Transcript V˚agräta och lodräta cirkelbanor

V˚
agr¨ata och lodr¨ata cirkelbanor
Josefin Eriksson
Sammanfattning fr˚
an boken Ergo fysik
10 september 2012
Introduktion
• Vi ska studera kroklinjig r¨orelse i tv˚
a dimensioner - i ett plan.
• V˚
ar¨
att plan och lodr¨
att plan
• Exempel p˚
a v˚
agr¨
at cirkelr¨orelse ¨ar skridskol¨opare i en kurva p˚
a en skridskobana
• Exempel p˚
a en lodr¨
at cirkelr¨orelse ¨ar ett flygplan i en loop
1
V˚
agr¨
ata cirkelbanor
Sv¨
ang utan dosering
En bil med massan m k¨
or med konstant hastighet v i en v˚
agr¨at kurva med
radien r. V¨
agverket har dessv¨arre gl¨omt att dosera kurvan. Det ¨ar inte bra, f¨or
d˚
a¨
ar det bara friktionen p˚
a hjulen som h˚
aller bilen p˚
a plats i kurvan.
Figur 1: Krafter p˚
a en bil utan dosering. Det ¨ar friktionen som h˚
aller bilen kvar
p˚
a v¨
agen
Bilen p˚
averkas av tre krafter: tyngden, Fg , normalkraften, FN och friktionskraften, Fµ . Om bilen ska h˚
alla sig kvar i kurvan m˚
aste
Fµ = ma
d¨
ar a ¨
ar centripetalaccelerationen a = v 2 /r
Vi f˚
ar sambanden
v2
r
Den sista formeln visar att det bara ¨ar friktionen som h˚
aller kvar bilen p˚
a
v¨
agen. Bilen mister v¨
aggreppet och b¨orjar glida n¨ar hastigheten blir s˚
a stor att
FN = µN = µmg d¨
ar µ ¨
ar friktionskoefficienten f¨or glidfriktion. Vi s¨atter in i
formeln Fµ = mv 2 /r och f˚
ar
FN = Fg
och
Fµ = m
v2
√
ger
v = µrg
r
Vid denna hastighet kommer bilen allts˚
a att f¨orlora v¨aggreppet. F¨or en bil
med bra sommard¨
ack p˚
a torr asfalt kan friktionskoefficienten vara µ1 = 0, 82.
F¨
or slitna sommard¨
ack p˚
a v˚
at asfalt kan friktionskoefficienten vara µ2 = 0, 15.
Kurvradien ¨
ar r = 150 m. Maxhastigheten med bra d¨ack p˚
a torr asfalt blir d˚
a
µmg = m
v1 =
√
µ1 rg =
p
0, 82 · 150 · 9, 82m/s = 34, 8m/s = 125km/h
Maxhastigheten med slitna d¨ack p˚
a v˚
at asfalt blir
p
√
v2 = µ2 rg = 0, 15 · 150 · 9, 82m/s = 14, 9m/s = 54km/h
2
Kurva med dosering
Bilen k¨
or i en kurva som V¨
agverket kommit ih˚
ag att dosera. Det betyder att
v¨
agbanan har en lutningsvinkel α s˚
a att kurvans ytterkant ligger h¨ogre ¨an innerkanten.
Figur 2: Krafter p˚
a en bil i en kurva med dosering. Det ¨ar resultanten av tyngden
och normalkraften som h˚
aller bilen p˚
a v¨agen
Bilf¨
oraren kan nu anpassa hastigheten v s˚
a att enbart doseringen h˚
aller bilen
kvar p˚
a v¨
agen. Detta betyder att Fµ = 0. Newtons andra lag ger d˚
a
Fres = Fg + FN = ma
Av figuren ser du att
tanα =
v2
2
r = v
=
mg
rg
m
Fres
Fg
som ger
v=
√
rgtanα
Alla storheterna p˚
a h¨
ogra sidan ¨ar konstanta: g ¨ar given av naturen, medan √
r och α ¨
ar givna av V¨
agverket. Om f¨oraren anpassar hastigheten s˚
a att
v = rgtanα s˚
a¨
ar det enbart doseringen som h˚
aller kvar bilen p˚
a v¨agen. F¨or
passagerarna k¨
anns det n¨
astan exakt som att sitta i en bil som k¨or med konstant
fart p˚
a en r¨
at v¨
ag. Den enda skillnaden ¨ar att de k¨anner sig lite tyngre.
Vi t¨
anker oss att kurvradien ¨ar r = 150 m. Om kurvan ¨ar doserad f¨or en
medelhastighet p˚
a v = 60 km/h = 16, 7 m/s s˚
a b¨or doseringen vara s˚
adan att
tanα =
v2
16, 72
=
rg
150 · 9, 82
Det ger att α = 10, 7◦
3
Lodr¨
ata cirkelbanor
Flygplan i loop
Ett sportflygplan g˚
ar in i en loop och f¨oljer en cirkelbana i ett lodr¨att plan.
banradien a
¨r r=400 m och banhastigheten ¨ar v=80 km/h. Passageraren i planet
har massan m=56 kg. Ber¨
akna stolens kraft p˚
a passageraren n¨ar planet passerar
cirkelns l¨
agsta och h¨
ogsta punkt.
L¨
osning Eftersom planet har konstant banhastighet f˚
ar centripetalaccelerationen a samma absolutv¨
arde genom hela banan, ¨aven i de h¨ogsta och l¨agsta
punkterna. Vi f˚
ar
802
v2
=
= 16, 0
[m/s2 ]
a=
r
400
I den l¨
agsta punkten p˚
averkas passageraren av tyngden Fg och stolkraften S1 ,
se figur.
Figur 3: l¨agsta punkten
Stolkraften verkar upp˚
at och tyngden verkar ned˚
at. Resultantkraften Fres
m˚
aste verka upp˚
at mot cirkelns centrum. eftersom accelerationen pekar upp˚
at.
Vi v¨
aljer positiv riktning upp˚
at och f˚
ar S1 − Fg = ma. Det ger
S1 = ma + Fg = ma + mg = 56 · 16, 0 + 56 · 9, 82 = 1450
[N ]
Om passageraren satt p˚
a en v˚
ag skulle den visa 1470/9,82=147 kg och passageraren skulle k¨
anna sig mycket tyngre ¨an vanligt.
4
I den h¨
ogsta punkten p˚
averkas passageraren av tyngden Fg och stolkraften
S2 , se figur.
Figur 4: h¨ogsta punkten
Stolkraften verkar nu ned˚
at. Resultantkraften Fres verkar ned˚
at mot cirkelns
centrum. Nu v¨
aljer vi positiv riktning ned˚
at och f˚
ar
S2 + Fg = ma
S2 = ma − Fg = 56 · 16, 0 − 56 · 9, 82 = 350
[N ]
Om passageraren satt p˚
a en v˚
ag i banans h¨ogsta punkt skulle den visa
350/9,82=35 kg. Passageraren skulle allts˚
a k¨anna sig mycket l¨attare a¨n vanligt.
5