Transcript 1 Zeeman-effekt

MW 10 oktober 2012
1
Zeeman-effekt
Här kommer lite mer detaljer från bokens Kap 12 som jag inte hann med på dagens föreläsning:
Störande Hamiltonian för en elektron i väte i ett svagt pålagt magnetfält B = Bez (i starka fält blir det
annorlunda):
µB B
(gl Lz + ge Sz )
H0 =
~
där µB = e~/2m är Bohr-magnetonen, gl = 1 och ge = 2.00
Första ordningens Zeeman korrektion till energinivåerna:
E (1) = hH 0 i =
µB B
(gl hLz i + ge hSz i)
~
En detalj som vi accepterar utan härledning är att för svaga pålagda fält finns en term i den ostörda
Hamiltonianen som ger spinn-ban koppling genom att addera en term H 0 = (e2 /8π0 m2 c2 r3 )L·S. Därför
är den kopplade basen rätt val för att göra första ordningens odenegerad störningsräkning. Matriselementen i den kopplade basen beräknas mha Wigner-Eckard teoremet (som vi använder utan att härleda,
se avancerade kvantmekanikböcker tex. Shankar, Sakurai, eller Ballentine för detaljer):
hjmj |Vz |jm0j i =
hjmj |V · J|jmj i
hjmj |Jz |jm0j i
j(j + 1)~2
där J = S + L, och V kan väljas.
Sätt först V = S. Använd att J = S + L ⇒ L = J − S ⇒ L2 = J 2 + S 2 − 2S · J ⇒ S · J = 21 (J 2 + S 2 − L2 ).
Detta ger
hjmj |Sz |jmj i =
hjmj |J 2 + S 2 − L2 |jmj i
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
hjmj |Jz |jmj i =
mj ~
2
2j(j + 1)~
2j(j + 1)
Med V = L fås L · J = 12 (J 2 + L2 − S 2 ) och
hjmj |Lz |jmj i =
hjmj |J 2 + L2 − S 2 |jmj i
j(j + 1) + l(l + 1) − s(s + 1)
hjmj |Jz |jmj i =
mj ~
2j(j + 1)~2
2j(j + 1)
Första ordningens Zeeman-korrektion till energin blir
E (1) = gj µB Bmj
där Landés g-faktor är
gj = gl
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
j(j + 1) + l(l + 1) − s(s + 1)
+ ge
2j(j + 1)
2j(j + 1)
Med gl = 1, ge = 2 blir
gj = 1 +
j(j + 1) + s(s + 1) − l(l + 1)
2j(j + 1)
För väte med s = 1/2, j = l ± 1/2 blir
gj = 1 ±
1
2l + 1
Energiskift:
E
(1)
= µB Bmj
1
1±
2l + 1
För 2p (dvs n = 2, l = 1) nivån i väte blir j = 1 ± 1/2 = 1/2, 3/2.
För j = 1/2 : mj = ±1/2.
För j = 3/2 : mj = −3/2, −1/2, 1/2, 3/2.
1