari
jari-jari lingkaran. Berikut ini definisi perkalian silang :
Secara geometri
Perkalian silang dari dua vektor A dan B adalah sebuah
vektor 𝐂 = 𝐀 × 𝐁 (baca A silang B), yang besarnya adalah
hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut  antara
keduanya.
dengan u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari
𝐀 × 𝐁.
Perkalian Silang (lanjutan)
Secara analisis
Misal 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 dan 𝐁 = B1 𝐢 + B2 𝐣 + B3 𝐤 ,
maka perkalian silang dari dua vektor A dan B didefinisikan
sebagai berikut :
Perkalian Silang (lanjutan)
Perkalian Vektor-vektor Satuan
Dengan menggunakan definisi perkalian silang, didapatkan :
Perkalian Silang (lanjutan)
Hasil perkalian silang dari vektor satuan-vektor satuan pada
bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :
Perkalian Silang (lanjutan)
Sifat-sifat perkalian silang :
Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah
bilangan real, maka berlaku :
Perkalian Silang (lanjutan)
Bukti :
Misal 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤, 𝐁 = B1 𝐢 + B2 𝐣 + B3 𝐤 dan 𝐂
= C1 𝐢 + C2 𝐣 + C3 𝐤, maka :
(ii)
Perkalian Silang (lanjutan)
(iv)
Pembuktian sifat (i), (iii), (v), dan (vi) dijadikan untuk
latihan!
Perkalian Silang (lanjutan)
Contoh :
Jika A = 2i - 2j + k dan B = 3i + j + 2k, tentukan A G B dan
sudut  yang dibentu oleh A dan B.
Penyelesaian
Perkalian Silang (lanjutan)
Jadi sudut antara A dan B adalah 57,69o.
Latihan
1.
2.
3.
4.
Terima kasih
dan
Semoga Lancar Studinya!