Transcript Jeomet-6

METEOROLOJİ MÜHENDİSLERİ İÇİN
JEODEZİ
Doç.Dr. Ersoy ARSLAN
BÖLÜM 6
ÖLÇME BİLGİSİ
6.1 - GİRİŞ
 Yeryüzünde bulunan veya yeryüzüne yakın doğal ve
yapay noktalar ile bunların oluşturduğu cisimlerin belirli
bir karşılaştırma (kıyas, referans) düzlem veya yüzeyine
göre konumlarının saptanması ve belirli bir oran (ölçek)
ile küçültülerek kağıt üzerine geçirilmesi için gerekli
arazi ölçmeleri, hesap ve çizim yöntemleri ölçme
bilgisinin konusunu oluşturur. Aynı zamanda kağıt
üzerindeki ölçülerin araziye uygulanması ve çeşitli
mühendislik işleri için gerekli arazi işleri de gene ölçme
bilgisinin konusu içindedir.



Ölçülen büyüklüklerin birbirlerine göre konumlarını
belirtebilmek için bunların bir karşılaştırma yüzeyi veya
düzlemi üzerinde gösterilmeleri gerekmektedir. Yeryüzü,
önceki bölümlerde de açıklandığı gibi, jeoid adı verilen
bir yüzeydir.
Jeoid, karaların altında da devam ettiği varsayılan, durgun
durumdaki denizlerin ortalama seviyesinin oluşturduğu
yüzeydir. Jeoid, yeryuvarını oluşturan kitlelerinin düzensiz
dağılımı nedeniyle düzgün bir yüzey değildir ve bir
matematik modelle gösterilemez.
Bu nedenle hesaplamalar için yeryuvarı, ekseni etrafındaki
dönme hareketi nedeniyle ve başka etkilerle kutuplarında
basıklığı olan bir dönel elipsoid olarak kabul
edilmektedir. Elipsoid matematik bir model olup düzgün
bir geometrik şekildir.


Küre ile bu yüzey karşılaştırıldığında kutuplarda yaklaşık
olarak basıklık 1/300 değerinde hesaplanmaktadır. Yani
hesaplamalar için yeryüzünün küre olarak alınmasında
yapılacak hata çok ufak olacaktır. Bu bakımdan ölçme
değerlerini küre üzerinde yapılmış olarak kabul etmek çok
hatalı sonuçlara götürmez.
Hatta yeryüzünün eğriliği yaklaşık olarak 1 kilometrede 8
cm kadar olduğundan ve Sivil Mühendislik ölçmelerinde söz
konusu olacak alanlar da, çok kere 10 x 10 = l00 km2 veya
10 km çapında bir daire içinde kaldığından yeryüzü bir
düzlem olarak kabul edilerek ölçmeler ve hesaplar yapılır.
Bu alan içinde yeryüzündeki her nokta bu yatay
karşılaştırma düzlemine izdüşürülerek tanımlanır (Şekil 6.1).

1, 2 noktaları
arasındaki uzaklık
olarak daima yatay
karşılaştırma
düzlemi üzerindeki
1', 2' noktaları
arasındaki yatay
uzaklık
anlaşılmalıdır.
Şekil : 6.1 - Yatay düzleme arazinin izdüşürülmesi
A, B noktaları arası AB eğik, AB' ise yatay uzaklıktır.

Düzlem ile küredeki
uzunlukların farkı D-d0
D  d0 
d0 d0 2
( )
3 R
Eşitliği ile hesaplanabilir.
(Şekil 6.2).
Sayısal irdeleme yapılırsa :
R=6378.8 km için
d0 veya D
1 km
2 km
5 km
10 km
D - d0 (mm)
0.008
0.07
1
8.2
Şekil : 6.2 - Düzlemde ve
kürede uzunlukların farkı




Düzlem ile küredeki Gerçekten, konum hesapları için,
ölçmelerin orta noktasından (orta nokta teğet düzlemin küre
ile temas noktasıdır) olan uzaklıklar 5 km. den ufak olduğu
takdirde düzlem, kıyas düzlemi olarak alınabilir.
Etki 10 km den sonra büyümektedir.
Gene Şekil 6.2 den E ile gösterilen yeryüzünün eğriliği de
hesaplanabilir.
2
d
Yaklaşık olarak E  0
olur.
2R

Sayısal irdeleme yapılırsa :
d0
E (cm)
1 Km
7.8 cm
10 Km
784 cm = 7.84 m
100 Km 784 m

Buradan şu sonuç çıkmaktadır: Yeryüzü eğriliğinin ufak
bölgelerde de yükseklik ölçmelerine etkisi dikkate
alınması gerekecek kadar büyük olmaktadır. Bu nedenle
yükseklik ölçmeleri daima sükûnet halindeki denizlerin
ortalama seviyesine (jeoide) indirgenir. Yani yükseklik
ölçmelerinde bu seviye, kıyas düzlemi olarak alınır.
6.2 - ÖLÇÜ BİRİMLERİ
6.2.1 - Uzunluk Birimleri

Tarihde uzunluklar daima insan vücudunun uzuvları
cinsinden ölçülmüştür. Parmak, el, karış vb. gibi.
1790 yılında, Fransa'nın dünya politikasındaki büyük
etkisi nedeniyle, Fransız parlamentosunun özel bir
komisyonu Metre (Fransızca ölçü demektir) olarak
isimlendirilen uzunluk biriminin kullanılmasını teklif
etmiştir.

1 metre, iyi bir yaklaşıklıkla, yeryüzünün Kuzey - Güney
kutuplarından geçen meridyen çevresinin 40 milyonda
biri olarak verilmiştir.

Bu prototip metre, Paris'de % 90 platin ve % 10
iridyum karışımından imâl edilmiş olarak muhafaza
edilmektedir.


1960 senesinde metrenin yeni bir tanımı yapılmıştır.
Buna göre metre Kripton 86 gazı atomunun yaydığı
ışının ( = 6056*10-10 m) dalga uzunluğunun 1650763.73
katı olarak verilmiştir.
Yani 1 m = 1 650 763.73 Kr 86 dır.

Daha sonra da metrenin daha doğru ve güvenilir olarak
tanımlanabilmesi çalışmaları devam etmiştir. Son olarak,
1983 yılında Paris’te toplanan Ölçüler ve Ağırlıklar Genel
Konferansı’nda metre zaman standardına göre yeniden
tanımlandı. Buna göre, metre, ışık ışınının vakum
ortamında 1/299 792 458 saniyede aldığı yolun
uzunluğudur.

Uzunluklar ve yükseklik farkları metre cinsinden ölçülür
ve ifade edilir.

1° - Metrenin Ufak Bölümleri
0.1
m = 1 dm (desimetre)
0.01 m = 1 cm (santimetre)
0.001 m = 1 mm (milimetre)
0.1
mm = 1 dmm (desimilimetre)
0 0l mm = 1 cmm (santimilimetre)
0.001 mm = 1  (mikron yahut mikrometre)
0.001  = 1 m (milimikron)
0.0001 m = 1 A° (Angström)

2° - Metrenin Katları
10
m = 1 dkm (dekametre)
100
m = 1 hm (hektometre)
1000
m = 1 km (kilometre)
10000 m = 1 Mm (miryametre)
100000 m = 1 Mgm (megametre)



Bazı memleketler uzunluk birimi olarak mil kullanmaktadır.
Mil değişik memleketlerde değişik değerdedir.
Yalnız bugün ortak kullanılan Coğrafi Mil 7420.44 metre,
deniz mili 1852.00 metredir. Bu iki mil uluslararası
özelliktedir.
Ayrıca Anglo - Sakson ülkelerinde kullanılan ve bunlardan
İngiltere'de, metre sistemine geçiş nedeniyle terk edilen bazı
uzunluk birimleri de vardır. Bunlar :
1 inch = inç = 0.0254 m
1 foot = ayak = 12 inç = 0.3048 m
1 yard = yarda = 3 ayak = 0.9144 m
1 kara mili = 1609.34 m
1 deniz mili = 1852
6.2.2 - Alan Birimleri
Alan birimi olarak m2 kullanılır.

1° - Metre Karenin Ufak Bölümleri
0.01
m2 = 1 dm2 = 1 desimetrekare
0.0001
m2 = 1 cm2 = 1 santimetrekare
0.000001 m2 = 1 mm2 = 1 milimetrekare

2° - Metre Karenin Katları
100
m2 = 1 a
= 1 ar
1000
m2 = 1 dekar= 1 yeni dönüm
10000
m2 = 1 ha = 1 hektar
= 10 ar
1000000 m2 = 1 km2 = 1 kilometrekare = 100 ha
6.2.3 - Eski Türk Ölçü Birimleri



Zaman zaman eski ölçü birimleriyle ölçülmüş büyüklüklerle
karşılaşılmaktadır.
Bu birimler şöyledir :
1°- Eski Uzunluk Ölçü Birimleri
Merhale
= 45480 m
= 2 Berid
Berid
= 22740 m
= 4 Fersah
Fersah
= 5685 m
= 7500 Arşın
Kulaç
= 1.895 m
= 2.5 Mimar Arşını
Mimar Arşını
= 0.75774 m
Arşın
= 0.68 m
Endaze
= 0:65 m
Ayrıca,
l Arşın
= 24 Parmak
1 Parmak
= 0.03157 m = 12 Hat
1 Hat
= 0.00263 m = 12 Nokta
1 Nokta
= 0.00022 m
Mimari arşına zira adı da verilmektedir.

2° - Eski Yüz Ölçümü Birimleri
Cerit (hektar)
= 10000 m2
Büyük dönüm
= 2720 m2
Eski (atik) dönüm= 918.672 m2 = 1600 Arşın kare = 4 Evlek
Evlek
= 229.668 m2 = 400 Arşın kare
Yeni (cedit) dönüm
= 2500 m2
= 25 Evlek (yeni)
Yeni (cedit) evlek
= 100 m2
Irak feddanı
= 183000 m2
Cerip
= 3600 Arşın kare (mimari)
Mimar arşını kare
= 0.57417 m2
Arşın kare (murabbaı) = 0.462 m2
Endaze kare (murabbaı)= 0:422 m2

6.2.4- Açı Birimleri
Açılar için eski (60 lık) ve yeni (100 lük) sistem olmak üzere
değişik iki sistem söz konusudur.

1°- Eski Sistem : Altmışlık Sistem
Bir daire çevresinin 360 da birini gören merkez açıya 1 derece
denir. Derecenin sembolik gösterimi küçük bir yuvarlak () dır.
Sayı veya harfin sağ üst köşesine yazılır.
1
1 Derece  1  360
Dairenin tam çevresi

Derecenin ufak birimleri ise;
1 Dakika  1  1 Derece
60

1  60  3600
0
1
1
Derece 
1 Saniye  1  3600
Dakika
60
dır.
Saniyenin kesirleri ondalık sistem ile gösterilir. Yazılış şekli
şöyledir: 351745.4

2°- Yeni Sistem : Yüzlük Sistem
Bir daire çevresinin 400 de birini gören merkez açıya 1 grad
denir. Gradın sembolü genellikle sayının veya harfin sağ üst
köşesine yazılan küçük bir “g” harfidir.
1
1 Grad  1  1  400
Dairenin tam çevresi
g
1 Santigrad
gon
 1c 
1
100
Grad = (santigon)
1
1000
1 Miligrad
Grad = (miligon)
1 Desimiligrad (sansantigrad)  1cc  1 Grad  1 Santigrad
10000
100
dır.
Yazılış şekli : 127.1482g veya 127g14c82cc

1g  100c  10000cc

Altmışlık ve yüzlük sistemler arasında aşağıdaki bağıntılar,
90 = 100 g
5400 = 10000c
324000 = 1000000cc
1  1.111111 g
1g = 0.9
1  1.851852c
1c = 0.54
1  3.086419cc
1cc = 0.324
olup derece ile grad arasında da aşağıdaki genel bağıntılar
9
1g   
 10 
vardır.

 10 
1   
9
g

6.2.5 – Yay Birimi
Bir çemberde yay birimi radyandır. Bir dairede, yarıçap
uzunluğundaki yayı gören merkez açısına bir radyan veya bir
radyanlık açı denir. Diğer bir deyişle 1 radyan, daire yayının
daire yarıçapına oranı 1 olan düzlem açıdır (Şekil 6.3).
360 180
1 radyan 

 
2

400g 200g
1 radyan 

 g
2

( Şekil : 6.3 )
Açı birimleri için önemli bir
bağıntı Şekil 6.4 den şu
biçimde yazılabilir.
b

g



g
2r 360 400
Her ikisinden
b 

   g
r 


dir.
g
Şekil : 6.4

Açıları radyandan grad ve dereceye grad ve dereceden
radyana dönüştüren dönüştürme katsayıları aşağıda
verilmiştir.
 
 
  

180

 57.2957795
180  60

 3437.7467
180  3600


 206264.80
g 
 
c
 
cc
200g

 63.661977g
200g  100c

 6366.1977c
200g  10000cc

 636619.77cc
Buna göre bir açının yay değeri (arc ) ile sayısal (°,g, ...)
değeri arasında aşağıdaki bağıntılar kurulabilir.
° = ° arc 
g = g arc 
1 g
1 
arc  g 
arc   


1.
Örnekler
45 1758  15 4517 
0
0
45 1758  15 4517  61 0315
0
2.
0
45 1758
0
0
‘yi grad’a dönüştürünüz.
17 58
 decimal   45 

 45 0.29944
60 3600
0
1
g
45 .29944 * 400 *

50
.3327
0
360
0
g
10
45 .29944 *  50 g .3327
9
0
veya
3.
Örnekler
g
‘yi dereceye dönüştürünüz.
50 .3327
1
0
0
50 .3327 *360 *

45
.29944

45
1758
g
400
g
0
veya
9
50 .3327 *  450.29944  4501758
10
g
Örnekler
4.
arc  1.055221radyan ‘ı dereceye ve grada
dönüştürünüz.
360 180
1 radyan 

 
2

   * arc
0
 0  570.29578 * 1.055221  600.45971  600 2734.96
400g 200g
1 radyan 

 g
2

   * arc
g
g
 g  63g.661977 * 1.055221  60 g.45971
6.3 - ÖLÇEKLER




Ölçek, plan veya harita üzerinde belirtilmiş iki
nokta arasındaki uzunluğun, bu noktaların
arazideki karşılıkları arasındaki gerçek uzunluğa
oranıdır.
Ölçek çeşitleri:
Oransal Ölçek
Doğrusal Ölçek
Geometrik Ölçek
Ölçek
Ölçek
Ölçek
Ölçek
Ölçek

6.3.1 - Oransal Ölçek
Ölçek, plân üzerinde belirtilmiş iki nokta arasındaki
uzunluğun, bu noktaların arazi üzerindeki karşılıkları
arasındaki gerçek uzunluğa oranıdır.
HaritadakiUzunluk S  1
Ölçek 
 
GerçekUzunluk
S M

Diğer bir deyişle lineer küçülme oranı biçiminde
tanımlanır. Plândaki 1 cm lik bir uzunluk gerçekte 1 km
ye karşılık geliyorsa
Çizim Uzunlugu 1cm
1
Ölçek 


GerçekUzunluk 1km 100000
Ölçek Ö harfi ile gösterilirse,
1
Ö=1:100000
veya
Ö
100000
biçiminde yazılır.
Bu oranın paydasına ölçek değeri veya modülü denir ve
M ile ifade edilir. Yani,
1
1
Ö

100000 M
dir.
Bu tanım sonucu olarak ölçek ile modül arasındaki
bağıntı
1
Ö
M
biçiminde olur.
Plân veya harita uzunluğu S ile, gerçek uzunluk da S harfi
ile gösterilirse
1
S

M
S
yazılabilir. Bu bağıntıdan
S  S * M
S
S 
M
biçiminde ölçek bağıntıları elde edilir.
S
M 
S
Yukarıdaki lineer ölçek bağıntılarından yüzeyler arasındaki
oranlar da hesaplanabilir. Çizim alanına F' gerçek alana F
denirse, uzunlukların karesi S2 , S2 ile
2

S 
1
F


2
2
M
S  F
1

M
F
F
elde edilir. Bu eşitlikten
2

F  FM
F
F  2
M
şeklinde gerekli bağıntılar yazılır.
M
F
F

6.3.2 - Doğrusal Ölçek
Doğrusal ölçek, çizimin oransal ölçeğinde alınmış bir
uzunluktur. Bir doğru üzerinde bir sıfır noktası işaretlenir ve
sağ tarafa doğru yuvarlak sayıda seçilen (tam sayı) uzunluk
birimleri ölçeğe göre işaret edilir. Sıfır işaretinin sol tarafına
doğru, çizgi bir miktar uzatılır ve bunun üzerinde sağ tarafa
doğru işaret edilmiş birim uzunlukların ondalıkları (ufak
uzunluk birimleri) alınır. Bu uzunluk üzerinde sağ tarafa
doğru alınan uzunluk birimleri, sıfır çizgisinin sol tarafında
gösterilecek ondalıkları işaretleme olanağını sağlayacak
büyüklükte seçilmelidir (Şekil 6.5) .
Şekil : 6.5 - Değişik doğrusal ölçekler

6.3.3 - Geometrik Ölçek
Geometrik ölçek de, çizgisel ölçek gibi grafik bir ölçektir.
Bu ölçeğin doğrusal ölçeğe üstünlüğü, uzunlukların ondalık
kısmının gözle kestirmek suretiyle bulunması yerine,
doğrudan doğruya ölçülebilmesidir (Şeki1 6.6) .
Şekil : 6.6 - Geometrik ölçek





6.4 - ÖLÇEKLERE GÖRE PLÂN VE
HARİTALARIN AYIRIMI
Çizimler, oran biçiminde tanımlanan ölçeğin paydasının sayısal
değerine göre ayrılırlar. Yani bu payda ne kadar küçükse, o çizimin
ölçeği o kadar büyük olmaktadır. Buna göre
1 – Plânlar : Ölçekleri 1/ 500 ilâ 1/2000 olan çizimlerdir. Bazı
hallerde 1/200 ölçeği de kullanılır. Durum plânları, mühendislik
işlerine ait plânlar, kadastro plânları (arazi sınırlarını belirten haritalar)
2 - Büyük ölçekli haritalar : Ölçekleri 1/1000 ilâ 1/100000 olan
çizimlerdir. Yeryüzünün arızalarını belirten Topoğrafik haritalar bu
ölçeklerde yapılır.
3 - Orta ölçekli haritalar : Ölçekleri 1/100000 ilâ 1/500000 arasında
olan memleket haritalarıdır. Kartografik haritalar adı da verilir.
4 - Küçük ölçekli haritalar : Ölçekleri 1/500000 den küçüktür.
Coğrafi haritalardır. Atlas ve duvar haritaları bu tür haritalardır.




Haritalar ölçekleri dışında kullanılma amaçlarına göre :
l - Genel haritalar : Topoğrafik, il, coğrafya, atlas, duvar,
jeolojik, turistik, hava uçuş, deniz haritaları,
2 - Özel haritalar : Morfolojik, jeolojik, hidrografik, klimatik,
toprak, nüfus, yerleşim, ekonomi vb. haritaları
olarak ayrılabildiği gibi konularına göre de
1 - Topografik haritalar : Yeryüzünün doğal biçimini belirten
haritalar,
2 - Tematik haritalar : Belirli bir konu, örneğin iklim, şehir
plânlaması, trafik gibi değişik amaçlar için hazırlanan
haritalar
olarak da ikiye ayrılabilir
Örnekler
4.
Bir sulama sahasında 275 m ölçülen kanal boyu
harita üzerinde 274.5 mm olarak ölçüldüğüne
göre harita ölçeğini bulunuz.
1
S

M
S
1
0.2745
1
1



M
275
1001 .8 1000
Örnekler
5.
Bir barajın su toplama sahası 1:5000 ölçeğindeki bir
harita üzerinden 27.4 cm2 olarak ölçülmektedir.
Arazide kaplanılan alan kaç dönümdür?
1
F

2
M
F
F  0.00274* (5000)2  68500m2
1000m 2  1 dönüm
F  68.5 dönüm
Ölçek
6.6 - ÖLÇME HATALARI

Ölçme, aranan bir
büyüklüğün ,
kullanılan ölçme
birimi cinsinden
bulunmasıdır.

Ölçmeler yapılırken, ölçme hatalarının ortaya çıkması
kaçınılmazdır. Bu hataların bir kısmı ölçme sırasındaki
yanlışlık ve dikkatsizlikten diğer bir bölümü ise insan
duyu organlarındaki ve alet yapısındaki eksiklikler ile
doğal etkilerden ileri gelmektedir.
1.
2.
3.
4.
Hiçbir ölçme doğru değildir.
Her ölçmede hatalar bulunmaktadır.
Mevcut hatalar hiçbir zaman bilinmemektedir.
Ölçmenin gerçek değerinin hiçbir zaman belli
değildir.
Kontrol için çok sayıda ölçme yapılır, ölçmeler
tekrarlanır. Ölçme değerinin değişim miktarına
“düzeltme” veya “ölçme hatası” denir.
Ölçmelerde Hata Kaynakları

Kişisel hatalar


Aletsel hatalar


İnsan duyu organlarının tam olmaması nedeniyle,
kişisel dikkatsizlik ve yeteneğin sınırlı olmasından
ileri gelmektedir. Yöneltme hatası
Aletin yapımındaki bir eksiklik, kalibrasyon eksikliği
veya herhangi bir parçasının oynamasından ileri
gelmektedir.
Doğal hatalar

Rüzgar,sıcaklık,nem vb...
Hata Türleri

Kaba hatalar


Düzenli hatalar


Dikkatsizlik ve yorgunluk gibi nedenlerle ileri gelen
hatalı ölçme ve okumalardır.
Alet hataları(şeridin standart boydan farklı
olması,mira boyu) ve kısmende ölçme araçlarının
hatalı kullanılmasından ileri gelirler.
Düzensiz hatalar

Bu hatalar tam olarak giderilemiyen alet hatalarından
ileri gelirler.
Hatalar
Düzenli ve Düzensiz Hatalar
Düzenli Hatalar
Düzensiz Hatalar
Hata Türleri
Gerçek Hata ():
Ölçülen bir ‘l’ büyüklüğünün gerçek değeri ‘x’
biliniyor ise, gerçek hata
=x–l
şeklinde tanımlanır.
Örnek
Bir düzlem üçgenin iç açıları ölçülmüş
 = 75.4525 g
 = 67.2237 g
 = 57.3251 g değerleri elde edilmiştir.
Bu durumda yapılan ölçme hatasının türünü ve
miktarını bulunuz.
Bir üçgenin iç açıları toplamı 1800 (200g) olduğuna
göre x = 200g’dır. Gerçek Hata ise;
 = 200 – ( +  +  )= -0.0013g = -13cc’dir.
Hata Türleri
Görünen Hata (düzeltme)(v)
Hesap edilen en olasılıklı değerden (en ihtimalli
değer) ölçülen değerin farkına görünen hata
denilmektedir. Cebirsel toplamı 0 olmalıdır.
Görünen hata
v=x-l
şeklinde tanımlanır.
En olasılıklı değer

li 
x

n
(Ölçmelerin aritmetik ortalaması)
 li
n
‘dir.
Doğruluk Ölçütleri
1. Ortalama Hata (t)
 gerçek hataların (veya v görünen hataların) mutlak
değerlerinin basit aritmetik ortalaması ‘ortalama hata’
olarak adlandırılır.
  1   2  ... n 
t

n


 v1  v2  ...vn 
t

n


t
t

n
v
n
n = ölçme sayısı
Doğruluk Ölçütleri
2. Karesel Ortalama Hata (m)
2.1.
Bir ölçünün k.o.h. (m)
Bir ölçmenin k.o.h. gerçek hatalardan
m
m
 12   22  ...   n2
n
 
n
Doğruluk Ölçütleri
2.2.
Bir ölçmenin k.o.h. (m)
Bir ölçmenin k.o.h. görünen hatalardan
v12  v22  ... vn2
m
n 1
m
vv
n 1
Doğruluk Ölçütleri
2.3.
En olasılıklı değerin k.o.h. (M)
m
M 
n
Doğruluk Ölçütleri
3.
Olasılıklı Hata (r)
Gerçek veya görünen hataların mutlak değerleri
büyüklük derecesine göre sıralandığında ortadaki
değere olasılıklı hata denir.
n tek ise
n çift ise
r   
rv   v n 1
n 1
2
1
r   
2
n
2
2

n2
2
1
rv   v n  v n 2
2 2
2
Doğruluk Ölçütleri
4.
Oransal Hata (T)
Karesel ortalama hatanın ölçülen büyüklüğe
oranıdır.
mi
T
l
Uygulama
Bir poligon kenarı gidiş ve dönüş olarak
ölçülmüştür.Ölçme değerleri ve hata sınırı verildiğine göre
ölçmelerin tekrarlanıp tekrarlanmayacağını belirleyiniz.
Gidiş: 121.19 m.
Dönüş: 121.26 m
Hata Sınırı: d  0.005 S  0.00015* S  0.0015m
Uygulama
Gidiş  Dönü ş
S
 121 .225 m
2
Ortalama
Hata Sınırı: d  0.005 S  0.00015* S  0.0015m
d  0.088  0.9m  9cm
Gidiş- Dönüş = 7 cm < d = 9 cm.
Ölçmeler kabul edilip, ortalama değer uzunluk olarak alınır.
Uygulama
Bir doğrultu 7 kez ölçülmüş aşağıdaki değerler elde
edilmiştir. Bu değerlere göre
Ölçüler (m):
l1= 125.165
l2 = 125.162
l3 = 125.166
l4 = 125.160
l5 = 125.161
l6 = 125. 163
l7= 125.164
a) Olasılıklı değeri (x)
b) Ortalama hatayı (t)
c) Bir ölçünün karesel ortalama hatasını (m)
d) En olasılıklı değerin karesel ortalama hatasını (M)
e) Olasılıklı hatayı (r) hesaplayınız.
Uygulama
a) Olasılıklı değer(x)
x= ln =125.163 m
ölçü no
Düzeltme
(l)
m
Olasılıklı
değer
(x)
m
v=x-l
mm
vv
1
125.165
125.163
-2
4
2
125.162
1
1
3
125.166
-3
9
4
125.160
3
9
5
125.161
2
4
6
125.163
0
0
7
125.164
-1
1
Toplam
Ölçüler
IvI = 12
28
Uygulama
b) Ortalama hata(t)
t
v
n
v  12mm
v
12
t

 1.7m m
n
7
Uygulama
c) Bir ölçünün karesel ortalama hatası (m)
m
vv
n 1
vv
28
m

 2.16m m
n 1
6
Uygulama
d) En olasılıklı değerin karesel ortalama hatası (M)
m
M 
n
M 
m
2.16
7
 0.82m m
vv
n 1
Uygulama
e) Olasılıklı hata (r)
rv   v n 1
2
vi
-2
1
-3
3
2
0
-1
0
-1
1
-2
2
-3
3
rv  2mm
Uygulama
a)
b)
c)
d)
İki Nokta arasındaki uzaklık invar şerit ile
ölçülmüş 120 m olarak bulunmuş ve hatasısız
olarak kabul edilmiştir. Daha sonra bu iki nokta
arasındaki uzaklık çelik şeritmetre ile 10 kez
ölçülmüştür.
Gerçek Hatayı
Ortalama Hatayı (Mutlak hatalar ortalamasını)
Olasılıklı hatayı
Bir ölçmenin karesel ortalama hatasını
hesaplayınız.
Uygulama
Ölçü No
Li ( Ölçmeler)(m)
1
120.05
2
119.97
3
120.03
4
119.98
5
120.00
6
120.06
7
119.95
8
119.99
9
119.92
10
120.01
Toplam
Ölçme Hataları