Transcript 第五章 - 中国科学技术大学

杨维纮
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第五章 角动量定理
在描述转动的问题时，我们需要引进另一
个物理量——角动量。这一概念在物理学上经
历了一段有趣的演变过程。18世纪在力学中才
定义和开始利用它，直到 19世纪人们才把它看
成力学中的最基本的概念之一，到 20世纪它加
入了动量和能量的行列，成为力学中最重要的
概念之一。角动量之所以能有这样的地位，是
由于它也服从守恒定律，在近代物理学中其运
用是极为广泛的。
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第五章 角动量定理
§5.1
孤立体系的角动量守恒
§5.2
质点系角动量定理
§5.3
质心系的角动量定理
§5.4
万有引力
§5.5
关于万有引力的讨论
§5.6
质点在有心力场中的运动
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§5.1
孤立体系的角动量守恒
第三章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量，
对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量，
它具备以下的条件：
1. 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非
零值表示质点关于该空间点作转动；
2. 对于孤立体系，它保持守恒。
下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。
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§5.1
孤立体系的角动量守恒
5.1.1
单质点孤立体系和掠面速度
5.1.2
两个质点的孤立体系和角动量
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度
单质点的孤立体系就是不
受外力作用的自由质点，它作
匀速直线运动（我们取惯性参
考系，且静止看成是匀速直线
运动的特例）。
如图5.1，设该质点位于P
点，沿直线 AB 从 A 向 B 方向
运动，在相等的时间间隔 ⊿t
的位移是 ⊿s = v⊿t。
我们在 AB 上取一个参考点 Q，随着 P 点的运动，
由于 QP 的方向不发生改变，故 P 点相对于 Q 点没有转
动。但如果参考点取不在 AB 上的点，譬如 O 点，由于
OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于
O 点有转动。我们现在来寻找守恒量。
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度
由图可见，各时间间隔 ⊿t
内矢径 r 扫过的那些小三角形具
有公共的高线 OH，因而有相等
的面积，于是我们找到的守恒量
是：矢径 r 在单位时间内扫过的
面积 S，我们称 该面积 S 为质点
P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB
线的夹角为θ，故对单质点的孤
立体系有：
1 s
1
S r
sin   rv sin   常量
2 t
2
该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微
商为零：
dS
0
dt
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5.1.1 单质点孤立体系和掠面速度
当然，上面所考虑的只是
平面运动的情况，对于单个的
自由质点，它只可能在某个平
面上运动。但是我们接下来要
考虑多个质点，仅考虑某一个
平面就不行了，我们可以利用
矢量运算法则，将掠面速度定
义为与该平面垂直的矢量。即：
1
S  rv
2
这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量
是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若
参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
对于两个质点的孤立体系，
它们虽然不受外力作用，但两个
质点之间是有作用力的。我们现
在来寻找守恒量，首先我们能想
到的是它们每个质点掠面速度的
和。为此，在空间建立惯性参考
系，如图5.2，两个质点的质量分
别为 m1, m2，其位矢和速度分别
为 r1, r2 和 v1, v2 。设其掠面速度
分别为 S1, S2 ，有：
1
S1  r1  v 1
2
1
S 2  r2  v 2
2
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
而掠面速度对时间的微商为：
dS i 1 dri
dv i
1

 v i  ri 
dt
2 dt
2
dt
dv
dv
1
1
1
 v i  v i  ri  i  ri  i
2
2
dt
2
dt
其中 i =1, 2。为了对上式中的 i
求和，我们列出质点运动的牛顿
方程：
dv 2
dv 1
 f 21  f
m1
 f12  f m2
dt
dt
dS1 1
dv1
1
 r1 

r1  f
dt 2
dt 2m1
dS 2 1
dv 2
1
 r2 

r2  f
dt
2
dt
2m2
dS1 dS 2
因 m1, m2 可以为任意值，故

0
dt
dt
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
但从前几式可看出：
d
(2m1S1  2m2S 2 )  (r1  r2 )  f  0
dt
其中利用了牛顿第三定律：f 的
方向沿两质点 m1, m2 的连线，
即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到
了守恒量：
L  2m1S1  2m2S2
 r1  m1v1  r2  m2 v 2  常矢量
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5.1.2 两个质点的孤立体系和角动量
定义：
l  r  mv  r  p
称为单个质点对于原点的角动量或动量矩；
L   l i   ri  mi v i   ri  pi
i
i
i
称为体系对于原点的角动量或动量矩。
由上述的推导可知：两个质点孤立体系的角动量守恒。
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对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结
论，我们在下一节介绍。
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几点说明：
1. 角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积，
因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确
定的平面，其指向由右手定则决定。
2. 单个质点的角动量与其掠面速度成正比，比例系数为
其质量的两倍。
3. 角动量是相对给定的参考点定义的，且参考点在所选
的参考系中必须是固定点，对不同的参考点体系的角
动量是不同的。通常我们把参考点取为坐标原点，这
时的角动量的定义才如(5.1.12)、(5.1.13)式所示。
4. 角动量的单位是千克·米2 /秒，量纲为 ML2T -1
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§5.2
质点系角动量定理
5.2.1
质点角动量定理
5.2.2
质点系角动量定理
5.2.3
角动量守恒定律与空间各向同性
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§5.2
质点系角动量定理
5.2.1 质点角动量定理
我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点
的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。
在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r，
动量为 p，角动量为 l，有：
dp
F
,
dt
l  r  mv  r  p
角动量对时间的变化率为：
dl d
dr
dp
 vp  r F  r  F
 (r  p )   p  r 
dt dt
dt
dt
定义：M = r×F 称为力 F 对于原点的力矩。
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5.2.1 质点角动量定理
于是(5.2.2)式又可写为：
dl
M
dt
即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该
点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积
分，得：
t
 Mdt  l  l 0
0
t
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力矩对时间的积分 0 Mdt 称为冲量矩。上式表示质点角
动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的
积分形式。
不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写
成分量形式。
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5.2.1 质点角动量定理
例5-1：讨论行星运动性质
解：取太阳为原点建立坐标系，设太阳和行星的质量
分别为 m2， m1，利用第四章4.4.3节中引入的约化质量
μ= m1 m2/(m1+ m2) ，就可以将该参考系视为惯性系，则
行星受到的力矩为 M = r×F = 0，故 l = r×μv = 不变
量，或掠面速度 S = r×v/2 = 不变量。故有：
1. 行星轨道是一条平面曲线。（因 S 的方向不变）
2. 行星与太阳的连线单位时间扫过的面积为常量。（因
S 的大小不变）
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5.2.2 质点系角动量定理
设体系有 n 个质点。
 p 1

 p 2

 p 3



p n
令
 F1  f12  f13    f1n
 f 21  F2  f 23    f 2n
 f 31  f 32  F3    f 3n

 f n 1  f n 2  f n 3    f n (n 1)  Fn
l i  ri  mi vi , Mi  ri  Fi
分别表示体系内第 i 个质点的角动量和所受的外力矩
Mij  ri  fij 表示第 j 个质点对第 i 个质点的内力产生的力矩
dl i d
dr
dp
dp
 (ri  p i )  i  p i  ri  i  ri  i
dt dt
dt
dt
dt
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5.2.2 质点系角动量定理
用 ri×(5.2.5)的第 i 个方程，得：
dl i
 M i  M i1  M i 2    M i (i 1)  M i (i 1)    M in
dt
由牛顿第三定律知： fij //(ri  r j )
于是可得： Mij  M ji  ri  fij  rj  f ji  (ri  rj )  fij  0
将(5.2.6)式对求和，并利用(5.2.7)式可得：
d
(l 1  l 2    l n )  M 1  M 2    M n
dt
令： L  l1  l 2    l n , M  M1  M2    Mn
则 L 为体系的总角动量，M 为体系所受的总外力矩。
于是(5.2-9)为：
dL
M
dt
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5.2.2 质点系角动量定理
dL
M
dt
即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体
系上所有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理
的微分形式。
对(5.2.10)式积分，可得体系角动量定理的积分形式：

t
0
Mdt  L  L 0
体系角动量定理指出：只有外力矩才对体系的角动
量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献，但
对角动量在体系内的分配是有作用的。
角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和
为零时，体系的角动量守恒。
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几点说明：
1. 关于总外力矩 M = 0 的三种不同情况：
(1) 对孤立体系，体系不受外力作用 Fi = 0，当然有总外力
矩 M = 0。但一般讲来，当体系受外力作用时，即使
外力的矢量和为零，外力矩的矢量和未必为零，力偶
就是这种情况。
(2) 所有的外力通过定点，关于该点每个外力的力矩皆为
零，因而总外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和
未必为零。
(3) 每个外力的力矩不为零，但总外力矩 M = 0。如重力
场中重力对质心的力矩。
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几点说明：
2. 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量
守恒定律或能量守恒定律中。
3. 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可
以分别守恒。
(1) 当 Mx = 0，则 Lx = 常量；
(2) 当 My = 0，则 Ly = 常量；
(3) 当 Mz = 0，则 Lz = 常量；
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几点说明：
4. 角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。
我们知道，银河系呈扁平的圆盘形结构。观察表明，还有
许多星系也呈圆盘形。这可能与角动量守恒有关。银河系最初
可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系的相互作用）而
具有一定的角动量。正是这个角动量的存在，使球形的银河系
不会在引力作用下凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定
半径的圆盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒
（r2ω=常量）要求转速随 r 的减小而增大ω∝r -2，因而使离心力
增大（离心力∝v2/r = rω2∝r -3），它往往比引力增大（引力∝r 2）得更快，最终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限制
了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨
碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要
求增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中
减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。
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5.2.3 角动量守恒定律与空间各向同性
如第四章4.7.3节里一样，我们仍
考虑一对粒子 A 和 B。固定 B，将 A
沿以 B 为圆心的圆弧⊿s 移动到 A/（如
图5.4），从而相互作用势能改变：
V  (f AB )切 s
空间各向同性意味着，两粒子之
间的相互作用势能只与它们的距离有
关，与二者之间联线在空间的取向无
关。所以上述操作不应改变它们之间
的势能，从而⊿V = 0，即相互作用力
的切向分量： (f AB )切  0
或者说，“两粒子之间的相互作用力沿二者的联线”。
这说法与“角动量守恒”是等价的。于是，我们从空间
的各向同性推出了角动量守恒定律。
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§5.3
质心系的角动量定理
5.3.1
质心系的角动量定理
5.3.2
体系的角量与质心的角动量
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§5.3
质心系的角动量定理
5.3.1 质心系的角动量定理
由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所
以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体
系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。
如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心
系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。
因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成
立。
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5.3.1 质心系的角动量定理
设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力
对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
M C  M C惯 
dL C
dt
由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与
质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为：
MC惯  rC i  (mia)  ( mirC i )  a  0
即：
dL C
MC 
dt
不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动
量定理仍然适用。
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5.3.1 质心系的角动量定理
在这里我们再一次看到质心系的独特优越性。行
星绕太阳运动时，把太阳看成静止是一种近似。利用
第四章4.4.3节的约化质量虽然精确，但是只能处理两
体问题。对于多体问题，当行星的质量与太阳质量相
比不能忽略，或者我们求解问题要求高精度时，都应
该考虑太阳的运动，在这种情况下用质心系就能显示
其优点了。
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5.3.2 体系的角量与质心的角动量
虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在质
心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点的
角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在惯
性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往往
还是一个运动的点。
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5.3.2 体系的角量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在
质心系 KC 中，体系相对于质心的角动量为 LC，则有：
L   ( ri  mi v i )  [(rC  rC i )  mi ( v C  v C i )]
i
i
  rC  mi vC  rC  mi vC i  rC i  mi vC  rC i  mi vC i 

 

 rC  mC v C  rC    mi v C i     mi rC i   v C   ( rC i  mi v C i )
i
 i
  i

 rC  mC vC   ( rC i  mi vC i )
i
令： LC  rC  mC vC
i
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称为质心角动量
LCM   ( rC i  mi v C i ) 称为体系相对于质心的角动量
则有：
i
L  LC  LCM
即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心
的角动量之和。
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§5.4
万有引力
在西方，一些物理学家提出这样的问题：如果一个人未读过莎
士比亚的著作，会被人认为没有教养；但是一个人不知道牛顿、爱
因斯坦的理论，却不被看做没有文化。这不奇怪吗？于是他们仿照
“艺术欣赏”、“歌剧欣赏”那样，在大学文科开设起“科学欣
赏”、“物理欣赏”课来。
在我国，情况可能更是这样。在一般人心目中，物理是那样
枯燥，那样难懂，难道还有什么可欣赏的？其实物理学是优美的，
它的美表现在基本物理规律的简洁和普适性。然而这些规律的外在
表现（各种物理现象）却往往非常复杂。物理学的规律是有层次的，
层次越深，则规律越基本，就越简单，其适用性也越广泛，但也越
不容易被揭示出来。
物理学的简洁性是隐蔽的，它所具有的是深奥而含蓄的内在美。
不懂得它的语言，是很难领会到的。天文学先于物理学，事实上物
理学的发端始于对理解星体运行的追求。万有引力定律的发现堪称
一部逐步揭示物理规律简洁美的壮丽史诗，让我们从开普勒谈起。
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§5.4
万有引力
5.4.1
开普勒的行星运动三定律
5.4.2
牛顿的理论
5.4.3
引力的线性叠加性
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律
在牛顿之前，人类研究得最多也最清楚的运动现象
就是行星的运行。肉限可以看到五颗行星：水、金、火、
木、土。对这五颗行星的运动有过长期的观察，特别是
丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe, 1546~1601）连续进行
了二十年的仔细观测、记录，他的学生开普勒（Kepler
Johamnes, 1571~1630）则花费了大约二十年的时间分析
这些数据。开普勒前后总结出三条行星运动的规律：
1. 所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆
的一个焦点上。这称为轨道定律。
2. 任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面
积。这称为面积定律。
3. 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨
道的半长轴的立方成正比，即：T∝ r3/2 (式中，T 是行
星运动的周期；r 是椭圆轨道的半长轴。这称为周期定
律。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律
开普勒本人在得到上
述的行星运动的规律之后，
也曾企图寻找运动的原因，
来解释行星运动的现象。
但是他并不着眼于力，而
是着眼于对称性。开普勒
首先要解释各行星半长轴
为什么取某些特定值。他
认为这是宇宙的对称和和
谐的表现。他设计了一个
由正多面体构成的宇宙。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律
如图5.5所示，土星的轨道在最外
的一个大圆上；
在该球内作一内接的正六面体，木
星轨道在该六面体的内切球面上；
在这球内再作一正四面体，火星
轨道则在该四面体的内切球面上；
相继地，再在这球面内作一内接
正十二面体，地球轨道在这十二
面体的内切球面上；
再继续作一内接的正二十面体，金
星轨道就在二十面体的内切球面上；
最后，作内接的正八面体，其内
切球面就是水星的轨道所在之处。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律
我们知道，正多面体的种
类是不多的，只有5种，所以开
普勒相信行星只有6颗，用上述
的一系列正多面体的套装，开
普勒能给出符合观测的行星轨
道半径之间的比例（只是水星
和木星的情况有显著的偏差），
不能不说这是一个很有意义的
尝试。
虽然现在已经证明，开普
勒的解释并不正确，但是这个
事例告诉我们，“从运动的现
象去研究对称性”确是一种有
价值的方法。在一些现代物理
的研究中往往是首先着眼于对
称性的。
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律
开普勒获此结果欣喜若狂，他不加掩饰他
说：“十六年了，我立志要探索一件事，所以
我和第谷结合起来，……我终于走向光明，认
识到的真理远超出我最热切的期望。如今木已
成舟，书已完稿。至于是否现在就有读者，抑
或将留待后世？正像上帝已等了观察者六千多
年那样，我也许要整整等上一个世纪才会有读
者。对此我毫不在意。”
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5.4.1 开普勒的行星运动三定律
把20余年里观测的几千个数据归纳成这样简洁的几
条规律，开普勒是应该为此而感到自豪的。只是开普勒
尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天
机”。
我们知道，角动量正比于矢径的掠面速度，开普勒
的面积定律意味着角动量守恒，即行星受到的是有心力；
而轨道定律告诉我们该有心力为引力；至于力的大小，
开普勒的周期定律给出了定量的描述。
开普勒的行星运动三定律蕴涵着更为简洁、更为普
遍的万有引力定律，其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。
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5.4.2 牛顿的理论
牛顿在他的划时代的著作《自然
哲学的数学原理》中写道：我奉献这
一作品，作为哲学的数学原理，因为
哲学的全部责任似乎在于——从运动
的现象去研究自然界中的力，然后从
这些力去说明其他的现象。
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1. 引力的表达式
由开普勒轨道定律，为了简便，可把行星轨道看作圆
形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有
向心加速度 a = v2/r , 其中 v 是行星的速率；r 是圆轨道的
半径。根据开普勒第三定律： T∝ r3/2，而 v =2πr/T，故
r
1
v  3/ 2 
r
r
m
于是： a  1
F

ma

r2
r2
其中 m 是行星的质量。取比例系数为 k，则得：
m
F k 2
r
显然，k 应取决于太阳的性质。由此，牛顿得到第一个重
要结果：如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和
的平方成反比。
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1. 引力的表达式
在牛顿之前，也有人提出过引力应
遵循平方反比律，但那并不是基于力的
明确定义而得到的，只是一种猜测，或
者是从几何类比推出。在牛顿体系中，
力具有定量的定义，由运动学规律及太
阳是行星运动原因的假设，平方反比律
就是必然的结论了。
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2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统
一的，即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万
有引力。这一步是关键性的。我们一再强调，寻找各种
不同运动的统一原因，是物理学的追求，引力的万有性
就是基于这种统一观的一种猜测。
如何来检验这一猜测呢？既然引力是普适的，那么，
地球和月亮之间也应当存在这类力，月亮之所以绕地球
运动，应当是地球施于月亮的吸引力，就象太阳有吸引
行星的力那样。
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2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
地球对月亮的吸引力应为：
m月
F地月  k地 2
r月
其中 r月 为月亮绕地球公转的半径，m月 为月球的质量，
k地 应取决于地球的性质。地球对月亮的吸引力提供了月
亮绕地球公转所需的向心力，即： 2
v月2 m月  2 r月2 


F地月  m月


r月 r月  T 
其中，v月 为月球的公转速度，T 为月亮绕地球的公转周
期（交点月）。而对于地面上的物体，所受到的引力应为：
m
F  k地 2  mg
R
其中，m 是物体的质量，R 是地球半径，于是得：
k地  gR2
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2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
m月
F地月  k地 2
r月
v
m月  2 r

F地月  m月

r月 r月  T
2
月
2
月




2
k地  gR2
于是得：
即：
m月  2 r月 
2 m月
gR 2 


r月
r月  T 
2
2
2
R
gT
r月3 
4 2
该式就是从引力普适性得出的预言。在这个关系式中，
所有量都是可测量的，因此，可以用实验加以检验。
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2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
2
2
R
gT
r月3 
4 2
其中有关量的数值为：R = 6400千米，g = 9.8米/秒2，T =
27天7小时43分或27.3215天， r月 = 384000 千米，这些测
量结果能很好地满足该式，这就验证了万有引力假设的正
确性。
早在1665年，牛顿就得到了该式，当时的测量数据
是：古希腊的天文学家伊巴谷（Hipparchus）通过观测月
全食持续的时间（即月球通过地球阴影的时间），相当
精确地估算出月亮与地球之间的距离是地球半径的60倍；
地球表面大圆弧上一度为60 mile（1mile = 1609.3米，这
是当时海员们通用的计算方法），得到地球半径为3500
mile，即5632公里；牛顿发现这些数据并不满足上式。
因而，牛顿并没有及时发表他的成果。
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2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
直到后来，天文学家重新测定了地球半径，发现以前
的观测值错了。牛顿用新的数据再进行计算，所得结果完
全符合(5.4.9)式。这可能是牛顿推迟于1685年发表他的万
有引力理论的一个原因。
牛顿的上述论证说明，地上物体的运动规律与月亮
运动的规律实质上是一样的。这个结果的意义很重大，
它打破了亚里士多德关于天上运动和地面运动是本质不
同的两类运动的基本观念。按照牛顿的理论，天体运动
与地面运动之间并无根本的差别，也没有不可渡过的界
限。
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2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
牛顿曾描述过在高山顶上用大炮发射炮弹的运动情
形，我们知道，炮弹作抛体运动。按牛顿理论，只要炮
弹的初速度足够大，炮弹就能绕地球运动，而不再落回
地面，成为地球的卫星。因此落体或抛体运动与地球卫
星的运动之间的差别，只不过是初速度不同。今天看来，
这些结果已没有什么希奇，因为已经成功地发射了很多
人造地球卫星。但在三百多年前，就认为原则上我们可
制造天体那样的运动，是一个非常大胆的想法。
上面的讨论我们只利用了开普勒的第二、第三定
律，还应当证明万有引力定律 (5.4-4) 式也符合开普勒
的轨道定律。牛顿在 1677 年完成了这个证明，使万有
引力理论形成了完整的体系。
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2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的
牛顿在他的小传中，总结过自己这一段的工作，他
说：“在1665年开始……我从开普勒关于行星的周期是
和行星到轨道中心的距离的3/2次方成比例的定律，推出
了使行星保持在它们的轨道上的力必定和它们与绕行中
心之间的距离平方成反比；尔后，把使月球保持在它轨
道上所需要的力和地球表面上的重力作了比较，并发现
它们近似相同。所有这些发现都是在1665和1666的鼠疫
年代里作出来的……最后在1676和1677年之间的冬季，
我发现了一个命题，那就是——一个行星必然要作一个
椭圆形的运动，力心在椭圆的一个焦点上，同时，它所
扫过的面积（从力心算起）的大小和所用的时间成正
比。”从这个总结中，我们可以看到，“从运动现象研
究力，再从力去说明其它现象”的完整过程。这种物理
的研究方法一直沿用到今天。
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3. 引力常数
利用万有引力的普适性，可以确定(5.4.5)式中的 k地
值。由(5.4.5)，地球对月亮的引力为：
m月
F地月  k地 2
r月
同理，由万有引力的普适性，月亮对地球的引力应为：
F月地
m地
 k月 2
r月
其中 m地 为地球的质量，k月 是和月亮有关的常数。根据
牛顿第三定律
F地月  F月地
由上两式得：
k地 k月

m地 m月
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3. 引力常数
k地 k月

m地 m月
上式左边只与地球有关，而右边只与月亮有关，且两边
相等，故其值是一个与地球和月亮都无关的普适常数，
设其为 G，有：
k地  Gm地
k月  Gm月
于是地月之间引力为：
杨
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m地 m月
F G
r2
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3. 引力常数
普适的万有引力定律：任何具有质量 m1 和 m2、相距
为 r 的两质点之间的引力，总是沿着两质点之间的连线方
向，其引力的大小为：
m1m2
F G 2
r
式中 G 是对所有质点都具有相同数值的常数，称为万有
引力常数。m1 和 m2 称为两质点的引力质量。为了和引
力质量相区别，我们以前定义的质量称为惯性质量。由
上式可知G的量纲为：
[ f ][r 2 ]
1 3 2
[G] 

M
LT
2
[m ]
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5.4.3 引力的线性叠加性
我们知道，牛顿的万有引力定律(5.4.15)式是对两个
质点而言的。而牛顿在发展引力理论的过程中，重要的
一步是把月亮运动和地球上的落体运动统一起来，其关
键的问题是牛顿认为地球表面落体运动的加速度可以写
成：
Gm地
g
R2
其中 R 是地球半径。这里有一个很大的疑问，为什么能
把地球看成质点？牛顿一开始就意识到这一点，后来，
他给出了严格的证明。下面我们来讨论多质点体系的引
力问题。
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5.4.3 引力的线性叠加性
如图5.6所示，在原点有一
质量为 m 的质点，空间分布着
质量分别为 m1， m2，……，mn
的 n 个质点组成的体系，它们
的位置矢径分别为r1， r2，……，
rn，则我们认为该体系对质点的
引力可以写成：
mm r
F  F1  F2    Fn   G 2 i i
ri ri
i
这在本质上是认为两质点之间的引力作用只与这两质点
有关，而与第三者、第四者等等是否存在毫无关系，可
以不加顾及。
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5.4.3 引力的线性叠加性
这个新的物理内容是引力的一个重要性质，我们称之
为引力的线性迭加性。于是我们引入的新假定为：
两质点间的引力大小与是否存在其它质点无关。（即只
有两体作用，没有多体作用）
并不是所有的力都有这种性质，譬如，强相互作用
就没有这种性质。
做了上述的推广，就可以来讨论牛顿所遇到的问题
杨
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了。
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5.4.3 引力的线性叠加性
考虑一密度
均匀的球壳，如
图5.7，它的厚
度 t 比它的半径
r 小得多。我们
要求出它对球壳
外一个质量为 m
的质点 P 的引力。
可以把球壳看成许多小块的集合，每个小块在点 P 上
都有作用力，这力的大小应当与该小块的质量成正比，而
与它和 P 点之间的距离的平方成反比，方向沿着它们之间
的连线。然后，我们再求球壳上所有部分对 P 点的合力。
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5.4.3 引力的线性叠加性
设在球壳 A 点处的一小块对 m 的引力为 F1，由球壳的对称性，
我们可以找到与 A 相对称的点 B，该处的一小块对的引力为 F2。
由于对称，故 F1 与 F2 这两个力的竖直分量彼此抵消，而水平分量
F1cosα与 F1cosα相等。通过把球壳分为这样一对一对的小块，我
们立刻可以看出，所有作用在 m 上的力的竖直分量都成对地相互
抵消了。
为了求出球壳
对 m 的合引力，我
们只需考虑水平分
量。
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5.4.3 引力的线性叠加性
 Gt m r  R 2  r 2


dF 
 1 dx
2
2
R
 x

这就是环带上的物质作用在质点 m 上的引力。而整个球
壳的作用为上式对所有环带求和，即对 x 从最小值到最
大值积分。
1. R > r，即 m 在球外，x 的变化范围是：R  r  x  R  r
2
2
由于：
Rr  R  r

R-r  x 2  1 dx  4 r
m
Mm
得：
F G
4 r 2t  G
R2
R2
该结果表明，一个密度均匀的球壳对球壳外一质点的
引力，等效于它的所有质量都集中于它的中心时的引
力。
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5.4.3 引力的线性叠加性
 Gt m r  R 2  r 2


dF 
 1 dx
2
2
R
 x

2. R < r，即 m 在球内，x 的变化范围是：r  R  x  R  r
由于：
得：

rR
r R
 R2  r 2


 1 dx  0
2
 x

F 0
该结果表明，一个密度均匀的球壳对球壳内任一质点
的引力为零！
为什么会有这样的结果？其原因恰恰是因为引力
与两质点之间距离的反平方关系。
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5.4.3 引力的线性叠加性
一个密度均匀的球壳对球壳内任一质点的引力为零！
这个结果有很大的意义。若假设星际间星球分布
均匀，各向同性。则考虑太阳系内情况时，来自太阳系
外的引力可以不予考虑。否则难以解释为什么可以忽略
无限多的星体在局部范围的引力效应。
现代天文观测的确已逐步证明，宇宙在大尺度的
物质分布是相当均匀的。
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讨论：
应当强调，之所以有上述这些结果，是我们用了引力的
迭加性和引力的距离平方反比律。因此上述结果对其他类型
的力就不一定成立。
一个实心球体可当作由大量同心球壳所构成。如果各层
球壳具有不同密度，但每一球壳都具有均匀密度，则同样的
论证也适用于这种实心球体。因此，对于象地球、月球或太
阳这类近似于球体的天体来说，在讨论它们的吸引力时，就
可以把它们当作质量集中在球心的质点来处理。其实，地球
并不是标准的球体，而是有点象梨的形状，“梨”的较小一
端在北半球。因此，(5.4-17)式是不严格的。若考虑地球的
真实形状，引力表达式将非常复杂。譬如，在地球附近运行
的人造地球卫星，明显地偏离了开普勒定律所描述的轨道。
实际上，现代的研究正是利用了这一点。我们是反过来，由
人造地球卫星实际轨道对开普勒定律的偏离，来研究地球的
形状和质量的分布。
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§5.5
关于万有引力的讨论
5.5.1
G的测定
5.5.2
引力的几何性
5.5.3
逃逸速度
5.5.4
引力是什么
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5.5.1 G的测定
1798年，即牛顿发表万有引力
定律之后111年，英国物理学家卡
文迪许（Henry Cavendish，
1731~1810）对做了第一次精确的
测量，他所用的是扭秤装置，如图
5.9所示，两个质量均为的直径5厘
米的小铅球被固定在轻杆的两端，
用一根系在杆的中点的极细石英丝
把杆沿水平方向悬挂起来，细丝上
固定着一面小镜子。
小铅球的附近对称地安放着两个质量为的直径30厘米
的大铅球，这两对大质量和小质量之间的引力使杆在水平
面上转动。当石英丝的扭转所产生的弹性恢复力矩恰好与
引力力矩平衡时，杆就停在一个平衡方向上，反射光把微
小的角偏转放大为光点相当大的位移。
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5.5.1 G的测定
根据石英丝扭转的角度可以测出力的强度，从而测
定了万有引力常数的数值为 G = 6.754×10-11米3
/千克·秒2。他的实验如此精巧，在八九十年间竟无人超
过他的测量精度。
万有引力常数是目前测得最不精确的一个基本物理常
量，因为引力太弱，又不能屏蔽它的干扰，实验很难做。
1969年Rose测得的结果为 G = 6.674×10-11米3/千克·秒2。
国际科学联盟理事会科技数据委员会1986年推荐的
数值为：
G  6.67259(85) 1011 米3 / 千克 秒2
其不确定度为128 ppm（百万分之128，即万分之1.28）。
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5.5.1 G的测定
卡文迪许把自己的实验说成“称地球的重量”，这是
不无道理的（用现代物理教学中严谨的字眼，应该说是
“测量地球的质量”），因为由(5.4.8)式和(5.4.13)式可得：
gR2
m地 
G
知道 G 的数值后，利用地球半径以及 g 的数值即可算出
地球的质量和地球的平均密度：
m地  5.971024 千克
  3m地 / 4R3  5.52克 / 厘米3
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5.5.1 G的测定
在地球上的实验室里测量几个铅球之间的相互作用
力，就可以称量地球，这不能不说是个奇迹。其中的思
想基础和牛顿的月地检验是一致的，即相信天上人间服
从共同的规律，引力常数的数值都是一样的。要知道，
在那个时代人们并不以为这一点很显然。
有了 G 的数值，我们可以用同样的道理去“称太
阳的重量”（即计算太阳的质量）。例如在(5.4.17)式
中，若 g 是地球公转的向心加速度，R 是太阳与地球
之间的距离，则所求得的就是太阳的质量。
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5.5.2 引力的几何性
若用 m引 和 m惯 分别表示一个质点的引力质量和惯性
质量，实验得出：
m引
 普适常数
m惯
1890年实验精度为 10-8，1971年实验精度为 10-11。
当然在 m引 和 m惯 取了合适的单位时，可以让该普适常数
为1。即当我们用(5.5.1)式定义 G 时，相当于认为
m引  m惯
该式具有深刻的物理意义，我们来作些探讨。由于该式
成立，下面我们不再区分引力质量和惯性质量，仅用 m
表示。
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5.5.2 引力的几何性
考虑质点 m 在 M 的引力
场中运动，如图5.10，设 M 位
于原点，m 的矢径为 r，由运
动定律和万有引力定律可得运
动方程为：
Mm r
G 2
 ma
r r
即：
G
M r
a
2
r r
式中不含有运动物体的质量！于是我们得到结论：在引
力场中质点的运动与其质量无关。
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5.5.2 引力的几何性
在引力场中的任何物体，
不管其质料和质量如何，均具
有相同的加速度，当初始位置
和初始速度相同的情况下，必
有相同的运动，包括空间轨道。
因此，在引力场中运动的
动力学问题，变成与动力学性
质（物性）无关，纯属时空中
的几何问题。
于是，零质量物体也会受到引力作用，因而光在引力
场中传播也会弯曲（广义相对论的结论）。
引力场的几何性是其它力场（如电场、磁场）没有的，
爱因斯坦把引力场的这一性质看成是纯粹的时空几何属性，
广义相对论就是引力场的几何理论。
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5.5.3 逃逸速度
在引力场中质量为 m 的质点的机械能为零时，该质
点可以运动到无穷远处。若质点位于质量为 M，半径为
R 的星体表面，则机械能为零时应有：
1 2
Mm
mv  G 2  0
2
R
此时质点 m 的速度称为逃逸速度，用 v逃 表示，由上式有：
2GM
v逃 
R
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5.5.3 逃逸速度
星球表面逃逸速度的不同，星球的性质会有很大的不同。
1. 行星表面的逃逸速度如果太小，则不可能有大气。
水星：M = 0.056 M地, R = 0.38 R地, v逃 = 4.3km/s, 无大气；
金星：M = 0.82 M地, R = 0.95 R地, v逃 = 10.4km/s, 90大气压；
地球：M = M地, R = R地, v逃 = 11.2km/s, 1大气压；
火星：M = 0.108 M地, R = 0.53 R地, v逃 = 5.06km/s, 0.008大气压；
月球：M = 0.012 M地, R = 0.27 R地, v逃 = 2.4km/s, 无大气；
2. 星球表面的逃逸速度如果太大，以致于达到光速，则
称为黑洞。
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5.5.3 逃逸速度
大约200年前，法国数学家、天文学家拉普拉斯于
1796年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳250倍的
发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它。
由于这个原因，宇宙中最大的发光物体也不会被我们发
现。”拉普拉斯的思想可以理解为在这个天体上， v逃 =
c（光速）。将此式代入(5.5.7)式可得天体的半径为：
2GM
RS  2
c
RS 叫做天体的引力半径或史瓦西(Schwarzchild)半径。
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5.5.3 逃逸速度
拉普拉斯的预言并未受到人们的重视，渐渐也就
被淡忘了。现在我们知道，按照狭义相对论，一切物
体的速度都不能超过光速 c，当 v逃 = c 时，任何物体
都逃脱不掉。由广义相对论知，光子也要受到引力的
作用，在这样的天体上就连光也传播不出来。这种奇
怪的天体就是广义相对论所预言的“黑洞”。
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5.5.4 引力是什么
牛顿万有引力定律的伟大意义不仅在于定律本身
在以后年代里所起的作用，而且给人类对其它自然现
象的理解指出了希望。然而，万有引力的物理机制是
什么？牛顿没有给出任何说明，从那以后也没有人提
出过正确的机制，尽管有人试图这样做，最终均以失
败告终，事实上，物理定律的抽象性质是其固有的特
征，能量守恒是这样，力学中的其它重要定律也是这
样，它们仅仅是一些数学定律，无法给出起作用的机
制。不过由这些定律出发我们能够发现更多的东西。
中
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1. 引力和惯性具有相同的起因
在牛顿的经典物理学中，引力质量和惯性质量相等，
都是时空的性质，因而可以认为：引力和惯性具有相同
的起因。爱因斯坦正是利用这一点提出了他的广义相对
论。
引力和惯性力都是万有的，引力只与引力质量有关，
惯性力只与惯性质量有关。它们与物质的其它特性（如
电荷、磁荷）均无关。引力质量与惯性质量的严格相等
暗示我们，这两种质量是同一个东西。马赫原理与等效
原理又告诉我们，引力与惯性力本质上相同。等效原理
还进一步告诉我们，当只有引力场与惯性场存在时，任
何质点，不论质量大小，在时空中都会描出同样的曲线。
这就是说，质点在纯引力和惯性力作用下的运动，
与它的质量无关。
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1. 引力和惯性具有相同的起因
于是，爱因斯坦推测，引力效应可能是一种几何效应。
万有引力不是一般的力，而是时空弯曲的表现。由于引力
和惯性起源于质量，爱因斯坦认为时空弯曲起源于物质的
存在和运动。
这里所说的弯曲空间是与我们所熟知的平直空间相
对应的。平直时空是用欧几里得几何描述的，直线在其
中占有重要地位。它是两点间的最短线。我们知道，物
理上若要给出“直线”的定义，必须同时给出测量方法。
按照牛顿定律，我们不妨认为，自由质点沿“直线”作
惯性匀速运动。或者更一般地，光线沿“直线”以光速
运动。由上述引力的几何性可知，光线在引力场中会弯
曲，这实际上是时空的弯曲。弯曲时空中一般不存在直
线，但是，两点间会有最短线或最长线，统称短程线或
测地线。
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1. 引力和惯性具有相同的起因
伽利略认为惯性运动是一种自由运动。静止和匀速
直线运动均属于惯性运动。这一观点毫无疑问是正确的。
但伽利略又认为匀速圆周运动也属于惯性运动。行星之
所以能围绕太阳不停地转动，就是因为行星的运动是匀
速圆周运动，因而也就是不需要外力的惯性运动。长期
以来，人们一直认为这是伽利略的一个失误。然而从广
义相对论的角度看，伽利略把行星绕日运动看作惯性运
动的观点其实是正确的。
爱因斯坦的广义相对论认为，万有引力不是真正的
力，而是时空弯曲的表现。
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1. 引力和惯性具有相同的起因
行星绕日运动，就是弯曲时空中的自由运动（即惯
性运动）。它们在四维时空中描出的轨道是测地线（即
短程线）。测地线就是直线在弯曲时空中的推广，或者
说测地线就是广义的“直线”。这种弯曲由物质的存在
和运动造成。质点在万有引力场中的运动实质上是一种
没有受到力的惯性运动。
在平直时空中，惯性运动是直线运动。弯曲时空中
没有直线，但有短程线。爱因斯坦认为，质点在万有引
力场中的运动，既然是弯曲时空中的惯性运动，就应沿
弯曲时空中的“直线”（短程线）进行。广义相对论的
基本方程有两个，一个是描述物质如何造成时空弯曲的，
称为场方程；另一个是描述质点如何在弯曲时空中运动
的，称为运动方程。
中
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1. 引力和惯性具有相同的起因
物质告诉时空：如何弯曲
时空告诉物质：如何运动
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2. 引力在天体领域中的主导作用
引力如此之弱，是四种基本相互作用中最弱者，但
是在天文学和天体物理领域里引力作用起着主导作用。
万有引力和电磁力均属长程作用，但由于致密混和物中
存在的电磁相互作用是那样完善地被抵消，总是试图保
持正与负的电荷最细致的平衡。这个事实一方面使物质
拥有很大的强度和硬度，另一方面作为物质的星体之间
的电磁作用力已被降至极其微弱的程度，万有引力变成
主宰天体运动的决定性因素。
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2. 引力在天体领域中的主导作用
一个星体（例如恒星），由于自身引力作用，将收缩
呈球状，同时引力势能将转变成热能使其温度升高。温度
升高最终导致恒星核心区域的热核聚变，当物质粒子热运
动的压力抗衡引力达平衡时收缩停止，粒子热运动的能量
来自恒星的热核聚变。
当恒星中心部分的氢全部燃烧掉之后，恒星中部的
热核反应就停止了，这时万有引力战胜了热排斥，星体
开始收缩。由于恒星表面的温度远低于中心部分（例如
太阳中心部分温度为1500万度，而表面温度只有6000
度），那里还不曾发生过氢合成氦的热核反应。这时，
随着星体的塌缩，恒星外层的温度开始升高，那里的氢
开始燃烧，这就导致恒星外壳的膨胀。
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2. 引力在天体领域中的主导作用
外壳的膨胀和中心部分的收缩同时进行，中心部分
在收缩中温度升高到1亿度，开始点燃那里的氦，使之合
成碳，再合成氧，这些热核反应短暂而猛烈，像爆炸一
样，称为“氦闪”。这种过程大约经历100万年，在整个
天体演化中，这是一个很短的“瞬间”。
此后几亿年中，恒星进入一个短暂的平稳期。当中
心部分的氦逐渐燃烧完之后，外层氢的燃烧不断向更外部
扩展，星体膨胀得越来越大，膨胀到原来的10亿倍。由于
外壳离高温的中心越来越远，恒星表面的温度逐渐降低，
从黄色变成红色。由于体积巨大，这种红色巨星看来很明
亮，称为红巨星。
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2. 引力在天体领域中的主导作用
50亿年后，我们的太阳也将演化成这样
的红巨星，膨胀的太阳将逐步燃烧吞食掉水
星、金星和地球。地球的轨道将被包在红巨
星之内，海洋将全部沸腾蒸干，地球的残骸
将继续在红巨星内部公转，红巨星外层气体
灼热而稀薄，比我们实验室中所能得到的最
好的真空还要空，所以地球仍能存在，并继
续转动。当然，生命已不可能在地球上生存。
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2. 引力在天体领域中的主导作用
核能源进一步枯竭之后，红巨星将抛出一些气体，
形成“行星状星云”。一般来说，恒星在望远镜中看
是一个点，而行星离地球近，在望远镜中呈现为一个
圆面。所谓“行星状星云”，实际上是恒星周围的云
状物质，在地球上用望远镜看，像行星一样是一个小
圆面，其实与行星毫无关系。这个阶段，红巨星的中
心部分将塌缩，形成小而高密、高温的白矮星。白矮
星温度高，呈白色，体积小，因而亮度小。随着热核
反应的逐渐停止，白矮星将逐渐冷却成为黑矮星，黑
矮星是一颗比钻石还要硬的巨大星体。白矮星冷却成
黑矮星的过程十分缓慢，可能需要100亿年左右。可以
说，在宇宙间，至今还没有生成一颗黑矮星。
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2. 引力在天体领域中的主导作用
白矮星的质量有一个上限，称为钱德拉塞卡极限，
它等于1.4倍的太阳质量。不存在大于该极限的白矮星。
这是因为质量超过钱德拉塞卡极限的星体在塌缩成白
矮星时，内部电子的运动速度会接近光速，成为相对
论电子气。这时电子气的简并压强（即泡利不相容原
理产生的排斥力）会减小，以至于抵抗不住星体自身
的万有引力，星体将进一步塌缩，电子将被压人原子
核中，与其中的质子中和生成中子，成为中子星。中
子星与白矮星有些类似，它不是靠热排斥或电磁作用
来抗衡引力，而是靠中子间的简并压强（泡利斥力）
来抗衡引力。
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2. 引力在天体领域中的主导作用
中子星也有一个质量上限，称为奥本海
默极限，大约为3～4倍的太阳质量。超过这
一极限的中子星不稳定，会进一步塌缩形成
黑洞。这颗星从此消失，没有任何信息可以
从它的内部传到外部世界。
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3. 热与引力
热和引力是任何物质都有的两种最普遍的属性。而且，只有这
两种属性是任何物质都有的，找不出第三种。电磁相互作用只出现
在带有电荷、磁荷的物体之间，强作用只出现在强子之间，弱作用
也不是任何微观粒子之间都存在。但是，万有引力是万有的，任何
物质都有。热运动也是万有的，任何物质都有。
万有引力不可屏蔽，热运动也不可屏蔽，所谓的绝热壁只不过
是一种想象的东西。
恒星和星系之所以能够存在，是靠着万有引力把物质凝聚在一
起，又靠着热运动的排斥作用，而使物质不至于在引力下无限制地
塌缩。热与引力，是维持恒星和星系生存的一对矛盾，一个起排斥
作用，另一个起吸引作用，最后达到一定的平衡。
特别值得注意的是，当通常的热运动停止下来，星体只剩下万
有引力的吸引作用而彻底塌缩时，形成的黑洞居然会有温度出现，
居然会有辐射产生。
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3. 热与引力
可见，热与引力具有深刻的本质联系。不
能把引力与电磁力、强力、弱力等同看待，引
力不是真正的力，它不仅是时空的弯曲，而且
与热不可分割。
物理学中有两个特别值得注意的领域：
一个是广义相对论，一个是热力学。
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3. 热与引力
除去广义相对论之外的所有物理领域（包
括热力学），都把时空看作不依赖于物质及其
运动的背景和舞台。时空永远是平直的，像个
空架子，不受物质和运动的影响。所有物质都
在平直不变的时空背景下运动，展现自己的规
律。只有广义相对论，认为时空背景不能脱离
物质和运动。它们之间相互影响，物质和运动
会使时空弯曲。换句话说，只有广义相对论中
的时空是弯曲的，其它所有物理领域中的时空
都是平直的。
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3. 热与引力
另一方面，除去热力学之外的所有物理领
域（包括广义相对论），都不认为时间有方向，
都是可逆的。时间反演成立的理论，都是绝对
零度的理论。只有热力学，它的第二定律显示
出时间箭头，认为时间有方向，认为真实的物
理过程应该是不可逆的。它的第三定律告诉我
们，真实的物理过程不应该处在绝对零度。
这两个具有鲜明特色的理论，其实存在着
本质的联系。
中
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3. 热与引力
任何不考虑“热”的引力研究都会碰到不
可逾越的困难。广义相对论中的奇点困难就是
其中之一。广义相对论的场方程本质上是绝对
零度的方程。在不考虑热效应的情况下，得出
了奇点定理，导致了严重的奇点困难。广义相
对论中的另一个基本困难，引力场量子化的困
难，也可能与不考虑“热”有关。如果讨论有
限温度下的引力理论，也许能同时克服奇点困
难和引力场量子化中碰到的困难。
中
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3. 热与引力
另一方面，狭义相对论的热力学理论至今
存在问题，更不用说广义相对论的热力学了。
一个匀速运动的物体，与静止的同种物体相比，
其温度升高。降低还是不变？现在居然有三种
答案，而且谁也说服不了谁。实际上，热学理
论至今未能纳入相对论的框架。爱因斯坦在
1905年之后，碰到了万有引力定律纳不进相对
论框架的困难。今天我们碰到了类似的困难，
并且也许是更大的困难。
中
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3. 热与引力
在热学中，把温度每升高一度所需的热量叫做物体
的热容量。研究结果表明，对于引力系统，需要减少能
量来提高它的温度，这就是说，它的“热容量”是负的。
负热容的系统是不稳定的，它没有平衡态。
一个通常的热力学系统处在一种较冷的介质中时会
损失能量。它的温度降低而介质的温度升高，直到实现
平衡为止，我们说这个系统有正热容。量子黑洞的行为
则正相反，它失去能量时温度升高，反之亦然。如果周
围介质的温度较高，黑洞就总是倾向于吸收能量，增大
尺度，因而冷却，直至所有可得到的能量都已被吸收为
止。反过来，如果介质温度较低，它就辐射，减小尺度，
直至蒸发和消散掉自己所有的能量为止。这就是说，黑
洞有着负热容，因而它根本上是不稳定的。
中
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3. 热与引力
所有平衡只依赖于引力的系统，不论是量子系统与
否，都是不稳定的。例如，在围绕地球轨道上的人造卫
星会由于大气摩擦而损失引力能，因而沿螺旋线缓慢地
朝地球下落。在这个过程中其速度和动能是增大的，所
以它不能获得一个稳定轨道，最后只能坠落到地球上。
大家在后续的热力学课程中会学到热力学的第二定
律，它的一个推论是“热寂说”，这是一个无论从理智
上和感情上都令人难以接受的结论。在100多年里虽遭到
许多物理上和哲学上的批判，但大多没有击中要害。现
在我们清楚了，“热寂说”的要害是没有充分考虑引力
的作用，宇宙是个引力系统，根本没有平衡态，从而热
力学的前提对宇宙从头起就不适用。不过，对该问题的
深入探讨已远远超出了本课程的范围。
中
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§5.6
质点在有心力场中的运动
质点在有心力场中的运动问题是常见的，如小物体
在大物体的万有引力、库仑力或分子力等作用下的运动问
题都是质点在有心力场中的运动问题，因为此时力的中心
（大物体）可近似视为固定。即使是一般的两个物体的运
动，只要它们远离其他物体，它们之间的作用力又沿着它
们的连线，且仅与两者间距离有关，它们的运动也可以利
用约化质量（参见第四章4.4.3节）化为单个物体在固定力
心的有心力场中的运动问题。
F  f (r )rˆ
这样的有心力称为中心对称有心力。当 f ( r ) > 0 时，F
为斥力； f ( r ) < 0时，F 为引力，我们主要讨论质点在
这种中心对称有心力作用下的运动。为叙述简单起见，
以后我们讲有心力，就是指中心对称有心力。
中
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§5.6
杨
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5.6.3
质点在有心力场中的运动
5.6.1
研究有心力问题的基本方程
5.6.2
有心力问题的定性处理，有效
势能与轨道特征
有心力问题的定量处理及轨道
问题
中
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程
设物体（视为质点）的质量为 m，在有心力 F 作用
下，其运动方程为：
mr  f (r )rˆ
由于有心力是保守力（参见第四章4.3节），故在有
心力场中质点运动的一般特征为：
1. 运动必定在一个平面上。（因为角动量守恒或掠面速
度守恒）
2. 质点的机械能守恒。（因为保守力场可以定义势能）
中
国
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程
显然，讨论质点在有心力场中的运动，选平面极坐
标系比较方便。方程(5.6.3)沿径向和横向的分量式为：
m(r  r 2 )  f (r )
m(2r  r)  0
考虑其第二式，容易验证，它可以改写成：
1 d
( mr 2)  0
r dt
m r2  l
上式实际上是角动量守恒。这是因为：
杨
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纮
l  r  mv  rrˆ  m(rrˆ  rˆ)  mr2(rˆ ˆ)
令：
l  mh
其中 h 是有物理意义的，它为质点掠面速度的两倍，当
然应为常量
中
国
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程
r 2  h
角动量守恒 ：
将(5.6.10)式代入方程(5.6.4)，得：
h2
m(rdr  3 dr)  f (r )dr
r
积分，得：
1 2 mh2
1
mh2
2
mr  2  U (r )  mr0  2  U (r0 )  E
2
2r
2
2 r0
其中 U( r)为质点在保守力场中的势能，即：

r
r0
f (r )dr  [U (r )  U (r0 )]
中
国
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5.6.1 研究有心力问题的基本方程
将(5.6.10)代入(5.6.12)消去 h，得：
1 2 1 2 2
mr  mr   U (r )  E
2
2
机械能守恒
角动量守恒 ： r 2  h
质点在有心力场中运动的牛顿方程(5.6.4)、(5.6.5)，
含有二阶微商，而上述方程只含有一阶微商，用它们取
代方程(5.6.4)、(5.6.5)，比较容易研究，且物理意义也十
分清楚。下面我们就用这两个方程作为我们研究有心力
问题的基本方程。
中
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
令：
1 2 mh2
mr  2  U (r )  E
2
2r
m h2
U eff (r )  U (r )  2
2r
表示这等效的一维运动质点的势能，称为有效势能。
有效势能由两部分组成，mh2/2r2 是一等效的斥力势
能，它对应一斥力 mh2/r3 作用在质点上； U( r) 则视有心
力的具体形式决定。利用方程(5.6.15)可以进行一维定性
分析，通过对有效势能的分析可以给出各种复杂有心力
情况下的轨道在空间中的分布。
下面仅就引力场情况对轨道特征作些定性讨论。
中
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
对于在力源 M 的万有引力作
用下的质点，其势能为
U ( r )  G
Mm
r
于是有效势能为：
m h2
Mm
U eff (r )  2  G
2r
r
机械能守恒：
杨
维
纮
1 2 mh2
mr  2  U (r )  E
2
2r
图5.11画出了对应的势能曲线，其中虚线分别为等效的
斥力势能曲线和引力势能曲线，实线为有效势能曲线，
它由斥力势能和引力势能两曲线叠加而成。
中
国
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
利用有效势能曲线可以讨
论质点运动矢径大小的变化范围，
此范围取决于质点的总能量 E。
代表总能量为 E 的水平线与有
效势能曲线相交的点叫做拱点。
在拱点处 r 取极值，那里径向速
度 vr = 0，只有角向速度，将
r  0
代入(5.6.18)得：
2
Mm
m
h
r2  G
r
0
E
2E
由该式可求得拱点处的 r 值。
中
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维
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
由于 r→∞ 时等效斥力势能
趋于0的速度比 U( r) 的绝对值
快，故有效势能曲线当 r→∞ 时
是从负的一侧趋于0的。所以 E
> 0 和 E = 0 时水平线与有效势
能曲线只有一个交点，在这里 r
取极小值；另一头轨道是开放
的，r 延伸到无穷远。
中
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大
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杨
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
2
Mm
m
h
r2  G
r
0
E
2E
若 E = E1 > 0，由有效势能曲线
图可知 r 有最小值 r1，但最大值
无限制，即 r1≤ r <∞。由方程
(5.6.18)可求得 r 只有一个正根，
为：
2
2
Mm
Mm
m
h


r1  G
 G
 
2E
2E
 2E 
可以证明，此轨道为一双曲线。
中
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大
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杨
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纮
5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
2
Mm
m
h
r2  G
r
0
E
2E
若 E = E2 = 0，由有效势能曲线
图可知 r 有最小值 r2，但最大值
无限制，即 r2≤ r < ∞。 r2 比 r1
略大，由方程(5.6.18)可求得 r
只有一个正根，为：
h2
r2 
2 GM
可以证明，此轨道为一抛物线 。
中
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大
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杨
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5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
2
Mm
m
h
r2  G
r
0
E
2E
若E = E3 < 0 ，由有效势能曲线
图可知 r 是有界的，即 r3min≤ r ≤
r3max，由方程(5.6.19)可求得：
2
r3 max
2
Mm
 Mm  m h
 G
 G
 
2E
2E
 2E 
2
2
Mm
 Mm  m h
r3 min  G
 G
 
2E
2E
 2E 
可以证明，对应的轨道为一椭圆，力心为椭圆的一个焦
点。
中
国
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杨
维
纮
5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
2
Mm
m
h
r2  G
r
0
E
2E
若 E = E4 为有效势能曲线的最
小值点，则 r = r4，该值为方程
(5.6.19)的重根，利用条件
2
即：
2
 Mm  mh
0
G
 
2E
 2E 
E  G 2 M 2 m / 2h 2
于是可求得方程(5.6.19)的重根为：
h2
r4 
GM
即质点 m 到力心 M 的距离恒定不变，对
应的轨道为圆。
中
国
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技
术
大
学
杨
维
纮
5.6.2 有心力问题的定性处理，
有效势能与轨道特征
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
1. 运动的详尽情况
1 2 mh2
mr  2  U (r )  E
2
2r
dr
2 E 2U (r ) h 2


 2
dt
m
m
r
r  r (t )
   (t )
 
h
r2
dr
2
  dt
2 E 2U (r ) h

 2
m
m
r
应当指出，有时并不能得到显函数形式的(5.6.30)、
(5.6.31)，这是因为方程(5.6.29)的积分可能不能写成有限
形式。其解决的途经有二：
1. 求出 r，θ关于 t 的隐函数表达式；
2. 数值求解方程(5.6.29)、(5.6.27)
中
国
科
学
技
术
大
学
5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2. 轨道问题
如果要求比较低，并不要求掌握质点运动的详尽情
况，而仅仅要求轨道。则计算工作量自然要减轻不少。
d d d
h d

 2
dt dt d r d
2
mh 2  dr  mh 2
  2  U (r )  E
4 
2 r  d 
2r
hdr
2[ E  U (r )] l
 2
m
r
2
杨
维
纮
r
2
 d
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2. 轨道问题
如果不想通过 U( r) 绕弯子，则应将方程(5.6.4)、
(5.6.5)作为基本方程组，从中消去 t 来求解。
m(r  r 2 )  f (r )
通常作变换：
u  1/ r
r 2  h
利用(5.6.32)、(5.6.35)可得：
 dr h dr
du
2 d 1


hu


h
 
 dt r 2 d
d  u 
d

 2
2
 d r  d   h du   hu2 d   l du   h 2u 2 d u
 dt 2 dt 
d 
d  m d 
d 2
 d 2u

f
h u  2  u   
m
 d

此即轨道的微分方程，称为比内公式。
消去 t，得：
2
2
中
国
科
学
技
术
大
学
杨
维
纮
5.6.3 有心力问题的定量处理及轨道问题
2


d
u
f
2 2
h u  2  u   
m
 d

只要知道 f( r)的表达式，即可求得轨道方程式；反
之，若已知轨道方程，则可以求得 f( r)的表达式。
例如，对于万有引力
Mm
2
2. 轨道问题
f G
d 2u
GM 1
u  2 
2
d
h
r0
解为：
u
1 
 cos(   0 )
r0 r0
r0
r
1   cos 
r
2
  GMmu