Transcript Föreläsning 3, Avbildning, speglar och linser

Föreläsning 3, Avbildning, speglar och linser
Inledning
Linser användes tidigt som synhjälpmedel, bla av kineser och araber. En lins av
bergkristall med en plan och en buktig yta hittades 1849 vid utgrävningar av den
assyriska staden Nineve, vilken hade sin storhetstid på 600-talet f Kr. Det är oklart
om linsen användes som lupp, brännglas eller bådadera.
I Europa kände man till förstoringsglas på 1200-talet, och linser används som
glasögon från tidigt 1300-tal. Brytningslagarna i den form vi känner dem,
uppställdes i början av 1600-talet, men redan omkring 120 e Kr utfördes mätningar
av brytningsindex av den grekiske filosofen Ptolemaios. Han uppförde bla en tabell
över infalls- och brytningsvinklar för ljusstrålar som bryts i gränsytan mellan luft
och vatten.
Plana speglar av polerad metall användes för flera tusen år sedan i egyptiska
toalettrum, men det dröjde ända till mitten av 1500-talet innan man förstod sig på
hur spegelbilden kunde uppkomma.
Geometrisk optik
Skillnaden mellan fysikalisk optik och geometrisk optik framträder tydligt om man
försöker isolera ett ljusknippe. I vänstra figuren, där öppningen i skärmen är stor,
får man ett starkt avgränsat ljusfält på den motsatta skärmen. Om öppningen
minskas till samma storleksordning som våglängden på ljuset framträder ett
diffraktionsmönster på den motsatta skärmen. I det första fallet kan vi behandla
ljuset som strålar, men i det senare måste vi ta hänsyn till ljusets vågnatur. Samma
förhållande som vid avgränsning av ljus råder vid brytning i en gränsyta mellan två
medier eller reflexion i en yta.
Fig 3.1 För en liten öppning böjs ljuset av.
21
Vi skall i det här avsnittet betrakta alla öppningar, brytande och reflekterande ytor
som mycket stora ( >>λ). I det här sammanhanget räcker dimensionerna mm eller
mm2 för at klassificera ett objekt som stort.
De huvudantaganden man gör inom den geometriska optiken är följande:
1) Ljuset betraktas som strålar som utbreder sig rätlinjigt.
2) Strålgången är omvändbar
3) Reflexions- och brytningslagarna bestämmer strålarnas utbredning
4) Begränsningsytorna är optiskt jämna, vilket innebär att ojämnheter måste vara
mindre än en kvarts våglängd.
Plana speglar
Objektet, O, är en liten ljuskälla, eller ett litet föremål. Strålarna som utgår från O
träffar en plan spegel, och varje stråle reflekteras enligt reflexionslagen.
Ett öga som träffas av det reflekterade ljusknippet får intrycket av att det kommer
från I (Image) dvs att föremålet befinner sig där. Punkten I är spegelbilden av punkten
O. Eftersom ljusstrålarna endast skenbart kommer från I kallas en sådan här
spegelbild för en skenbild eller virtuell bild. Bilden är dessutom omvänd så
tillvida att vänster blir höger och tvärtom. Punkterna O och I ligger symmetriskt
kring spegelytan. Bilden befinner sig alltså lika långt bakom spegelytan som objektet
befinner sig framför. Objektets avstånd till spegelytan betecknas med p, och
bildavståndet med i. Traditionellt låter man objektets avstånd till spegeln vara
positiv. För en plan spegel gäller då sambandet:
22
p = −i
Minustecknet framför bildavståndet anger att bilden är virtuell. Vid avbildningar
i plana speglar gäller alltid att virtuella bilder uppstår på motsatta sidan av spegeln,
medan reella bilder befinner sig på samma sida som objektet.
Buktiga speglar
Med hjälp av en silversked kan man exemplifiera två typer av buktiga speglar,
nämligen den konkava (inåtbuktande) och den konvexa (utåtbuktande). Man kan
spegla sig i båda ytorna men spegelbilderna får olika utseende. I den konkava
spegeln reflekteras infallande parallella strålarna genom punkten F.
Fig 3.3 Konkav spegel
Punkten F kallas för fokakpunkten, brännpunkten, eller fokus. Avståndet mellan
spegeln och brännpunkten, f, är brännvidden. Konkava speglar används t.ex. av
astronomer för att samla och koncentrera det svaga ljuset från avlägsna stjärnor.
Omvänt kan man placera en lampa eller glödtråd i brännpunkten och erhålla ett
parallellt utgående strålknippe. Spotlights är tex konstruerade så.
Fokalpunkten, F, ligger för sfäriska speglar på halva avståndet (r/2) mellan
krökningscentrum, C, spegelcentrum, c.
23
Ett parallellt strålknippe som infaller mot en konvex spegel ser ut att divergera från
en punkt bakom spegeln – brännpunkten F.
Den punkt strålarna ser ut att divergera ifrån är den konvexa spegelns brännpunkt.
En konvex spegel har med andra ord en virtuell brännpunkt.
En enkel ekvation, linsformeln relaterar objektavståndet p, bildavståndet i och
brännvidden f:
1 1 1
+ =
p i f
Storleken hos bild och objekt kan bestämmas med hjälp av formeln för lateral
förstoring:
m=
−i
p
Linser
En lins är ett optiskt system vilket kan beskrivas som ett brytande medium som
används för att forma ljuset på ett kontrollerat sätt. En lins består av två brytande
ytor, av vilka minst en är krökt. Linser användes redan under antiken som
24
brännglas, och är därför det utan tvekan äldsta optiska instrumentet. En lins är
användbar från båda sidorna. Det innebär att en ljusstråle som lämnar en lins lika
gärna kan ses som en ljusstråle som faller in mot linsen. Linser som är konvexa,
(positiva, konvergerande) är tjockare på mitten och samlar ihop parallellt ljus när
det passerar linsen. Ett infallande strålknippe bryts så att det konvergerar mot
brännpunkten F2.
Om man låter ljuset falla in från andra hållet finner man att linsen har ytterligare en
brännpunkt, F1. De båda brännpunkterna ligger på samma avstånd f från linsens
mitt. Symmetrilinjen genom brännpunkterna kallas huvudaxel och avståndet f är
linsens brännvidd.
Ett föremål placerat i oändligheten avbildas i fokus F2 och skapar en reell bild.
Ju kortare avståndet f är, desto starkare bryter linsen ljuset.
Konkava ( negativa, divergerande) linser är smalare på mitten än i kanterna och
parallellt ljus bryts utåt då det passerar linsen. Detta gäller i det normala fallet när
det omgivande mediet har ett lägre brytningsindex än linsen (tex luft eller vatten).
En konvex lins samlar strålar som är parallella med huvudaxeln så att de
konvergerar mot en gemensam punkt, fokus.
25
I Figuren befinner sig punktkällan på ett oändligt långt avstånd från linsen.Strålarna
som passerar linsen konvergerar inte, utan divergerar. I en betraktares ögon ser
strålarna ut att komma från F2. Om man satte en skärm vid F2 skulle ingen bild
uppstå. Precis som i fallet med spegeln är bilden en skenbild, virtuell bild.
Bildkonstruktion med linser
Vid bildkonstruktion i tunna linser bör man använda sig av tre viktiga strålar:
1) Den stråle som faller in parallellt med huvudaxeln kommer att brytas genom
linsens bakre brännpunkt. (Stråle 1 i fig)
2) En stråle som passerar genom den konvexa linsens främre brännpunkt blir
parallell med huvudaxeln efter brytning. (Stråle 2 i fig)
3) En stråle som passerar linsens centrum bryts inte alls.(Stråle 3 i fig)
Reella bilder skapas på motsatta sidan av linser, och virtuella bilder på samma sida.
Observera att det är precis tvärtom mot vad som gäller för speglar. Bildens
placering bestäms av linsformeln.
26
Linsfel
Om man noga undersöker en bild som alstras av en lins med sfäriskt krökta ytor
uppträder ofullkomligheter. När hela linsen passeras av ljus visar sig utanför den
skarpa bilden en ”ljusgård” som dessutom kan vara färgad i ytterkanterna. Orsaken
är att de strålar som passerar linsen långt från dess mitt, eller bildar stora vinklar
med huvudaxeln inte bryts precis så som linsformeln anger. De strålar som löper
nära huvudaxeln och bildar små vinklar med den ger alltså bäst bildkvalitet.
Färgskiftningarna i bildkanterna beror på dispersion, dvs att det vita ljuset är
sammansatt av olika färger som bryts en aning olika.
System av flera linser
Två eller flera linser kan byggas ihop till ett linssystem. Linsernas brännvidder och
avståndet mellan linserna är av väsentlig betydelse för systemets funktion. Man
beräknar först läget av den bild som första linsen ger. Den första bilden används
sedan som objekt i den andra linsen osv.
27