Transcript Lösningsförslag Dugga i Mekanik, grundkurs för F, del 2 September

Lo¨sningsf¨orslag
Dugga i Mekanik, grundkurs fo¨r F, del 2
September 2014
Till varje uppgift finns det ett l¨
osningsf¨
orslag som exempel p˚
a hur uppgiften kan l¨
osas. L¨
osningsf¨
orslaget visar ¨
aven hur l¨
osningen ungef¨
arligt b¨
or
presenteras i form av struktur och f¨
orklarande bilder och text (m¨
angden
bilder har h¨
ar h˚
allits till ett minimum p.g.a. sv˚
arigheter med bildredigeringsprogrammet, t.ex. en avritning av problemfiguren ¨
ar att rekommendera f¨
or att underl¨
atta beskrivning). Till varje l¨
osning f¨
oresl˚
as en
rimlighetskontroll vilket inte ¨
ar ett krav p˚
a l¨
osningen men vettigt att
g¨
ora, speciellt f¨
or att hitta grova fel som kan leda till extra avdrag. Efter
l¨
osningen n¨
amns ett par av de vanligaste felen som gjordes samt saker
som b¨
or t¨
ankas p˚
a f¨
or att undvika dessa i framtiden.
1
Uppgift 1
Uppgiften ¨
ar att best¨
amma egenvinkelfrekvensen vilken kan identifieras fr˚
an
standardformen p˚
a ekvationen f¨or en fri od¨ampad sv¨angning
: ` ωn2 x “ 0
x
(1)
d¨
ar ωn ¨
ar egenvinkelfrekvensen.
F¨
or att erh˚
alla denna ekvation kan man st¨alla upp kraftekvationen f¨or en
kropp, F “ mtot aG d¨
ar F ¨
ar kraftsumman av alla yttre krafter p˚
a kroppen, mtot
ar den totala massan f¨
or kroppen och aG ¨ar accelerationen f¨or kroppens mas¨
scentrum. F¨
or att kunna utnyttja kraftekvationen s˚
a beh¨over man rita upp en
fril¨
aggningsfigur. I fril¨
aggningsfiguren ritas inte statiska krafter upp d˚
a de endast
p˚
averkar var j¨
amviktsl¨
aget befinner sig och inte p˚
averkar sj¨alva sv¨angningen.
Figur 1: Fril¨
aggning av massan. Koordinatvariablen x s¨atts som noll n¨ar massan
befinner sig i j¨
amviktsl¨
aget. S ¨ar kraften fr˚
an sn¨oret p˚
a massan medan k2 x ¨ar
kraften fr˚
an den h¨
ogra fj¨
adern p˚
a massan.
Kraftekvationen st¨
alls upp.
Ò: S ´ k2 x “ m:
x
(2)
Denna inneh˚
aller S som en ok¨and som best¨amms m.h.a. momentekvationen
9 o f¨
Mo “ H
or trissan. Trissan ¨ar dock l¨att s˚
a Ho “ 0 konstant. F¨or att kunna
st¨
alla upp momentekvationen ritas en fril¨aggningsfigur f¨or trissan upp.
2
Figur 2: Fril¨
aggning av trissan. Storleken p˚
a S ¨ar lika stor som i
fril¨
aggningsfiguren f¨
or massan medan ´k1 x ¨ar kraften fr˚
an den v¨anstra fj¨adern
p˚
a trissan. Minustecknet kommer fr˚
an det faktum att kraften ned˚
at fr˚
an den
v¨
anstra fj¨
adern p˚
a trissan minskar d˚
a x ¨okar, d.v.s. den v¨anstra fj¨adern blir
kortare n¨
ar den h¨
ogra blir l¨
angre. R ¨ar reaktionskraften som h˚
aller upp trissan
i O.
Momentekvationen blir nu
ñ
O : S ¨ R ´ p´k1 xq ¨ R “ 0 ô S “ ´k1 x
(3)
(3) i (2) resulterar i
xôx
:`
´k1 x ´ k2 x “ m:
k1 ` k2
x“0
m
(4)
Egenvinkelfrekvensen hittas nu genom j¨amf¨orelse mellan 1 och 4 vilket ger svaret.
b
`k2
Svar: Egenvinkelfrekvensen ¨ar ωn “ k1m
Rimlighetskontroll
b
`k2
Kontrollera dimpωn q “ dimp k1m
q.
ωn a
r
reellt
och
n¨
a
r
en
av
fj¨
a
derkonstanterna
a¨r noll s˚
a blir uttrycket precis som
¨
vi f¨
orv¨
antar oss.
Vanliga fel
Teckenfel p˚
a en av fj¨
aderkonstanterna: Undvikes genom att vara noggrann med
˚
at vilket h˚
all ¨
okningen av variablen samt kraftriktningen s¨atts som positivt. Blir
fj¨
adern l¨
angre n¨
ar variabeln blir st¨orre? ˚
At vilket h˚
all blir is˚
afall fj¨aderkraften
st¨
orre? Kom ih˚
ag att t.ex. ´8 ą ´10. Hittas ofta genom en rimlighetskontroll.
3
Uppgift 2
Uppgiften ¨
ar att best¨
amma den visk¨osa d¨ampningskoefficienten c s˚
a att ett
system av fj¨
adrar och d¨
ampare blir kritiskt d¨ampat. Kritiskt d¨ampat inneb¨ar
att d¨
ampningskonstanten ζ “ 1 i standardformen f¨or en fri d¨ampad sv¨angning.
Standardformen ¨
ar
x
: ` 2ζωn x9 ` ωn2 x “ 0
(5)
d¨
ar ωn ¨
ar egenvinkelfrekvensen.
F¨
or att erh˚
alla denna ekvation kan man st¨alla upp kraftekvationen f¨or en
kropp. D¨
arf¨
or beh¨
ovs en fril¨
aggning av massan d¨ar ˚
aterigen statiska krafter som
endast p˚
averkar var j¨
amviktsl¨
aget ¨ar har ignorerats.
Figur 3: Fril¨
aggning av massan. Koordinatvariablen x s¨atts som noll n¨ar massan befinner sig i j¨
amviktsl¨
aget. kef f x symboliserar kraften fr˚
an de seriekopplade fj¨
adrarna som kan ers¨attas med en annan fj¨ader med den effektiva
fj¨
aderkonstanten kef f .
Kraftekvationen st¨
alls nu upp f¨or figur 3.
x
Ò: ´kef f x ´ kx ´ cx9 “ m:
(6)
Nu m˚
aste vi ta reda p˚
a vilken effektiv fj¨aderkonstant kef f man m˚
aste ha f¨or
att ers¨
atta tv˚
a seriekopplade fj¨adrar med fj¨aderkonstanterna 3k (fj¨ader 1) och
k (fj¨
ader 2).
Om vi l˚
ater x1 och x2 symbolisera f¨orl¨angningen fr˚
an j¨amviktsl¨aget av de
respektive tv˚
a fj¨
adrarna s˚
a m˚
aste ju
x “ x1 ` x2
(7)
g¨
alla.
Vi vill att den nya t¨
ankta fj¨adern skall ge upphov till samma kraft p˚
a massan
som de tv˚
a seriekopplade fj¨
adrarna. Men det ¨ar ju bara fj¨ader 2 som drar i
massan och kraften i en fj¨
ader ¨ar k¨and s˚
a det m˚
aste g¨alla att
kef f x “ kx2
4
(8)
Men d˚
a det inte finns n˚
agon accelererande massa mellan fj¨adrarna s˚
a m˚
aste
fj¨
ader 1 dra i fj¨
ader 2 lika h˚
art som fj¨ader 2 drar i fj¨ader 1 d.v.s.
kx2 “ kef f x “ 3kx1
(9)
Utnyttjar man (8) och (9) i (7) s˚
a f˚
ar man
x “ x1 ` x2 “
kef f x kef f x
1
1
4
`
ñ 1 “ kef f p
` q “ kef f p q
3k
k
3k k
3k
(10)
d.v.s.
kef f “
3
k
4
(11)
(11) i (6) ger nu
7 k
3
c
´ k ´ kx ´ cx9 “ m:
xñx
: ` x9 `
x“0
4
m
4m
Identifiering med (5) ger nu
b
7k
7 k
m
2
ñ ωn “
ωn “
4m
2
och
c
m
2ζωn “
(12)
(13)
(14)
(13) tillsammans med (14) ger
b
c “ 2ζωn m “ 2ζ
7k
m
2
ζ “ 1 f¨
or kritisk d¨
ampning ger nu svaret.
?
m “ ζ 7km
Svar: Den visk¨
osa d¨
ampningskoefficienten ¨ar c “
?
(15)
7km.
Rimlighetskontroll
?
Kontrollera dimpcq “ dimp 7kmq
Vanliga fel
Felaktig ers¨
attning av de seriekopplade fj¨adrarna: Krafter adderas inte vid seriekoppling! T¨
ank er t.ex. en kedja med l¨ankar, varje l¨ank ’drar’ lika h˚
art i den
efterf¨
oljande som man drar i den f¨orsta men det inneb¨ar inte att man kan dra
en oljetanker bara man g¨
or kedjan tillr¨ackligt l˚
ang.
5
Uppgift 3
Uppgiften ¨
ar att best¨
amma r¨
orelsem¨angdsmomentet Ho . D˚
a st˚
angen ¨ar l¨att kan
definitionen av r¨
orelsem¨
angdsmoment f¨or ett system av partiklar anv¨andas.
ÿ
rk ˆ mk vk
(16)
Ho “
k
I v˚
art fall har vi bara tv˚
a partiklar s˚
a d¨arf¨or b¨or definitionen vara enkel att
anv¨
anda. F¨
or plan r¨
orelse kan man utnyttja att beloppet av kryssprodukten a¨r
de vinkelr¨
ata komponenternas storlek multiplicerat med varandra medan man
sj¨
alv f˚
ar h˚
alla koll p˚
a i vilken riktning ut fr˚
an planet som vektorn pekar m.h.a.
t.ex. h¨
ogerhandsregeln. B˚
ada kulorna beskriver en cirkelr¨orelse kring en fix axel
med vinkelhastigheten ω och d˚
a ges farten av avst˚
andet fr˚
an axeln r multiplicerat med ω. F¨
or kulan med avst˚
andet r1 “ 2a till axeln ges d˚
a farten av
|v1 | “ r1 ω “ 2aω
(17)
och r¨
orelsem¨
angdsmomentet blir f¨or kulan
ñ
Ho1 “ mr1 2aω “ 4ma2 ω
(18)
F¨
or den andra
a kan ?
avst˚
andet till axeln f˚
as genom pythagoras sats och
a kulan s˚
a av
blir d˚
a r2 “ a2 ` p2aq2 “ 5a. Farten ges d˚
|v2 | “ r2 ω “
?
5aω
(19)
och r¨
orelsem¨
angdsmomentet blir
ñ
?
Ho2 “ mr2 5aω “ 5ma2 ω
(20)
Med (16) i minnet blir det totala r¨orelsem¨angdsmomentet l¨att att ber¨akna.
ñ
ñ
ñ
Ho “ Ho1 ` Ho2 “ 4ma2 ω ` 5ma2 ω “ 9ma2 ω
Svar: R¨
orelsem¨
angdsmomentet ¨ar
ñ
Ho
(21)
“ 9ma2 ω
Rimlighetskontroll
Kontrollera dimpHo q “ dimp9ma2 ωq
Ho “ 0 om kroppen saknar massa (m “ 0) eller om kroppen saknar fart (a “ 0,
el. ω “ 0).
Vanliga fel
Vektor‰skal¨
ar: R¨
orelsem¨
angdsmomentet ¨ar en vektor och d˚
a m˚
aste riktning
anges i svaret. Antingen indirekt genom en pil och h¨ogerhandsregeln eller p˚
a
vektorform
pe
,
e
,
e
q.
x
y
z
ř
rk ˆmk vk ‰ rG ˆmtot vG : Masscentrum ¨ar ett linj¨art viktat m˚
att p˚
a var massan befinner sig men massans position kommer in kvadratiskt i r¨orelsem¨angdsmomentet, en g˚
ang direkt i rk och en g˚
ang indirekt i vk “ ω ˆ rk .
6
Uppgift 4
Uppgiften ¨
ar att ta reda p˚
a den kinetiska energin f¨or ett system som inneh˚
aller
delar som translaterar och roterar. Det verkar d˚
a rimligt att anv¨anda sig av
kinetiska energins tv˚
a delar f¨or ett system av partiklar med den totala massan
m. Formeln f¨
or den kinetiska energins tv˚
a delar ¨ar
T “
ÿ1
1
2
mvg2 `
mk vk,rel
2
2
k
(22)
Masscentrum ligger uppenbarligen konstant i mitten av vagnen och d¨armed ¨ar
farten vg samma som farten hos vagnen vo , d.v.s.
vg “ vo
(23)
Relativt masscentrum s˚
aa
a kulorna som har en fart. Den¨r det sedan bara de tv˚
na a
r
enkel
att
best¨
a
mma
d˚
a
de
beskriver
en
cirkelr¨
orelse relativt masscentrum
¨
och farten vid ren cirkelr¨
orelse ges av v “ rω. Detta inneb¨ar att
vk,rel “ Lω
(24)
ar farten f¨
or kulorna relativt masscentrum d¨ar L ¨ar avst˚
andet fr˚
an masscentrum
¨
till kulan ifr˚
aga.
(23) och (24) i (22) ger oss
1
1
pM ` 2mqvo2 ` 2 mpLωq2
2
2
Vilket ¨
ar den kinetiska energin vi s¨okte.
T “
(25)
Svar: Den kinetiska energin ¨ar T “ 21 M vo2 ` mpvo2 ` pLωq2 q.
Rimlighetskontroll
Kontrollera dimpT q “ dimp 12 M vo2 q “ dimpmvo2 q “ dimpmpLωq2 q
Den kinetiska energin ¨
ar noll vid avsaknad av r¨orelse.
Vid ren translation respektive rotation blir energin vad vi f¨orv¨antar oss?
Vanliga fel
Massan hos kulorna tas inte med i translationsenergin: Troligtvis slarvfel men
borde hittas vid en snabb rimlighetskontroll.
Allm¨
ant ¨
ar |vG `vk,rel | ‰ |vG |`|vk,rel |: Kom ih˚
ag att hastighet ¨ar en vektor som
har b˚
ade en storlek och riktning. Detta inneb¨ar att vid addition av hastigheter
s˚
a blir inte den nya farten summan av de tv˚
a ing˚
aende farterna om hastigheterna
inte r˚
akar peka ˚
at exakt samma h˚
all.
7