Transcript PPTLogikaMatematikaGP1314TM4x

RELASI DAN FUNGSI
04
Modul ke:
Fakultas
ILMU
KOMPUTER
Program Studi
Sistem
Informasi
Relasi
Fungsi
Jenis fungsi
Ir. Pranto Busono M.Kom.
Komposisi Dua Fungsi Dan
Fungsi Invers
Pengertian Fungsi
Relasi adalah dimana setiap unsur
dari daerah asalnya dipasangkan
dengan tepat satu unsur dari daerah
hasilnya
Domain
= daerah asal
Kodomain = daerah kawan
f
A
●
●
●
Range
B
●
●
●
●
= daerah hasil
Contoh Soal :
Diketahui fungsi f :D→R dan f(x)=x2-1
Hitunglah f (-3),f (-1),dan f(3)
Jawab:
f(x) =x2-1
f(-3) =(-3)2-1=9-1=8
f(-1) =(-1)2-1=0
f(3) =(3)2-1=9-1=8
Contoh Soal :
Diketahui fungsi f :D→R dan f(x)=x2-1
Jika f(a)=15,tentukan nilai a yang memenuhi!
Jawab:
f(a) = a2-1
15 = a2-1
a2 = 15 + 1
a2 = 16
a = ±4
Jadi nilai a yang memenuhi adalah a = 4
atau a =-4
Sifat-sifat Fungsi
Fungsi surjektif
Fungsi ƒ :A→B disebut fungsi surjektif bila setiap
anggota B mempunyai kawan di A.
f
A
●
●
●
B
●
●
Sifat Satu-Satu (Injektif)
Fungsi ƒ :A → B disebut satusatu,jika anggota B yang mempunyai
pasangan dengan anggota A, maka
pasangannya hanya tepat satu.
f
A
●
●
●
B
●
●
●
●
Fungsi Korespondensi Satu-Satu
(Bijektif)
Fungsi ƒ : A → B disebut
Korespondensi Satu-Satu,jika fungsi
tersebut surjektif dan sekaligus
injektif
f
A
●
●
●
B
●
●
●
FUNGSI KOMPOSISI
Misalkan f dan g dua fungsi sembarang
maka fungsi komposisi f dan g ditulis
g ○ f, didefinisikan sebagai (g ○ f)(x)
=g(f(x)) untuk setiap x є Dg
A
B
●
●
●
f
●
●
●
g
g{f(x)}
(g ○ f)(x)=g{f(x)}
C
●
●
●
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
a. Tidak Komutatif
Komposisi fungsi tidak bersifat
komutatif ƒ : A→ B dan
g : B→ C, maka ƒ○g ≠ g○ƒ
Contoh Soal:
Diketahui: ƒ(x)=2x + 1 dan g(x)=x2-3.
Periksalah apakah (g○ƒ)(x)=(ƒ○g)
Jawab:
(g○ƒ)(x) =g(ƒ(x)
=g(2x+1)
=(2x+1)2-3
=4x2 +4x – 2
(ƒ○g) (x) = ƒ(g(x))
= ƒ (x2-3)
=2(x2-3) + 1
= 2x2 – 6 + 1
= 2x2 – 5
Dari contoh di atas ditunjukkan bahwa
(g○ƒ) ≠ (ƒ○g) (x)
b. Asosiatif
Komposisi Fungsi bersifat
asosiatif,yaitu
jika ƒ : A → B dan
g : B → C, dan
h :C → D,
maka h ○(g○f)=(h○g)○f
Contoh :
Fungsi ƒ,g,dan h didefinisikan
sebagai berikut :
ƒ (x) =x + 2,
g (x) =3x, dan
h (x)=x.
Tentukan :h○(g○ƒ) dan (h○g)○ƒ (x)
jawab :
(g○ƒ) (x)
=g(ƒ(x))
=g(x + 2)
=3(x +2)
=3x + 6
h ○(g○ƒ) (x) =h(3x + 6)
=(3x + 6)2
=9x2 + 36x +36
….1)
(h ○ g) (x)
(h○g)○ƒ (x)
= h(g(x))
= h(3x)
=(3x)2
=9x2
=(h ○ g)(ƒ(x))
=(h ○ g)(x +2)
=9(x + 2)2
=9(x2 +4x+4)
=9x2 +36x +36 ….2)
Dari persamaan 1) dan 2) disimpulkan bahwa:
h○(g○ƒ) (x) = ((h○g)○ƒ) (x)
c. Sifat Identitas
Jika I (x)=x, dan f (x) adalah suatu
fungsi, maka I ○ƒ = ƒ○I = ƒ
Contoh :
Diketahui :I(x) = x dan ƒ(x) = x2 + 1.
Carilah:
a. (I ○ƒ)(x)
b. (ƒ○I) (x)
c. Kesimpulan apakah yang dapat
kamu kemukakan?
Jawab :
a. (I○ƒ)(x)
=I(ƒ(x)
=I(x2 + 1)
= x2 + 1
b. (ƒ○I)(x) =ƒ(I(x))
=ƒ(x)
=x2 + 1
c. I○ƒ = ƒ○I = ƒ untuk setiap ƒ
Fungsi Invers
Suatu fungsi ƒ : A → B mempunyai
fungsi invers ƒ-1 : B → A,jika dan
hanya jika merupakan fungsi bijektif
( korespondensi satu satu )
A
a.
b.
c.
d.
B
.1
.2
.3
.4
B
1.
2.
3.
4.
A
.a
.b
.c
.d
Contoh :
Diketahui fungsi ƒ sebagai berikut:
A
B
a.
b.
c.
.1
.2
.3
Ditanyakan:
1. Apakah ƒ-1 ada? Mengapa?
2. Carilah (ƒ-1○ƒ)(a), dan (ƒ-1○ƒ)(b)
3. Apakah ƒ-1 ○ƒ = I?Mengapa?
Jawab :
a. ƒ-1 ada, sebab ƒ berada dalam
korespondensi satu-satu
b.(ƒ-1 ○ƒ)(a) =ƒ-1 (ƒ(a)) = ƒ-1 (2) = a
(ƒ-1○ƒ)(b) = ƒ-1 (ƒ(b)) =ƒ-1 (3) =b
c. benar ƒ-1○ƒ = I,
sebab (ƒ-1○ƒ)(x) = x untuk setiap x
Fungsi Invers Dari Fungsi Komposisi
1. (g○ƒ)-1 = ƒ-1○ g-1
2. (ƒ○ g)-1 = g-1○ƒ-1
Latihan Soal
Diketahui f(x) = 2x – 1 untuk 0 < x < 1 dan
f(x) = x2 + 1 untuk x yang lain.
Tentukan nilai
f(2) ○f(-4)+ f(½) ○ f(3)!
A
75
C
B
80
D
E
90
95
85
LATIHAN
Diketahui f(x)= 2x – 3
(g○f) (x) = 2x + 1, g(x) = ....
A
4x + 1
C
4x + 4
B
4x - 4
D
x-4
E
x+4
Terima Kasih
Ir. Pranto Busono M.Kom.