Transcript Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19) 2014-06

L¨
osningsf¨
orslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19) 2014-06-09
1. (a) G(s) =
3 1
2 s+ 1
ar stabil.
¨
2
t
• y(t) = 3(1 − e− 2 ), t ≥ 0.
• y(t) = 2|G(i3)| sin(3t + arg(G(i3))) ≈ 0.99 sin(3t − 1.4)
(b) Det finns begr¨
ansningar i systemet som g¨or att styrsignalen inte kan bli o¨andligt
stor, vi kan ha modellfel eller st¨orningar (t.ex. m¨atbrus eller processbrus). Se
kapitel 6 i kursboken f¨
or en mer detaljerad beskrivning.
(c) Poler: −1, −5
Nollst¨
allen: −2
Stabil d˚
a alla poler har realdel strikt mindre a¨n 0.
2. (a) F¨or a = 0.5 s˚
a kan K vara lika med 50 innan man f˚
ar instabilitet. F¨or a = 1.5
s˚
a kan K vara lika med 20 innan man f˚
ar instabilitet. F¨or a = 3 s˚
a kan K vara
lika med 10 innan man f˚
ar instabilitet. Detta ger att f¨or a = 0.5 s˚
a kan man
till˚
ata h¨
ogst K-v¨
arde utan att man f˚
ar instabilitet.
(b) F¨or att bed¨
oma snabbheten mellan de olika a-v¨arderna s˚
a kollar vi p˚
a den dominerande polen. F¨
or a = 0.5 ser vi att avst˚
andet till origo f¨or den dominerande
polen a
or K = 5, n¨ar K blir st¨orre s˚
a har vi inte ett v¨al d¨ampat
¨r max 0.2 f¨
system l¨
angre. F¨
or a = 1.5 ser vi att avst˚
andet till origo f¨or den dominerande
polen ¨
ar ca 0.5 f¨
or K = 2, n¨
ar K blir st¨orre s˚
a har vi inte ett v¨al d¨ampat system
l¨angre. F¨
or a = 3 ser vi att avst˚
andet till origo f¨or den dominerande polen ¨ar
n˚
agot mindre ¨
an 0.5 f¨
or K = 1, n¨ar K blir st¨orre s˚
a har vi inte ett v¨al d¨ampat
system l¨
angre. Allts˚
a ger kombinationen a = 1.5 och K = 2 det snabbaste v¨al
d¨ampade slutna systemet.
(c) F¨or alla val av a s˚
a kommer man att ha tre asymptoter (tv˚
a g˚
ar ut i h¨oger halv
plan), vilket ger att systemet kommer att bli instabilt f¨or n˚
agot K. Notera att
om a v¨
aljs negativt s˚
a kommer man att ha en slutpunkt i h¨oger halv plan.
3. (a) Fasmarginalen ϕm ≈ 40◦ och amplitudmarginalen Am ≈ 6.
(b) Om tidsf¨
ordr¨
ojnigen ¨
overstiger ϕm /ωc =
systemet instabilt.
40π
180 /0.1
≈ 7.0s s˚
a blir det slutna
(c) Sk¨
arfrekvensen ωc = 0.1 skall h¨ojas till ωc0 = 0.3 mha en PD-regulator F (s) =
K(1 + Td s). Fasen vid den nya sk¨arfrekvensen ωc0 m˚
aste h¨ojas fr˚
an −180◦ till
tan 40◦
◦
◦
−140 . Detta inneb¨
ar att arg F (i0.3) = 40 , vilket ger Td = 0.3 ≈ 2.8.
D¨arefter h¨
ojs f¨
orst¨
arkningen till 1 vid ωc0 genom att s¨atta K = √ 6 0 2 ≈ 4.6.
1+(Td ωc )
4. (a) Givet f¨
oruts¨
attningarna och figur har vi
1
U (s)
X1 (s) = s+1
x˙ 1 = −x1 + u
⇒
2
X2 (s) = s+3
(X1 (s) + X2 (s) + V (s))
x˙ 2 = 2x1 − x2 + 2v
Allst˚
a har vi systemet
x˙ = Ax + Bu u + Bv v =
y = Cx = 0 1 x
−1 0
2 −1
x+
1
0
u+
0
2
v
Systemet ¨
ar minimalt d˚
a det ¨ar b˚
ade observerbart (det(O) = −2 6= 0) samt
styrbart (det(S) = 2 6= 0).
1
(b) Vi vill nu anv¨
anda oss av tillst˚
ands˚
aterkoppling, u = −Lx + l0 r, och l¨agga
polerna hos det ˚
aterkopplade systemet i −2, dvs ¨onskad kar¨akteristisk ekvation
ar vi kar. ekv.
¨ar(s + 2)(s + 2) = s2 + 4s + 4. Med antagandet att v = 0 f˚
det(sI − (A − Bu L)) = s2 + (2 + l1 )s + 1 + l1 + 2l2 .
¨
Identifiering med o
oringen f¨or den
¨nskad kar. ekv. ger l1 = 2 och l2 = 0.5. Overf¨
slutna systemet blir nu
Y (s) = C(sI − (A − Bu L))−1 Bu l0 R(s) =
s2
2l0
,
+ 4s + 4
och den statiska f¨
orst¨
arkningen ¨ar Gc (0) = 2l0 /4. V¨aljer vi l0 = 2 f˚
ar vi statisk
f¨orst¨
arkning 1. Den slutgiltiga ˚
aterkopplingen blir allts˚
a
u = − −2 0.5 x + 2r
Om vi ist¨
allet anv¨
ander det givna systemet hade vi f˚
att
u = − −2 4.5 x + r
¨
(c) Overf¨
oringsfuktionen fr˚
an st¨
orningen v till utsignalen y blir
Gv (s) = C(sI − (A − Bv L))−1 Bv = 2
s2
s+3
,
+ 4s + 4
som a
a f¨or att r¨akna ut hur mycket en konstant st¨orning
¨r ett stabilt system. S˚
f¨orst¨
arks i station¨
art tillst˚
and kan vi anv¨anda oss av slutv¨ardesteoremet. Antag
att amplituden f¨
or st¨
orningen ¨ar c, dvs V (s) = c/s, d˚
a f˚
as
c
3c
lim = lim sGv (s) = .
s→0
s
2
t→∞
Om vi ist¨
allet anv¨
ant systemet som var givet i uppgiften hade vi f˚
att
Gv (s) = 2
s2
s−1
,
+ 4s + 4
och statisk f¨
orst¨
arkning
c
c
lim = lim sGv (s) = − .
t→∞
s→0
s
2
5. (a) L˚
at I och IL vara str¨
ommarna genom RS respektive RL . Med l¨ampligt valda
referensriktningar g¨
aller d˚
a enligt Kirchoffs sp¨annings- och str¨omlagar att
IZ =kUZ + l
Uut =RL IL
UZ = − Uut
Uin =RS I + Uut
0 =I + IZ − IL ,
d¨ar k och l ¨
ar lineariseringsparametrar som kan erh˚
allas ur figuren visandes
Zenerdiodens karakteristik. Ungef¨arliga v¨arden p˚
a k och l ¨ar k ≈ 35 mA/V och
l ≈ 165 mA. Vi har ett line¨
art ekvationssystem med 5 obekanta. Man f˚
ar
Uut =
RL
(Uin + lRS ).
RS + (1 + kRS )RL
2
(b)
0
Uut =G(Uin + K(Uut
− Uut ))
G
KG
Uut =
Uin +
U0
1 + KG
1 + KG ut
(c)
Uut =
KRL
KG
RL
G
Uin +
U0
Uin +
U0 =
1 + KG
1 + KG ut RS + (1 + K)RL
RS + (1 + K)RL ut
Identifiering ger
K =kRS
0
Uut
=l/k ≈ 4.7V
0 , d˚
(d) Mindre k¨
anslig, ty Uut ≈ Uut
a k ¨ar stort.
3