Transcript Blandade räkneuppgifter för FYTA11

Blandade r¨
akneuppgifter f¨
or FYTA11
1. En laddning Q har l¨agesvektorn (0, 0, a) angivet i cartesiska koordinater. Best¨am den
elektriska sp¨anningen mellan punkterna (0, 0, 0) och (a, 2a, 4a).
2. En sten sl¨apps 1 meter ¨over marken. Hur l˚
ang tid tar det innan stenen tr¨affar marken?
Vilken hastighet f˚
ar stenen? Vilka blir motsvarande v¨arden f¨or ett fall p˚
a 5 meter?
3. Best¨am a och b s˚
a att a2 + 3ab + 5b2 minimeras.
4. Ljus reflekteras mot ytan till ett genomskinligt material med brytningsindex n. Ljusets
polariseringsgrad Πr (som ¨ar 0 f¨or opolariserat ljus och 1 f¨or fullst¨andigt polariserat ljus) ges
av
rs2 − rp2
cos θi − n cos θt
cos θt − n cos θi
Πr = 2
, rs =
och rp =
2
rs + rp
cos θi + n cos θt
cos θt + n cos θi
d¨ar θi ¨ar infallsvinkeln och θt ¨ar vinkeln f¨or det transmitterade ljuset. Visa att
Πr =
2
.
tan θi tan θt + cot θi cot θt
5. Visa att tan θi tan θt + cot θi cot θt = 2 om θi + θt = π2 . Vad inneb¨ar detta samband f¨or
fysiken i uppgift 4?
6. √
Betrakta situationen i uppgift 4 f¨or infallsvinklar p˚
a 45◦ och visa att det ger Πr =
n−2 2n2 − 1. Ber¨akna Πr f¨or brytningindexen 1.33, 1.34, 1.40 och 1.50.
7. Ber¨akna
Z
π
sin ϕ cos 3ϕ dϕ.
0
8. En partikel r¨or sig i ett plan och dess r¨orelse beskrivs av x(t) = R cos ωt och y(t) =
R sin ωt + Rωt. Ber¨akna partikelns hastighet och acceleration som funktion av tiden t.
9. L¨os integralen
Z
1
0
x3 (1 − x)a dx med hj¨alp av partialintegration.
10. L¨os samma integralen i uppgift 9 utan partialintegration, med hj¨alp av l¨amplig variabelsubstitution.
1
11. Till¨ampa variabelsubstitution p˚
a integralen
direkt h¨anvisning till integralen i uppgift 9.
12. Derivera
Z
Z
2b
0
x3 (2b − x)a dx f¨or att l¨osa den med
x2
g(y) dy med avseende p˚
a x.
ax
13. S¨att f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 och best¨am polynomet g(x) som ges av
g(x) = 2f (x) − f (x − 1) − f (x + 1).
14. Kan funktionen V (x, y, z) = kx2 + 3kxy 2 + cz, d¨ar k och c ¨ar konstanter, beskriva en
potential i det 3-dimensionella rummet?
15. Ber¨akna
Z
1
0
(sin πx
− x)dx.
2
16. Den potentiella energin hos en partikel i ett kraftf¨alt ges av V (x, y) = kx2 − kxy + cy 4
d¨ar c och k ¨ar konstanter. Best¨am kraften p˚
a partikeln som funktion av x och y.
17. Derivera
2
√ u
eiuv
u2 +v 2
med h¨anseende p˚
a u och faktorisera resultatet.
18. Ber¨akna Im((4 + i)eiπ/3 ).
19. Ett t˚
ag startar mjukt fr˚
an stillast˚
aende med en acceleration som till en b¨orjan ¨ar proportionell mot tiden sedan t˚
aget startade. Uttryck detta samband matematiskt och best¨am
t˚
agets hastighet och l¨age som funktion av tiden.
20. L¨os f ′′ (x) = −f (x) f¨or initialvillkoren f (0) = 1 och f ′ (0) = 4.
21. Fyra liksidiga trianglar med sidan s st¨alls mot varandra l¨angs kanterna p˚
a en kvadrat
s˚
a att en pyramid bildas. Vad blir pyramidens h¨ojd?
22. Taylorutveckla f (x(g(x))2 ) kring x = 0 till andra ordningen med f (x) = 1 + x + x2 och
g(x) = 4 − x − x2 .
23. Ber¨akna
ZZ
(x2 + y 2 )dx dy.
x2 +y 2 ≤1
24. Ber¨akna vinkeln mellan rymddiagonalen p˚
a en kub och en n¨arliggande kant.
2
25. En lysdiod drar en str¨om p˚
a 10 mA vid sin arbetssp¨anning p˚
a 2 V. Lysdioden serikopplas
med en resistor och ansluts till en drivsp¨anning p˚
a 9 V. Vilken resistans ska resistorn ha f¨or
att lysdioden ska f˚
a den specificerade arbetssp¨anningen?
26. Taylorutveckla ln ln x till andra ordningen kring x = e.
27. Atomerna i en natriumkloridkristall bildar ett kubiskt gitter d¨ar varje natriumjon har 6
klorjoner som grannar och vice versa. Hur stort ¨ar avst˚
andet mellan tv˚
a n¨arliggande atomer?
28. Ber¨akna 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 p˚
a exakt br˚
akform.
29. H¨arled derivatan av arcustangens.
30. Till¨ampa ett variabelbyte p˚
a standardintegralen
Z
∞
t−1/2 e−t dt.
Z
∞
e−x
2 /2
dx =
√
2π f¨or att ber¨akna
−∞
0
31. Ett experiment ger ett utfall ξ som ¨ar antingen 0 eller 1. Sannolikheten f¨or ett givet
utfall ¨ar oberoende av tidigare experiment. Best¨am f¨ordelningens medelv¨arde och standardavvikelse under f¨oruts¨attning att sannolikheten P (ξ = 1) ¨ar k¨and.
32. Finn alla reella tal u och v som uppfyller villkoren au+bv = cuv och u cos α+v sin α = 0
d¨ar a, b och α a¨r reella konstanter.
33. Anv¨and definitionen av resistans f¨or att h¨arleda den resulterande resistansen f¨or tv˚
a
serie- respektive parallellkopplade resistanser.
34. Ber¨akna
Z
∞
x4 e−x dx.
0
35. En partikels r¨orelse beskrivs i ett planpol¨art koordinatsystem. Uttryck partikelns l¨age,
hastighet och acceleration i kartesiska koordinater med hj¨alp av de pol¨ara variablerna och
deras tidsderivator.
36. Uttryck 1/(1 + x) som en potensserie.
37. Ber¨akna
Z
∞
x4 e−x
2 /2
dx.
−∞
3
38. Ber¨akna omloppstid och banhastighet f¨or en cirkul¨ar satellitbana p˚
a 200 kilometers
h¨ojd o¨ver Jorden.
2
∂ y
= k ∂x
att en l¨osning p˚
a formen
2 och ans¨
2
x
y(x, t) = a(t) exp − b(t) . Ins¨attning av denna ansats i den ursprungliga ekvationer leder till
ordin¨ara differentialekvationer f¨or a(t) och b(t). Best¨am dessa differentialekvationer.
39. Betrakta den partiella
differentialekvationen
∂y
∂t
40. H¨arled den fullst¨andiga taylorserien f¨or ln x kring x = 1.
41. H¨arled volymen hos en kon utifr˚
an en l¨amplig volymintegral.
42. Ett kvadratiskt pappersark med sidan s viks s˚
a att det bildar en l˚
ada vars kanter har
h¨ojden h och bildar en r¨at vinkel mot l˚
adans botten. L˚
adan saknar lock och dess botten
bildar en kvadrat med sidan s − 2h. Best¨am h s˚
a att l˚
adans volym maximeras f¨or en given
sidl¨angd s.
43. Derivera ln
44. Visa att
45. Ber¨akna
√
(u + v)n (u − v)n
med h¨anseende p˚
a u och faktorisera resultatet.
n! un v n
5+1 −1
2
ZZ
=
0≤x≤y≤1
√
5−1
.
2
|x2 + y 2 | dx dy.
46. Skriv ut likheten a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b) p˚
a komponentform och visa att den
g¨aller f¨or allm¨anna tredimensionella vektorer a, b och c.
47. Ber¨akna
ZZ
48. Derivera ln
|x2 − y 2 |e−|x+y| e−|x−y| dx dy.
x2 y 2
med h¨anseende p˚
a y.
x(x + y)(x + 2y)(x + 3y)
49. F¨orenkla (x2 − 2x cosh ln x + 1)(x2 − 2x sinh ln x + 1).
50. Finn en primitiv funktion till f (x) = x ln x.
51. Ber¨akna
∂ 2xy − z 2
.
∂y x2 + y 2 + z 2
4
52. Ber¨akna den plana vinkel som solens radie tar upp sett fr˚
an jorden och uppskatta den
rymdvinkel som solytan tar upp p˚
a himlavalvet.
53. Ber¨akna
ZZ
(x4 + y 4 )dx dy.
x2 +y 2 ≤1
54. En cykloidb˚
age parametriseras enligt x(ϕ) = ϕ + sin ϕ och y(ϕ) = 1 + cos ϕ. Ber¨akna
b˚
agl¨angden f¨or kurvavsnittet som ges av ϕ ∈ [−π, π].
55. F¨orenkla eiπ/3 + e−iπ/3 + ieiπ/3 + ie−iπ/3 .
√
56. Utg˚
a fr˚
an definitionen |r| = r · r, skal¨arproduktens kommutativa lag a · b = b · a och
dess distributiva lag a · (b + c) = a · b + a · c. Visa att triangelolikheten |a + b| ≤ |a| + |b|
¨ar en konsekvens av olikheten a · b ≤ |a||b|.
57. En periodisk funktion f (x) med perioden L kan skrivas som en fourierserie
∞
X
Cn e2iπnx/L
n=−∞
eller som en trigonometrisk serie
∞
∞
X
X
1
A0 +
An cos(2πnx/L) +
Bn sin(2πnx/L) .
2
n=1
n=1
Antag att funktionens trigonometriska serie a¨r k¨and och best¨am dess fourierkoefficenter Cn .
58. Funktionen y(x, t) ¨ar definierad f¨or positiva x och t. Vidare uppfyller y differentialekvationen
∂y
∂t
2
∂ y
∂y
= D ∂x
ar D, u och y0
2 + u ∂x samt randvillkoren y(0, t) = y0 och lim y(x, t) = 0 d¨
x→∞
¨ar positiva konstanter. Finn den l¨osning y(x, t) som ¨ar tidsoberoende.
59. Uppskatta tiden det tar f¨or en vattenkokare p˚
a 2 kW att v¨arma upp 2 liter vatten fr˚
an
rumstemperatur till kokhett.
60. Hur stor andel av Jordens yta ligger inom vardera polcirkel?
61.

1 a 0
Best¨am egenv¨arden och egenvektorer till matrisen a 1 a.
0 a 1

5
62. En j¨amn funktion ¨ar symmetrisk kring origo medan en udda funktion ¨ar antisymmetrisk
kring origo. Betrakta skal¨ara funktioner i en variabel och visa att derivatan av en udda
funktion ¨ar j¨amn och vice versa.
 

2
1 a 0



63. L¨os ekvationssystemet Ax = y d¨ar A = a 1 a och y = 0 f¨or ett givet reellt
1
0 a 1
tal a.

64. F¨orenkla
x−1
x+1
x+1
x−1
.
1
x2 −1
+
1−
65. H¨arled derivatan av arcussinus.
x2 dA ¨over ytan A av vektorer (x, y, z) som uppfyller x2 + y 2 + z 2 = R2 d¨ar
R a¨r en positiv konstant.
66. Ber¨akna
R
A
67. Ber¨akna arean som innesluts av kurvan (x(ϕ), y(ϕ)) = (2 cos ϕ − cos 2ϕ, 2 sin ϕ − sin 2ϕ)
f¨or −π ≤ ϕ ≤ π.
68. Ber¨akna
Z
π
(x sin3 x + x2 cos2 x) dx.
−π
69. Hur skalar den maximala effekten som kan tas ut av ett vindkraftverk med avseende
p˚
a vindhastigheten?
70. Den elektriska resistiviteten hos koppar a¨r 0.017 Ω mm2 /m. Ange konduktiviteten hos
koppar i A/Vm.
71.

0 −1 1
0 −1.
Best¨am egenv¨arden och egenvektorer till matrisen  1
−1 1
0

72. En full toalettrulle med 20 m toalettpapper i 3 lager har innerdiametern 4.5 cm och
ytterdiametern 11 cm. Hur tjocka ¨ar de enskilda papperslagren i rullen?
73. Best¨am tyngdpunkten hos den volym som begr¨ansas av 0 ≤ z ≤ h, x2 + y 2 ≤ R2 och
2Rz ≤ h(x + R) d¨ar h och R ¨ar positiva konstanter.
6
˙
74. L¨os x(t)
=
1
0 1
.
x(t) med initialvillkoret x(0) =
1
2 0
75. Speglar t¨acker ytorna x = 0 f¨or y, z ≥ 0, y = 0 f¨or z, x ≥ 0 och z = 0 f¨or x, y ≥ 0. En
str˚
ale med riktningsvektorn v utg˚
ar fr˚
an en punkt med x, y, z > 0 och str˚
alen reflekteras 0
till 3 g˚
anger i sin fortsatta v¨ag. Best¨am str˚
alens riktning efter samtliga reflexioner.
76.

1 −1 0
0 1.
Invertera matrisen  2
−1 −1 2

77. L¨os u(t)
˙
= −λ(u(t))2 med initialvillkoret u(0) = u0 .
78. Best¨am egenv¨arden och egenvektorer till matrisen
2 3
.
1 −4
79. Vid bilk¨orning i 90 km/h i normala f¨orh˚
allanden ¨ar reaktionsstr¨ackan omkring 25 m och
bromsstr¨ackan omkring 40 m. Hur l˚
ang ¨ar reaktionstiden och hur stor ¨ar friktionskoefficenten
mellan d¨acken och v¨agen?
p
sin x cos x + 1/2. S¨okandet efter l¨ampliga omskrivningar kan underl¨attas av
att uttrycket skissas eller plottas som funktion av x.
80. F¨orenkla
81. L˚
at g(y) vara den positiva l¨osningen till gy = sinh g f¨or y > 1. Anv¨and g(y) f¨or att
best¨amma konstanterna A, B och τ i x(t) = Aet/τ + Be−t/τ s˚
a att x(0) = 0, x(0)
˙
= v0 och
x(t1 ) = x1 d¨ar v0 , t1 och x1 a¨r givna konstanter.
       
1
1
1
1
 1  i  1 −1 1  −i 
1
1
,  ,  ,   utg¨or en ortonormerad bas
82. Visa att vektorerna 
2 1 2 −1 2  1  2 −1
1
−i
−1
i


−1 2
0
1
 1 −1 2
0
 och diagonalisera A.
av egenvektorer till matrisen A = 
0
1 −1 2 
2
0
1 −1
83. Visa att det elektriska f¨altet kring en l˚
ang stav med j¨amn laddningsf¨ordelning avtar
omv¨ant proportionellt mot det radiella avst˚
andet fr˚
an staven och h¨arled ett uttryck f¨or
kapacitansen i en koaxialkabel.
7
84. Ber¨akna
ZZ
sin4 (u + v) du dv.
0≤u,v≤π
85. Best¨am ∇ ln|x| p˚
a komponentform d¨ar ∇ verkar med h¨anseende p˚
a den tv˚
adimensionella
vektorn x.
86.

cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos θ
Invertera matrisen cos ϕ cos θ sin ϕ cos θ − sin θ.
− sin ϕ
cos ϕ
0

87. Taylorutveckla ln (1 − x) 1 − (1 − x)2 − ln x till och med fj¨arde ordningen i x kring
x = 0.
88. L¨os x¨ (t) =
0
1
0 1
˙
.
och x(0)
=
x(t) med initialvillkoren x(0) =
0
1
2 0
89. Ett stearinljus ¨ar 20 cm h¨ogt, 23 mm i diamer och brinner ca 8 timmar. Energin som
frig¨ors vid f¨orbr¨anning av stearin ¨ar 44 MJ/kg och stearinet har en densitet p˚
a 0.85 g/cm3 .
Ber¨akna effekten som ljuset avger n¨ar det brinner.
90. F¨or att bilda en ljusb˚
age i torr luft kr¨avs ett elektriskt f¨alt p˚
a ca 3 kV/mm. Betrakta urladdningar av centimeterstorlek som orsakas av statisk elektricitet i vardagliga sammanhang.
G¨or en grov uppskattning av hur mycket energi som frig¨ors i en s˚
adan urladdning.
91. Ber¨akna
ZZZ
(x2 + y 2 ) dx dy dz.
x2 +y 2 +z 2 ≤1
92. Hur stor ¨ar sannolikheten att f˚
a utfallet ”ett” exakt en g˚
ang bland fyra kast med en
6-sidig r¨attvis t¨arning?
˙
93. L¨os x(t)
=
konstanter.
u
0 a
d¨ar a, b och u ¨ar givna
x(t) med initialvillkoret x(0) =
u
b 0
94. Betrakta ekvationen x sinh y = z 2 och ber¨akna samtliga partiella derivator som anger
hur en variabel ¨andras med avsende p˚
a en annan under f¨oruts¨attning att den ˚
aterst˚
aende
variabeln a¨r konstant.
95. En diskret fouriertransform som verkar p˚
a n-dimensionella vektorer beskrivs av matrisen
Fn vars element ges av (Fn )jk = √1n e−2πi(j−1)(k−1)/n . Skriv ut matriserna F2 och F4 explicit
och visa att de ¨ar ortogonala, d.v.s. att kolonnvektorerna bildar en ortonormerad bas.
8
96. F¨orenkla
1
.
1 − tanh ln x
97. En ideal studsboll med homogen densitet studsar mot ett golv utan att halka eller
f¨orlora energi. Studsbollen tr¨affar golvet med vinkeln 30◦ i f¨orh˚
allande till golvets normal.
Bollen roterar inte f¨ore studsen men det sneda islaget g¨or att den b¨orjar rotera. Hur stor
blir bollens rotationsenergi i f¨orh˚
allande till dess totala r¨orelseenergi efter studsen? Ber¨akna
¨aven vinkeln mellan golvets normal och bollens hastighet efter studsen.
98. Best¨am a och b s˚
a att a2 − ab + 2b2 + 3a − b minimeras.
99. Anv¨and definitionen av kapacitans f¨or att h¨arleda den resulterande kapacitansen f¨or
tv˚
a serie- respektive parallellkopplade kapacitanser.
100. Ber¨akna
√
4
u
1 − u2 du.
−1
R1
101. Skriv ut likheten ∇ × (∇ × a) = ∇ · (∇a) − ∇2 a p˚
a komponentform och visa att den
g¨aller f¨or allm¨anna tredimensionella vektorf¨alt a.
102.


(x2 − x3 )2
S¨att f (x) = (x3 − x1 )2  och ber¨akna ∇ · f samt ∇ × f .
(x1 − x2 )2
103. L¨os eln x ln y = xy f¨or x, y > 0 och ange y som funktion av x.
104. Ber¨akna ¨overtrycket i en luftbubbla med diametern 1 mm i vatten med ytsp¨anningen
0.07 N/m
∂f 105. Antag att f (x, y) har k¨anda partialderivator och att xy = u . Best¨am ∂u x konstant
∂f .
och
∂u y konstant
2
3
106. En kurva i planet beskrivs av ekvationen r = a cos ϕ i pol¨ara koordinater (r, ϕ) d¨ar a
¨ar en positiv konstant. Vilken geometrisk figur beskriver kurvan f¨or 0 ≤ ϕ ≤ π/2?
8
107. Ber¨akna
108. Ber¨akna
ln 88
4
ln 44
.
√
4
1 + u2 du.
u
−1
R1
9
109. Ungef¨ar hur stor beh¨over urtavlan hos en klocka som visar r¨att tid vara f¨or att
minutvisarens spets bokstavligt talat ska r¨ora sig i snigelfart?
110. Vilken utg˚
angsvinkel ska ett fotbollsinkast ha f¨or att bollen ska g˚
a s˚
a l˚
angt som
m¨ojligt? Anta att bollens utg˚
angshastighet ¨ar oberoende av utg˚
angsvinkeln och f¨orsumma
luftmotst˚
andet. Definera kastets l¨angd som avst˚
andet till den punkt d˚
a bollen ¨ar i samma
h¨ojd som vid utkastet. Professionella fotbollspelares l˚
anga inkast har en utg˚
angsvinkeln p˚
a
ca 30◦ , vilket (f¨orhoppningsvis) inte ¨ar det svar du fick. Vilket antagande vill du ifr˚
agas¨atta?
111. En bil v¨ager cirka 1 ton och motorns effekt ¨ar ca 90 hk, vilket motvarar ca 65 kW.
Uppf¨or Hallands˚
asen har motorv¨agen en lutning p˚
a 6%. Vilken hastighet kan bilen h˚
alla
konstant uppf¨or backen? Vid ett tillf¨alle var bilens hastighet i b¨orjan av backen 120 km/h,
och med fullt gasp˚
adrag minskade hastigheten till 105 km/h mot slutet av backen. J¨amf¨or
detta experimentella resultat med din r¨akning och kommentera.
112. L¨os
Z
3
d3 r sin(θ)e−r .
2
113. Taylorutveckla sin x − x3 ln 1 + x3 till l¨agsta icke-f¨orsvinnande ordning.
114. En punkt p˚
a ytan av en sf¨ar med radie R v¨aljs slumpm¨assigt med en homogen
sannolikhetst¨athet (sannolikhet per area). Best¨am sannolikhetsf¨ordelningen f¨or punktens zkomponent.
115. Ber¨akna ∇·x, ∇·x|x|2 och ∇2 |x|4 d¨ar ∇ verkar med h¨anseende p˚
a den tredimensionella
vektorn x.
116. Ber¨akna
∞
X
k=1
kak f¨or |a| < 1.
117. Visa att dtd f (r, t) = ∂t∂ f (r, t) + v · ∇f (r, t), d¨ar v = r˙ .
118. Finn en primitiv funktion till x sin(x).
119. Givet y =
120. Ber¨akna
1−x
, skriv x som funktion av y.
1+x
n−1
X
k=0
α∈
/ Z.
k
a och visa att
n−1
X
k=0
e−2πikα = 0 f¨or α ∈ R om och endast om nα ∈ Z och
10
121.
1
Ber¨akna lim
a→∞ 2a
Z
a
eikx dx f¨or reella konstanter k.
−a
122. H¨arled taylorutvecklingen av arcustangens, med hj¨alp av vad du vet om funktionens
derivata.
123. En 200-liters vattnetunna samlar regn fr˚
an ett 50 m2 stort tak. Hur m˚
anga millimeter
regn beh¨ovs f¨or att fylla tunnan?
124. Finn det x > 0 som maximerar f (x) = ln x − x.
125. Taylorutveckla funktionen f (x) i uppgift 124 kring dess maximum, till andra ordning.
126. Best¨am maximum av f (x) =
x
f¨or x > 0 d¨ar a > 0 a¨r en konstant.
a3 + x 3
127. L˚
at f vara en tredimensionell vektorv¨ard funktion som beror p˚
a den tredimensionella
vektorn r. Skriv ut ∇ × (r × f ) p˚
a komponentform och f¨orenkla s˚
a l˚
angt det g˚
ar.
128. Pappersformatet A0 har ytan 1 m2 . Om man viker ett A0-papper p˚
a mitten av dess
l˚
angsida f˚
ar man formatet A1. F¨orh˚
allandet mellan l¨angsta och kortaste sidan p˚
a ett A1papper ¨ar detsamma som motsvarande f¨orh˚
allande f¨or A0. Viker man sedan ett A1-papper p˚
a
mitten av dess l˚
angsida f˚
ar man formatet A2, osv. H¨arled l¨angd och bredd p˚
a ett A4-papper.
129. I ett enkelt t¨arningsspel flyttar man sin spelpj¨as enligt antalet prickar som en vanlig
6-sidig t¨arning visar. Hur l˚
angt f˚
ar man flytta pj¨as i genomsnitt med denna regel? Antag
att man l¨agger till regeln att utfallet ”sex” g¨or att man b˚
ade f˚
ar flytta sin pj¨as och sl˚
a om
under samma drag. Om man f˚
ar flera sexor i rad s˚
a f˚
ar man forts¨atta sl˚
a om och flytta tills
man f˚
ar n˚
agot annat ¨an en sexa (och man flyttar pj¨asen efter det senaste slaget). Hur l˚
angt
f˚
ar man i genomsnitt flytta sin pj¨as under ett drag med omslagsregeln?
130. I ett t¨arningsspel av den typ som beskrivs i uppgift 129 utan omslagsregeln vill
man veta hur stor sannolikheten ¨ar att hamna p˚
a en ruta som ligger n steg fram˚
at. Denna
sannolikhet betecknas med pn d¨ar p0 = 1 (f¨or att man st˚
ar p˚
a rutan som ¨ar noll steg framf¨or
en) och pn =P
0 f¨or n < 0 (eftersom n < 0 betyder att rutan ¨ar passerad). F¨or positiva n
g¨aller pn = 16 6k=1 pn−k . Tolka och motivera det givna sambandet. Ber¨akna ¨aven p1 , p2 , . . .,
p12 numeriskt och ange dessa sannolikheter med fyra decimalers noggrannhet.
11
1
6
1

0
Visa att matrisen A = 
0

0
0
1
6
0
1
0
0
0
1
6
0
0
1
0
0
1
6
0
0
0
1
0
1
6
0
0
0
0
1
1
6

0

0
 har egenv¨ardet λ = 1 och att de andra
131.
0

0
0
5
X
egenv¨ardena ges av l¨osningarna till ekvationen
(k + 1)λk = 0. Finn en egenvektor med
k=0
egenv¨ardet λ = 1.
132. Numerisk l¨osning av ekvationen
5
X
k=0
(k + 1)λk = 0 ger λ = 0.2942 ± 0.6684i, −0.3757 ±
0.5702i, −0.6703. Betrakta en f¨oljd av vektorer x0 , x1 , x2 , . . . som uppfyller xn+1 = Axn
f¨or heltal n ≥ 0 d¨ar A ¨ar matrisen som anges i uppgift 131. Visa att f¨oljden {xn } kan
skrivas p˚
a formen xn = a0 cn0 + a1 cn1 cos(2πn/τ1 ) + b1 cn1 sin(2πn/τ1 ) + a2 cn2 cos(2πn/τ2 ) +
b2 cn2 sin(2πn/τ2 ) + a3 cn3 cos(2πn/τ3 ) d¨ar a0 , a1 , b1 , a2 , b2 och a3 ¨ar vektorer och c0 , c1 , c2 ,
c3 , τ1 , τ2 och τ3 ¨ar positiva reella konstanter. Ber¨akna ¨aven konstanterna {ck } och {τk }.
133. Det finns en stark koppling mellan uppgifterna 130, 131 och 132. Beskriv denna
koppling.
134.
4 x + 12
x
2
1
Visa att
−
=
+
.
1 − x3
3(1 − x) 3 + 4 x + 1 2 9 + 12 x + 1 2
2
2
135. Anv¨and likheten i uppgift 134 f¨or att finna en primitiv funktion till f (x) =
x
.
1 − x3
136. Antag toppfarten hos en sportbil best¨ams av luftmotst˚
andet och motorns maximala
uteffekt. Hur skalar toppfarten med motorns effekt om karossens aerodynamik ¨ar of¨or¨andrad?
Enligt testdata som citeras i Teknikens V¨arld f¨or Porsches 911-modeller f˚
as topphastigheter p˚
a 289 km/h och 380 km/h f¨or bilar med motorer p˚
a 345 hk respektive 858 hk. Hur v¨al
st¨ammer dessa experimentella data med skalningslagen?
137. Bilen som a¨r utrustad med den starkare motorn i uppgift 136 v¨ager 1345 kg och
accelererar fr˚
an stillast˚
aende till 100 km/h p˚
a 3.0 s. Antag att accelerationen ¨ar likformig.
Utg˚
a fr˚
an att den metriska definitionen 1 hk = 0.7355 kW har anv¨ants i de data som citeras
i f¨oreg˚
aende uppgift. Hur stor andel av motorns maximala effekt anv¨ands som mest till att
¨oka bilens r¨orelseenergi under accelerationens f¨orlopp? Hur stor ¨ar den accelererande kraften
i f¨orh˚
allande till tyngdkraften?
12
P
− k(v(t))2 med initialvillkoret v(0) = 0
v(t)
d¨ar m, P och k a¨r positiva konstanter. Visa att ekvationen
1/3
√
P + 2k 1/3 v
π
3P 1/3 k 1/3 v
6P 1/3 k 2/3
√
√
+
−
2
t = ln 1 + 1/3
3
atan
m
(P − k 1/3 v)2
3P 1/3
3
138. Betrakta differentialekvationen mv(t)
˙
=
l¨oser den givna differentialekvationen.
139. En periodisk funktion f (x) med perioden L har fourierserien
∞
X
Cn e2iπnx/L . Best¨am
n=−∞
fourierserien f¨or g(x) = f (x − a) d¨ar a ¨ar ett reellt tal.
140. Best¨am fourierserien f¨or f (x) = |sin x|.
141. Porschen med den starkare motorn i uppgift 136 accelererar fr˚
an stillast˚
aende till
300 km/h p˚
a 18.9 s. F¨or hastigheter d¨ar luftmotst˚
and och motorns maximala uteffekt P begr¨ansar accelerationen a g¨aller ma = P/v−kv 2 d¨ar v ¨ar hastigheten, m ¨ar massan och k ¨ar en
konstant som karakteriserar luftmotst˚
andet. Best¨am dessa konstanter utifr˚
an informationen
i tidigare uppgifter och anv¨and ekvationen fr˚
an uppgift 138 f¨or att uppskatta tids˚
atg˚
angen
f¨or acceleration fr˚
an stillast˚
aende till 300 km/h. Antag d¨arefter att friktionen mellan d¨acken
och v¨agen inte till˚
ater att bilen accelererar snabbare ¨an tyngdaccelerationen och revidera
uppskattningen. J¨amf¨or med det experimentella v¨ardet.
142. Taylorutveckla differentialekvationen i uppgift 138 kring topphastigheten och r¨akna
ut hur en liten skillnad fr˚
an topphastigheten utj¨amnas med tiden. S¨att in de observerade
v¨ardena f¨or den starkare av bilarna i uppgift 136.
143. F¨or att f˚
a vattenstr˚
alar som ¨ar l¨ampliga f¨or brandbek¨ampning anv¨ander man s˚
a kallade str˚
alr¨or i slutet p˚
a brandslangar. F¨orsumma energif¨orluster p
hos vattenstr¨omen i str˚
alr¨oret
2
2
och visa att vattnet l¨amnar str˚
alr¨oret med hastigheten v0 = 2p/ρ + Φ /A d¨ar p ¨ar vattentrycket i slangen precis f¨ore str˚
alr¨oret, Φ a¨r vattenfl¨odet, A a¨r slangens inre tv¨arsnittsarea
och ρ ¨ar vattnets densitet.
144. Utg˚
a fr˚
an uppgift 143 och best¨am den bak˚
atriktade kraft F som orsakas av att vatten
accelereras i str˚
alr¨oret. Ett visst str˚
alr¨or arbetar med ett vattenfl¨ode p˚
a 410 liter per minut
under ett tryck p˚
a 6 bar och sitter p˚
a en brandslang vars innerdiameter ¨ar 42 mm. Ber¨akna
F f¨or dessa parametrar.
145. En skruvfj¨ader best˚
ar av metalltr˚
ad som beskriver en helix. N¨ar fj¨adern dras ut eller
pressas ihop s˚
a p˚
averkas helixens radie n˚
agot. Antag att en tryckfj¨ader pressas ihop s˚
a att
13
vinkeln mellan fj¨adertr˚
aden och fj¨aderns axel g˚
ar fr˚
an 60◦ till 80◦ . Med vilken faktor ¨andras
helixens radie om fj¨aderns ¨andar inte till˚
ats att rotera?
146. En spiralfj¨ader best˚
ar av ett metallband som ¨ar virat i ett plan kring en vridbar axel
och inf¨ast i en fixerad axel. S˚
adana fj¨adrar finns exempelvis i klockor och fj¨adern sp¨anns
genom att man roterar den vridbara axeln. Metallbandet har ett rektangul¨art tv¨arsnitt
med k¨anda dimensioner. Man k¨anner a¨ven till elasticitetsmodulen hos metallen och fj¨aderns
l¨angd. Under f¨oruts¨attning att fj¨aderns vindningar f¨orblir n˚
agorlunda koncentriska och inte
hakar i varandra s˚
a blir vridmoment proportionellt mot axelns vridningsvinkel fr˚
an fj¨aderns
j¨amviktsl¨age. Best¨am konstanten i ovanst˚
aende proportionalitet utifr˚
an de k¨anda storheterna.
147. En stokastisk funktion returnerar ett reellt tal x i intervallet 0 < x ≤ 1 med homogen
sannolikhetst¨athet. Best¨am medelv¨arde och standardavvikelse f¨or x.
148. En punkt inom en cirkelskiva med radien R v¨aljs slumpm¨assigt med en homogen
sannolikhetst¨athet (sannolikhet per area). Best¨am medelv¨arde och standardavvikelse f¨or
punktens avst˚
and fr˚
an cirkelns centrum.
149. Betrakta den n-dimensionella matrisen Fn med elementen (Fn )jk =
√1 e−2πi(j−1)(k−1)/n .
n
Best¨am den allm¨anna formen f¨or (Fn )−1 och skriv ut (Fn )2 f¨or n = 1, 2, 3, 4, 5.
150. Ber¨akna
n−1
X
j=0
e2πimj/n (e2πi/n − 1)e−2πijk/n f¨or allm¨anna heltal k, m och n > 0. (i st˚
ar
f¨or den imagin¨ara enheten.)
151. Antag att f (x) → 0 f¨or x = ±∞ och visa att
Z
∞
−∞
e
−ikx ′
f (x) =
Z
∞
ike−ikx f (x).
−∞
152. Anv¨and Gauss sats och ∇ · E = ρ/ǫ0 f¨or att best¨amma det elektriska f¨altet kring en
sf¨ariskt symmetrisk laddningsf¨ordelning.
153. Betrakta komplexv¨arda funktioner som ¨ar definierade f¨or alla reella tal x. Finn alla
egenfunktioner till deriveringsoperatorn
d
.
dx
154. En skal¨arprodukt mellan
komplexv¨arda funktioner med definitionsm¨angden 0 ≤
√x ≤ 1
R
1
definieras enligt hf | gi = 0 f ∗ (x)g(x) dx. Visa att funktionerna f0 (x) = 1, f1 (x) = 2 3 x −
√
1
1
2
och
f
(x)
=
6
bildar en ortonormerad bas f¨or andragradspolynom i
5
x
−
x
+
2
2
6
intervallet 0 ≤ x ≤ 1.
14
155. En slumptalsgenerator generar en homogen f¨ordelning av pseudoslumptal x i intervallet 0 < x ≤ 1. Slumptalsgeneratorn anv¨ands f¨or att generera slumptal y d¨ar y = −a ln x
hos f¨ordelningen av y.
f¨or en given positiv konstant a. Best¨am sannolikhetst¨atheten dP
dy
156. Best¨am fouriertransformen av funktionen f (x) = e−a|x−x0 | d¨ar a > 0 och x0 a¨r reella
konstanter.
157. En punkt v¨aljs slumpm¨assigt och med en homogen sannolikhetst¨athet inom en kvadrat
med sidan s. L˚
at r vara punktens avst˚
and fr˚
an kvadratens mittpunkt och best¨am sannolikheten P (r ≤ R) som funktion av parametern R.
158. Finn alla reellv¨arda egenfunktioner f (x) definierade f¨or 0 ≤ x ≤ L med f (0) = f (L) =
0 till operatorn
∂2
och ange tillh¨orande egenv¨arden.
∂x2
159. L˚
at funktionen f (x) vara definierad f¨or 0 ≤ x < L. Utvidga funktionens definitionsomr˚
ade genom att s¨atta f (x) = −f (x − L) f¨or L ≤ x < 2L. Best¨am den trigonometriska serien f¨or f (x) ¨over intervallet 0 ≤ x < 2L och ange konstanterna {an } s˚
a att
∞
X
f (x) =
an sin(πnx/L).
n=1
160. Anv¨and Stokes sats f¨or att h¨arleda Amp`eres lag
µ 0 j + µ 0 ǫ0
∂E
.
∂t
15
I
Γ
B · dl = µ0 I utifr˚
an ∇ × B =
Ledning
1. Elektrisk sp¨anning mellan tv˚
a punkter ¨ar skillnaden i den elektriska potentialen mellan
a avst˚
andet r fr˚
an en punktladdning
dessa punkter. Enligt Coulombs lag g¨aller Φ = 4πǫQ0 r p˚
Q.
2. Fallstr¨ackan s uppfyller s¨(t) = g, s(0)
˙
= 0 och s(0) = 0 som ger s(t) = gt2 /2.
3. Kvadratkomplettera uttrycket.
4. Anv¨and brytningslagen f¨or att eliminera n. I ¨ovrigt ¨ar detta en ¨ovning i gr¨otig algebra.
5. Uttryck tan θt med sin θt och anv¨and brytningslagen.
6.
7. Uttryck de trigonometriska funktionerna p˚
a exponentialform.
8. F¨oruts¨att att R och ω ¨ar konstanter och derivera med h¨anseende p˚
a t.
9. Paritalintegrera s˚
a att faktorn (1 − x)a f˚
ar allt h¨ogre potens, medan faktorn x3 f˚
ar allt
l¨agre. Efter ett tag best˚
ar integranden av en enda faktor och integralen blir l¨osbar.
10.
11. Svaret blir en b-beroende faktor g˚
anger integralen i uppgift 9.
12. Skriv den generella l¨osningen till integralen med hj¨alp av primitiva funktionen till g.
Utnyttja sedan vad du vet om derivatan av primitiva funktioner.
13. T¨ank p˚
a symmetrier och l¨agg m¨arke till vilka termer som tar ut varandra f¨or att
underl¨atta r¨aknandet och minska risken f¨or fel.
14. Anv¨and dimensionsargument.
15.
16
16. Kraften F fr˚
an en potential V definieras enligt F = −∇V .
17.
18. Anv¨and eiπ/3 = cos(π/3) + i sin(π/3) och betrakta en liksidig triangel f¨or att visa att
cos(π/3) = 1/2.
19. Proportionalitet mellan tv˚
a storheter f och g kan skrivas som f = αg f¨or n˚
agon konstant
α.
20. Finn den allm¨anna l¨osningen och anv¨and initialvillkoren f¨or att best¨amma konstanterna
i denna l¨osning.
21. Pyramidens topp befinner sig rakt ¨over kvadratens mitt.
22. G¨or ett variabelbyte p˚
a formen u = x(g(x))2 och v = f (u). Skriv ut resttermerna med
ordonotation och anv¨and egenskaperna hos ordobegreppet f¨or att beh˚
alla precis s˚
a m˚
anga
termer som beh¨ovs i mellanleden.
23. Byt till pol¨ara koordinater.
24. L¨angdf¨orh˚
allandet mellan rymddiagonalen och en sida hos kuben ger en trigonometrisk
funktion av den s¨okta vinkeln.
25. Anv¨and Ohms lag, kontinuitetsvillkoret f¨or laddningsf¨ordelningar (som betyder att
laddningar inte f¨orsvinner) och definitionen av elektrisk sp¨anning (som potentialskillnad).
26. J¨amf¨or med uppgift 22.
27. Anv¨and densiteten 2.16 g/cm3 f¨or natriumklorid och atommassorna f¨or natrium och
klor f¨or att ber¨akna atomt¨atheten (atomer per volym). Den ovan angivna densiteten finns
inte i tefyma men de aktuella atommassorna finns d¨ar.
28.
29. S¨att y = tan x och uttryck
dy
dx
som en funktion av y.
30. Anv¨and variabelbytet t = x2 /2.
17
31. hξi =
P
k
kP (ξ = k), hξ 2 i =
P
k
k 2 P (ξ = k) och σ(ξ) =
p
hξ 2 i − hξi2 .
32. Se upp med multiplikation och division med 0.
33. Utg˚
a fr˚
an samband p˚
a formerna U = U1 + U2 , I = I1 + I2 , U1 = U2 = U och I1 = I2 = I
d¨ar de ¨ar till¨ampbara.
34. Integralen kan ber¨aknas med hj¨alp av upprepade partialintegrationer.
35. S¨att x(t) = r(t) cos ϕ(t), y(t) = r(t) sin ϕ(t) och derivera dessa samband.
36. Man kan anv¨anda upprepad derivering eller en geometrisk serie.
37. Integralen kan ber¨aknas med hj¨alp av upprepade partialintegrationer.
38. Skillnaden mellan tyngdaccelerationen vid jordytan och p˚
a 200 kilometers h¨ojd ¨ar inte
f¨orsumbar medan Jordens avvikelse fr˚
an sf¨arisk symmetri kan f¨orsummas under f¨oruts¨attning
att slutresultatet inte anges med f¨or h¨og precision.
39. Identifiera termer med samma form av x-beroende p˚
a vardera sida av ekvationen efter
ins¨attning av ansatsen.
40. Utg˚
a fr˚
an 1/(1 + ǫ) = 1 − ǫ2 + ǫ3 − ǫ4 + ....
41. Ber¨akna volymen av det omr˚
ade som begr¨ansas av 0 ≤ z ≤ h och
p
x2 + y 2
z
≤ .
r
h
42. Derivera l˚
adans volym med h¨anseende p˚
a h och faktorisera derivatan.
43.
√
44. F¨orl¨ang br˚
aket med 5 − 1.
45. Uttryck dubbelintegralen med hj¨alp av enkelintegraler i kartesiska koordinater.
46. R¨akningarna kan f¨orkortas genom att man betraktar cykliska permutationer i, j, k av
vektorkomponentindexen 1, 2, 3.
18
47. Genomf¨or ett l¨ampligt variabelbyte och utnyttja uttryckets symmetrier.
48. Skriv logaritmen av den givna produkten som en summa av logaritmer.
49. Visa att en av faktorerna ¨ar 0.
50. Anv¨and partiell integration eller ans¨att l¨ampliga uttryck.
51.
52. F¨or sm˚
a plana vinklar (vanliga vinklar) kan man f¨orsumma kr¨okningen i ber¨aknandet
av rymdvinkeln.
53. Byt till pol¨ara koordinater.
54. En
agl¨angd dl kan skrivas som
s infinitesimal b˚
dl
=
dϕ
dx
dϕ
2
+
dy
dϕ
2
.
p
(dx)2 + (dy)2 s˚
a att
55.
56.
57. Skriv ut den trigonometriska serien p˚
a exponentform och identifiera koefficienter.
58. Villkoret att y(x, t) ¨ar tidsoberoende omvandlar problemet till en ordin¨ar differentialekvation.
59. Den specifika v¨armekapaciteten f¨or vatten ¨ar 4.2 kJ/(kg K).
60. F¨orsumma variationerna i jordradien och st¨all upp en ytintegral i sf¨ariskt pol¨ara koordinater.
61.
62. Derivera f (−x) med avseende p˚
a x.
19
63. Anv¨and gausselimination f¨or att l¨osa ekvationssystemet direkt eller invertera matrisen
A.
64.
65. H¨arledningen kan g¨oras enligt samma princip som h¨arledingen av derivatan av arcustangens i uppgift 29.
66. Anv¨and symmetriresonemang eller ett l¨ampligt val av sf¨ariskt pol¨ara koordinater.
67. Arean som innesluts av en sluten kurva Γ ges av Greens formel A =
1
2
I
Γ
(x dy − y dx).
68. Skriv om potenserna av trigonometriska funktioner som summor av trigonometriska
funktioner och partialintegrera.
69. Betrakta vindens energit¨athet och dess fl¨odeshastighet.
70.
71.
72. Betrakta den totala pappersl¨angden och tv¨arsnittsarean hos rullen.
√
u(1+u) 1 − u2 du och zT =
√
R1
1
2
1 − u2 du. Integralerna kan ber¨aknas med hj¨alp av ett trigonometriskt vari(1
+
u)
h
2π
−1
√
R1
R1 √
abelbyte eller genom att man partialintegrerar −1 u2 1 − u2 du och j¨amf¨or −1 1 − u2 du
med arean hos en cirkelskiva.
73. Visa att tyngdpunktens koordinater uppfyller xT = π2 R
R1
−1
74. Utg˚
a fr˚
an egenv¨arden och egenvektorer f¨or att h¨arleda en allm¨an l¨osning och l˚
at initialvillkoret specificera l¨osningen.
75. Problemet kan separeras s˚
a att de 3 dimensionerna hanteras var f¨or sig.
76. Anv¨and gausselimination.
77. Anv¨and variabelseparation.
20
78.
79. Approximera inbromsningen med en likformig (negativ) acceleration och ta fram friktionskoefficienten utifr˚
an denna.
80. Betrakta sin(x + a) eller cos(x + a).
81.
82.
83. Antag cylindrisk symmetri och anv¨and Gauss lag.
84. Skriv ut sinus p˚
a exponentialform, bryt ut exponenttermerna och dra nytta av att
integralen av vissa termer blir 0.
85.
86. Visa att matrisen ¨ar ortogonal s˚
a att dess invers ¨ar lika med transponatet.
87. F¨orenkla uttrycket s˚
a l˚
angt det g˚
ar f¨ore taylorutvecklingen.
88. Utg˚
a fr˚
an egenv¨arden och egenvektorer f¨or att h¨arleda en allm¨an l¨osning och l˚
at initialvillkoren specificera l¨osningen.
89.
90. Betrakta tv˚
a kondensatorplattor och v¨alj plattornas area utifr˚
an storleken p˚
a den area
som en typisk urladdning samlar laddningar fr˚
an.
91. Se de utdelande f¨orel¨asningsanteckningarna f¨or FYTA11.
92. Best¨am sannolikheten f¨or att utfallssekvensen ”ett, inte ett, inte ett, inte ett” och
relatera denna sannolikhet till det ursprungliga problemet.
93. Finn den allm¨anna l¨osningen med och anv¨and initialvillkoret f¨or att best¨amma l¨osningens parametrar.
21
94. L¨os uppgiften f¨or positiva x, y, z och generalisera d¨arefter uttrycken s˚
a att de g¨aller f¨or
allm¨anna reella x, y, z.
95. Kom ih˚
ag komplexkonjugatet i ortogonalitetsvillkoret.
96.
97. Under studsen ¨overf¨ors en impuls mellan golvet och bollen. Dela upp impulsen i vinkelr¨ata komponenter och hantera dem separat. Impulsens komponent parallellt med golvet
¨andrar bollens parallella hastighetskomponent och bollens rotation. Detta ger ett samband
mellan hastighets¨andringen parallellt med golvet och bollens rotationshastighet efter studsen.
98. Kvadratkomplettera s˚
a att uttrycket f˚
ar formen av tv˚
a kvadratiska termer plus en
konstant.
99. Se ledning och l¨osning f¨or uppgift 33.
100. Anv¨and variabelbytet u = sin x.
101.
102.
103. Logaritmera ekvationen och l¨os ut ln y
104. Betrakta kraftj¨amvikten mellan ytsp¨anningen och ¨overtrycket i ett tv¨arsnitt av bubblan.
105. Anv¨and kedjeregeln f¨or att uttrycka vardera av de s¨okta derivatorna som en produkt
av en partiell derivata av f och en partiell derivata av x eller y med avseende p˚
a u.
106. Byt till cartesiska koordinater och s¨ok efter uttryck som ser bekanta ut.
107. B˚
ade t¨aljare och n¨amnare kan skrivas om till heltalsmultiplar av ln 2.
108. Anv¨and variabelbytet u = sinh x och visa att
Z
√
1
1
u4 1 + u2 du =
sinh 6y − (sinh 4y + sinh 2y) + y/8
96
32
−1
1
22
d¨ar y = asinh 1. Visa d¨arefter att e±y =
√
2 ± 1 och s¨att in detta i ovanst˚
aende samband.
109. Ett f˚
atal millimeter per sekund a¨r typisk snigelfart.
110. Med l¨angdkoordinat x och h¨ojdkoordinat y blir Newtons ekvationer x¨ = 0 och
y¨ = −g, d¨ar g ¨ar tyngdaccelerationen. Best¨am x(t1 ) d¨ar t1 uppfyller y(t1 ) = y(t = 0).
Resultatet beror p˚
a begynnelsehastigheterna vx (t = 0) och vy (t = 0), som i sin tur beror p˚
a
utg˚
angshastigheten v och utg˚
angsvinkeln θ. Maximera x(t1 ) med avseende p˚
a θ.
111. Konstant hastighet inneb¨ar konstant r¨orelseenergi. Allts˚
a ska motorns effekt motsvara
¨andringen i l¨agesenergi per tid.
112. Anv¨and sf¨ariskt pol¨ara koordinater och g¨or sedan l¨amplig variabelsubstitution f¨or att
f¨orenkla integralen ¨over r.
113. Best¨am andelen av sf¨arens yta som har z-komponent i intervallet [z, z + dz].
114. Kalla summan S och studera (1 − a)S.
115. Problemet kan l¨osas genom att man skriver ut differentialoperatorerna och vektorerna
p˚
a komponentform och d¨arefter genomf¨or de partiella deriveringarna.
116.
117.
118. Anv¨and partiell integration eller ans¨att l¨ampliga uttryck.
119.
120. S¨att S =
n−1
X
k=0
ak och visa att aS = S − 1 + an .
121. Dela upp problemet i fallen k = 0 och k 6= 0.
122. Taylorutvecka derivatan av arcustangens. Integrera sedan.
123.
23
124.
125.
126. f (x) = f (xmax ) + 12 (x − xmax )2 f ′′ (xmax ) + O ((x − xmax )3 ). F¨orsta ordningens term
f¨orsvinner, eftersom xmax maximerar f , s˚
a att f ′ (xmax ) = 0.
127. Skriv ut differentialoperatorerna och vektorerna p˚
a komponentform och genomf¨or
d¨arefter de aktuella partiella deriveringarna.
128. F¨orh˚
allandet mellan l¨angd l och bredd b ges allts˚
a av bl =
l/2
.
b
129. I ett drag med omslagsregeln f˚
as f¨orst en f¨oljd av sexor och sedan ett slag som ger n˚
agot
annat ¨an en sexa. R¨akna ut det genomsnittliga antalet sexor i f¨oljd och det genomsnittliga
v¨ardet f¨or ett slag som inte ger en sexa.
130.
131. Skriv om egenv¨ardesekvationen Ax = λx som ett ekvationssystem och unders¨ok
l¨osningarna till detta.
P6
Ck vk λnk och konstruera en l¨osning
p˚
a den s¨okta formen. Dra nytta av strukturen hos de numeriska l¨osningarna.
132. Utg˚
a fr˚
an en generell l¨osning p˚
a formen xn =
k=1
133. Sannolikheterna i uppgift 130 kan uttryckas med hj¨alp av information fr˚
an de ¨ovriga
uppgifterna.
134.
135.
136. Utg˚
a fr˚
an att luftmotst˚
andet ¨ar proportionellt mot hastigheten i kvadrat.
137. T¨ank p˚
a att f¨orarens massa inte ¨ar inr¨aknad i massan som anges i uppgiften.
138. Unders¨ok
dt
.
dv
24
139. Finn konstanter {Cn′ } s˚
a att g(x) =
140. Anv¨and f (x) =
∞
X
Cn e
2iπnx/L
n=−∞
∞
X
Cn′ e2iπnx/L .
n=−∞
1
d¨ar Cn =
L
Z
L
e−2iπnx/L f (x) dx med L = π.
0
P
v
− kv 2 numeriskt f¨or att finna den hastighet d¨ar motorstyrkan b¨orjar
begr¨ansa accelerationen ist¨allet f¨or antagandet om att bilens acceleration inte ¨overstiger
tyngdaccelerationen.
141. L¨os mg =
142.
143. Betrakta energin per vattenmassa f¨ore och efter vattnet l¨amnar r¨oret.
144. T¨ank p˚
a att r¨orelsem¨angds¨andring per tid ger en kraft.
145.
146. Antagandet att vindningarna f¨orblir n˚
agorlunda koncentriska leder till att det b¨ojande
vridmomentets genomsnitt ¨over fj¨aderbandets l¨angd ¨ar detsamma som vridmomentet i fj¨aderns centrum. Se a¨ven formelsamlingens avsnitt om b¨ojning.
147. hxi =
hetst¨athet.
R
xdP och hx2 i =
R
x2 dP d¨ar dP/dx a¨r konstant f¨or en homogen sannolik-
148. hri = rdP och hr2 i = r2 dP d¨ar dP/dr ¨ar proportionell mot dA/dr.
R
R
149. Visa att Fn ¨ar unit¨ar och dra nytta av att komplexkonjugatet av en given kolonnvektor
i Fn a¨r lika med n˚
agon kolonnvektor i denna matris.
150. Relatera till uppgift 120.
151.
152. Utg˚
a fr˚
an att det elektriska f¨altet har sf¨arisk symmetri.
153. En egenfunktion f till en operator A uppfyller Af (x) = λf (x) d¨ar λ ¨ar egenv¨ardet.
I detta fall blir egenv¨ardesekvationen en f¨orsta ordningens ordin¨ar differentialekvation.
25
154. Visa att ortogonalitetsvillkoren hf0 | f1 i = hf0 | f2 i = hf0 | f2 i = 0 och normeringsvillkoren hf0 | f0 i = hf1 | f1 i = hf2 | f2 i = 1 g¨aller. Kvadratkomplettera f2 (x) f¨or att underl¨atta
integralutr¨akningarna.
155. Anv¨and att
dP
dx
med avseende p˚
a y).
= 1 i intervallet 0 < x ≤ 1 och derivera y med avseende p˚
a x (eller x
156. Dela upp fouriertransformens integral i x ≤ x0 och x ≥ x0 .
√
√
157. Dela upp problemet i fallen 0 ≤ R ≤ s/2, s/2 ≤ R ≤ s/ 2 och R ≥ s/ 2.
158. F¨or ett givet egenv¨arde blir egenv¨ardesekvationen en ordin¨ar differentialekvation vars
l¨osningar begr¨ansas av de angivna randvillkoren.
159. Skriv om integralerna ¨over intervallet 0 ≤ x < 2L f¨or den trigonometriska seriens
koefficienter till integraler ¨over den f¨orsta halvan 0 ≤ x < L av det aktuella intervallet.
160. Formen av Amp`eres lag som ¨ar given i uppgiften inneh˚
aller inte Maxwells till¨agg. Ta
h¨ansyn till det villkor som kr¨avs f¨or att Amp`eres lag ska g¨alla utan detta till¨agg.
26
Svar
1.
Q 1−
4πǫ0 a
1
√
2 5
p
√
2s/g, v = gt = 2gs
s = 1 m ger t = 0.45 s och v = 4.4 m/s
s = 5 m ger t = 1.01 s och v = 9.9 m/s
2. t =
3. a2 + 3ab + 5b2 = (a + 32 b)2 + 114 b2 ≥ 0 och a2 + 3ab + 5b2 = 0 f¨or a = b = 0 vilket inneb¨ar
att uttrycket minimeras f¨or a = b = 0.
4. Ins¨attning av brytningslagen sin θi = n sin θt i uttrycken f¨or rs och rp ger
rs =
sin θt cos θi − sin θi cos θt
sin θt cos θi + sin θi cos θt
och rp =
sin θt cos θt − sin θi cos θi
.
sin θt cos θt + sin θi cos θi
S¨att aii = sin θi cos θi , ait = sin θi cos θt , ati = sin θt cos θi och att = sin θt cos θt . Det ger
a − a 2 a − a 2
ti
it
tt
ii
−
(ati − ait )2 (att + aii )2 − (ati + ait )2 (att − aii )2
ati + ait
att + aii
=
Πr = att − aii 2
ati − ait 2
(ati − ait )2 (att + aii )2 + (ati + ait )2 (att − aii )2
+
ati + ait
att + aii
2(ati aii − ait att )(ati att − ait aii )
2
=
= a a −a a
2
2
ati att − ait aii
ti ii
it tt
(ati aii − ait att ) + (ati att − ait aii )
+
ati att − ait aii ati aii − ait att
2
2
=
.
=
cos θi cos θt
sin θi sin θt
tan θi tan θt + cot θi cot θt
+
cos θi cos θt
sin θi sin θt
2
= 1. Det reflekterade
2 tan θi cot θi
ljuset ¨ar fullst¨andigt polariserat n¨ar vinkeln mellan den reflekterade och den transmitterade
str˚
alen ¨ar r¨at.
5. θi +θt = π2 ger tan θt = tan π2 −θi = cot θi s˚
a att Πr =
s
s
sin θt
sin2 θi
1
s˚
a att Πr = √ 1 +2 √2n2 −1 =
=
= √
2
2
2
2−1
1 − sin θt
n − sin θi
2n
2n2 −1
√
−2
2
n
2n − 1. Polariseringsgraderna blir 0.901, 0.896, 0.872 respektive 0.831.
6. tan θt =
2
7. Integralen blir 0 och detta resultat kan ¨aven h¨arledas med symmetriresonmemang.
27
8. v(t) = (−Rω sin ωt, Rω(cos ωt + 1))
a(t) = (−Rω 2 cos ωt, −Rω 2 sin ωt)
9.
Z
1
0
x3 (1 − x)a dx =
10. y = 1 − x ger
Z
6
(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4)
1
3
0
a
x (1 − x) dx = −
Z
0
3 a
1
(1 − y) y dy =
Z
1
0
(1 − y)3 y a dy =
3
3
1
1
−
+
−
, vilket med t¨ottsam algebra visas vara samma svar som i
=
a+1 a+2 a+3 a+4
uppgift 9.
11. (2b)
4+a
Z
1
0
x3 (1 − x)a dx
12. 2xg(x2 ) − ag(ax)
13. g(x) = −2(a2 + a4 ) − 6a3 x − 12a4 x2
14. Inte om koordinaterna (som brukligt) anges med l¨angder, eftersom kx2 och kxy 2 i s˚
a
fall inte kan ha samma dimension. Defenitionen av V kan endast g˚
a ihop om koordinaterna
¨ar dimensionsm¨assigt omskalade (exempelvis avdimensionaliserade).
15. 2/π − 1/2
16. F = −∇V = (−2kx + ky, kx − 4cy 3 )
17.
u3 + 2uv 2
iu2 v
√
+
(u2 + v 2 )3/2
u2 + v 2
eiuv
√
18. 1/2 + 2 3
19. Med a = αt f¨or n˚
agon konstant α f˚
as v = αt2 /2 och s = αt3 /6.
20. f (x) = cos x + 4 sin x
21.
√1 s
2
28
22. Taylorutvecklingen blir 1 + 4x + 8x2 + O(x3 ) och kan h¨arledas fr˚
an 1 + u + u2 d¨ar
u = x(4 − x + O(x2 )) = 4x − 8x2 + O(x3 ).
23. π/2
√ 24. acos 1/ 3 = 54.7◦
25. 7 V/10 mA = 700 Ω
26. ln ln(e + q) = ln(1 + e−1 q − 21 e−2 q 2 + O(x3 )) = e−1 q + 21 (e−1 + e−2 )
27. 2.82 ˚
A
28.
1669
3600
29. S¨att y = tan x. D˚
a g¨aller
d¨armed blir
30.
Z
∞
dy
1
dx
1
=
= 1 + tan2 x = 1 + y 2 som ger
=
och
2
dx
cos x
dy
1 + y2
1
d
atan y =
.
dy
1 + y2
t−1/2 e−t dt =
√
π
0
31. hξi = P1 och σ(ξ) =
p
P1 (1 − P1 ) d¨ar P1 = P (ξ = 1).
32. u = v = 0 eller u = 1c (b − a tan α) och v = 1c (b cot α − a).
33. Seriekoppling:
U = U1 + U2 och I1 = I2 = I s˚
a att R = U/I = U1 /I + U2 /I = U1 /I1 + U2 /I2 = R1 + R2 .
Parallellkoppling:
U1 = U2 = U och I = I1 +I2 s˚
a att 1/R = I/U = I1 /U +I2 /U = I1 /U1 +I2 /U2 = 1/R1 +1/R2
och R = 1/(1/R1 + 1/R2 ) = R1 R2 /(R1 + R2 ).
34. 24
35. Koordinatbytet x = r cos ϕ, y = r sin ϕ ger x˙ = r˙ cos ϕ − rϕ˙ sin ϕ, y˙ = r˙ sin ϕ + rϕ˙ cos ϕ,
x¨ = r¨ cos ϕ − 2r˙ ϕ˙ sin ϕ − rϕ¨ sin ϕ − r(ϕ)
˙ 2 cos ϕ och y¨ = r¨ sin ϕ + 2r˙ ϕ˙ cos ϕ + rϕ¨ cos ϕ −
2
r(ϕ)
˙ sin ϕ.
29
36. 1/(1 + x) = 1 − x + x2 − x3 + x4 + ...
√
37. 3 2π
38. 88 minuters omloppstid och en banhastighet p˚
a 7.8 km/s.
39. a˙ = −2ak/b och b˙ = 4k.
40. Med x = 1 + ǫ f˚
as 1/x = 1 − ǫ + ǫ2 − ǫ3 + ǫ4 + ... och integrering av denna likhet ger
ln x = (x − 1) − 12 (x − 1)2 + 31 (x − 1)3 − 14 (x − 1)4 + ....
41. V =
Z
h
dz
0
ZZ
r2 π
dx dy = 2
h
x2 +y 2 ≤r 2 z 2 /h2
Z
h
z 2 dz =
0
π 2
hr
3
dV
= s2 − 8sh + 12h2 = (s − 2h)(s − 6h) och V maximeras f¨or
dh
h = s/6 som ger V = 2s3 /27.
42. V = h(s − 2h)2 ger
43.
n(u + iv)(u − iv)
u(u + v)(u − v)
44.
√
5+1
2
−1
√
√
√
2 5−1
2 5−1
2
5−1
√
=
= √
=
=√
4
2
5+1
5+1
5−1
45. 1/3
46. L˚
at i, j, k vara en cyklisk permutation av 1, 2, 3. Med denna notation blir vektorkomponenterna i v¨ansterledet (a×(b×c))i = aj (b×c)k −ak (b×c)j = aj (bi cj −bj ci )−ak (bk ci −bi ck )
och f¨or h¨ogerledet f˚
as (b(a · c) − c(a · b))i = bi (a · c) − ci (a · b) = bi (ai ci + aj cj + ak ck ) −
ci (ai bi + aj bj + ak bk ) = bi (aj cj + ak ck ) − ci (aj bj + ak bk ) = aj (bi cj − bj ci ) − ak (bk ci − bi ck ) som
visar att den givna vektorlikheten g¨aller.
47. 2
48.
2
1
2
3
−
−
−
y x + y x + 2y x + 3y
49. Uttrycket blir 0 eftersom dess h¨ogra faktor ¨ar 0.
30
50. F (x) = 21 x2 ln x − 12 . (En godtycklig konstant kan adderas till F (x).)
51.
2(x + y)(x2 − xy + z 2 )
(x2 + y 2 + z 2 )2
52. Den plana vinkeln α ¨ar approximativt lika med Solens radie genom avst˚
andet fr˚
an Jorden till Solen. Det ger α = (6.96 · 105 km)/(1.50 · 108 km) = 4.64 · 10−3 = 0.266◦ . Rymdvinkeln
ges av Ω ≈ πα2 = 6.76 · 10−5 .
53. π/4
54. 8
55. 1 + i
56. a · b ≤ |a||b| ⇒ 2|a||b| ≥ 2 a · b = a · b + b · a ⇒ (|a| + |b|)2 = |a|2 + 2|a||b| + |b|2 ≥
|a|2 + a · b + b · a + |b|2 = a · a + a · b + b · a + b · b = a · (a + b) + b · (a + b) =
(a + b) · a + (a + b) · b = (a + b) · (a + b) = |a + b|2 ⇒ |a| + |b| ≥ |a + b|
57. C0 = 12 A0 , Cn = 21 An − 12 iBn f¨or n > 0 och Cn = 21 A−n + 21 iB−n f¨or n < 0.
u
58. y(x, t) = y0 e− D x
59. Ca 5 minuter.
60. 4.1%
  
1
√1



61. Egenv¨arderna ¨ar 1, 1+ 2a och 1− 2a med egenvektorerna 0 ,
2 respektive
−1
1


1
√
− 2.
1
√
62. Derivering av f (−x) ger

√
df (−x)
= −f ′ (−x). Definitionen av en j¨amn funktion ger
dx
df (x)
df (−x)
=
= f ′ (x) som tillsammans med den f¨orstn¨amnda deriveringen ger f ′ (−x) =
dx
dx
31
−f ′ (x). Definitionen av en udda funktion ger
f ′ (x).
63.
df (−x)
d(−f (x))
=
= −f ′ (x) s˚
a att f ′ (−x) =
dx
dx

2 − a2
1
 −3a 
x=
1 − 2a2
1 + a2

64. 2
x2 + 1
x2 − 2
p
p
dy
= cos x = 1 − sin2 x = 1 − y 2 som
dx
dx
1
d
1
ger
=p
och d¨armed blir
asin y = p
.
dy
dy
1 − y2
1 − y2
65. S¨att y = sin x f¨or − π2 ≤ x ≤ π2 . D˚
a g¨aller
66. 34 πR4
67. 6π
68. 13 π 3 + 116 π
69. Effekten skalar proportionellt med kuben av vindhastigheten.
70. 5.9 · 107 A/Vm
71.


  
1
1
√
√
Egenv¨arderna ¨ar 0, 3i och − 3i med egenvektorerna 1, e−2πi/3  respektive
1
e2πi/3

1
 e2πi/3 .
e−2πi/3
72. 0.13 mm
73. Tyngdpunkten ges av xT = 14 R, yT = 0 och zT = 165 h.
74. x(t) =
√
√ !
cosh 2t + √12 sinh 2t
√
√
√
.
2 sinh 2t + cosh 2t
32
75. Riktningsvektorn f¨or den reflekterade str˚
alen blir (|vx |, |vy |, |vz |).
76.

1 2 −1
1
−5 2 −1
6
−2 2 2

77. u(t) =
u0
1 + λu0 t
√
78. Egenv¨arderna ¨ar −1 ± 2 3 med egenvektorerna
√ 3±2 3
.
1
79. Reaktionstiden a¨r 1 s och friktionskoefficienten a¨r 0.8.
80.
p
sin x cos x + 1/2 = |sin(x + π/4)| = |cos(x − π/4)| f¨or alla reella x.
81. B = −A och A = 21 v0 τ d¨ar τ =
t1
.
g(x1 /(v0 t1 ))
82. De givna vektorerna har l¨angden 1, deras parvisa skal¨arprodukter ¨ar 0 och antalet
vektorer ¨ar lika stort som antalet dimensioner i det aktuella vektorrummet. D¨arf¨or bildar
vektorerna en ortonormerad bas. Ins¨attning av de givna vektorena {v} i Av visar att Av =
λv med egenv¨ardena λ lika med 2, −1 + i, −4 respektive −1 − i. Det inneb¨ar att U† AU = D
d¨ar D a¨r diagonalmatrisen av de ovan listade egenv¨ardena och U a¨r den unit¨ara matris som
bildas av givna basvektorerna.
83. Sambandet
R
E · S = QV (se svaren till f¨oreg˚
aende veckas uppgifter) till¨ampas p˚
a
λ
en cylinder med radien R kring den homogent laddade staven. Det ger E(R) =
2πǫ0 R
d¨ar λ ¨ar laddningst¨atheten angett i laddning per l¨angd. Integration av det elektriska f¨altet
λ
ger potentialen Φ(R) = −
ln R s˚
a att sp¨anningen mellan mittledaren och sk¨armen i
2πǫ0
R1
λ
ln
d¨ar R0 ¨ar mittledarens radie och
en koaxialkabel blir U = Φ(R0 ) − Φ(R1 ) =
2πǫ0 R0
R1 ¨ar innerdiametern hos sk¨armen. F¨or en bit kabel av l¨angden L ger det kapacitansen
Q
λL
2πǫ0 L
C=
=
=
.
U
U
ln(R1 /R0 )
S
84. 38 π 2
85.
1
2
x1 + x22
x1
x2
33
86.


cos ϕ sin θ cos ϕ cos θ − sin ϕ
 sin ϕ sin θ sin ϕ cos θ cos ϕ 
cos θ
− sin θ
0
87. ln 2 − 32 x − 58 x2 − 38 x3 − 17
x4 + O(x5 )
64
88.
√
2+1
x(t) = √
2 2
√
2
−
1
1
1
1/4
√ cos 21/4 t
√ cosh 2 t + √
−
2
2
2 2
89. Ungef¨ar 110 W.
90. Den frigjorda energin a¨r av storleksordningen 1 mJ per urladdning.
91. 8π/15
92.
125
= 39%
324
93. x(t) =
u
√
√ !
p
ab t + u ab sinh ab t
√
√
b
sinh ab t + u cosh ab t
a
uq
cosh
∂x z2
2z
∂x ∂y 2 cosh y
,
,
94.
= −z
=− √ 2
=
2 ,
4
∂y z
∂z y sinh y
sinh y ∂x z
|x| x + z
r
r
x
∂z sign(z) sinh y ∂y 2z sign(x) ∂z sign(z) cosh y
,
=
,
.
=
= √ 2
∂x y
2
x
∂z x
∂y x
2
sinh y
x + z4
1
2
95. F2 = √
1 1
1 −1
F†2 F2 = 1 och F†4 F4 = 1.


1 1
1
1
1 1 −i −1 i 
. Matriserna ¨ar unit¨ara eftersom
och F4 = 
2 1 −1 1 −1
1 i −1 −i
96. 12 (1 + x2 )
97. Rotationsenergin blir 10/49 =√20% av den totala r¨orelseenergin och r¨orelsens vinkeln i
f¨orh˚
allande till normalen blir atan
3
= 14◦ .
7
34
98. a2 − ab + 2b2 + 3a − b = a − 2b + 32 2 + b + 17 2 − 167 vars minimum − 167 f˚
as f¨or a = − 11
7
och b = − 17 .
99. Seriekoppling:
U = U1 + U2 och Q1 = Q2 = Q s˚
a att 1/C = U/Q = U1 /Q + U2 /Q = U1 /Q1 + U2 /Q2 =
1/C1 + 1/C2 och C = 1/(1/C1 + 1/C2 ) = C1 C2 /(C1 + C2 ).
Parallellkoppling:
U1 = U2 = U och Q = Q1 +Q2 s˚
a att C = Q/U = Q1 /U +Q2 /U = Q1 /U1 +Q2 /U2 = C1 +C2 .
100. π/16
101. L˚
at i, j, k vara en cyklisk permutation av 1, 2, 3. Med denna notation f˚
as (∇ × (∇ ×
a))i = ∂j (∇ × a)k − ∂k (∇ × a)j = ∂j ∂i aj − ∂j2 ai − ∂k2 ai + ∂k ∂i ak = ∂i (∂i ai + ∂j aj + ∂k ak ) −
(∂i2 + ∂j2 + ∂k2 )ai = ∂i (∇ × a) − ∇2 ai = (∇(∇ · a) − ∇2 a)i .
102.

x2 − x3
∇ · f = 0 och ∇ × f = 2 x3 − x1 
x1 − x2

1
103. y = x ln x−1
104. 0.28 kPa
105.
3
∂f = sign(y)
∂u x konstant 2
r
u ∂f
x ∂y
och
3u2 ∂f
∂f = 2
∂u y konstant
y ∂x
106. Den h¨ogra halvan av en cirkel med radien a/2 vars centrum befinner sig p˚
a avst˚
andet
a/2 rakt ovanf¨or origo.
107. 3 · 215 = 98304
108.
√
√
7 2 1
+ ln 2 + 1
24
8
109. N˚
agra meter i diameter.
110. 45◦
111. Om all effekt g˚
ar till att ¨oka bilens l¨agesenergi, s˚
a kan en konstant hastighet p˚
a ca
390 km/h h˚
allas. Detta st¨ammer inte alls med experimentet d¨ar begynnelsefarten 120 km/h
35
minskade. Vi har grovt ¨overskattat den fart som kan h˚
allas, eftersom vi f¨orsummat luftmotst˚
and, och i den verkliga situationen tas det mesta av motorns effekt upp av luftmotst˚
andet.
112.
1 2
π
3
31
x5
113. − 1080
114. Sannolikhetsf¨ordlingen blir homogen, dP/dz =
1
.
2R
115. ∇ · x = 3, ∇ · x|x|2 = 5|x|2 och ∇2 |x|4 = 20|x|2
116. a/(1 − a)2
117.
d
f (r, t)
dt
=
∂
f
∂t
∂
∂
∂
+ ∂x
f + ∂y
f + ∂z
f=
∂t ∂x
∂t ∂y
∂t ∂z
∂
f
∂t
∂
∂
∂
+ vx ∂x
f + vy ∂y
f + vz ∂z
f=
∂
f
∂t
+ v · ∇f
118. sin x − x cos x
119. x =
1−y
1+y
120. S =
n−1
X
ak =
k=0
n−1
X
1 − an
f¨or a 6= 1 och
1k = n. Ins¨attning av a = e−2πiα ger
1−a
k=0
1 − e−2πinα
f¨or reella α ∈
/ Z och S = n f¨or α ∈ Z. Det inneb¨ar att S = 0 om α ∈
/ Z och
S=
1 − e−2πiα
nα ∈ Z. Vidare f˚
as att S 6= 0 i ¨ovriga fall (d˚
a α ∈ Z eller nα ∈
/ Z).
121. Gr¨ansv¨ardet blir 0 f¨or k 6= 0 och 1 f¨or k = 0.
122.
d
dx
arctan x =
1
1+x2
2
4
= 1 − x + x ... ⇒ arctan x = x −
123. 4 mm
124. 1
125. −1 − 12 (x − 1)2
36
x3
3
+
x5
...
5
=
∞
X
k=0
(−1)k
x2k+1
.
2k + 1
126. 2−1/3 a
127. L˚
at i, j, k vara en cyklisk permutation av 1, 2, 3. D˚
a blir (∇ × (r × f ))i = ∂j (ri fj −
rj fi ) − ∂k (rk fi − ri fk ) = ri ∂j fj − rj ∂j fi − fi − rk ∂k fi − fi + ri ∂k fk = ri (∂i fi + ∂j fj + ∂k fk ) −
(ri ∂i +rj ∂j +rk ∂k )fi −2fi = (r(∇·f )−(r·∇)f −2f )i s˚
a att ∇×(r×f ) = r(∇·f )−(r·∇)f −2f .
128. A4 har l¨angd l4 = 2−7/4 m = 297 mm och bredd b4 = 2−9/4 m = 210 mm.
129. Det genomsnittliga antalet steg per drag blir 7/2 = 3.5 utan omslagsregeln och
21/5 = 4.2 med omslagsregeln.
130. Sannolikheten f¨or att t¨arningen ger utfallet k f¨oljt h¨andelsen att man hamnar p˚
a
rutan som ligger n steg fram˚
at f¨ore pj¨asen flyttas sina k steg ges av 61 pn−k f¨or k = 1, . . . , 6.
Summering av dessa sannolikheter ¨over alla m¨ojliga utfall k = 1, . . . , 6 ger pn och detta ¨ar
summan som ges i uppgiftstexten. p1 = 0.1667, p2 = 0.1944, p3 = 0.2269, p4 = 0.2647, p5 =
0.3088, p6 = 0.3602, p7 = 0.2536, p8 = 0.2681, p9 = 0.2804, p10 = 0.2893, p11 = 0.2934, p12 =
0.2908.
⊤
131. Egenv¨ardesekvationen
Ax = λx d¨ar x = x5 x4 x3 x2 x1 x0 kan skrivas som
1 P5
ekvationssystemet 6 k=0 xk = λx5 , x5 = λx4 , x4 = λx3 , . . . , x1 = λx0 . Detta ekvations
P5
k
6
k
or k = 1, . . . , 5.
system l¨oses om och endast om
k=0 λ − 6λ x0 = 0 och xk = λ x0 f¨
6
5
4
3
2
D¨armed ges egenv¨ardena av l¨osningarna till 0 = 6λ −
P5λ − λ − 5λ − λ − λ − 1 =
5
4
3
2
(λ − 1)(6λ + 5λ + 4λ + 3λ + 2λ + 1) s˚
a att λ = 1 eller k=0 (k + 1)λ = 0. En egenvektor
⊤
f¨or λ = 1 ¨ar 1 1 1 1 1 1 .
P6
Ck vk λnk d¨ar λ1 , . . . , λ6 ¨ar As
egenv¨arden med tillh¨orande egenvektorer v1 , . . . , v6 och C1 , . . . , C6 ¨ar godtyckliga komplexa
konstanter. Den numeriska l¨osningen visar att endast tv˚
a egenv¨arden ¨ar reella. Numrera
egenv¨ardena s˚
a att λ1 = 1, λ2 ¨ar det andra reella egenv¨ardet samt λ4 = λ∗3 och λ6 = λ∗5 med
arg(λ3 ), arg(λ5 ) > 0. S¨att c0 = λ1 = 1, c1 = |λ3 |, c2 = |λ5 |, c3 = −λ2 , τ1 = 2π/ arg(λ3 ), τ2 =
2π/ arg(λ5 ) och τ3 = 2. Genom denna konstruktion blir konstanterna {ck } och {τk } positiva
och ins¨attning i den generella l¨osningen ger xn = C1 v1 + C3 v3 cn1 e2πni/τ1 + C4 v4 cn1 e−2πni/τ1 +
C5 v5 cn2 e2πni/τ2 + C6 v6 cn2 e−2πni/τ2 + C2 v2 cn3 (−1)n = C1 v1 cn0 + (C3 v3 + C4 v4 )cn1 cos(2πn/τ1 ) +
i(C3 v3 −C4 v4 )cn2 sin(2πn/τ1 )+(C5 v5 +C6 v6 )cn2 cos(2πn/τ2 )+i(C5 v5 −C6 v6 )cn2 sin(2πn/τ2 )+
C2 v2 cn3 cos(2πn/τ3 ). Identifiering av vektorerna a0 = C1 v1 , a1 = C3 v3 + C4 v4 , a2 = C5 v5 +
C6 v6 , a3 = C2 v2 , b1 = i(C3 v3 −C4 v4 ) och b2 = i(C5 v5 −C6 v6 ) visar att l¨osningen kan skrivas
p˚
a den s¨okta formen. Konstanternas numeriska v¨arden ¨ar c0 = 1, c1 = 0.7303, c2 = 0.6828,
c3 = 0.6703, τ1 = 5.435, τ2 = 2.918 och τ3 = 2.
132. Den generella l¨osningen till xn+1 = Axn ges av xn =
133. Om man s¨atter x0 = 1 0 0 0 0 0
⊤
k=1
f¨or sekvensen i uppgift 132, s˚
a inneb¨ar
formen hos A (angiven i uppgift 131) att sannolikheterna i uppgift 130 ges av pn = x0 · xn .
37
4 x + 12
1
2
1−x
1
+
=
−
−
134.
2
2
3(1 − x) 3 + 4 x + 1
3(1 − x) 3(1 + x + x2 )
9 + 12 x + 12
2
1 + x + x2 − (1 − x)2
x
=
=
3
3(1 − x )
1 − x3
135.
− 31
1
6
2
ln(1 − x) + ln(1 + x + x ) −
√1
3
atan
√2 x
3
+
√1
3
136. Toppfarten skalar som tredje roten ur motorns effekt. Enligt skalningslagen b¨or toppfarten vara 35% h¨ogre f¨or den starkare bilen och detta st¨ammer v¨al med den observerade
a 31%.
¨okningen p˚
137. Om man r¨aknar med att f¨oraren v¨ager omkring 75 kg f˚
as f¨oljande resultat:
58% av motorns maxeffekt anv¨ands i accelerationens slutskede vid 100 km/h och den accelererande kraften ¨ar 94% av tyngdkraften.
138. Derivering av uppgiftens l¨osning till differentialekvationen ger
1/3
√
P + 2k 1/3 v
3P 1/3 k 1/3 v
6P 1/3 k 2/3 v
6P 1/3 k 2/3 dt
d
√
ln 1 + 1/3
− 2 3 atan
=
=
m
dv
dv
(P − k 1/3 v)2
P − kv 3
3P 1/3
v
dv
P − kv 3
P
1 dt
=
och
m
=
=
− kv 2 . Ins¨attning av v = 0
3
m dv
P − kv
dt
v
v
1/3
√
√ π
√
1
π
P + 2k 1/3 · 0
√
= 2 3 atan √ = 2 3 = √ . Detta
ger t = 0 eftersom 2 3 atan
6
3P 1/3
3
3
bekr¨aftar att den givna l¨osningen ¨ar konsistent med differentialekvationen mv˙ = Pv − kv 2
och initialvillkoret v = 0 f¨or t = 0.
som leder till
139. g(x) =
∞
X
Cn′ e2iπnx/L d¨ar Cn′ = Cn e−2iπna/L
n=−∞
140.
∞
2 X e2inx
|sin x| =
π n=−∞ 1 − 4n2
141. Konstanten k ¨ar 0.537 kg/m och om f¨oraren v¨ager omkring 75 kg blir m = 1.42 ·
103 kg. Den f¨orsta uppskattningen av tiden f¨or att accelerera till 300 km/h ger 10.1 s och den
reviderade uppskattningen ger 12.3 s. B˚
ada uppskattningar ger d¨armed tider som ¨ar betydligt
kortare ¨an den experimentellt uppm¨atta tiden p˚
a 18.9 s.
142. Avvikelsen fr˚
an topphastigheten avtar som e−t/τ d¨ar τ =
38
m
3P 1/3 k 2/3
= 8.4 s.
143. Energin per massa f¨ore vattnet l¨amnar r¨oret ¨ar p/ρ + 21 vr2 d¨ar vr ¨ar vattnets hastighet
i slangen. N¨ar vattnet l¨amnar r¨oret ¨ar energin per massa 12 v02 . Det ger 12 v02 = p/ρ + 21 vr2 =
p
p/ρ + 12 (Φ/A)2 s˚
a att v0 = 2p/ρ + Φ2 /A2 .
144. F = 205 N.
145. Radien ¨okar med 14%.
146. Vridmoment τ per vridvinkel ϕ ges av τ /ϕ = b3 sY /(12L) d¨ar b, s, L respektive Y ¨ar
fj¨aderbandets tjocklek, bredd, l¨angd och elasticitetsmodul.
147. hxi = 21 och σ(x) =
1
√
.
2 3
148. hri = 23 R och σ(r) =
149. ((Fn )−1 )jk =
F1 = 1 , F2 =
1
√
R
3 2
√1 e2πi(j−1)(k−1)/n
n
och


1
1 0 0

0
1 0
, F3 = 0 0 1, F4 = 

0
0 1
0 1 0
0

0
0
0
1

1
0 0
0

0 1
, F5 = 0

1 0
0
0 0
0

0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0

0
1

0

0
0
150. L˚
at S st˚
a f¨or den s¨okta summan. F¨or n ≥ 2 blir S = −n om m − k ¨ar delbart med n,
S = n om m − k + 1 ¨ar delbart med n och S = 0 annars. F¨or n = 1 ¨ar S = 0.
151.
Z
= lim
a→−∞
b→∞
∞
e
−ikx ′
f (x) dx = lim
a→−∞
b→∞
−∞
e
−ikb
f (b) − e
−ika
R
Z
f (a) −
b
e−ikx f ′ (x) dx
a
Z
b
(−ik)e
−ikx
a
f (x) dx
=
Z
∞
ike−ikx f (x) dx
−∞
R
∇ · RE dV = S ER · dS d¨ar S ¨ar ytan som innesluter volymen V .
Ins¨attning av ∇·E = ρ/ǫ0 ger S E·dS = ǫ10 V ρ dV = ǫ10 QV d¨ar QV ¨ar den totala laddningnen
inom volymen V . I en sf¨ariskt symmetrisk konfiguration d¨ar S ¨arRen sf¨ar medR radie R och
E(R) ¨ar det elektriska f¨altets ut˚
atriktade styrka vid radien R f˚
as S E · dS = S E(R)dS =
2
2
4πR E(R) s˚
a att E(R) = QV /(4πǫ0 R ).
152. Gauss sats ger
V
153. M¨angden av egenfunktioner till
komplexa tal A och λ.
d
dx
¨ar m¨angden av alla funktioner f (x) = Aeλx f¨or
39
154. Ortogonalitet:
√ R
√ R1
1
1
dx = 0 och hf1 | f2 i =
hf0 | f1 i = 2 3 0 x − 12 dx = 0, hf0 | f1 i = 6 5 0 x − 12 2 − 12
√ R1
1
1 2
1
12 15 0 x − 2 x − 2 − 12 dx = 0.
Normering:R
R1
R1
1
hf0 | f0 i = 0 1dx = 1, hf1 | f1 i = 12 0 x − 12 2 dx = 1 och hf2 | f2 i = 180 0 x − 21 2 −
1 2
dx = 1.
12
155.
dP
e−y/a
=
f¨or y ≥ 0 och P (y < 0) = 0
dy
a
2ae
156. f˜(k) = C 2
−ikx0
k2
d¨ar konstanten C ¨ar 1,
a +
ringskonvention som anv¨ands.
157. P (r ≤ R) =
√1
2π
eller
1
2π
beroende p˚
a vilken norme-
πR2
s2
f¨or 0 ≤ R ≤ s/2,
r
√
s R2
4R2
+
−
1
f¨
o
r
s/2
≤
R
≤
s/
P (r ≤ R) = π − 4 acos
2
2R s2
s2
√
och P (r ≤ R) = 1 f¨or R ≥ s/ 2.
158. Egenfunktionerna ges av f (x) = A sin(πnx/L) med egenv¨arden λ = −π 2 n2 /L2 f¨or
reella A 6= 0 och positiva heltal n.
159. f (x) =
1
A
2 0
+
∞
X
An cos(πnx/L) +
n=1
2
d¨ar An = 0 och Bn =
L
Z
L
∞
X
Bn sin(πnx/L)
n=1
f (x) sin(πnx/L) f¨or alla n.
Z
∞
X
2 L
Det inneb¨ar att an = Bn =
f (x) sin(πnx/L) i serien
an sin(πnx/L).
L 0
n=1
0
160. Amp`eres lag utan Maxwells Htill¨agg g¨allerR f¨or station¨ara elektriska f¨alt s˚
a att
∂E
∂t
=0
och ∇ × B = µ0 j. Stokes sats ger Γ B · dl = S (∇
Rar den slutna kurvan Γ ¨ar
H × B) · dS d¨
randen till ytan S. Ins¨attning av ∇ × B = µ0 j ger Γ B · dl = µ0 S j · dS = µ0 I d¨ar I ¨ar den
totala str¨ommen som flyter genom ytan S och d¨armed flyter inom slingan Γ.
40