Transcript ugn Av/på-reglering

Den enkla standardkretsen
Föreläsning 2
e
r
• PID-reglering
P
• Processmodeller
y
u
Regulator
Process
−1
• Negativ återkoppling från mätsignalen
• Regulatorn bestämmer styrsignalen utifrån reglerfelet (control
error) e = r − y
Rekommenderad läsning: Feedback Systems: 1.5, Process Control:
2.3, 2.4 (översiktligt)
Exempel: ugn
r = 200 ○ C
e
P
Av/på-reglering
y
u
Regulator
Ugn
u(t) =
(
umax ,
e(t) > 0
umin ,
e(t) < 0
u
umax
−1
• y = uppmätt temperatur
• r = önskad temperatur
umin
e
• u = värmeelementets effekt (0 ≤ u ≤ 1)
1
Mätsignal, referens
Simulering av ugnen med av/på-reglering
220
200
• Svängningar
r
• Ev. slitage på styrdon
y
180
Nackdelar med av/på-reglering
160
• Fungerar bara för processer med “enkel” dynamik
140
120
40
60
80
100
120
140
160
180
200
60
80
100
120
140
160
180
200
Styrsignal
1.5
1
u
0.5
0
−0.5
40
Tid (s)
Simulering av ugnen med P-reglering (u0 = 0)
Mätsignal, referens
P-reglering
Inför ett proportionalband för små reglerfel:


umax ,
u(t) = u0 + K e(t),


umin ,
e(t) > e0
− e0 ≤ e(t) ≤ e0
e(t) < e0
220
r
200
y
180
160
140
120
40
60
80
100
120
140
160
180
200
60
80
100
120
140
160
180
200
1.5
Styrsignal
u
umax
u0
1
0.5
0
−0.5
40
umin
– e0
Proportionalband
e
u
Tid (s)
e0
• Stationärt fel (steady state error)
2
Miniproblem
Stationärt fel vid P-reglering
Vilket K -värde användes vid simuleringen på förra bilden?
Antag att P-regulatorn jobbar i proportionalbandet (− e0 < e < e0 ). Då
e=
u − u0
K
Två sätt att eliminera det stationära felet:
• Låt K → ∞
• Ställ in u0 så att e = 0 i jämvikt
Mätsignal, referens
Simulering av P-reglering med ökat K
220
PI-reglering
Ersätt den konstanta termen u0 med en integraldel:
r
200
y
180
160
u(t) = K
140
120
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1
e(t) +
Ti
Z
t
e(τ )dτ
0
Ti = integraltid
Styrsignal
1.5
u
1
0.5
0
−0.5
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Tid (s)
• Snabbare reglering, men mer svängningar
3
Mätsignal, referens
Simulering av ugnen med PI-reglering
220
200
Motsägelsebevis:
r
Antag att det uppstår ett stationärt fel som INTE är noll, d.v.s.
e ,= 0
180
y
160
140
120
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Styrsignal
[ Styrsignalen växer med hastigheten
Ke
Ti
[ Mätsignalen kommer att ändras
1.5
1
Det stationära felet blir noll med PI-reglering
[ Felet är inte stationärt
u
0.5
0
−0.5
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Tid (s)
• Reglerfelet går mot noll
Mätsignal, referens
Simulering av ugnen med minskat Ti
220
Prediktion
En PI-regulator innehåller ingen prediktion av framtida fel
r
200
y
180
Samma styrsignal fås i bägge dessa fall:
160
140
120
40
60
80
100
120
140
160
180
200
60
80
100
120
140
160
180
200
Styrsignal
1.5
1
u
0.5
0
−0.5
40
Tid (s)
• Snabbare reglering, men mer svängningar
4
Simulering av ugnen med PID-reglering
Mätsignal, referens
PID-reglering
Svängningar kan ibland dämpas genom att införa en derivatadel:
u(t) = K
Td = derivatatid
1
e(t) +
Ti
Z
t
0
de(t)
e(τ )dτ + Td
dt
220
r
200
180
y
160
140
120
40
60
80
100
120
140
160
180
200
60
80
100
120
140
160
180
200
Styrsignal
1.5
Derivatadelen försöker uppskatta vad felet är om Td sekunder:
e(t + Td ) ( e(t) + Td
de(t)
dt
1
u
0.5
0
−0.5
40
Tid (s)
• Snabbt och väldämpat svar, inget stationärt fel
Sammanfattning av PID
Reglerfel
Laboration 1
Reglering av vattennivån i övre eller undre tanken
Nutid
Framtid
Dåtid
• Pröva öppen och sluten styrning
• Pröva manuell och automatisk
reglering
Pump
t
t + Td
Tid
PID
• Empirisk inställning av P-, PIoch PID-regulatorer för övre och
undre tanken
• Automatinställning (demo)
Mera om PID-regulatorn på föreläsning 9
5
Processmodeller
Statiska kontra dynamiska system
x
I den här kursen kommer vi att huvudsakligen att jobba med
processer som beskrivs av
y
u
System
tidskontinuerliga,
linjära,
tidsinvarianta,
Statiskt system:
y(t) = f u(t)
dynamiska
(Utsignalen just nu beror bara på insignalen just nu)
system
Dynamiskt system:
y(t) = f u[0, t] , x(0)
(Utsignalen beror på alla gamla insignaler och på systemets initialtillstånd)
Modellering av dynamiska system
Exempel på statiskt system
95% C2 H5 OH
qin
60% C2 H5 OH
Separator
10% C2 H5 OH
qut 1
qut 2
Dynamiken i våra system beskrivs typiskt med en eller flera
differentialekvationer. Två olika metoder för modellering:
• Använd fysikens lagar (balansekvationer) för att ställa upp den
matematiska modellen
• Utför experiment på systemet och analysera in- och ut-data
– Fortsättningskurs i Systemidentifiering (FRT041)
qut 1 (t) = 0.6qin (t)
qut 2 (t) = 0.4qin (t)
I praktiken används ofta en kombination av de båda metoderna
6
Flödesbalanser
T.ex.
• volymflöde [m3 /s]


Ändring av
 upplagrad volym  = [ Inflöde ] − [ Utflöde ]
per tidsenhet
• materialflöde [mol/s]


Ändring av antalet
Inflöde
av
Utflöde
av
 upplagrade partiklar  =
−
partiklar
partiklar
per tidsenhet
T.ex.
• energiflöde [W]


Ändring av
 upplagrad energi  = [ Effekt in ] − [ Effekt ut ]
per tidsenhet
• strömflöde [A]
Summa ström ut
Summa ström in
=
till knutpunkt
från knutpunkt
För kemiska reaktioner brukar man skriva materialbalansen för varje
komponent som
[ Inflöde ] + [ Produktion ] = [ Utflöde ] + [ Ackumulering ]
Intensitetsbalanser
• kraftbalans [N]


Ändring av
Drivande
Bromsande
 rörelsemängd  =
−
krafter
krafter
per tidsenhet
• spänningsbalans [V]
[ Summa spänning runt en krets ] = 0
Konstitutiva relationer
T.ex.
• Ideala gaslagen
p=
nR
θ
V
• Torricellis lag
v=
• Energi i uppvärmd vätska
p
2ˆh
W = cρ V θ
• Ohms lag
u = Ri
7
Exempel: höjddynamik i tank med fritt utflöde
Simulering av tanken
Volymbalans:
A
h
qut
• Tankens tvärsnittsarea = A
• Utloppshålets area = a
A=1, a=0.1, qin=1
4
dh
= qin − qut
dt
3.5
3
Utflöde:
2.5
p
qut = av = a 2ˆh
2
h
qin
1.5
Slutlig modell:
1
dh
1
ap
2ˆh + qin
=−
dt
A
A
0.5
0
0
2
4
6
8
10
t
Exempel: koncentrationsdynamik i tankreaktor
q, cR0
Simulering av tankreaktorn
q=1, V=1, k1=1, cR0=1
Materialbalans:
0.6
In + Prod = Ut + Ack
cP
q, cP , cR
• Volym V , flöde q
• Första ordningens reaktion
R→P
• Reaktionshastighet
r R = −r P = − k1 cR
dcR
dt
dcP
Vr P = qcP + V
dt
qcR0 + Vr R = qcR + V
Slutlig modell:
q
q
dcR
=−
+ k1 cR + cR0
dt
V
V
dcP
q
= k1 cR − cP
dt
V
cR
0.4
cR, cP
cR
0.5
cP
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
t
5
6
7
8
8
Exempel: positionsdynamik för mekaniskt system
Simulering av mekaniska systemet
m=1, d=1, k=1, F=1
Kraftbalans:
k
m
F
1.2
dv
m
= F − kz − dv
dt
1
0.8
Samband position–hastighet:
• Massa m med position z
och hastighet v
• Yttre kraft: F
• Fjäderkraft: Fk = kz
• Dämparkraft: Fd = dv
dz
=v
dt
0.6
z
d
0.4
v
0.2
Slutlig modell:
dv
d
k
1
= − v− z+ F
dt
m
m
m
dz
=v
dt
z
0
−0.2
0
5
Exempel: temperaturdynamik i seriekopplade tankar
15
Simulering av tankarna
q=1, V1=1, V2=10, θ0=0, P=1
q, θ 0
Energibalans:
dθ 1
= P + c ρ qθ 0 − c ρ qθ 1
c ρ V1
dt
dθ 2
= c ρ qθ 1 − c ρ qθ 2
c ρ V2
dt
V1
q, θ 1
Slutlig modell:
1.2
1
0.6
0.4
θ2
V2
q, θ 2
dθ 1
q
1
q
= − θ1 + θ0 +
P
dt
V1
V1
c ρ V1
q
q
dθ 2
θ1 − θ2
=
dt
V2
V2
θ1
0.8
θ1, θ2
θ1
P
10
t
θ2
0.2
0
0
5
10
t
15
20
9
Nästa föreläsning
• Tillståndsformen
• Stabilitet
Rekommenderad läsning: Process Control: 2.6, 3.1–3.4, Feedback
Systems: 3.6.
1