Transcript Kretsprocesser

Kretsprocesser
Inledning
Under laborationen ska du jobba med en Stirlingmotor och en värmepump. Båda finns
beskrivna lägre fram i texten men först ska du läsa igenom de avsnitt i kurslitteraturen
som behandlar kretsprocesser, d.v.s. främst i kapitel 4 i Ohlén ”Statistisk
termodynamik”.
Förberedelseuppgifter
Gör följande uppgifter. Lösningarna inlämnas renskrivna vid laborationens början till
handledaren för kontroll.
1.
I en kretsprocess för en (värme)motor representeras nettoarbetet under ett varv av
den inneslutna arean i ett pV-diagram. En motor genomlöper en “fyrkantig
kretsprocess” enligt diagrammet nedan.
a.
b.
c.
Vilken enhet har p·V?
Hur stort arbete uträttar motorn under ett varv i kretsprocessen?
Vilken effekt avger motorn om det tar 0,2 s för kretsprocessen att genomlöpa
ett varv?
Svar: b:. 1,6 kJ, c: 8,0 kW.
2.
Den högsta teoretiska verkningsgraden för en motor är
e
TH  TC
TH
där TH är den högsta och TC den lägsta temperaturen under kretsprocessen.
I en testbil med en stirlingmotor är den högsta temperaturen under kretsprocessen
700 °C och den lägsta temperaturen 100 °C. Beräkna den högsta möjliga
verkningsgraden.
Svar: 61,7%
3.
För en värmepump definieras värmefaktorn som kvoten mellan den energi som
avges från den varma sidan och den energi som måste tillföras motorn
(kompressorn) som driver kretsprocessen.
Vf 
QH
Win
Den högsta teoretiska värmefaktorn för en värmepump är
Vf 
TH
TH  TC
där TH är den högsta och TC den lägsta temperaturen under kretsprocessen.
En värmepump tar värme från uteluften. Värmepumpens praktiska värmefaktor
visar sig bli hälften av det teoretiskt högsta värdet. Beräkna värmepumpens
praktiska värmefaktor för följande två fall.
a) Uteluftens temperatur är –20 °C och värmepumpen lämnar varmvatten med
temperaturen 50 °C.
b) Uteluftens temperatur är 0 °C och värmepumpen lämnar varmvatten med
temperaturen 40 °C.
Svar: a: 2,3, b: 3,9.
4.
I en demonstrationsvärmepump, enligt Figur 1, tas värme QC = Qin, från en “kall
reservoar” som innehåller 10 liter vatten–glykolblandning. Värme QH = Qut, avges
till en “varm reservoar” som innehåller 10 liter vatten. QC är den värme som man
normalt tar “gratis” från en lämplig reservoar och QH är nyttig värme som vi
normalt använder till uppvärmning. Kompressorn tillför arbetet W, som vi betalar
för via elräkningen.
Figur 1. En värmepump med de viktigaste delarna inritade. Kompressor,
expansionsventil, kall och varm reservoar.
a)
b)
Temperaturen i den varma reservoaren höjdes 25,8 °C på tiden 1616 s. Hur
stor medeleffekt har lämnats till den varma reservoaren?
Diagrammet i Figur 2 visar hur temperaturen TH, i den varma reservoaren,
varierar med tiden t. Mätningen började då värmepumpen startades.
Figur 2. Temperaturens variation med tiden i den varma reservoaren.
Vi anpassar en rät linje till mätpunkterna med minsta kvadratmetoden och får:
TH = a·t + b , där a = 0,0163 °C/s och b = 25,7 °C.
Vi antar att kompressorns effekt är konstant 158 W under mättiden. Beräkna
värmefaktorn Vf för värmepumpen då temperaturen varierar enligt ovan.
V f (t ) 
dQH (t ) dW (t ) Put (t )
/

dt
dt
Pin (t )
där Put är den effekt som överförs till den varma behållaren och Pin är den
elektriska effekt som kompressorn använder.
dQH dQH dT
dT
Ledning: Put 


 mc
dt
dT dt
dt
Svar: a: 667 W, b: 4,3.
Teori
Stirlingmotorn.
En Stirlingprocess består av 2 isotermer och 2 isokorer enligt Figur 3.
Figur 3 Stirlingprocessen för en värmemotor (a→b→c→d→a). Energin Qbc tillförs och
mekaniskt arbete Wnetto, motsvarar arean under grafen, uträttas.
För isotermerna gäller:
bc
da
ΔEint
 ΔEint
 0 , vilket enligt 1:a huvudsatsen medför att
Qbc = Wbc = nRTH ln(Vc/Vb)
Qda = Wda = –nRTC ln(Vc/Vb) eftersom Va / Vd = Vb / Vc
För isokorerna gäller:
Wcd = Wab = 0, vilket medför att
ab
Qab = ΔEint
= (f/2)·nR(TH – TC)
cd
Qcd = ΔEint
= (f/2)·nR(TC – TH) = - Qab
där f är antalet frihetsgrader hos arbetsgasen.
Här ser vi att om det avgivna värmet Qcd kan överföras till Qab blir Stirlingprocessen
mycket effektiv och får verkningsgraden
e
Wnetto Wbc  Wdc

Qin
Qbc
vilket ger
estirling 
T
TH  TC
= 1 C
TH
TH
d.v.s. samma som för Carnotprocessen.
Experimentuppställningen
Genom åren har det utvecklats flera Stirlingmotorer i undervisningssyfte. Det
finns t ex en solstirlingmotor som är
försedd med en parabolspegel för att
kunna drivas med solljus. Laborationens
Stirlingmotor har en cylinder av glas så
att man tydligt kan se de olika delarna.
Se Figur 4. Motorn har två kolvar, en arbetskolv och en förflyttningskolv, som
löper i samma cylinder. Arbetskolven
ändrar gasens volym och tryck i
cylindern genom att komprimera eller
expandera gasen. Förflyttningskolvens
rörelser förändrar inte cylinderns volym
utan flyttar bara gasen fram och tillbaka
mellan det varma och det kalla området.
Då förflyttningskolven t ex rör sig uppåt
i cylindern flyttas gasen från den övre
till den nedre volymen. Gasen passerar
då genom ett hål i kolvens mitt som
omges av regeneratorn. Regeneratorn
består av kopparull som har till uppgift
att så effektivt som möjligt mellanlagra
värme då gasen passerar åt ena eller
andra hållet.
1
1. Värmespiral
2. Varma utrymmet
2
3
4
5
6
7
8
3. Kylvattenutlopp
4. Regenerator (kopparull)
5. Kalla utrymmet
6. Förflyttningskolv
7. Kylvatteninlopp
9
8. Arbetskolv
10
9. Till pV-indikator
11
12
10. Svänghjul
11. Kolvstänger
12. Vevstakslager
13 14
13. Kylvatteninlopp
14. Kylvattenutlopp
Figur 4. Den Stirlingmotor som du ska
använda under laborationen.
Figur 5 nedan visar de fyra delprocesser som ingår i stirlingcykeln. Förutsatt att regeneratorn fungerar perfekt kan dess arbetssätt beskrivas på följande sätt. När gasen
passerar regeneratorn från motorns övre varma del, värms regeneratorn upp och gasen
kyls av. Gasen kommer då till motorns nedre del kyld till temperaturen TC. Då gasen
passerar regeneratorn från motorns nedre kalla del, kyls regeneratorn av och gasen
värms upp. Det medför att gasen kommer till motorns övre del uppvärmd till
temperaturen TH.
I den nedre delen av motorn transporteras värme bort (under den isoterma
kompressionen) med hjälp av kylvatten från en kran. Om vi låter flödet vara tillräckligt
stort kommer kylvattnets temperatur TC att vara konstant oavsett variationer hos den
borttransporterade effekten. Det betyder att vi har en kall värmereservoar. Vi kan då
anta att gasen i motorns nedre del hela tiden har samma temperatur TC som kylvattnet.
Observera att det bara är i en ideal maskin som gasen får samma temperatur TC som
kylvattnet.
Figur 5. Stirlingmotorns funktion. Diagrammet ovanför respektive bild
visar vilken tillståndsändring som bilden avser att visa. Bilden visar
startläget för tillståndsändringen och pilarna visar hur kolvarna ska röra sig
för att komma till tillståndsändringens slutläge. T ex visar Figuren ovanför
a b kolvarnas lägen i tillståndet a och pilarna visar hur kolvarna ska röra
sig för att komma till tillstånd b. Se även tabell 1.
Tabell 1. Sammanfattning av tillståndsändringarna.
Tillståndsändring
Gasens
Gasens
temperatur
volym
Arbetskolv
Förflyttningskolv
Uppifrån och
ab
Ökar
Konstant
och liten
Stilla i övre
vändläget
bc
Konstant och
hög
Ökar
Uppifrån och
nedåt
cd
Minskar
Konstant
och stor
Stilla i nedre
vändläget
Nerifrån och
da
Konstant och
låg
Minskar
Nerifrån och
upp
Stilla i övre
ner
Fortsätter nedåt
upp
vändläget
I motorns övre volym tillförs elektrisk energi under den isoterma expansionen via ett
värmeelement. I en ideal maskin sker denna värmetillförsel vid den konstanta
temperaturen TH. En ökning av den tillförda elektriska effekten resulterar i att motorn
arbetar vid en högre temperatur TH, vilket i sin tur ger upphov till ett större nyttigt
arbete (den inneslutna arean i pV-diagrammet ökar).
När Stirlingmotorn varit igång en stund har temperaturen TH stabiliserats och vi har fått
ett stationärt tillstånd. Motorn hålls då igång genom att värme tillförs den övre delen av
motorn (så att expansionen sker isotermt) och värme bortförs från den nedre delen av
motorn (så att kompressionen sker isotermt). Arbetet som gasen uträttar under den
isoterma expansionen används dels till att uträtta nyttigt arbete (från
maskinanvändarens synpunkt) och dels till att lagra rörelseenergi hos ett svänghjul. Se
Figur 4. En del av denna energi försvinner också genom t ex friktion och
strålningsförluster, men det bortser vi ifrån.
Det arbete som tillförs gasen under den isoterma kompressionen tas från svänghjulet,
som därmed förlorar rörelseenergi. Nettoarbetet för processen blir skillnaden mellan det
arbete gasen uträttar under den isoterma expansionen och det arbete gasen tillförs (från
svänghjulet) under den isoterma kompressionen. I den schematiska beskrivningen i
Figur 5 är det bara en kolv åt gången som rör sig. I praktiken är det inte riktigt så
eftersom den mekaniska konstruktionen gör att båda kolvarna rör sig (mer eller mindre)
samtidigt.
pV-indikatorn
Arbetskolvens läge är ett mått på den inneslutna luftens volym. På laborationens
Stirlingmotor överförs arbetskolvens rörelse via ett snöre och några hävarmar till en
spegel som vrids i sidled. Spegeln belyses med en laser och reflexen syns på en skärm.
När volymen ändras rör sig laserfläcken horisontellt över skärmen. Trycket kan mätas
genom att spegelupphängningen via en slang är ansluten till luften i motorn.
Tryckändringar i motorn tvingar spegeln att röra sig kring en horisontell axel så att
laserfläcken flyttas i vertikalled. På skärmen syns alltså ett pV-diagram över
kretsprocessen.
Värmepumpen
En värmepump överför värme från ett kallare område till ett varmare område. En
värmepumpsanläggning och en kylanläggning arbetar efter samma princip. Då vi har en
värmepump är vi intresserade av den värmemängd (QH = Qut) som kan avges vid den
varma temperaturen, medan i en kylanläggning är vi mer intresserade av den
värmemängd (QC = Qin) som tas upp från det kalla området.
Köldmediumet i institutionens värmepumpar är tetrafluoretan (C2H2F4) som är klorfritt
och betecknas R134a. Det valda köldmediumet medför att vi får kokning och
kondensering vid lämpliga temperaturer och rimliga tryck.
Laborationens värmepump har s.k. koaxialförångare och koaxialkondensor (se Figur 6).
Både förångaren och kondensorn består av ett inre rör (böjt som en spiral) i vilket köldmediumet strömmar. Runt om detta rör finns ett grövre rör i vilket en glykol-vattenblandning (eller bara vatten) strömmar.
Figur 6. Värmepumpsanläggning med koaxialförångare och koaxialkondensor.
Kretsloppet enligt Figur 6
Process D  A: Köldmedium i gasfas vid lågt tryck och låg temperatur
komprimeras adiabatiskt (nästan) av kompressorn till högt tryck (12 atm) och
hög temperatur (70 °C).
Process A  B: I kondensorn kyls köldmediumet av vatten som leds genom
kondensorn. Köldmediumet övergår då från gasfas till vätskefas. Den värmemängd, som frigörs vid denna fasövergång, tas upp av vattnet, som kommer
uppvärmt ut ur kondensorn.
Process B  C: Expansionsventilen fungerar huvudsakligen som en mekanisk
strypventil. Köldmediumets tryck, och därmed temperatur minskar kraftigt vid
passagen av expansionsventilen.
Process C  D: I förångaren övergår köldmediumet från vätskefas till gasfas.
Kokningen är möjlig genom att köldmediumet tar upp värme från en glykolvattenblandning, som leds genom förångaren.
Värmefaktorn Vf definieras normalt som
Vf 
QH
.
W
För Carnotprocessen (och Stirlingprocessen, om regeneratorn fungerar idealt) kan Vf
skrivas som:
Vf 
QH
TH

QH  QC TH  TC
I en praktisk värmepump tar man värme från en sjö, från marken eller från uteluften,
och låter detta förånga köldmediumet i förångaren. I kondensorn kondenseras
köldmediumet varvid det omgivande vattnet upptar värme, som kan användas för att
t.ex. värma upp ett hus. När förhållandena väl stabiliserats kommer alltså TH och TC att
vara konstanta.
I värmepumpen på laborationen har vi i stället två 10  kärl med vatten, ett varmt och ett
kallt. Dessa volymer är så små att temperaturen ändras med tiden, värmepumpen tar
värme från den ena “reservoaren”, varvid dess temperatur sjunker, och lämnar värme till
den andra, varvid dess temperatur stiger. Eftersom temperaturerna ändras med tiden i
detta fall definierar vi en tidsberoende värmefaktor:
V f (t ) 
dQH (t ) dW (t ) Put (t )
/

dt
dt
Pin (t )
där Put är den effekt som överförs till den varma behållaren och Pin är den elektriska
effekt som kompressorn använder.
Utförande
Stirlingmotorn
Uppgift 1: Undersökning av Stirlingmotorn
Dra sakta runt motorns svänghjul för hand (åt rätt håll) och
övertyga dig om hur de fyra tillståndsändringarna kommer
till stånd. Fundera över hur energiutbytet med omgivningen
går till för de olika tillståndsändringarna.
Uppgift 2: Stirlingmotorns verkningsgrad
Bestäm Stirlingmotorns verkningsgrad då den används som
värmemotor. Tänk först ut vilka storheter som måste mätas
för att trättat arbete och tillförd energi skall kunna beräknas.
Utför därefter mätningarna.
OBS. Stirlingmotorn är ömtålig (och dyr). Den får inte
startas utan handledarens medverkan! Var försiktig så att
Du inte blir träffad av laserljuset!
Figur 7. Stirlingmotorn
Värmepumpen
Uppgift 3a: Fasövergångar i värmepumpen
Börja med att försäkra dig om att du vet hur köldmedium och kylvatten cirkulerar i
värmepumpen. Identifiera var de åtta termometrar som mäter det cirkulerande
köldmediumets temperatur sitter. De är numrerade 1-8 och du ska fylla i siffrorna i den
schematiska bild över värmepumpen som du fått. Dessa åtta termometrar avläser du,
tillsammans med två tryckmätare, manuellt. Två termometrar mäter också kontinuerligt
temperaturen på kylvattnet i den varma respektive kalla behållaren. Dessa båda
temperaturer (TH, TC) samt den tillförda elektriska energin (W) ska under hela
mätningen registreras av datainsamlingsprogrammet DataStudio.
Starta programmet och börja med att koppla in en räknare (”Geiger counter”, Ingång 1)
som registrerar antal ”energipaket” som levereras till kompressorn. Koppla sedan in två
termometrar (”Thermometer”, ingång A och B) som registrerar temperaturerna. Ett
lämpligt samplingsintervall är 10 s. Se till att alla mätdata löpande visas i en tabell eller
i ett diagram. Klicka och dra från ”data”
till ”display”. Handledaren hjälper dig!
Starta värmepumpen och datainsamlingssystemet och samla data i ca 20 minuter.
Avläs vid två tidpunkter (efter ca 5
respektive ca 15 minuter) tryck och temperatur på samtliga åtta ställen som mäter
temperaturen på köldmediumet. Observera
att de avlästa trycken är övertryck, d.v.s.
atmosfärstrycket måste adderas för att få
köldmediumets totaltryck.
För att värmepumpen ska fungera tillfredsställande krävs det att fasövergångarna
sker där de ska. Studera detta genom att
föra in alla mätpunkterna i det
färdigtryckta pT-diagrammet som du får av
handledaren. Markera var fasövergångarna
sker.
Figur 8. Laborationens värmepumpsanläggning.
Uppgift 3b: Värmepumpens värmefaktor som funktion av tiden
När du tagit upp en mätserie med TH, TC och W under ca 20 minuter ska du spara
resultaten på en fil och analysera med hjälp av programmet MatLab. Handledaren
hjälper dig läsa in data i MatLab.
Du kommer att behöva fyra vektorer med mätdata:
t:
W:
T_H:
T_C:
Avläsningstiden i sekunder.
Den tillförda elektriska energin.
Temperaturen i den varma behållaren.
Temperaturen i den kalla behållaren.
Kontrollera så att du har fått rätt enheter!
Din uppgift blir nu att:

Rita följande diagram: TH(t), TC(t) och W(t).

Rita den teoretiska (Carnot) värmefaktorn som funktion av tiden.

Rita den verkliga värmefaktorn som funktion av tiden.
För att göra detta måste du beräkna effekterna Put respektive Pin, d.v.s.
tidsderivatorna av QH och W. Att beräkna derivator genom att dividera differenser
mellan experimentella data leder oftast (alltid) till stora osäkerheter. En mycket
bättre och stabilare metod är att anpassa en funktion till mätdata, vilken då också
utjämnar de experimentella osäkerheterna, och sedan derivera funktionen. I brist på
någon "teoretiskt optimal funktion" i detta fall väljer vi att anpassa ett polynom av
lämpligt gradtal.

Rita slutligen ett diagram som visar kvoten mellan den verkliga och den teoretiska
värmefaktorn.
Redogörelsen skall innehålla svar på följande frågor. Varför minskar värmefaktorn med
tiden? Vad betyder det att värmefaktorn är lika med ett?
Tips för MatLab-program
Här följer några tips som du kan ha användning av när du behandlar insamlad data i
MatLab.
Om du är osäker på någon av MatLabs inbyggda funktioner kan du använda
kommandot help för att få en förklarande text om denna eller läsa i den inbyggda
hjälpdokumentationen.
Tänk på att MatLab använder matrismultiplikation som standard. Om du vill
multiplicera eller dividera vektorer elementvis så använder du operatorerna .* och ./
d.v.s. med en punkt innan den vanliga operatorn. Nedan visas ett exempel på detta.
>> A = [1 2 3]; B = [4 5 6];
>> A*B
Error using *
Inner matrix dimensions must agree.
>> A.*B
ans =
4
10
18
En annan vanlig källa till fel är att MatLab använder decimalpunkt och inte komma. Se
därför till att data du läser in är korrekt formaterad.
Det finns olika sätt att läsa in data i MatLab. Det lättaste är antagligen att skapa en
matris i MatLab och helt enkelt kopiera in all data i den, såsom det visas nedan.
>> A=[
0 4.3
1 5.4
…
18 6.3
];
Andra sätt att läsa in data är t.ex. att använda kommandona load, dlmread eller
importdata.
Ett kommando du kommer att behöva använda är cumsum som kumulativt summerar
en vektor, på plats i får vi alltså summan av alla vektorelement upp till plats i. Ett
exempel visas nedan.
>> A = [0 1 2 3 4 5 6]; cumsum(A)
ans =
0
1
3
6
10
15
21
När du ritar upp diagram använder du kommandot plot. Ett användbart kommando när
man ska rita upp många diagram är figure som öppnar ett nytt figurfönster. Text på
axlarna och titel fås genom xlabel, ylabel och title. T.ex:
>> xlabel(’Tid/s’)
För att anpassa ett polynom med minsta kvadratmetoden använder du polyfit. Observera
att du här får ut en vektor med polynomets koefficienter och alltså inte vad polynomet
har för värde i olika punkter. Om vi t.ex. har en vektor med X-värden och en vektor
med Y-värden får vi ett anpassat polynom av grad N genom att skriva:
>> P = polyfit(X,Y,N);
Du kan evaluera polynomet i olika punkter med kommandot polyval. Om vi använder
samma vektorer som i exemplet ovan får vi fram de anpassade Y-värdena genom:
>> YP = polyval(P,X);
Detta är samma sak som att skriva:
>> YP = P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) + ... + P(N)*X + P(N+1);
Det är bra att rita upp det anpassade polynomet och data i samma figur och kontrollera
att skillnaden mellan dessa är acceptabel.
Vill du derivera ett polynom kan du använda polyder som tar en koefficientvektor av ett
polynom och ger dig koefficienterna av polynomet som utgör dess derivata.