Unga elevers förmåga till spatial strukturering och utveckling av

Svenska elevers resultat i matematik har uppmärksammats genom olika rapporter. Den senaste utredningen av Skolverket 2009 (Gustafsson m.fl.) eller rapporten om resultaten från de Nationella proven 2009 för åk 3 i matematik belyser situationen. TIMSS rapporten 2003 (Trends in International Mathematics and Science studies) visar att svenska eleverna har klart sämre resultat än genomsnittet i de 20 länder med samma levnadsstandard där studien genomfördes. Från det första Nationella provet 2009 för åk 3 i matematik redovisas tre delprov.i prov D klarade flest av eleverna 93 procent kravnivån. Det provet prövade elevernas kunskaper om geometriska figurer och deras egenskaper. Delprov H, där förståelsen för de fyra räknesätten, inte räknandet, prövades, hade lägst andel elever som nådde kravnivån, 73 procent. Delproven för skriftliga räknemetoder och provet för jämförelse och mätning av längd, hade 83 -81procent elever som klarade kravnivån. Den stora skillnaden för barn med och utan svårigheter i matematik, är att de inte behärskar grundläggande talfakta

, enligt Russel och Ginsburg (Marton, 2000), Eriksson, (2005) och Neuman, (1997). Denna färdighet har eleven uppnått, när de har en del-helhetsförståelse

av tal. Fuson (1992) beskriver det som att de nått en femte nivå kallad ” Bidirectional Chain/Truly Numerical Counting”. På den här nivån bör eleverna även se sambandet mellan addition och subtraktion och inse förhållandet mellan delmängd, delmängd och summa vid addition som även står i omvänt förhållande till subtraktion.

Bakgrund

Mitt personliga intresse

Många års erfarenheter av undervisning som låg-, mellanstadie- och speciallärare och senare även sex år som lärarutbildare har riktat mitt intresse mot yngre elevers matematikutveckling

och förmågan att ”räkna med flyt” . Hur kan det komma sig att vissa elever utan att ha speciella svårigheter i skolan inte lyckas ”knäcka” koden i matematik som de gör i läsning? Vad är det som gör att vissa elever kan räkna med flyt, dvs. att det är till synes enkelt för dem att subtrahera och att generalisera i huvudet? Eller att de kan finna det som fattas i tex. en öppen utsaga. Är det rena tabellkunskaper t.ex. i form av tabellträning eller har de skaffat sig andra goda strategier som gör att de kan välja den bästa vägen? I så fall vilka strategier är det och hur använder de dem? ”Att läsa med flyt” finns som en beskrivning av ett uppnåendemål i svenska, men motsvarande beskrivning finns ej inom matematikämnet. När man läser kursplanen och 1 Talfakta (number facts) innebär en samordnad ordinal-kardinalsaspekt, samt att se tals del-helhetsförhållanden. Samtidigat ses talen som samtliga enheter tillsammans, alltså mängden enheter. Parallellt med detta är man 2 förtrogen med ett tals del-helhetsförhållande,där man ser attt varje tal är summan av alla kombinationer tal kan bestå av och samtidigt är en del av ett större tal. ( Marton & Booth, 2000;81-111) Finns en förståelse av tals del-helhetsförhållande underlättas en mängd beräkningar där antingen en av de två delarna av helheten är okänd. Som exempel kan nämnas att talet 7 kan ses som 7 och som kombinationerna 6+1, 3 5+2 och 4+3. Där talet 7 är helheten och kombinationerna som nämnts är delarna. Att ”räkna med flyt” definieras i detta arbete som att eleven behärskar antalsuppfattning och de ingående delarna i talens del-helhet och kan använda sig av transformeringar, och därmed kunna lösa nakna problemuppgifter. Motsatsen definierar jag som att man använder strategin ”counting”, räknar sig framåt eller bakåt genom att använda räkneorden eller andra hjälpmedel, ett och ett i taget och saknar förmågan att välja en lämplig annan strategi t.ex. gruppering för att lösa uppgifterna.

4 uppnåendemålen i svenska för femte skolåret står det att eleven skall, kunna ”läsa med flyt” både högt och tyst och uppfatta skeenden och budskap i böcker och saklitteratur skrivna för barn och ungdom. I ämnet matematik används inte motsvarande uttryck. Men hur skall man kunna utveckla ett matematiskt tänkande, få tilltro till sin egen förmåga om man inte kan räkna med flyt? (Vikström,2006) De elever som inte lyckats att automatisera kunskaper i matematik genom att träna additions och subtraktionstabeller, har ofta tappat intresset och tilltron till sin egen förmåga. Hur kan man i undervisningen stödja strategier som främjar elevers utveckling av en färdighet i likhet med den ortografiska läsningen, den man uppnår när man lämnat ljudandets stadium, dvs. när man erövrat en god färdighet i läsning och uppfattar orden med lätthet och avläser snabbt. Om man inte har en god strategi för sitt tänkande i matematik hamnar man i det som kallas ramsräkning, eller seriell fokusering.

Nytt Material

När jag arbetade med ett material (Neuman 1989) som var nytt för mig, fann jag att de elever som hade knäckt koden dvs. hade lätt att räkna, de ”Såg”

talens delar och kunde använda sig av den förmågan till att välja den bekvämaste vägen i subtraktion av olika slag. Jag lade även märke till att om de lärt sig att känna till talens delar, då främst inom talområdet upp till tio så ”lossnade” det . Man kan säga att de hade ”knäckt koden”

. När man ”Ser” i stället för att ”Räkna” blir det de tio första talen som kommer i fokus för intresset. Ett fåtal talkombinationer utgör ”byggbitar” som gör det möjligt att foga samman och dela isär övriga tal. Om man ”Räknar” dvs. ramsräknar sig fram till resultatet (säger ett räkneord i taget) blir de räkneprocedurer man kan använda för att addera och subtrahera, inom talområdet 1-20 tidskrävande och krångliga (Neuman, 1989). Man får även problem med de termer som används då man tränar additions och subtraktionstabellerna. Ett alternativ till att ”Se” ett antal mönster blir då att lära sig 190 kombinationer i vardera additions och subtraktionstabellerna utantill. Neuman (1987a) lyfte fram ett gemensamt drag från intervjuerna, att eleverna löste uppgifter på i princip tre olika sätt: 1) Genom att räkna upp räkneord framåt i de uppgifter de upplevde som addition. 2) Genom att räkna upp räkneord bakåt i uppgifter de upplevde som subtraktion 3) Genom att uppskatta.

Min studie

Nyfikenheten för mitt forskningsområde har utvecklats från studier som jag gjort för tidigare uppsatser. Där fann jag ett samband mellan strategierna att ”Se”, gruppera och generalisera och den motsatta strategin att ”Räkna” till att ha svårt att generalisera, och att ha svårigheter med sin matematiska färdighet. Ett oväntat resultat var skillnaden mellan de båda barngrupperna. Resultaten i studien tyder på att ”räknandet” dvs. säga räkneramsan inte har en positiv betydelse för förmågan att ”räkna med flyt ”. Att eleverna, barnen använder sig av den strategin kan förmodligen bero på 1) för tydlig betoning av räkneramsan, 2) eller att barnet inte uppmuntrats att använda sig av den nedärvda förmågan att subitizera

, och gruppera. 4 D. Neuman (1989) har använt begreppet att ”Se” tal. Det innebär att eleven inte behöver använda strategin ”counting” eller ramsräkna sig fram till svaret. 5 Definition av att ”knäcka koden”. Att ”knäcka koden i läsning innebär att man lyckats komma underfund hur 6 läsningen går till och att man kan använda den kunskapen med en automatiserad förmåga. Man behöver inte längre ljuda de enskilda ljuden som utgör ett skrivet ord för att sätta samman till förståelse av ordet. Man övergår från logografisk läsning till ortografisk. Man avläser hela ordet eller satser, och uppnår det talade ordets flöde. Förmågan att uppfatta och urskilja föremål av två, tre objekt ögonblickligen utan att räkna enheterna en och en kallas subitizing och påstås vara en biologiskt förankrad perception av mönster, som kan ses och höras som representation av tal (Antell & Keating, 1983; Klahr & Wallace, 1973, i Ahlberg, 1997)

5 I dessa arbeten funderade jag över elevers svårigheter med subtraktion och studerade subitizing och gruppering av tal. Av resultaten kan man utläsa att 55 procent av eleverna i den ena av de två förskolegrupperna/klass kallad A använde strategin att ”Se” och att de behöll den förmågan efter ett år i skolan, samt att ytterligare elever 81 procent av eleverna tillägnat sig förmågan att se/gruppera efter ett år i skolan. I förskolegrupp/klass B var resultatet att 20 procent använde strategin att ”Se” medan 33 procent såg/generaliserade efter ett år i skolan, och då fanns det 67 procent räknare. I hela studien fanns det två grupper som hade bytt strategier, den ena från räkning till gruppering och den andra tillbaka från gruppering till räkning. En elev blandade vid båda tillfällena strategier, förmodligen osäker på den gällande diskursen. Av resultatet från denna studie framgick en skillnad av använda strategier. Det intressanta i studien var att alla elever från början tillhört samma grupp i förskolan, och delades upp i två olika skolklasser vid skolstarten. Detta föranledde ytterligare frågor att ställa om t.ex. undervisningen, som dock inte gjordes i den studien.

Subtraktionssvårigheter

Artikeln ”Tankefel i ämnet MATEMATIK” (Kilborn, Löwing 2000) beskriver elevers svårigheter i matematik. En specialpedagog i en större svensk kommun hade sökt hjälp för att komma till rätta med att alltför många elever började högstadiet med bristande kunskaper i matematik. Man hade problem med att hantera detta, trots att det fanns ett tiotal välutbildade matematiklärare på skolan. Det visade sig att eleverna hade stora problem med grundläggande subtraktion, multiplikation och division. För att kartlägga elevernas problem testades eleverna i två klasser med 27 och 30 elever i år 7. Testet bestod av 20 uppgifter av typen 14-8 och 11 7, samt sex uppgifter av typen 85-39 i algoritmform, och fem uppgifter av typen 962-173. Det visade sig att endast 8 respektive 11 elever i vardera klassen hade alla rätt. En elev skulle lösa uppgifterna 12-7 och 15-8 i samband med en intervju. Han löste dem genom att räkna bakåt i talraden, 7 respektive 8 steg. Detta är en tidsödande metod, och det blir lätt fel, eftersom han måste hålla två ”räkneverk” i gång samtidigt bakåt i talraden och på samma gång hålla reda på, hur många steg bakåt han tagit. Samma test utfördes av tio lärarstudenter vid andra skolor, och man fick liknande resultat.

Tabellkunskaper genom komprimering av räkneprocedurer .

Det vi kallar kunskap om additions och subtraktionstabellen ger ibland associationer till utantill inlärda orelaterade kunskapsbitar, fakta som barnen hemma och i skolan har tränat att minnas till dess att de ”sitter i ryggmärgen”. Två konkurrerande teorier finns om hur barn tillägnar sig tabellkunskaper. Enligt den ena utvecklas sådana kunskaper genom räkning som efter hand komprimeras, medan den andra utgår från att tabellkunskaperna utvecklas genom att barn formar goda talföreställningar. Den första teorin menar att barn efter hand komprimerar (inkapslar, ”förtinglingar”) sina räkneprocedurer och att de sedan kan härleda nya talfakta från sådana som de redan tillägnat sig. Detta menar Neuman (2000) inklusive ett antal forskare (Baroody & Ginsburg, 1986; Carpeneter & Moser 1984; Dubinsky, 1991; Fuson, 1988; Gray& Tall,1994: Resnick, 1983 med flera). Teorin har emellertid aldrig visat sig gälla generellt. Barn som har svårt för matematiken lär sig inte talfakta och gör få eller inga härledningar när de skall undervisas om talfakta utifrån teorin om komprimering av räknestrategier. Ändå är det denna teori, vid sidan av de tidigare helt dominerande behavioristiska och associationistiska teorierna, som dominerar undervisningspraktiken i västvärldens skolor. I forskning om barn, som av sina lärare anses ha matematiksvårigheter, har man emellertid vid upprepade tillfällen visat att

6 barns största problem är att de inte kan tillägna sig tabellkunskaper. Räkneprocedurer komprimeras således inte till talfakta.

Beskrivning av problemet

Barn som har svårt för matematiken lär sig inte talfakta och gör få eller inga härledningar när de skall undervisas om talfakta utifrån teorin om komprimering av räknestrategier. De lågpresterande elever som inte kunde lära sig talfakta inom talområdet 1-10, kunde naturligtvis inte heller dela adderade eller subtraherade tal i två delar vid 10-gränsen. Fortfarande i tolvårsåldern räknade de på framåt i addition och räknade bakåt i subtraktion. Barn som har fastnat i ett sådant procedurellt beteende kan enbart lösa uppgifter på nästa nivå och även detta är mycket svårt för dem, understryker Gray och Tell (i Neuman 2000). Om barn tex ska försöka multiplicera innan de ännu lärt sig upprepad addition (det vill säga om de bara kan ”räkna på” ett i taget) blir proceduren för arbetsam. Detta är tekniker som leder dem in i en återvändsgränd.

Barn med dyskalkyli har ofta problem med att de inte kan sluta räkna. Deras räknestrategier komprimeras aldrig

. De använder sig av den strategi som jag kallar ramsräkna.(RV)

Kvantifiering genom ”Räkna”

Med den matematiska definitionen för räkning menar Resnick (1984), att det är en process i vilken en uppsättning objekt noteras ett i taget. Varje objekt noteras enbart en gång. När varje objekt är noterat, paras det ihop med ett ord (räkneord) som nämns i en bestämd ordning av ett, två, tre … Denna kvantifieringsprocess kan ibland ske ljudligt, men ofta sker den tyst. Pågår det något liknande ”internal counting” i sådana fall? Beckwith och Restle (1966, i Resnick 1984) menar att ju fler objekt som ingår i uppsättningen, desto längre tid tar det att kvantifiera uppsättningen. I en studie fann de ett systematiskt förhållande mellan antalet objekt och tid. Med varje ytterligare objekt som skulle räknas ökade tiden med ungefär 2/3 sekund för barn och 1/3 sekund för vuxna, (s.70 i Resnick, 1984). Räknandet av ett objekt i taget, fungerar bra, där antalet objekt är relativt litet. Om stora mängder skall kvantifieras, är emellertid ett- till - ett räkningen inte särskilt effektiv och det finns stora risker för att göra fel. Det är lätt att missa något objekts plats, antingen genom att hoppa över ett objekt eller räkna det mer än en gång. Resnick (1984) menar att räkning är det dominerande men inte enda sättet att kvantifiera. Detta visar hon med en bild som föreställer fyra arrangemang av prickar. Det behövs bara en blick på något av dessa för att avgöra hur många prickar som arrangemanget innehåller. Det är inte nödvändigt att räkna arrangemanget med 3 eller 4 prickar, eftersom ögat genast tar in tre- eller fyragrupper. Denna teknik kallas subitizing. Men vartefter antalet prickar ökar till 6 eller 10 (enligt Miller 7 + − 2, i Resnick 1984) är denna ögonblickliga uppfattning av kvantiteten inte längre möjlig.

Kvantifiering genom att ”Se”.

Goda räknare i denna situation, grupperade först objekten i perceptuellt tydliga undergrupper, för att sedan räkna de tydliga grupperna och slutligen sammanfoga kvantiteterna påtalade Beckwith och Restle (i Resnick 1984) i sin hypotes. För att granska denna hypotes varierade de den spatiala organisationen av prickar, som ingick i räkneuppgiften och iakttog effekten av de olika perceptuella grupperingarna på den tid de behövde för att räkna. De fann att rektangulära mönster speciellt 4*4 räknades förhållandevis snabbt av både barn och vuxna. Svaren visade att barnen använde det rektangulära formatet huvudsakligen för att hjälpa dem att ordna och kontrollera de objekt som de räknade, medan vuxna tycktes använda det rektangulära mönstret för att multiplicera rader och kolumner. De kunde därigenom reducera räknandet. För att ytterligare granska effekten av gruppering gavs dessa collegestudenter i

7 uppgift att räkna uppsättningar av objekt vars position var helt ostrukturerade (scrambled), men där färg och form ibland fungerade som hjälp till perceptuell gruppering. Det visade sig bli en påtaglig perceptuell gruppering, när t.ex. fyra färger och fyra former ordnats så att på en del av området var alla kvadrater blå, på en annan del var alla kvadrater röda och så vidare. Å andra sidan visade det sig när färg och form var utspridda över ytan slumpvis, alternativt huller om buller, att gruppering uteblev eller var svag. Ju bättre färg och form stödjer den perceptuella grupperingen, desto snabbare var räkningen. Schaeffer, Eggleston och Scoll (i Resnick, 1984) fann en liknande överensstämmelse för barn under 4 år.

Antalsräkning och subitizing, jämförelse av två sätt att kvantifiera

Sambandet mellan subitizing och räkneprocessen hos barn och vuxna har studerats av Klahr och Wallace, (i Resnick, 1984). De fann att där subitizing slutar tar räknandet över. Dessa forskare menar att subitizing inte bara är snabbare än räkning, utan att den också uppträder tidigare och faktiskt är ett förstadium till barns räknande. Subitizing tar upp mindre av det begränsade utrymmet för arbetsminnet än vad räkning gör. Det är mer av en ”chunk” (tugga) och mindre en uppsättning av separata operationer. (Resnick, 1984 s. 73). De menar alltså att det skulle vara lättare att kvantifiera om man använder sig av subitizing än genom räkning. Det blir helt enkelt mer plats över i arbetsminnet för andra nödvändiga operationer. Chi och Klahr (i Resnick, 1984) fann i en studie med femåringar att de behövde fyra gånger längre tid för varje extra föremål som ingick i subitizingraden än vuxna. En alternativ tanke som passar Klahr och Wallaces (i Resnick, 1984) data är att kvantifiera de stora arrangemangen genom subitizing med undergrupper och att sedan addera undergruppernas kvantiteter. Det tycks som om vuxna använder denna senare procedur mer än barn.

Gruppering

Liping Ma (1999) som själv varit verksam i Kina jämför elevresultat och undervisning från USA och Kina påtalar att i USA anses problem som ”5+7=12 eller 12-7=5” som basfakta att enbart lära sig utantill. I sin jämförelse mellan amerikanska och asisatiska elevers resultat fann hon att de kinesiska eleverna tidigt möter en annan undervisning med fokus på gruppering än de amerikanska eleverna. För dem anses det sjävklart att lära sig de tjugo första talkombinationerna utantill, medan den asiatiske byläraren fokuserar på talens del-helhet som gruppering. I Kina ses detta emellertid som särskilda problem av ”addition med composing” (foga samman) och subtraktion med decomposing(dela upp) i talområdet 1-20. Detta arbetas det grundligt med under det första skolåret. Utifrån sina resultat beskriver hon även den kinesiske lärarens ansats. Hon använder sig av ett begrepp ”regrouping” (omgruppering). Denna omgruppering presenteras även vid lösning av subtraktionsalgoritmer. Gruppering eller ”regrouping” leder till att eleverna väljer lämpliga vägar, inte enbart

ett

formellt sätt att tänka. Redan F. Wigforss (ref. år saknas) menade att den viktigaste färdigheten för elevernas matematikutveckling och färdighet var att behärska gruppering och att kunna benämna den gömda delen av ett tal dvs. om man delar ett antal föremål och gömmer den ena delen. I Likhet med Ma (1999) understryker Kilpatrik m.fl. (2001, i Löwing 2004) att den matematik som undervisas på lägre stadier inte är trivial och att den direkt låter sig härledas från mer avancerade kurser i matematik.

Fingerräkning och Cuisinairestavar

”Fingerräkning ” ,dvs dubbelräkning med fingrarna som modellmängd, ”leder ” till matematiksvårigheter. Fingrarna lämpar sig dock bra för att skapa ett samtidigt medvetande om talens olika aspekter (ordinalaspekt, kardinalaspekt och del-helhetsförhållandena). För att

8 behärska talens grundfakta med hjälp av fingermönster underlättas elevernas förmåga att med en gång uppfatta även något större tal än de som vanligtvis inbegrips i talområdet för ”subitizing”. Förutom att fingertal underlättar ”subitizing” kan det bidra till att ge en del helhetsuppfattning. Studier har gjorts av barns sätt att använda fingrarna. Neuman (1989) beskrev två sätt att använda fingrarna. Det ena stöder ramsräkningen, dvs. man parar ihop ett finger med ett räkneord, samma strategi som ett – till ett räkning, eller där fingrarna används som modellmängder. Då används fingrarna i en ”dubbelräkningsstrategi”, där man först räknar objekten med räkneord och sedan räkneorden med fingrarna. Då fingrarna används som modellmängder har de inga av fingertalens kraftfulla egenskaper. (Dunkels, Neuman Sandahl, 1988). Den andra strategin som Neuman fann hos nybörjare var att de läste tal genom att ”Se” med hjälp av fingrarna. De gjorde talen synliga för ögat och dessutom kände de talen i sin kropp. De skapade det Neuman kallar fingertal, där varje finger fått ett namn för platsen i talraden (fingerraden). De ”såg” efter var talets sista finger fanns, vek oftast bort resten av fingrarna och delade upp talet i den kända och den okända del problemet handlade om. De flesta problem var öppna utsagor eller subtraktionsuppgifter. För närvarande pågår en studie om barns användning av fingertal vid, Göteborgs universitet, Lincs, IPD. Cuisinairestavarnas relationer liksom Fröbels ”gåvor” kan vara ett visuellt stöd för att skapa ett medvetande om jämförelse av storlek och av antal. Materialet består av ett antal stavar i olika längder, där den minsta är en kub med kantlängden 1 cm och den längsta är en 10 ggr så lång stav. Varje längd har sin färg, men stavarna är inte indelade i enheter, beroende på att en och samma stav ska kunna representera vilket tal som helst. Det är ett relationsmaterial som Malmer 1990 förordar och inte ett strukturellt material för antalsuppfattning.

Kvantifiering genom att ”Mäta”

De knep nybörjarna hittat i Neumans studie (1989) och som de fingerräknande äldre eleverna inte kommit på, var att man skulle mäta den största delen och helheten samtidigt med talet fem. Den största delen och helheten var de tal som var svåra att uppfatta, därför att de innehöll så många fingrar. Den minsta delen innehöll sällan fler än ett par, tre fingrar. Den behövde inte mätas med något större tal för att bli uppfattbar. Man kan säga att de valde en lagom stor enhet, eller ett lagom stort ”mått”, för att mäta hela talet med. De utvecklade sin taluppfattning genom att ”mäta”. Talet fyra, och ibland även talet fem, mätte de t.ex. med talet två. Fyra var två par och fen var två par och en enstaka. Talet fyra kunde de emellertid också mäta med talet fem- handen. Det var handen med tummen invikt. Talet fem var favoritmåttet. Med det kunde de mäta alla tal inom det första 10-talet. De kunde även ”mäta med talen tre och fyra som mått. När de kunde mäta alla tal inom talområdet med det talet, fanns det vi brukar kalla tabellkunskaper inom tal området 1-10 på plats (Dunkels, Neuman, Sandahl, 1988).

Tidig ålder Toddler

Eskil (2:7år) i Maria Reis studie (2009) lägger ett tre ringar högt torn och får också hjälp av Ella att placera ringarna i storleks och konisk ordning. I april, (episod 9) tar han av alla ringarna och börjar sedan plocka ringar på skaftet och försöker bygga ett högre torn. Han tar

9 lila ring och trär den på skaftet (den är vänd så liten sida är upp) tar sedan på grön ring. Han

känner

på kanten mellan ringarna, denna ring är också ”fel vänd”. Han tar av grön ring. Men behåller den i sin vänstra hand. Han tar nu och trär på blå….. Han studerar ring C och de ringar som är placerade på skaftet och

känner på mellanrummet mellan b och C ring,

och tar liksom ett mått på utrymmet som han sedan använder för att lösa nästa uppgift. Han trär nu på en grön ring och

känner på mellanrummet mellan C och D ring.

Kursiveringen är gjord av Vikström efter en analyssituation av videoinspelningen, som en markering för mina iakttagelser av Eskils bedömning av ”space”. Han använder sig av ett mått för att bedöma ett visuellt utrymme, skillnad i storlek.

Space

Davydov (1990) använder en metafor i vilken man kan uttrycket begreppet space som ett område eller utrymme. Davydovs ståndpunkt är att subtraktion snarare är relation (jämförelse) än aktivitet av ökning och minskning och pekar då på metaforen ”space”. Detta stöder mina tankar om att hitta den felande länken i elevernas förmåga till att ”räkna” med flyt, där jag nu söker det tredemensionella tänkandet. Neuropsykologin studerar de två alternativen, som överensstämmer med de två grundläggande nervsystemen för uppfattning och hanterande av kvantiteter, vilket framträder som två sidor av samma mynt. På samma sätt som de två hjärnsystemen samarbetar för att stödja vår förståelse och vårt handlande i världen, menar de att de två korresponderande aspekterna av tal borde utvecklas tillsammans. Både subitizing och mätning samarbetar, i en samtidighet. Även Sfard i (Iannece, 2009) menar att båda aspekterna behövs, att det är ett samspel mellan dem. Men för att uppfatta relationer och bedöma skillnader behövs en upp fattning av ”utrymmet, mellanrummet” eller ”space”. Ev. kan detta förnimmas genom subitizing eller perceptuell gruppering. Maria Mellone (Iannece, 2009) hänvisar till Sfards schema där räkneprocessen startar varifrån mätningsprocessen enbart uppträder i senare stadier. Davydov föreslår att övningar med föremål med kvantiteter borde föregå övningar med naturliga tal i den tidiga matematikundervisningen. Han föreslår aktiviteter där, en är igenkänd och uttryckt som en vanlig relation mellan de två kvantiteterna A och B och att översätta subtraktion som den formella beskrivningen av processen av att jämföra A och B hellre än som en minskning.: Davydov nämner metaforen ”space” för att synliggöra relationen mellan två kvantiteter A och B och att ersätta subtraktion som en formell beskrivning av den jämförande processen av A och B, hellre än som minskning : i en mening tack vare att representation är antagen, I ett avseende tack vare representationen överförd till objektet själv och dess symboliska uttryck. ”c

reate directly to the properties of the object. In a school subject, intermediate means of description have crucial significance because they mediate between a property of an object and a concept.” ( Davydov, 1982, 9.237 I Mellone)

En liknande ståndpunkt är föreslagen av Gelman& Gallistel, som pekar på resultat från neuroscience. Författarna identifierar reala tal som närmast den ursprungliga uppfattningen av

Plats, mellanrum

. Bevisen från experiment med tal representation hos ickeverbala djur och människor tyder på att det existerar ett gemensamt system för både räknebara och icke räknebara kvantiteter ( Gallistel). Dessa magnituder är aritmetiskt agerande utan hänsyn till huruvida de representerar icke räknebara kvantiteter Gallistel (i (Iannece, 2009). Redan den pythagorianska skolan menade att naturliga tal kunde räcka för både senare och tidigare behov, till dess upptäckten av …inkommensurable segment förstörde detta

10 påstående.…….. Som en konsekvens av detta skiljdes tal och geometri åt. Och Euklides kunde bygga sin monumentala ”geometri utan tal” Under mer än två tusen år har aritmetik och geometri behandlats som två separata domäner. Men behovet av att använda tal som mått, och inte enbart som räkneverktyg, har sakta framträtt.

Problemformulering

Utifrån den ursprungliga frågeställningen varför en del barn inte ”knäcker koden i matematik på samma sätt som i läsning”, skulle man kunna göra en jämförelse mellan läsandet, läsinlärning och ljudandet, literacy och Mathematical literacy. Man skulle kunna välja att fördjupa sig i den jämförelsen och då titta på språkets betydelse för den kognitiva struktureringen, enligt Sfard. Men jag väljer att fokusera på visuell perception, den spatiala förmågan, gruppering och även generalisering. Här kommer då den andra frågan om undervisning in. Om förmågan till subitizing är genetiskt betingad och forskning visar att den har stor betydelse för barnens tidiga matematikförmåga, borde läromedel undervisning och omgivning stödja denna färdighet i stället för att ständigt lyfta fram strategin ”ramsräkning”. Jag vill utröna hur det kommer sig att en del elever behåller strategierna subitizing till gruppering istället för att använda ”ramsräkning” och omvänt. Jag menar att detta är särskilt betydelsefullt i den nya situation som förskolans Lpfö 98 innebär. Hittills har pedagogerna blivit lämnade med sina egna skolerfarenheter utan att få utbildning för sitt nya uppdrag. I möte med många personer i förskola och skola har jag fått detta problem belyst. Från frågan om subitizing rör sig min frågeställning i riktning mot den spatiala förmågan. Och då särskilt förmågan att uppfatta och bedöma det tomma utrymme, mellanrum som uppstår vid jämförelse av kvantiteter. Det som man oftast kallar skillnaden, eller vad det är som ”fattas” för att likhet skall uppstå. Det kan även beskrivas med matematiska symboler som 2+___ =9. Jag vill undersöka barns spatiala struktureringsförmåga. Studera faktorer som var och en är nödvändiga och reda ut deras relationer och oberoende. Jag vill se den spatiala orienteringen i spatial strukturering och om det kan påverka den numeriska utvecklingen. - visualisering av form kan relatera till utveckling av en geometrisk förmåga - eller vilken roll språket räkneorden och spelar i detta sammanhang - spatial struktureringsförmåga från år 1 och vidare.

Spatial perception

Att notera det talade ordet genom bokstäver och ord, och därmed tillägna sig ett kommunikativt medel för tanke och gemenskap har ett annat ursprung än det matematiska språket som använder symboler för att beskriva en visuell verklighet. Här inträffar då en konstruerad nivå av översättning från det visuella, konkreta till det abstrakta symbolsystemet, en abstraktionsprocess av mycket hög dignitet. Detta kan vara en av anledningarna till elevers svårigheter. En av sovjets psykologer Davydov (1990) har tillsammans med fler forskare intresserat sig för de mentala aktiviteternas dynamik och principerna av lärandeprocesserna. De har studerat sådana områden som utvecklingen av mentala operationer. Tankens natur och utveckling: formandet av matematiska sammanhang och relaterade frågor om generalisering, abstraktion

11 och konkretion: de mentala operationerna av analys och syntes, samt utvecklingen av

spatial perception

, relationen mellan minne och tanke: utvecklingen av logiskt resonemang; de matematiska färdigheterna och strukturen och de speciella formerna av matematisk begåvning, (Davydov 1990 s. x) .Han hävdar att vi bör tänka annorlunda om lärande. Generaliseringsprocess borde vara ett tillskott snarare är utarmning. I stället för att tänka på generalisering som en rörelse från det konkreta till det abstrakta, bör vi tänka på det som en början av det abstrakta och en rörelse in mot det ”intellektuella konkreta” och sedan tillbaka till en berikad abstraktion. I deras forskning har de försökt att visa och utveckla särskilda frågor som berör innehållet av instruktionens design för skolämnen i termen av logisk psykologi.De menar att innehållet och metoder i den nationella undervisningen är främst orienterad av elevens förståelse av det grundläggande och av regler för det empiriska tänkande. Detta menar de för närvarande är ytterst viktigt men inte särskilt effektiv form av rationell kognition. Davydov ger som exempel på detta att ”Antalsuppfattning borde utvecklas med respekt för det reala talsystemet, vilket betyder att grundläggande innehållet är kvantitet: instruktionen bör inte börja med Counting. (s. xvii)

Minnet

Den mest utforskade teorin om arbetsminnet är gjord av Baddeley (2007) som Lundberg och Sterner 2009 hänvisar till. Enligt hans modell kan man urskilja fyra komponenter i arbetsminnet: den fonologiska bufferten, det visuella skissblocket (sketchpad), den episodiska bufferten och den centrala exekutiven. Den fonologiska komponenten inrymmer lagring och tyst repetition, vilket hindrar den avklingande inre ljudmässiga och språkliga representationen att helt dö ut.( s.25). Det visuella-spatiala skissblocket är av en annan natur. Här ser vi för vår inre syn en slags bild av det vi skall komma ihåg. För att klara t.ex. minnes spel blir en sådan minneslagring ofrånkomlig. När det gäller matematik har man skäl till att räkna med en koppling till det visuella skissblocket Den kanske vanligaste metoden för att mäta visuellt spatialt arbetsminne är att använda klossar, sk,

Corsi blocks (

Millner,1971 i Lundberg, Sterner 2009)). Den fonologiska slingans kapacitet mäter man ofta genom att eleven får upprepa en sekvens av enstaviga nonsensord som presenteras muntligt ett i taget i jämn takt. Sifferrepetition är också en vanlig metod för att komma åt den kapaciteten i arbetsminnet. Senare forskning bl.a genom fMRI - studier har lett till att man börjat ifrågasätta Baddeleys modell. Man menar att arbetsminnet är den aktiva delen av långtidsminnet, där uppmärksamhet är den centrala faktorn enligt (Conway m.fl, 2009).

Number sense,

eller taluppfattning som vi vanligtvis översätter begreppet, kan definieras som det lätta och flexibla sätt på vilket barn hanterar tal och kvantiteter. Tidig kvantitativ förmåga inbegriper barns förmåga till subitizing (definieras som en automatiserad perceptuell process) som alla människor kan använda enbart och att jämföra kvantiteter genom att jämföra. Flera forskare har beskrivit detta ex.Clements & Sarama, Van den Heuvel Panhuizen ( i F.v. Nes,2009 ) . Kognitiv forskning har åtskilliga fynd om barns tidiga kvantitativa förmågor i matematiska operationer. F.v. Nes (2009) hänvisar tiil Gellman & Gallistel,Hughes (1978). Nyligen har Berger, Tzur och Posner (2006) referart i F.v.Nes (2009) funnit att sex månaders spädbarn kan upptäcka enkla additions fel. Dessa tidiga förmågor inbegriper inte utpräglad taluppfattning. Tidig kvantifiering har också benämnts som ”spatial quantification” för att belysa vikten av

12 att känna igen speciella figurer och de ingående delarna i utvecklngen av förståelsen för numeriska relationer. Spatial orientation anses vara ett kärnområde i barns utveckling

Spatial Sense

Spatial Sense Spatial Structure Number Sense Fig. The first version of a conceptual schema relating spatial sense to number sense through spatial structure. Van Nes 2005 Spatial Structure Insight into • A pattern • An arrangement • • A construction A figure For organizing and recognizing configurations like finger patterns or the arrangement of dots on a die. Early spatial sense Early number sense Fig. van Nes 2005 Spatial sense, rumsuppfattning kan definieras som förmågan ” att fånga den yttre världen ” . Det är en av många termer som associeras med spatialt tänkande. Spatial sense, i sin tur förutsätter utvecklingen av spatial orientation, spatial visuliazation och fantasi. Alternativt förtydligar Van den Heuvel-Panhuisen och Buijs i F.v.Nes 2005 att geometri, orientering, navigering och konstruerande med former och figurer är centrala faktorer för tidig spatial utbildning. Det finns en mängd termer och definitioner för spatial sense och hur de kan ingå i termen ”spatial quantification” Åtskilliga studier har betonat barns spatiala förmåga som en nödvändig faktor i deras matematiska utveckling. Med avseende på unga barns förmåga att sätta samman och att dela upp kvantiteter för att få insikt i numeriska relationer är ,,,

Subitizing

Ekeblad redogjorde för begreppet Subitisering – en grundläggande beståndsdel i räkneförmågan i en artikel i Nämnaren 17 (1990) enligt följande: Hon nämner W S Javon som den som gjorde de tidigaste experimenten. Han publicerade 1871 en artikel om ”The power of numerical discrimination” i tidskriften Nature. Men forskare trodde under första halvan av 1900-talet att räkning inte innebar en verklig förståelse för tal, med undantag av subitizing. Douglas 1925 var av en annan åsikt. Många såg subitizingens roll som utvidgning av den nödvändiga förförståelse för räkning. Redan 1912 menade Freeman att medan mätning fokuserade på det hela och räkning fokuserade på enhet, fokuserade

13 subitizing på både det hela och delarna, trots att subitizing var underordnad taluppfattning. Carper godkände 1942 subitizing som mer korrekt än räkning och mer effektiv i abstrakta situationer. Lägg märke till att termen subitizing ännu inte var skapad. Detta skedde först senare av Kaufman, Lord, Reese och Volkmann, 1949. Även Klahr på 70-talet ledde en rad undersökningar av snabb antalsuppfattning. Klahr framkastar tanken att barn före två eller tre års ålder uppfattar små antal genom subitisering, men att de övergår till att avgöra antal genom att räkna vid den ålder då barn lär sig tal och räkneorden.

Vad betyder subitiseringen?

I sin redogörelse hänvisar Ekeblad (1996) till utvecklingspsykologen Sheldon Wagner som menar att denna förmåga bygger på en mer grundläggande benägenhet att kategorisera händelser- de må vara visuella, auditiva eller motoriska- som antingen kontinuerliga eller diskontuerliga. Han menar att förmågan till subitisering också gör det möjligt att få grepp om dessa små tal med tanken. På så sätt utgör förmågan att subitisera en av de grundförutsättningar vi har att bygga på då vi utvecklar ett talbegrepp. Även Resnick belyser subitisingen som en minnesavlastande funktion. Nyare forskning som beskrivs i Sophian (1998)och Wynn,(1998) ägnar sig åt de allra yngsta barnens förmåga, och mycket tyder på att här finns ett fenomen som hittills varit förbisett, men förmodligen är av stor betydelse förståelsen av barns räknefärdigheter. Se också artikeln av Hallberda, (2008) ”Individual differences in nonverbal number, acuity correlate with maths achievement Nature”. I denna studie har man låtit 14-åringar bedöma antal genom att på en datorskärm avgöra om samlingen av blåa eller gula cirklar är flest. Cirklarna visades under 0,2 sek och det fanns inte någon möjlighet att räkna dem. Av de 64 elevernas resultat visade undersökningen att den basala förmågan att hantera kvantiteter (core system) är betydelsefull för en god utveckling av den symboliskt baserade beräkningsförmågan. Den intuitiva, omedelbara och approximativa bedömningen av antal skulle alltså kunna vara ett uttryck för den biologiskt baserade ”core”-förmågan. Clements och Sarama (2007) stöder Fitzhugh, 1978 som fann att en del barn kunde subitisera en mängd av en eller två utan att kunna räkna dem. Ingen av dessa mycket unga barn kunde räkna något av det som de kunde subitisera. Hon drog den slutsatsen att subitisering är en nödvändig föregångare till räkning. Forskning med småbarn visar enkelt att små barn äger och spontant använder subitizing för små antal och att subitizing föregår ”counting”. Argument för att subitizing är en separat process skild från ”counting” inkluderar reaktionstid som visar att känna igen 1-3 objekt är snabbare och mer exakt än större antal. Reaktionstiden ökar med antalet i mängden som skall kvantifieras. Forskare debatterar fortfarande om grunden till subitizingförmågan (Clements, 2005). Några menar att det finns två linjer: numerisk subitizing och ickenumerisk (eller figural) subitizing. För att jämföra kvantiteter behövs överensstämmelse. I första skedet, är dessa inte lika i jämförelse med resultatet av två genomsnittet mellan två set. Så snart barnet kan mentalt föreställa sig objekt kan också barnet göra exakt överensstämmelse mellan dessa ickeverbala representationerna och eventuellt utveckla en kvantitativ iakttagelse av den jämförelsen. (Clements, 2005) nämner en serie om fem studier som indikerar att barns tendens till spontant fokus på antal är en påtaglig matematisk process (Hannula, 2005). Resultaten visar att spont fokusering på antal bygger upp förmågan att subitisera, vilket i sin tur stöder och

14 utvecklar räknandet och den matematiska förmågan. Barn med låg tendens till spontan fokusering på antal i de tidiga åren riskerar att få matematiksvårigheter senare.

Neuroscience

Neuropsykolog

i Maria Mellone (Iannence 2009) pekar på några resultat från neuroscience, forskning, med avseende på närvaron i våra hjärnor av två tydliga prelinguistiska system för hanterandet av tal. Författarna i artikeln jämför olika syn på talens kognitiva rötter, inom epistemologi, psykologi och matematikundervisning, Deras slutsats är att de två tydliga processerna av räknande och mätning borde integreras bättre i den tidiga matematikundervisningen . Numera är det vida känt enligt Mallone (2009), att det inte bara i den mänskliga hjärnan finns två system utan det finns även hos djur för hanterandet av tal . Det första systemet är specialiserat på att känna igen antal av små grupper av föremål som ex. upp till fyra st. genom s.k. subitizing, medan det andra aktiveras inte enbart för jämförelse och hanterandet av kontinuerliga kvantiteter, utan också en för uppfattning och hantering av diskreta kvantiteter på liknande sätt. Indirekta bevis för existens av denna sorts mentala linje vilar på ett stort antal observationer (från djur, spädbarn utan språklig kompetens, till vuxna med vanligtvis symbolisk föreställningsförmåga, till sjukliga fall. Mellone (2009). Vilket är särskilt intressant att det andra systemet aktiveras inte enbart för jämförelse och manipulering av konstanta kvantiteter utan också för uppfattning och hanterande av diskreta kvantiteter på liknande sätt.

Som tidigare sagts har talens kognitiva rötter påverkats av åtskilliga synpunkter. Psykologiska studier från Piaget lika väl som från matematikundervisning, stöder med ringa skillnader primitiva och prioriterande roll för naturliga tal, beroende av ursprunglig räknehandling.

Spatial Domain

Spatial Spatial Visualization Orientation Shape

Numerical Domain

Counting Comparing Quantities Quantities 15 Spatial Structuring Numerical Relations Higher- order arithmetic abilitys Fig.4.17 från van Nes (2009, s. 87 ) Det slutliga schemat (F.v.Nes) : visar att barns spatiala struktureringsförmåga förväntas stödja deras insikt i numeriska relationer. Spatial strukturerings förmåga och insikt i numeriska relationer lägger grunder till utvecklingen av matematiska förmågan till den avanserade matematiken.

Forskningsläge

Av den senaste forskningen om barns matematiserande och matematikutveckling är det Fenna.van.Nes (2009) som mer ingående tar upp barns spatiala utveckling vars förslag till kommande forskning har lett mig till mina forskningsfrågor. Även Maria Reis (2009) avhandlingsmanus har temat: Att ordna, från oordning till ordning, ”toddlares” matematiserande i förskolan. Camilla Björklund (2007) har behandlat ” Hållpunkter för lärande, Små barns möten med matematik”. Minna M. Hannula (2005) med ”Spotaneous Focusing on Numeriosity in the Development of Earley Mathematic Skills, fokuserar på nödvändigheten av att uppmärksamma barnen på det de kan lära. M. Hannula har i sin avhandling tydliggjort nödvändigheten av att unga elever behöver stimulans för att de skall upptäcka lärandeobjektet. Syftet med studien var att utforska 3-7 åriga barns Spontana Focusing on Numeriosity (SFON) och dess relation till tidig matematikutveckling. Hannula

16 lyfter även fram en fråga om arbetsminnets roll för fokusering på tal relaterade till tidig matematikutveckling. Dessa studier avser alla yngre barnens matematiska utveckling. Den som har haft störst inverkan på mitt arbete har varit Dagmar Neumans forskning som ledde mig till att arbeta med hennes material ” Landet längesedan ” under 10 års tid. Även Ann Ahlberg (1997) med ”Children`s ways of handling and experiencing Numbers” och Eva Ekeblad (1996), med ”Children Learning Numbers”, samt Göta Eriksson (2005) med ”Tidig aritmetisk kunskapsbildning” har forskat om detta.. De som bidragit till kunskapsläget utifrån pespektivet neuroscince är Donlan (1998) The Development of Mathematical Skills Wynn, (1998,) ”Numerical competence in infants” samt Maria Mellone (Iannece, 2009), Liksom Hallberda, (2008) som redovisar en intressant studie med subitizing. Forskningsfrågor från både Hannula (2005) och F van.Nes (2009) presenterar en rad forskningsfrågor för kommande forskning, innehåll, metod och undervisningspraxis. I det följande kommer jag att redovisa tidigare forskning som gjorts i syfte att finna svar på frågan om hur vi lär oss att räkna och uppfatta antal? Finns det en medfödd förmåga eller skaffar sig barnet kunskap genom samverkan med omgivningen eller sker det en viktig utveckling tidigt? Synen på små barns matematiska lärande har skiljt sig vida åt under mer än hundra år. Den senare utvecklingen har inneburit ett dramatiskt ökat intresse för matematikundervisning och lärande. Wynn (1998) har fokuserat på hur spädbarn uppfattar antal i olika situationer och funnit att de kan uppfatta skillnader i låga antal och även ”resonera”

kring (urskilja) antal som ökar och minskar när det gäller auditiva, motoriska och visuella objekt. Denna bas, denna initiala numeriska kompetens, utgör grunden för fortsatt numeriskt lärande. Intressant är om denna initiala numeriska förmåga innebär att små barn räknar eller använder subitizing eller en kombination av räkning och subitizing. Subitizing är en begränsad process både gällande antal och information om antalet och innebär att, via perception, uppfatta låga antal utan att räkna. Sophian (1998) menar att spädbarn urskiljer antal men att forskningen inte har givit svar på om förmågan är subitizing eller icke-verbalt räknande. Hon menar att frågan är viktig då relationen mellan denna initiala förmåga och senare utveckling av verbalt räknande ser olika ut beroende på karaktären på den initiala förmågan.

Forskning om utveckling av tidig antalsuppfattning

Forskningen inryms huvudsakligen inom tre teoretiska ramverk (Clements, 2007) för att förstå små barns matematiska tänkande. De är empirism, neonativism och interaktionism, (samverkan). Thorndike 1922 representerar empirism, där barnet ses som ett ”oskrivet blad”. Sanningen motsvaras snarare av ett samspel mellan barns kunskap och verkligheten och kunskap som förvärvas via social överföring, eller från upprepade erfarenheter med en särskild ontologisk verklighet. I motsats till detta förespråkar nativistiska teorier (Platon och Kant) barnets medfödda eller tidigt utvecklade förmåga. Många teoretiker utgår från Gelman och Gallistels ”privilegierade områdens hypotes” (Rittle- Johnson & Siegler, 1998). Inom interaktionistiska, konstruktivistiska teorier skapar barnen aktivt och återkommande sin kunskap. I jämförelse med nativismens inledande föreställande tanke, är barns tidiga strukturer förstadier av ett föreställande. 7 Det engelska uttrycket ”reason” som författaren använder har inte något bra motsvarande svenskt uttryck.

17 När handledaren bad Warren Mc Calloch 1917 att redogöra för sitt forskningsintresse svarade han, ”What is number, that a man may know it, and a man that he may know number?” Handledaren replikerade ” Käre vän ni kommer att vara sysselsatt så länge ni lever, (Mc Culloch, 1963,p.1 i Clement & Sarama 2007). Under mer än 100 år har forskningen om tidig antals uppfattning passerat genom fyra breda faser. Den första fasen inleddes, med en noggrann analys av Dewey 1898, forskare studerade subitizing

, som hänvisade till verbalt namngivande av antal, räkning, och förhållande mellan subitizing och räkning. I den andra fasen, med det breda inflytandet från Pigetiansk teori förändrades teoretiska och empiriska studier som förklarade utvecklingen av taluppfattning baserad på underliggande logiska operationer. Räkning ansågs som ineffektivt, utan något samband med den nödvändiga färdigheten att räkna (Piaget & Szmeminska, 1952, i Clements & Sarama 2007) Studier enligt denna tradition tenderade att ignorera subitizing ”the inituitive numbers” såväl som räkning, vilket hade haft huvudfokus i tidigare studier av tal uppfattning. Istället fokuserade Piaget på konserverandet (bevarande) av tal. I Piagetiansk anda, behövdes inte begrepp som antal för att sedan bevaras, förrän barnet var kapabelt till samtal. Denna syn har en utbredd uppfattning inom forskning och utbildningspraxis, att barn inte kan resonera logiskt över antal förrän i de tidiga skolåren. Som en följd av detta resonemang är hundratals studier influerade av detta förhållningssätt, och har därmed påverkat undervisning och läromedel. Den tredje fasen började när nya perspektiv och forskningsmetoder utmanade kritiska aspekter i Piagets åsikter. Clement & Sarama (2007) hänvisar bl.a.till forskare R. Gelman, (1969) som ifrågasatte om Piagets uppgift mätte talförståelse eller andra kompetenser. Andra ifrågasatte Piagets ståndpunkt, att det inte finns någon möjlighet till meningsfullt antals resonemang utan logiska operationer, och därmed var inte försök att utveckla barns antals uppfattning, genom räkning, hållbar. De som stödde det nya perspektivet var R. Gelman, Harper & Steffe. Den nyskapande forskningen påvisade numerisk och aritmetisk kompetens hos små barn trots att de saknade operationell förmåga enligt Piagets bedömning. Andra forskare byggde taluppfattnings-modeller. Wang Resnick och Booser 1971 ( Clements 2007) antog en ansats av information - process, och emperiskt orienterade modeller för att beskriva sekvenser av tal, räkning av små antal före större samlingar oberoende av räkning och ett –till ett korrespondensen. Den fjärde fasen är en utvidgning av den tredje. Debatten fortsätter om betydelsen av den tidiga kompetensen eller avsaknad av den. En av konstruktivismens olika former enligt Clements (2007) är trivial konstruktivism som menar att barn inte är passiva mottagare av kunskap, men ser kunskap som ett lärande om objektiv verklighet. Däremot inom radikalkonstruktivismen är tänkandet anpassningsbart och tjänar till att hjälpa barnet att organisera sin erfarenhetsmässiga värld snarare än att avslöja eller upptäcka en separat objektiv sådan. Radikalkonstruktivismen använder ett utvecklings-perspektiv på kognitiv tillväxt, där barn formar tankestrukturer för att lösa uppfattade problem och pröva dem för att se hur de passar den erfarna världen. 8 det omedelbara och snabba uppfattandet av en grupps antal, från latinet ”att anlända plötsligt” senare namngivet av Kaufman, Lord, Reese & Volkmann, 1949

18 Socialkonstruktivismen bygger på Vygotskys nyskapande arbete, som menar att individer och samhället står i förbindelse med varandra på ett avgörande sätt. Clements and Sarama (2007) påstår att forskningen nådde en syntes av tidigare strukturer som de nämner hierarkisk interaktionalism, en term som indikerar påverkan och samspel mellan medfödda kompetenser, ärvda resurser och erfarenheter (t.ex. kulturella verktyg och undervisning). Matematiska idéer representeras intuitivt genom språk, sedan metakognitivt så att barnet äger och förstår ämnet och kan bedöma och handla utifrån dess ståndpunkter. Men enligt mina funderingar innebär det visuella uppfattande av antal en tidigare färdighet än språket. Detta visar Karen Wynn, (1998) på i sin senare forskning genom en del experiment med mycket unga barn, och även djur. Jag menar att det språkliga uttrycket genom räkneorden styr bort från den perceptuella uppfattningen av antal via påverkan och samspel med omgivningen.

Teoretisk bakgrund

Här vill jag resonera över mitt ställningstagande i forskningsfältet. Jag har övervägt en kombination av flera ansatser. Många av de avhandlingar som skrivits inom barns tidiga matematikutveckling och lärande har använt den fenomenografiska ansatsen, På senare tid har även flera använt variationsteorin som grund. .Eriksson, (2005) använde det radikalkonstruktivistiska perspektivet och i detta avsnitt vill jag resonera utifrån konstruktivismen, och då speciellt radikalkonstruktivismen. Utifrån det perspektivet har också teorin om Realistic Mathematics Education (RME) (F.v.Nes 2009) i kombination med ett sociokonstruktivistiskt perspektiv på lärande vuxit fram. Radikalkonstruktivismen har orsakat mycket problem inom sin miljö och här argumenteras för varför denna variation av konstruktivismen ger ett gott epistemologiskt fundament för undervisning inom naturvetenskap enligt Andreas Quale (2007). Han gör en modifiering av radikalkonstuktivismen och dess dilemma. Jag gör en kort överblick över vad konstruktivismen i allmänhet innebär, och synar om det finns något gemensamt för alla konstruktivismteorierna. Konstruktivismen grundar sig på följande påståenden. Lärande är en aktiv process: eleven (”en person som lär sig något” – a learner på engelska) vill aktivt konstruera sin egen kunskap i den pågående läroprocess han/hon genomgår. Som man ser det är påståendet, som man kan kalla ”konstruktivismens bas”, i utgångsläget en hypotes om hur lärande sker. Men den har också implikationer för

undervisning

( en aktivitet som försöker att styra, eller i alla fall påverka, elevens lärande, för

kognition

( elevens upplevelse / förståelse av den kunskap som har blivit lärd, och för

epistemologi

( elevens kunskapssyn och lärarens. Quale, (2007) hänvisar till Von Glaserfelds definition av radikalkonstruktivismen med hjälp av två påståenden. R1: Kunskap mottas icke passivt, utan byggs upp aktivt av eleven (den som erövrar kunskapen) R2: Kunskap erövras som en anpassning: vars funktion är att organisera elevens upplevda erfarenhetsvärld, inte att upptäcka en objektivt existerande verklighet. Låt oss närmare se på den radikala konstruktivismens andra påstående. Här är det viktigt att vara klar över att teorin behandlar kunskap och lärande som ett motsatt ordpar, lite förenklat

19 kan man säga att ”lärande är den aktivitet som leder till kunskap, kunskap är resultat av aktivt lärande” våra sinnen innehåller även om andra ting: tro, känsla, vilja personliga preferenser. Teorin uttalar en skarp skillnad mellan

epistemologi

och

ontologi.

I radikalkonstruktivismen betraktas kunskap som en modell, eller struktur, som vi lägger på vår upplevelse av en del av världen, för att bättre kunna anpassa oss till den. Speciellt betraktas naturvetenskapen som en sådan modell- definierad av ett set av teorier, metoder, procedurer och verktyg - som kan användas till att strukturera en bestämd undermängd av våra upplevelser; nämligen de fenomen som tills nu har ansetts vara ett legitimt tillstånd för naturvetenskaplig forskning. Det betyder inte enligt Quale (2007) att radikalkonstruktivismen kan leda till en extrem relativism som kallas

solopsisme.

Den uppfattningen att var och en kan konstruera sin egen värld så som han/hon önskar att den skall vara. Tvärt emot, accepterar denna teori att människor delar en gemensam upplevelsevärld - om inte, vore det inte möjligt att kommunicera med varandra - och att det är naturligt för oss att pröva och etablera gemensamma kunskapsbaser. Från ett radikalkonstruktivistiskt perspektiv kan ett begrepp som verkligheten, eller den verkliga världen inte betyda något mer än det fenomenologiska ”allt som det är möjligt för oss att uppleva”. Denna kunskapssyn blir ofta betecknat som vetenskaplig relativism. Men motsatsen beskrivs av vetenskaplig realism som att det finns en objektiv verklighet, oberoende av mänsklig upplevelse, och att det är möjligt att komma fram till en sann kunskap om denna verklighet. Quale hävdar att radikalkonstruktivismen är något långt mer än det vi kallar ”naiv positivism”, den uppfattningen att sinnesintrycken ensamma kan ge oss en fullständig förståelse av världen! Han hävdar att kontroversen omkring radikalkonstruktivismen i alla fall delvis kan skyllas på ett utbrett bruk av metaforer som ”sanning” och ”verklighet”, i diskussionen omkring naturvetenskapens epistemologi. Är en vetenskaplig teori något som blir upptäckt, eller något som blir konstruerat av oss? John Ogborn. (Qvale) I von Glaserfelds terminologi kan en vetenskaplig teori inte vara ”sann” eller ”osann” men bara mer eller mindra livsduglig( engelska: viable)

Realistic Mathematics Education

Realistic Mathemathics Education inspirerar utvecklingen av matematikutbildningen genom att erbjuda ett pedagogisk och didaktisk perspektiv på matematikundervisning och lärande. Den utvecklades vid Freudenthalinstitutet under 1970-80 talet och har sedan dess förbättrats och spridits internationellt enligt F.van Nes (2009). Termen

realistisk implies that the problem situation is set in a context that gives a problem meaning and that brings forward the mathematics that ”begs to be organized”.(s. 29)

Sådan matematik i RME ses som en mänsklig aktivitet som drivs av en matematiserande handling. (Freudenthal 1973.1991) Matematisering betyder mer än att samla matematisk kunskap och att bli van vid matematiska operationer. Snarare involverar den förståelse för underliggande matematiska förmågor såsom, sortering, klassificering, generalisering o betydelsen och formalisering. Freudemthal betonar

guided reinvention

att stimulera matematisering. Denna princip finns under konstruktionen av kunskap som om eleven ”reinvented it”. Det skiljer sig från

20 upptäcktsperspektivet, som förutsätter att det symboliska systemet existerar och att barn måste försöka förstå dem utan hjälp från vuxna. I det ((re)invention) perspektivet, upptäcker eleven (”reinvent”) matematiken verkligen genom att placeras i situationer som kräver matematisering ( F.v.Nes 20009). RME konceptet av lärande är baserad på idén att verkligheten inte bara en är källa för tillämpning av nya insikter efter det att en överföring av lärande nivåer har skett,utan att verkligheten formar delar av elevens förståelse som krävs för en sådan överföring.

Reality

i denna bemärkelse, definieras som”what common sense experiences as real at a certain stage” (Freudenthal.1991.pp7 I F.v. Nes, 2009) Och målet är att stödja eleverna i att skapa en ny matematisk verklighet. Följande fem principer visar RME:s karakteristiska fundament. (F.v.Nes 2009, s.31) 1.

Didaktisk fenemonologi 2.

Överbryggande av lärandenivåer genom att använda vertikalt stödjande material. Lärande som en konstruktiv aktivitet. Lärande som en interaktion Lärande styrkor flätas samman Även D. Neuman (1997) menar att de teorier om matematikundervisning som företräds av RME har haft stort inflytande långt utanför Europas gränser. Här hänvisar hon till Cobb, Perlwitz & Underwood, (1996). Det som förenar sociokonstruktivismen och det framträdande perspektivet RME ligger i det delade fokuset på lärandet som en upprepande (iterativ) och konstruktiv process. Sociokonstruktivismen härstammar från radikalkonstruktivismen och socio-interativa teorier. Radikalkonstruktivismen karakteriserar kunskap som en modell som är baserad på erfarenheter. Detta betyder att kunskap är adaptiv och att den inte bara kan var en objektiv spegling av världen. Därför kan kunskap inte överföras passivt från en person till en annan, utan måste snarare aktivt konstrueras av den lärande. Men, om vars och ens översättning av världen är accepterad, då har lärare inte något skäl för att definiera lärande mål och till att leda elevers lärande. Detta synsätt menar F.van Nes (2009 s.33) gör att konstruktivismen som teori för utbildning blir svår att tillämpa. Alltså, designerns roll i en aktivt lärande process blir att uppmuntra eleven till sina spontana strategier utan att pressa på dem matematisk kunskap. Samtidigt innebär det att designens innehåll och utformning blir av avgörande betydelse, för elevernas lärande. Under mina år som lärare och lärarutbildare var den rådande teoretiska ansatsen för synen på lärandet, det sociokulturella perspektivet och efter mötet med Neumans forskning och läromedel saknade jag ett kompletterande perspektiv för lärande. Min svårighet att välja teoretiskt perspektiv har bottnat i att jag ville komma fram till en insikt för elevernas lärande. Att välja fenomenografiskt perspektiv som jag till sist har gjort underlättades när jag blev mer insatt i variationsteorins möjligheter, som har sitt ursprung i fenomenografin. F. Marton hävdar att det som är möjligt att lära är det som blir erbjudet, samt att lärandet sker genom att man urskiljer differenser, variation. Denna variation kan uppfattas som en förnimmelse. Learning Studies som sedan utvecklats som en modell kunde också varit en tänkbar modell , men till sist vill ja använda Design Research som bygger på att skapa en undervisningshypotes, Alltså skapa en möjlighet att erbjuda ett speciellt utvalt objekt för lärande.

Syfte och frågeställningar

Det övergripande syftet är att försöka beskriva karaktären av elevers spatiala förmåga och den konsekvens det kan innebära för deras förmåga att kunna erövra nödvändig färdighet för att ”räkna med flyt”. Vilka strategier för att lösa spatiala och numeriska problem karakteriserar unga elevers förmåga att strukturera? Hur kan unga elever stödjas i att lära sig känna igen och använda spatiala strukturer för att korta den numeriska proceduren?

Metod

Huvudsyftet med projektet är att studera och försöka beskriva elevers spatiala förmåga och dess konsekvens för deras förmåga att erövra nödvändig färdighet för att ”räkna med flyt”. För att möjliggöra detta vill jag i första hand använda mig av kvalitativ ansats med fenomenografi som mitt teoretiska perspektiv och med variationsteorin som grund för analysen. Jag avser att göra en monografi och planerar att göra en explorativ studie med bakgrund i neurovetenskapen. Jag räknat med att den studien kan ge kan ge information till huvudstudien, en Design Research, som skall utformas utifrån fynden i den första studien för att utröna svaret på den andra frågan. Ett annat skäl till att jag stannat för denna form är att man som forskare går in i studien med en teori, som man vill utveckla. Här har jag varit tveksam om vad jag skulle välja. Jag har övervägt en sammanläggningsavhandling i tre delar med kappa, men avstår med tanke på svårigheten att få artiklar publicerade inom mitt område på engelska. Tyvärr är det få avhandlingar från de senare åren inom området matematikdidaktik som skrivits på svenska. Ett annat mål som jag har är att nå fram till verksamma lärare, och det finns önskemål från den gruppen att få läsa även svenska avhandlingar. Om jag skulle ha gjort en sammanläggningsavhandling hade jag planerat att också göra en del som en surveystudie, där jag skulle studera vilka uppgifter i de nationella proven för år 3, och 5 i matematik som har berett eleverna svårigheter, och analysera dess uppgifter och svar utifrån min frågeställning. Min tanke var också att granska styrdokument. Dessa två studier skulle då ha utgjort ett underlag till ”förtest” för Design Research .

Forskningsdesign

Studie1

Den första delstudien formas som en explorativ observationsstudie med videoinspelning av yngre barn. De kommer att få en given uppgift i att använda sig av ett laborativt material. Detta görs som en individuellt utformad intervju uppgift. Syftet är att kartlägga och samla insikt om de strategier barnen använder för att lösa spatiala strukturerings och antalsuppgifter. De strategier de använder kan vara svar på första forskningsfrågan. För att konstruera

22 uppgifterna behövs flera försök med olika barn och anpassning av uppgiften så att den visar mer av barnens uppfattning om spatial strukturering och taluppfattning. Observationens fokus kommer att fånga elevens tillvägagångssätt. Enligt Gelman och Gallistel (1974 i v, Nees 2009) hävdar de att spatial structurering föregår antalsräkning. I analysen vill jag skapa ett underlag utifrån jämförelser av elevernas tillvägagångssätt. Den uppgift jag har valt bör illustrera sambandet mellan spatial insikt om hur man konstruerar block och tillvägagångssätt för att avgöra antal. (Clement & Sarama 2007; Nees & Forenga 2007). Batista och Clement har forskat med syfte att beskriva elevers spatiala tänkande, vilket de menar är relaterat till deras uppräknade strategier på samma sätt som de handhar 3D- rektanglar ex föremål av kuber. Jag vill studera ett antal enskilda 4 - 6-åringar. Uppgift 1. Ett material av olika laborativa modeller, främst Lego eller Duplobitar kan användas för att studera barnens tillvägagångssätt. Till att börja med kan de använda materialet fritt för att sedan få lösa den uppgift som ledaren ger dem. Uppgiften består i att jämföra Freddys hus med grannens. Freddys hus är i motsats till grannens strukturerat. Kan eleverna bestämma vad som fattas för att grannens hus skall bli som Freddys. Hur går de till väga och kan de också bestämma kvantiteten.? Bådas hus byggs av tio Duplobitar. Freddys hus är strukturerat i tre lager av två rektangulära bitar, toppade med ett lager av ytterligare en rektangulär bit, och två kvadratiska bitar och en annan kvadratisk bit. Grannens hus är ostrukturerat. I denna context , innebär strukturerad en grad av symmetri och ett mönster i hur lagren med bitarna har placerats på varandra. Det ostrukturerade huset var lika brett och långt som det strukturerade men med bitarna på ert sätt som gjorde det svårt att se konstruktionen. Denna uppgift illustrerar det praktiska sambandet mellan spatial insikt till en konstruktion av Duplobitar och sättet att avgöra kvantitet. Första frågan är: Vilket av husen är det större? Nästa fråga som ställs kan vara hur man kan göra husen lika. Vad fattas? Här är det viktigt hur frågorna ställs, och att undvika att fråga ”hur många”. Dessa uppgifter är inte ännu färdigkonstruerade. De behöver utprovas tillsamman med något barn. Ev. att jag använder mig av en uppgift med Cuisinairstavar, ett material särskilt anpassat för att arbeta med relationella förhållande. Här kan man se hur de arbetar för att fylla ut ett tomrum i jämförelse av två olika långa stavar . Ev. uppgift 2 Uppgiften utgörs av att se vad som fattas: tex. två insekter med olika många ben. Vad fattas för att de skall bli lika? Vilka strategier använder de? Owens (1999, i f.v.Nes 2009) menar att visualiseringstrategier är nyckeln till utveckling av deras spatiala sinne.

Studie 2

Metoden jag väljer är interventionsstudie. Efter överväganden har jag inriktat mig på Design Research för att cykliskt pröva och visa saker., utifrån en undervisningsteori. Problemet är att man har svårt att kontrollera andra påverkande variabler, bias

23 Design Research i matematikundervisning har både en teoretisk och ett tillämpat ändamål. Teoretisk i termen av en förståelse för matematisk tänkande, undervisning och lärande, och i termen av att använda denna förståelse till att förbättra matematik undervisning.(Schoenfeld, in v. Nes (2009). Freudenthal (1991) använde termen ”instruction experiment” för att hänvisa till en sorts forsknings design inom vilken en undervisningssekvens skapas för att vidga elevernas insikt inför en speciell matematisk konstruktion. Samtidigt skulle undervisningssekvensen förse forskaren med en större förståelse av barnets lärande process. Forskaren använder metoder som både syftar till varför och lika väl beskriver hur matematikundervisning fungerar i praktiken. Teori utveckling i design research involverar utveckling av en lokal undervisning. Den lokala undervisningsteorin kan inspirera andra forskare och lärare att införa de undervisningsexperimenten i sina egna sammanhang och utvärdera och fortsätta utveckling av en mer passande teori. Den cykliska processen karakteriserar Design Research. För att nå en lokal undervisningsteori, skapar forskare tänkta experiment för att definiera en hypotetisk lärande bana.(HLT, Simon, 1995, v. Nes 2009)) Design research karakteriseras av interaktion mellan data analys och teoriutveckling. I design research, kan RME modellens principer vara en hjälp för forskaren att finna vägar till att stödja en elevs progressiva matematiserande.

Data analys

Eleverna videofilmas både under intervjuer och i undervisningssituationerna. Därefter används ATLAS.ti för att organisera råa videodata. Detta visuella kvalitativa mjukvaruprogram tillåter att data analyseras genom interaktiv kodning av text, beskrivningar, radio och videoinspelningar. Genom att lägga till frågor, skapa koder för märkning av frågorna och sedan ytterligare koder få en kategorisering, och därmed få en känsla för hur barnen löser problemen. Genom variationsteoretisk analys bör man kunna få fram kritiska aspekter .

Etiska överväganden

Studien kommer att följa Vetenskapsrådets etiska regler för humanistisk och social vetenskap. Personal och föräldrar kommer att informeras och ges tillfälle till skriftligt samtycke om deltagande i studien. För att dokumentera och analysera aktiviteter där barn arbetar med matematik kommer jag att använda mig av videoinspelningar. För att kunna göra analyser av uppgifterna kommer jag också att samtala med barnen i form av deltagande intervjuer. Även detta kommer att filmas. Inspelningarna kommer sedan att användas i min forskning. Allt arbete inom projektet kommer att ske i enlighet med Personuppgiftslagen(1998:204)*. Inspelningar kommer att förvaras på sätt som innebär att obehöriga inte kan få tillgång till dem. De elever och den personal som medverkar vid videoinspelningarna kommer att vara anonyma i den rapportering som kommer ut av studien. Namn kommer att ändras till fiktiva namn i de texter som publiceras i avhandlingen Även bilder från videoinspelningar kan anonymiseras så att personerna inte är möjliga att känna igen. Eftersom denna typ av datainsamling kräver vårdnadshavarens medgivande tillfrågas barnets vårdnadshavare via ett formulär för undertecknande. Om eleven själv inte vill medverka i videoinspelningarna behöver han/hon naturligtvis inte göra det. Deltagandet i studien är frivilligt och kan barnets vårdnadshavare kan när son helst välja att avbryta medverkan. * Ansvarig för personuppgifterna är Göteborgs universitet.

Litteraturförteckning

Ahlberg, A. (1997).

Children's ways of handling and experiencing numbers.

Göteborg:Acta Universitatis Gothoburgensis. Björklund, C. (2007).

Hållpunkter för lärande: små barns möten med matematik.

Åbo Akademi Univeristy, Jakobstad. Clements, D. H. S., J. (Ed.). (2005).

Early childhood mathematics learning. Lester. F:K.

: NCT National Council of Teachers of Mathematics. Cobb, P., Confrey, J., di Sessa, A., Lehrer, R., Scauble,L. (2003). Design Experiments in Educational Research.

Educational Researcher, 32, No. 1

, pp.9-13. Cobb, P. (Ed.) (2005) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: NCTM. Conway, A. R. A., Moore,A. B- & Kane, M.J. (2009). Recent trends in the cognitive neuroscience of working memory.

Cortex, 45

(2), 262-268. Danielsson, K. M., L. & Neuman, D. (Ed.). (2000).

Pröva med tal. Gruppdiagnos och samtalsunderlag i matematk för nybörjare.

Stockholm: Psykologiförlaget AB. Davydov, V. V. (1990).

Types of generalization in instruction : logical and psychological problems in the structuring of school curricula ;

(J. Teller, Trans. Vol. 2). Veston, Virginia: National Council of Teachers of Education. Donlan, C. (1998).

The Development of Mathematical Skills

. London,UK: Psychology Press. Dunkels, A., Neuman, D.,Sandahl,A. (1988). Tal och taluppfattning.

Täljaren

. Ekeblad, E. (1990). Subitisering- en grundläggande beståndsdel i räkneförmågan .

Nämnaren 17

(1), 21-25. Ekeblad, E. (1996).

Children, Learning, Numbers. A phenomenographic excursion into first- grade children´s arithmetic. .

Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Eriksson, G. (2005).

Tidig aritmetisk kunskapsbildning.

Stockholm: Lärarhögskolan. Ernest, P. (Ed.). (1998).

Vad är konstruktivism?

Lund: Studentlitteratur. Fuson, K. C. (1992).

Research on whole number addition and subtraction. In D. Grouws (Ed.).

Hallberda, J., Mazzocco, Michèle. M.M., Fegenson, Lisa. (2008). Individual differnces in nonverbal number acuity correlate with maths achievment.

nature, 455/

, 5.

25 Hannula, M. M. (2005).

Spontaneous Focusing on Numerosity in the Development of Early Mathematical Skills.

Turku: Turun Yliopisto. Iannece, D., Mellone, M., Tortora, R. (2009).

Counting vs. measuring; reflections on numberroots between epistemology and neuroscience.

Napoli: Università Frederico II di Napoli.. Kilborn, W. L., M. (2000). Tankefel i ämnet matematik.

Skolbarn, 3

. Lundberg, I. S., G. (2009).

Dyskalkyli- finns det? Aktuell forskning om svårigheter att använda tal

. Göteborg: NCM. Löwing, M. (2004).

Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikationen lärare-elev och matematikundervisningens didaktiska ramar.

Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Ma, L. (1999).

Knowing and teaching elementary mathematics

( ed.). London: Lawrence Erlbaum Magne, O. (1998 ).

Att lyckas med matematik i grundskolan.

Lund: Studentlitteratur. Marton, F. B., S. (1997).

Learning and awareness

. New Jersey: Lawrence Erlbaum associates. Marton, F. B., S. . (2000).

Om lärande

Lund: Studentlitteratur. Marton, F. N., D. (1989). Constructivism and constitutionalism. Some implications for elementary mathematics education.

Scandinavian Journal of Educational Research 33

(1), 35 - 45. Nes, F. v. (2009).

Young Children's Spatial Structuring Ability and Emerging Number Sense.

Utrecht: Universiteit Utrecht. Neuman, D. (1987a).

The origin of arithmetic skills. A phenomenografic Approach.

Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Neuman, D. (1987b). Så kommer matematiken in i barnens värld.

Pedagogiska magasinet, 2

. Neuman, D. (1989).

Räknefärdighetens rötter

. Stockholm: Utbildningsförlaget. Neuman, D. (1997a). Diagnoser i matematik år 2. Varför hur- vad ger resultatet?

Nordisk matematikdidaktik, 1

. Neuman, D. (1997b). Phenomenography; Exploring the Roots of Numeracy.

Journal for Research in Mathematics Education Monograph 9

. Quale, A. (2007). Konstruktivisme i naturvetenskapen: kunnskapssyn og didaktik.

Nordina 3

(2).

26 Reis, M. (manuscript).

Att ordna. Från oordning till ordning,"toddlares" matematiserande i förskolan /To order from nonorder to order, toddlers mathematizing in preschool; in Swedish/

.Unpublished manuscript, University of Gothenburg. Resnick, L. B. F., W. W. (Ed.). (1984).

The Psychology of mathematics for instruction.

London: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Rittle-Johnson, B. S., R.S. (1998). The relationships between conceptual and procedural knowledge in learning mathematics: A review. In C. Donlan (Ed.),

The development of mathematical skills

. New York: Psychology Press Ltd. Sophian, C. (1998). A developmental perspective on children's counting. In D. Donlan (Ed.),

The development of mathematical skills.

New York: Psychology Press Ltd.. Utbildningsförlaget. (1998). Lpfö 98. Läroplan för förskolan. Stockholm: Fritzes Vikström, R. (2006).

Räkna med flyt

(C-uppsats). Göteborgs universitet: Institutionen för pedagogik. Wynn, 1998, K. (1998). Numerical competence in infants. In C. Donlan (Ed.),

The Development of Mathematical Skills

: New York Psychology Press.

Unga elevers förmåga till spatial strukturering och utveckling av

Transcript Unga elevers förmåga till spatial strukturering och utveckling av