Transcript σ σ σ σ σ σ Brottkriterier

STRUKTURER MED ANVISNINGAR
σ0
1.
2.
σ0
σ0
σ0
σmax= 3σ0
σmax= 2σ0
3.
4.
2b
σ0
σ0
2a
ellips
2
ρ = b ⁄a
a
σ max = σ 0 ⎛ 1 + 2 ---⎞
⎝
b⎠
a
= σ 0 ⎛ 1 + 2 -------⎞
⎝
ρ⎠
Brottkriterier:
skarp
spricka
ρ→0
a
σ max = lim σ 0 ⎛ 1 + 2 -------⎞
ρ→0 ⎝
ρ⎠
2σ 0 a
= lim ----------------→∞
ρ→0
ρ
Problem 1-3: spänningsbaserat kriterium, där ökad spänning ges
av spänningskoncentrationfaktorn, Kt = σmax/σ0
Problem 4: ”oändlig spänning” ??!!
=> analyseras m.h.a. brottmekanik — metod för att bedömma
när en existerande spricka börjar växa, där belastningen
lokalt anges av spänningsintensitetsfaktorn
SPÄNNINGSTILLSTÅND NÄRA EN SPRICKA
σA
σB
2a
a
2W
W
σA
y
spricka
σy
r
ϕ
τxy
σB
σx
x
Allmän lösning för spänningstillståndet nära en sprickspets
( r → 0 ) i ett isotropt linjärelastiskt material:
KI
ϕ
ϕ
σ x = ------------- cos --- ⎛ 1 – sin --- sin 3ϕ
------⎞
2⎝
2
2⎠
2πr
KI
ϕ
ϕ 3ϕ
σ y = ------------- cos --- ⎛ 1 + sin --- sin ------⎞
2⎝
2
2⎠
2πr
KI
ϕ ϕ 3ϕ
τ xy = ------------- cos --- sin --- sin ------, τ xz = τ yz = 0
2
2
2
2πr
⎧ ν ( σ x + σ y ), plan deformation
σz = ⎨
⎩ 0, plan spänning
Spänningsintensitetsfaktorn KI (index I anger brottmodus I) är
ett skalärt mått på hur materialet runt sprickan belastas.
N
KI har enheten ------2- m
m
Spänningsintensitetsfaktorn KI beror linjärt av yttre last enligt den
principiella formen
K I = σ 0 πa ⋅ f ( geometri; lastfall ) ,
där σ0 nominell spänning (yttre last) och f är en dimensionslös
funktion som beror av geometri och lasttyp.
KI - lösningar: kan beräknas numeriskt (FEM, BEM) och finns tillgängliga för olika geometrier och lastfall i handböcker. Exemplen ovan finns t.ex. i “Formelsamlingen”
A: Kantspricka, böjlast
B: Central spricka, draglast
2
1.5
σ0 = σA
f
1.5
1
0
σ0 = σB
f
1.25
0.2
0.4
0.6
1
0
0.8
0.2
a/W
0.4
0.6
0.8
a/W
Kombination (superposition) av lastfall
Eftersom KI är proportionell (linjär) mot yttre last kan ett lastfall delas upp i flera delfall, där KI är summan av delfallens lösningar.
N
M
N
M
KI(N+M)
=
KI(N)
+
KI(M)
BROTTVILLKOR FÖR EN SPRICKA
Eftersom yttre lasts påverkan på materialet nära en sprickspets
entydigt bestäms av storleken på spänningsintensitetsfaktorn KI,
kan ett villkor för tillväxt av sprickan formuleras enligt
K I ≥ K Ic
där KIc är materialets brottseghet. Om tillväxten blir stabil eller
leder totalt brott av strukturen beror av om materialet är sprött eller
segt.
Giltighetsvillkor:
Brottvillkoret gäller så länge linjära förhållanden är uppfyllda,
d.v.s. de olinjära fenomen (plasticitet, skadeprocesser, etc.) som
uppträder vid sprickspetsen måste ha en begränsad utbredning
jämfört med strukturens dimensioner (spricklängd, tjocklek,
osv.). Detta kan sammanfattas i villkoret:
K Ic⎞ 2
⎛
min { a, ( W – a ) } ≥ 2.5 × ------⎝ σs ⎠
En spricka kan belastas i tre olika modus: I, II och III
t
modus I
modus II
modus III
Exempel:
3-D, genomgående spricka
∞
Belastning långt från sprickan: σ ij
∞
σy
SPÄNNINGSINTENSITETSFAKTORER
∞
∞
τ yz
2a
τ xy
∞
K I = σ y πa
∞
τ xy
∞
σx
∞
∞
K II = τ xy πa
∞
τ xz
K III = τ yz πa
Allmän form: K I = σ 0 πa ⋅ f (geometri)
nominell
spänning
dimensionslös funktion
typiskt > 1 vid ändlig geometri