Transcript v - Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013
Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013
Sarja A
Merkitse jokaiseen koepaperiin nimesi, hakijanumerosi ja tehtäväsarjan kirjain. Laske jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen. Perustele lyhyesti käyttämäsi ratkaisut.
A1
Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä.
Luodin lähtönopeus on v0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m.
Tehtävät 5 ja 6 käsittelevät oheista teoriaosaa.
A5
a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika?
b) Kuinka kauaksi maalitaulun keskipisteen alapuolelle luoti osuu?
A2
Vuoristoradan vaunu liikkuu kitkattomasti pitkin rataa. Vaunu lähtee liikkeelle
levosta korkeudelta h = 43 m.
a) Kuinka suuri on vaunun nopeus radan lopussa pisteessä B? (2p)
b) Vuoristoradassa on silmukka, jonka
korkeus on d = 38 m. Määritä voima,
jonka rata kohdistaa vaunuun silmukan lakipisteessä eli kuvan pisteessä
A. Vaunun massa on m = 290 kg. (4p)
A3
h
d
A1, p1
b) Kuinka suuri on vastuksen R2
läpi kulkeva virta, kun pisteiden
A ja B välille kytketään jännite
U = 6,0 V?
Tehtävän 2 kuva.
R1
A
A2, p2
B
Oheisessa kytkennässä on neljä vastusta, joiden resistanssit ovat R1 = 6,0 Ω,
R2 = 4,0 Ω, R3 = 3,0 Ω ja R4 = 5,0 Ω.
a) Kuinka suuri on kytkennän kokonaisresistanssi?
A4
A
Venturinputkea käytetään nesteen virtausnopeuden määrittämiseen putkessa.
Mittari kytketään putkeen, jonka poikkipinta-ala on A1 . Venturinputkessa on
kavennus, jonka poikkipinta-ala on A2 . Nesteen virratessa putken läpi mitataan paine putkessa (p1 ) ja kavennuksessa (p2 ). Määritä veden virtausnopeus
v1 (m/s) vaakasuorassa vesijohdossa, jonka poikkipinta-ala on
A1 = 64 · 10−4 m2 , kun mitatut paineet ovat p1 = 55 kPa ja p2 = 41 kPa.
Kavennuksen poikkipinta-ala on A2 = 32 · 10−4 m2 .
R3
R2
B
R4
Tehtävän 3 kuva.
Pieni foliopallo, jonka massa on m = 52 mg, kimpoilee edestakaisin kahden levyn
välissä. Levyn 1 potentiaali on U1 = +2,0 kV ja levyn 2 potentiaali on
U2 = −2,0 kV. Levyjen välinen etäisyys on d = 2,0 cm. Foliopallon kapasitanssi
on C = 11 pF. Ethän ota painovoimaa etkä ilmanvastusta huomioon.
a) Kuinka suuri on foliopallon varaus, kun se varautuu levyllä 1?
b) Kuinka suuri on foliopallon kiihtyvyys levyjen 1 ja 2 välissä?
Tehtävän 5 kuva.
A6
Tarkastellaan oheisen teoriaosan kuvan B putkea, kun korkeudet ovat
y1 = 1,1 m, y2 = 2,3 m ja poikkipinta-alat ovat A1 = 120 · 10−4 m2 ja
A2 = 250 · 10−4 m2 . Paine putkessa kohdassa A2 on p2 = 280 kPa. Kohdan A1
poikkipinnan läpi virtaa 3,0 · 10−2 m3 vettä sekunnissa.
a) Kuinka paljon veden virtausnopeus muuttuu (m/s)
kohdasta A1 kohtaan A2 ? (1p)
b) Kuinka paljon työtä paine-ero tekee yhden sekunnin aikana a)-kohdassa
lasketun nopeusmuutoksen aikaansaamiseksi? (2p)
c) Kuinka paljon putkessa virtaavan veden liike-energia muuttuu yhden sekunnin aikana? (2p)
d) Kuinka paljon veden potentiaalienergia muuttuu yhden sekunnin
aikana? (1p)
VAKIOITA:
c) Kuinka pitkä aika foliopallolla kuluu matkaan levyltä 1 levylle 2?
Alkeisvaraus
Putoamisliikkeen kiihtyvyys
Veden tiheys
e
g
ρv
= 1,6022 · 10−19 C
= 9,81 m s−2
= 1,00 · 103 kg m−3
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma antagning - dia-antagning 2013
Ingenjörsantagningens prov i fysik 29.5.2013
Serie A
Anteckna ditt namn, ansökningsnummer och uppgiftsseriens bokstav på varje provpapper. Räkna varje uppgift prydligt på en egen sida. Motivera kort dina lösningar.
A1
En skidskytt skjuter en kula vågrätt mot måltavlans mittpunkt. Kulans begynnelsehastighet är v0 = 445 m/s och avståndet till måltavlan är s = 50,0 m.
Uppgifterna 5 och 6 anknyter till den bifogade teoridelen
A5
a) Hur lång är kulans flygtid?
b) Hur mycket under måltavlans mittpunkt träffar kulan?
A2
En vagn i en berg-och-dalbana kan röra sig friktionslöst längs banan. Vagnen
startar från vila på höjden h = 43 m.
a) Hur stor är vagnens hastighet vid
banans slut i punkten B? (2p)
A
b) Berg-och-dalbanan har en loop,
vars höjd är d = 38 m.
Bestäm kraften med vilken banan påverkar vagnen vid loopens
högsta punkt A. Vagnens massa
är m = 290 kg. (4p)
A3
h
d
A2, p2
B
Figur till uppgift 2.
R1
a) Hur stor är kopplingens totala resistans?
A4
A1, p1
Figur till uppgift 5.
I vidstående kopplingsschema finns fyra motstånd vars resistanser är R1 = 6,0 Ω,
R2 = 4,0 Ω, R3 = 3,0 Ω och R4 = 5,0 Ω.
b) Hur stor är strömmen som går
genom moståndet R2 , då en
spänning U = 6,0 V kopplas mellan punkterna A och B?
Ett Venturirör används för att bestämma en vätskas strömningshastighet i ett
rör. Mätaren kopplas till ett rör vars tvärsnittsarea är A1 . Venturiröret har en
avsmalning med tvärsnittsarean A2 . Då vätskan strömmar genom röret mäts
trycket i röret (p1 ) och i avsmalningen (p2 ). Bestäm strömningshastigheten v1
(m/s) för vattnet i en vågrät vattenledning, vars tvärsnittsarea är
A1 = 64 · 10−4 m2 , då de uppmätta trycken är p1 = 55 kPa och p2 = 41 kPa.
Tvärsnittsarean för avsmalningen är A2 = 32 · 10−4 m2 .
A
R3
R2
B
R4
Figur till uppgift 3.
En liten folieboll med massan m = 52 mg studsar mellan två skivor. Potentialen för skiva 1 är U1 = +2,0 kV och potentialen för skiva 2 är U2 = −2,0 kV.
Avståndet mellan skivorna är d = 2,0 cm. Foliebollens kapacitans är C = 11 pF.
Du behöver inte beakta tyngdkraften och luftmotståndet.
A6
Betrakta röret i figur B i den bifogade teoridelen.
Höjderna och
tvärsnittsareorna är y1 = 1,1 m, y2 = 2,3 m, A1 = 120 · 10−4 m2 och
A2 = 250 · 10−4 m2 . Trycket vid A2 är p2 = 280 kPa. Genom röret vid A1
strömmar 3, 0 · 10−2 m3 vatten i sekunden.
a) Hur mycket förändras vattnets strömningshastighet (m/s) mellan
tvärsnitten A1 och A2 ? (1p)
b) Hur mycket arbete utför tryckskillnaden under en sekund för att
åstadkomma förändringen som bestämdes i fall a). (2p)
c) Hur mycket förändras rörelseenergin för vattnet som strömmar i röret under en sekund? (2p)
d) Hur mycket förändras vattnets potentialenergi under en sekund? (1p)
KONSTANTER:
a) Hur stor är foliebollens laddning, då den laddas vid skiva 1?
b) Hur stor är foliebollens acceleration mellan skivorna 1 och 2?
c) Hur lång tid tar det för foliebollen att röra sig från skiva 1 till skiva 2?
Elementarladdningen
Accelerationen vid fritt fall
Densiteten för vatten
e
g
ρv
= 1,6022 · 10−19 C
= 9,81 m s−2
= 1,00 · 103 kg m−3
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Common admission to Master’s programs in Engineering and Architecture - Dia-admission 2013
Examination in physics for the engineering departments 29.5.2013
Series A
Write down your name and applicant number on each paper. Solve each problem on a separate sheet of paper. Explain briefly the formulas which you use.
A1
A biathlonist shoots a bullet horizontally towards the center of a target. The initial
velocity of the bullet is v0 = 445 m/s and the distance to the target is s = 50.0 m.
Assignments 5 and 6 deal with the theory part enclosed.
A5
a) How long is the flight time of the bullet?
b) How far below the center of the target does the bullet hit?
A2
A car of a roller coaster rolls without friction along a track. The car starts from
rest at a height of h = 43 m.
a) What is the speed of the car at the
end of the track at point B? (2p)
b) There is a loop of height d = 38 m in
the roller coaster. Calculate the force
with which the track acts on the car
at the top of the loop at point A. The
mass of the car is m = 290 kg. (4p)
A3
h
d
A1, p1
B
b) How large is the current through
the resistor R2 when the potential
difference between points A and
B is U = 6.0 V?
R1
A
A2, p2
Figure for assignment 2.
In the network there are four resistors whose resistances are R1 = 6.0 Ω,
R2 = 4.0 Ω, R3 = 3.0 Ω, and R4 = 5.0 Ω, respectively.
a) How large is the equivalent resistance of the network?
A4
A
A venturi meter is used to measure the flow speed of a fluid in a pipe. The
Venturi meter is connected to a pipe whose cross-sectional area is A1 . The
Venturi meter has a throat whose cross-sectional area is A2 . As the fluid flows
through the pipe the pressure in the pipe (p1 ) and in the throat (p2 ) is measured. Calculate the flow speed of water v1 (m/s) in a horizontal water pipe
whose cross-sectional area is A1 = 64 · 10−4 m2 , when the measured pressures are p1 = 55 kPa and p2 = 41 kPa. The cross-sectional area of the throat is
A2 = 32 · 10−4 m2 .
Figure for assignment 5.
A6
R3
R2
B
R4
Figure for assignment 3.
A small sphere made out of foil whose mass is m = 52 mg ricochets back and forth
between two plates. The potential of plate 1 is U1 = +2.0 kV and the potential
of plate 2 is U2 = −2.0 kV. The distance between the plates is d = 2.0 cm. The
capacitance of the sphere is C = 11 pF. Please, do not take the gravity and air
resistance into account.
a) What is the charge of the sphere when it becomes charged at plate 1?
Consider the pipe in Figure B in the enclosed theory part with the heights
y1 = 1.1 m and y2 = 2.3 m and the cross-sectional areas A1 = 120 · 10−4 m2
and A2 = 250 · 10−4 m2 . The pressure in the pipe at point A2 is p2 = 280 kPa.
The water flow through the cross-sectional area A1 is 3.0 · 10−2 m3 per second.
a) How much does the flow speed of the water change (m/s) from point A1
to point A2 ? (1p)
b) How much work is done by the pressure difference in one second to achieve the change in speed of part a)? (2p)
c) How much does the kinetic energy of the water flowing in the pipe change
in one second? (2p)
d) How much does the potential energy of the water change in one
second? (1p)
CONSTANTS:
b) What is the acceleration of the sphere between the plates 1 and 2?
c) How much time does it take for the sphere to go from plate 1 to plate 2?
Electric charge
Acceleration due to gravity
Density of water
e
= 1.6022 · 10−19 C
g
= 9.81 m s−2
ρw = 1.00 · 103 kg m−3
(c) dia-valinta - c/o Aalto-yliopisto, opintotoimisto
Pyörteetön, kitkaton ja kokoonpuristumaton nestevirtaus
Jatkuvuusyhtälö
∆l1
A1
t
∆l2
v1
A2 ∆m2
∆m1
v2
t+∆t
v1
∆m2
v2
Kuva A: Jatkuvuusyhtälö.
Tarkastellaan putkessa virtaavaa nestettä. Putken poikkipinta-ala muuttuu kuvan A mukaisesti. Oletetaan,
että nesteen virtausnopeus ei muutu putken poikkileikkauksen suunnassa. Leveämmässä putken osassa
1 putken poikkipinta-ala on A1 ja nesteen virtausnopeus on ~v1 . Toisessa, kapeammassa putken osassa 2
poikkipinta-ala on A2 ja nesten virtausnopeus on ~v2 . Yhtä paljon nestettä virtaa molempien osien läpi
aikavälin ∆t aikana eli nesteen massavirta säilyy:
∆m1
∆m2
=
.
∆t
∆t
Massalle pätee ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 ∆l1 , missä ρ1 on nesteen tiheys putken osassa 1. Samoin putken
osassa 2 pätee ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 ∆l2 . Koska v1 = ∆l1 /∆t ja v2 = ∆l2 /∆t, saadaan
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 .
(1)
Yllä olevaa yhtälöä (1) kutsutaan jatkuvuusyhtälöksi. Kokoonpuristumattomalle nesteelle, jonka tiheys on
vakio eli ρ1 = ρ2 , jatkuvuusyhtälö yksinkertaistuu muotoon:
A1 v1 = A2 v2 .
(2)
Bernoullin yhtälö
Tarkastellaan kuvan B mukaista pyörteetöntä ja kitkatonta nestevirtausta putkessa. Tällöin systeemin
mekaaninen energia säilyy. Nesteen virtausnopeus, virtauskorkeus ja paine muuttuvat, kun neste virtaa kapeammasta putken osasta 1 leveämpään putken osaan 2. Aikavälin ∆t aikana nesteeseen, joka on
ajanhetkenä t putken poikkileikkauspintojen A1 ja A2 välissä, tehdään työtä. Neste, joka on kohdan A1
vasemmalla puolella, kohdistaa saman kohdan oikealla puolella olevaan nesteeseen voiman F1 = p1 A1 .
Aikavälin ∆t aikana voima F1 tekee työn
W1 = F1 ∆l1 = p1 A1 v1 ∆t,
missä ∆l1 = v1 ∆t on nesteen virtaama matka kohdassa 1. Samoin voima F2 , jolla neste kohdan A2 oikealla
puolella vaikuttaa kohdan vasemmalla puolella olevaan nesteeseen, tekee työn:
W2 = F2 ∆l2 = − p2 A2 v2 ∆t.
Huomaa, että voima F2 on vastakkaissuuntainen voimaan F1 nähden. Paineen tekemä kokonaistyö aikavälillä ∆t on
W = W1 + W2 = p1 A1 v1 ∆t − p2 A2 v2 ∆t.
Jatkuvuusyhtälöstä (2) saadaan v1 A1 = v2 A2 , josta seuraa ∆V = v1 A1 ∆t = v2 A2 ∆t. Tämä on tilavuus
putkessa pisteiden A1 ja A10 tai A2 ja A20 välillä. Paineen tekemä kokonaistyö on siis
W = ( p1 − p2 )∆V.
y
v2
p2
v1
y1
A2
p1 ∆m
t
A1
y
v2
p2
v1
p1
∆m
A2’
t+∆t
y2
A1’
Kuva B: Bernoullin yhtälö.
Koska oletuksena oli, että vastusvoimat ovat mitättömät, niin nesteeseen tehty työ on yhtä suuri kuin
nesteen mekaanisen energian muutos. Koska nesteen tiheys ei muutu, fysikaalisesti oleellinen mekaanisen
energian muutos koskee nestettä, joka on putkessa kohtien A1 ja A10 välissä, sekä nestettä, joka on kohtien
A2 ja A20 välissä, ajanhetkellä t. Molempien kohtien välillä olevan nesteen massa on sama ∆m = ρ∆V.
Näin ollen mekaanisen energian muutos aikavälin ∆t aikana nestemassalle ∆m putken kohtien 1 ja 2
välillä on
1
1
2
2
∆E = (∆m) gy2 + (∆m)v2 − (∆m) gy1 + (∆m)v1 .
2
2
Toisaalta mekaanisen energian muutos on yhtä suuri kuin paineen tekemä työ:
1
1
2
2
( p1 − p2 )∆V = (∆m) gy2 + (∆m)v2 − (∆m) gy1 + (∆m)v1 .
2
2
Tiheyden määritelmän nojalla ∆m = ρ∆V, joten jakamalla yllä oleva yhtälö tilavuudella ∆V saadaan
1
1
p1 − p2 = ρgy2 + ρv22 − ρgy1 − ρv21 .
2
2
Siirtämällä samaan paikkaan putkessa liittyvät termit yhtälön samalle puolelle saadaan:
1
1
p1 + ρgy1 + ρv21 = p2 + ρgy2 + ρv22 .
2
2
(3)
Yllä olevaa yhtälöä (3) kutsutaan Bernoullin yhtälöksi ja se pätee virtaavalle nesteelle kaikissa putken pisteissä, kun nesteen virtaus on pyörteetöntä, kitkatonta ja kokoonpuristumatonta.
En turbulensfri, friktionlös och okomprimerbar vätskeström
Kontinuitetsekvationen
∆l1
A1
t
∆l2
v1
A2 ∆m2
∆m1
v2
t+∆t
v1
∆m2
v2
Figur A: Kontinuitetsekvationen.
En vätska strömmar i ett rör. Rörets tvärsnittsarea ändrar enligt figur A. Anta att vätskans strömningshastighet är konstant över rörets tvärsnittsarea. I rörets bredare del 1 är tvärsnittsarean A1 och vätskans
strömningshastighet ~v1 . I rörets andra, smalare del 2 är tvärsnittsarean A2 och vätskans strömningshastighet ~v2 . Samma mängd vätska strömmar genom båda delarna av röret under tidsintervallet ∆t, dvs.
vätskans massflöde är konstant:
∆m1
∆m2
=
.
∆t
∆t
För massan gäller relationen ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 ∆l1 , i vilken ρ1 är vätskans densitet i rördelen 1. I
rördelen 2 är motsvarande relation ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 ∆l2 . Eftersom v1 = ∆l1 /∆t och v2 = ∆l2 /∆t blir
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 .
(1)
Ovanstående ekvation (1) kallas för kontinuitetsekvationen. För en okomprimerbar vätska, för vilken densiteten är konstant, förenklas kontinuitetsekvationen till:
A1 v1 = A2 v2 .
(2)
Bernoullis ekvation
Betrakta den turbulens- och friktionsfria vätskeströmmen i röret i figur B, där systemets mekaniska energi
bevaras. Vätskans strömningshastighet, höjd och tryck förändras, då vätskan strömmar från den smalare
rördelen 1 till den bredare rördelen 2. Under tidsintervallet ∆t utförs det ett arbete på vätskan, som
vid tidpunkten t finns mellan tvärsnittsytorna A1 och A2 . Vätskan, som finns till vänster om läget A1 ,
påverkar vätskan, som finns till höger om samma läge, med en kraft F1 = p1 A1 . Under tidsintervallet ∆t
utför kraften F1 arbetet
W1 = F1 ∆l1 = p1 A1 v1 ∆t,
där ∆l1 = v1 ∆t är sträckan som vätskan strömmat i läget 1. På samma sätt gör kraften F2 , med vilken
vätskan till höger om A2 verkar på vätskan till vänster om A2 , ett arbete:
W2 = F2 ∆l2 = − p2 A2 v2 ∆t.
Notera att kraften F2 är motsatt riktad mot kraften F1 . Det totala arbetet som trycket gör under tidsintervallet ∆t är
W = W1 + W2 = p1 A1 v1 ∆t − p2 A2 v2 ∆t.
Kontinuitetsekvationen (1) ger v1 A1 = v2 A2 , ur vilket följer ∆V = v1 A1 ∆t = v2 A2 ∆t. Detta är volymen
mellan tvärsnitten A1 och A10 eller A2 och A20 i röret. Således blir det totala arbete som trycket utför
W = ( p1 − p2 )∆V.
y
v2
p2
v1
y1
A2
p1 ∆m
t
A1
y
v2
p2
v1
p1
∆m
A2’
t+∆t
y2
A1’
Figur B: Bernoullis ekvation.
Då antagandet var att motståndskrafterna är obetydliga, blir arbetet som utförs på vätskan lika stort som
förändringen i vätskans mekaniska energi. Eftersom vätskans densitet inte förändras, blir den fysikaliskt
relevanta förändringen av mekanisk energi, den förändring som gäller för vätskan som finns mellan lägen
A1 och A10 , samt för vätskan mellan A2 ja A20 vid tidpunkten t. Massan för vätskan inom båda intervallen
är densamma ∆m = ρ∆V. Således är förändringen i mekanisk energi för vätskemassan ∆m under tidsintervallet ∆t mellan lägena 1 och 2
1
1
∆E = (∆m) gy2 + (∆m)v22 − (∆m) gy1 + (∆m)v21 .
2
2
Samtidigt är förändringen i mekanisk energi lika stort som arbetet utfört av trycket:
1
1
2
2
( p1 − p2 )∆V = (∆m) gy2 + (∆m)v2 − (∆m) gy1 + (∆m)v1 .
2
2
Enligt definitionen för densitet är ∆m = ρ∆V. Genom att dividera ovanstående ekvation med volymen
∆V får man
1
1
p1 − p2 = ρgy2 + ρv22 − ρgy1 − ρv21 .
2
2
Genom att flytta termerna som gäller samma del av röret till samma sida, får man:
1
1
p1 + ρgy1 + ρv21 = p2 + ρgy2 + ρv22 .
2
2
(3)
Ovanstående ekvation (3) kallas för Bernoullis ekvation och den gäller för en strömmande vätska i rörets
alla punkter då vätskeströmmen är turbulensfri, friktionslös och okomprimerbar.
Laminar, nonviscous and incompressible fluid flow
Continuity equation
∆l1
A1
t
∆l2
v1
A2 ∆m2
∆m1
v2
t+∆t
v1
∆m2
v2
Figure A: Continuity equation.
Consider a fluid flowing in a pipe. The cross-sectional area of the pipe changes according to Figure A. Let
us assume that the fluid velocity does not change across the cross-sectional area. In the wider part 1 of
the pipe the cross-sectional area is A1 and the fluid velocity is ~v1 . In the other, narrower part 2 of the pipe
the cross-sectional area is A2 and the fluid velocity is ~v2 . The same amount of the fluid flows through
both of these parts in a time interval ∆t, i.e. the mass flow is conserved:
∆m1
∆m2
=
.
∆t
∆t
For the mass it is true that ∆m1 = ρ1 ∆V1 = ρ1 A1 ∆l1 , where ρ1 is the density of the fluid in the part 1 of
the pipe. Similarly in the part 2 of the pipe it is true that ∆m2 = ρ2 ∆V2 = ρ2 A2 ∆l2 . Since v1 = ∆l1 /∆t and
v2 = ∆l2 /∆t, we get
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 .
(1)
The equation (1) above is called continuity equation. For an incompressible fluid whose density is constant,
i.e. ρ1 = ρ2 , the continuity equation simplifies to the form
A1 v1 = A2 v2 .
(2)
Bernoulli’s equation
Let us consider a laminar and nonviscous fluid flow in the pipe shown in Figure B. The mechanical energy
of the system is conserved. The fluid velocity, height and pressure change when the fluid flows from the
narrower part 1 to the wider part 2 of the pipe. During a time interval ∆t work is done on the fluid
which is between the cross-sectional areas A1 and A2 at time t. The fluid on the left-hand side of the
cross-sectional area A1 exerts a force F1 = p1 A1 on the fluid on the right-hand side of the cross-sectional
area A1 . During a time interval ∆t, the work done by the force F1 is
W1 = F1 ∆l1 = p1 A1 v1 ∆t,
where ∆l1 = v1 ∆t is the displacement of the fluid in part 1. Similarly the work done by the force F2 , with
which the fluid on the right-hand side of the cross-sectional area A2 acts on the fluid on the left-hand side
of the cross-sectional area A2 , is
W2 = F2 ∆l2 = − p2 A2 v2 ∆t.
Notice that the force F2 has an opposite direction to the force F1 . The total work done by pressure in a
time interval ∆t is
W = W1 + W2 = p1 A1 v1 ∆t − p2 A2 v2 ∆t.
From the continuity equation (2) we get v1 A1 = v2 A2 from which follows that ∆V = v1 A1 ∆t = v2 A2 ∆t.
This is the volume of the pipe between the points A1 and A10 or A2 and A20 . The total work done by
pressure is then
W = ( p1 − p2 )∆V.
y
v2
p2
v1
y1
A2
p1 ∆m
t
A1
y
v2
p2
v1
p1
∆m
A2’
t+∆t
y2
A1’
Figure B: Bernoulli’s equation.
Since we assumed that the frictional forces are negligible, the work done on the fluid is equal to the
change in the mechanical energy of the fluid. Since the density of the fluid is unchanged, the physically
relevant change in mechanical energy deals with the fluid in the pipe between the points A1 and A10 as
well as with the fluid between the points A2 and A20 at time t. The mass of the fluid between the points
A1 and A10 and between the points A2 and A20 is the same ∆m = ρ∆V. Thus, the change in the mechanical
energy of the fluid of mass ∆m in a time interval ∆t between the points 1 and 2 is
1
1
∆E = (∆m) gy2 + (∆m)v22 − (∆m) gy1 + (∆m)v21 .
2
2
On the other hand, the change in the mechanical energy is equal to the work done by pressure:
1
1
2
2
( p1 − p2 )∆V = (∆m) gy2 + (∆m)v2 − (∆m) gy1 + (∆m)v1 .
2
2
From the definition of density the mass element is ∆m = ρ∆V, and by dividing the equation above by the
volume ∆V, we get
1
1
p1 − p2 = ρgy2 + ρv22 − ρgy1 − ρv21 .
2
2
By transferring the terms related to the same point in the pipe to the same side of the equation, we get
1
1
p1 + ρgy1 + ρv21 = p2 + ρgy2 + ρv22 .
2
2
(3)
The equation (3) above is called Bernoulli’s equation and it is valid for the fluid at any point in the pipe as
long as the fluid flow is laminar, nonviscous and incompressible.