Transcript Matriser II - Linnéuniversitetet

Vektorgeometri f¨
or gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten f¨
or teknik
Linn´
euniversitetet
Matriser II
Inneh˚
all
Matriser - Kort repetition
Transponering av matriser
Matrisinvers
 september 
2(24)
Matriser - Kort repetition
Definition (Matris)
ar ett rektangul¨art
En matris A med p rader och q kolonner ¨
talschema med f¨oljande utseende:


a11 a12 · · · a1q
a21 a22 · · · a2q 


A= .
..
..  .
 ..
.
. 
ap1 ap2 · · · apq
Talen i sj¨alva schemat kallas matrisens element. Elementet p˚
a rad i
och kolonn j betecknas aij . Om en matris har p rader och q kolonner,
ar en p × q-matris.
s˚
a s¨
ager vi att den ¨ar av typen p × q, eller att den ¨
Om p = 1 har vi att g¨
ora med en radmatris, och om q = 1 med en
kolonnmatris. Om p = q = n s˚
a¨
ar matrisen kvadratisk av ordning n.
En diagonalmatris ¨ar en kvadratisk matris, d¨
ar det f¨or
matriselementen aij g¨aller att aij = 0 om i 6= j , d.v.s. samtliga
a vilken elementen aii
element utanf¨or den s.k. huvuddiagonalen (p˚
ligger) ¨ar noll.
 september 
3(24)
Definition (Nollmatris, Enhetsmatris)
En matris vars samtliga element ¨
ar nollor kallas f¨
or en nollmatris. En
enhetsmatris ¨ar en diagonalmatris med bara ettor i huvuddiagonalen
(aii = 1 f¨or alla i):


1 0 ··· 0
0 1 · · · 0


E = . .
..  .
 .. ..
.
0
0 ··· 1
Definition (Summa av matriser)
L˚
at A = (aij )p×q och B = (bij )p×q vara tv˚
a p × q-matriser. Summan
A + B av A och B definieras som matrisen C = (cij )p×q , d¨ar
cij = aij + bij .
N¨
ar man adderar tv˚
a matriser, g¨
or detta man elementvis.
 september 
4(24)
Definition (Multiplikation av matris med skal¨ar (tal))
L˚
at A = (aij )p×q och l˚
at t vara ett reellt tal. Vi definierar produkten
av t och A som matrisen t A = (taij )p×q .
En matris multipliceras med ett tal, genom att multiplicera varje
element i matrisen med detta tal.
Definition (Matrisprodukt)
L˚
at A = (aij )p×n och B = (bij )n×q . Vi definierar produkten AB som
den matris C = (cij )p×q , d¨
ar
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + · · · + ain bnj .
F¨
or att kunna ber¨akna AB m˚
aste A ha lika m˚
anga kolonner som B
har rader. I s˚
a fall kommer AB att bli en matris med lika m˚
anga rader
som A och lika m˚
anga kolonner som B.
Elementet cij i produkten C = AB f˚
as genom att multiplicera varje
element p˚
a i:te raden i A med motsvarande element i j :te kolonnen
i B, och sedan summera alla dessa produkter.
 september 
5(24)
Transponering av matriser
F¨
orutom att addera och multiplicera matriser, kommer vi ibland ha
nytta av att kunna transponera en matris.
Definition (Matristransponering)
L˚
at A = (aij )p×q . Matrisen (aji )q×p kallas d˚
a transponatet till A och
betecknas AT (i boken At ). Beteckningen AT l¨
ases som
”A-transponat”.
• Vi byter plats p˚
a rader och kolonner f¨
or att f˚
a transponatet till en
matris; raderna (kolonnerna) i A blir kolonnerna (raderna) i AT .
• I litteraturen kan man hitta alternativa beteckningar f¨
or
transponatet till A, som t.ex. A′ , Atr eller t A. De ¨ar inte s˚
a
vanligt f¨orekommande, men kan vara bra att k¨
anna till.
 september 
6(24)
Exempel
Transponaten till de olika matriserna
2 1
4 3

3
 1
C =
 0
−2
A=
−1
2

−1
4

2
8


3
4
1
−1 0
B = 0 5
3 4
D= 5
1 2
ges av

2
AT =  1
−1
3
CT =
−1

4
3
2
1 0
4 2
−2
8

−1 0
BT =  0 5
3 4
 
5
D T = 1
2

3
4
1
L¨
agg speciellt m¨arke till att B och B T ¨
ar samma matris.
 september 
7(24)
Matrisen B i det f¨orra exemplet hade egenskapen att den var lika med
sitt eget transponat.
Definition
En matris A kallas symmetrisk om A = AT .
• Det ¨
ar endast kvadratiska matriser som kan vara symmetriska, ty
om A inte ¨ar kvadratisk, s˚
a kan A och AT inte vara lika; de ¨ar ju
d˚
a inte ens av samma typ (om den ena ¨
ar av typ p × q, s˚
a ¨ar den
andra av typ q × p).
• I en symmetrisk matris g¨
aller att varje element, som ligger
ovanf¨or huvuddiagonalen, har en ”spegelbild” som ligger under
huvuddiagonalen, och vice versa.
Sats (R¨akneregler f¨or transponering)
L˚
at A, B och C vara matriser och s ett reellt tal. D˚
a g¨
aller
(i) (A + B)T = AT + BT
(ii) (sA)T = sAT
(iii) (AC)T = CT AT (OBS. ordningsf¨
oljden!)
T T
(iv) (A ) = A,
f¨
orutsatt att matriserna ¨
ar av s˚
adan typ att de olika summorna och
produkterna ¨
ar definierade.
 september 
8(24)
Matrisinvers
F¨
orra lektionen s˚
ag vi att varje linj¨
art ekvationssystem

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..

.



ap1 x1 + ap2 x2 + . . . + apn xn = bp
med hj¨
alp av matriser kan ges den kompakta framst¨allningen
AX = B, d¨ar


 
 
a11 a12 · · · a1n
x1
b1
a21 a22 · · · a2n 
 x2 
b2 


 
 
A= .
..
..  , X =  ..  och B =  .. 
 ..



.
.
.
.
ap1 ap2 · · · apn
xn
bp
Matrisen A kallas f¨or systemets koefficientmatris.
 september 
9(24)
Ett linj¨art ekvationssystem f˚
ar allts˚
a p˚
a matrisform utseendet av en
”linj¨
ar matrisekvation”
AX = B.
(1)
H¨
ar a
¨r A (koefficientmatrisen) och B (en kolonnmatris) k¨anda
matriser, medan matrisen X ¨
ar en ok¨
and matris; dess element utg¨ors
av de olika variablerna i ekvationssystemet.
Det ligger n¨ara till hands att j¨
amf¨
ora matrisekvationen (1) med en
vanlig linj¨ar ekvation
ax = b,
d¨
ar a och b ¨ar k¨anda tal. Om a 6= 0 s˚
a har denna ekvation ju l¨osningen
x =
b
,
a
som vi f˚
ar genom att dividera b˚
ada leden med a.
Kan man t¨anka sig att n˚
agot liknande ¨
ar m¨
ojligt med
matrisekvationen (1); kan vi ”dividera b˚
ada leden med A”?
 september 
10(24)
N¨
ar vi l¨
oser ekvationen ax = b genom att dividera b˚
ada leden med a
(f¨
orutsatt att a 6= 0), s˚
a¨
ar det samma sak som att multiplicera b˚
ada
leden med a −1 , eftersom
a −1 · b =
b
1
·b = .
a
a
S˚
a ist¨
allet f¨or att ”dividera” b˚
ada leden i matrisekvationen AX = B,
med matrisen A, kan vi kanske ”multiplicera med b˚
ada leden med
matrisen A−1 ”? Vad ¨ar i s˚
a fall A−1 f¨
or slags matris?
Om vi j¨amf¨or med tal igen s˚
a har vi ju att a −1 · a = a · a −1 = 1. Kan
vi ¨
overs¨atta detta till ”matrisspr˚
ak”? Finns det en matris som beter
sig som talet 1? Ja, enhetsmatrisen E ! Den uppfyller ju AE = EA = A
(om A och E har samma ordning), att j¨
amf¨
ora med r¨akneregeln
a · 1 = 1 · a = a f¨or tal. Allts˚
a ska vi leta efter en matris A−1 som
uppfyller A−1 A = AA−1 = E .
Definition (Inverterbar matris; Invers matris)
En kvadratisk matris A s¨
ages vara inverterbar om finns en matris C
s˚
adan att
AC = E och CA = E .
Vi kallar d˚
a C f¨or en invers till A.
 september 
11(24)
Exempel
Matrisen
1 1
A=
1 2
ar inverterbar, och en invers till A ges av
¨
2 −1
B=
,
−1
1
ty
1 1
2 −1
AB =
1 2
−1
1
1 · 2 + 1 · (−1) 1 · (−1) + 1 · 1
=
1 · 2 + 2 · (−1) 1 · (−1) + 2 · 1
1 0
=
=E
0 1
och p˚
a samma s¨att BA = E .
Kan det finnas fler inverser till A ovan, f¨
orutom B?
 september 
12(24)
Sats
Antag att A a
a har A exakt en invers.
¨r en inverterbar matris. D˚
Bevis.
Antag att s˚
av¨al B som C ¨
ar en invers till A. D˚
a g¨
aller AB = BA = E
och AC = CA = E . Vi ska visa att B = C . Detta f¨
oljer av att
B = BE = B(AC ) = (BA)C = EC = C .
Eftersom en inverterbar matris A bara kan ha en invers, kan vi tala
om den i best¨amd form: inversen till A. Vi betecknar inversen till A
med A−1 .
 september 
13(24)
Om en kvadratisk matris ¨
ar koefficientmatris till ett linj¨art
ekvationssystem, s˚
a visar det sig att detta ekvationssystem har en
entydig l¨osning, precis i det fall d˚
a matrisen i fr˚
aga ¨ar inverterbar. Vi
formulerar detta som en sats:
Sats
Antag att ett linj¨
art ekvationssystem p˚
a matrisform har utseendet
AX = B,
d¨
ar A ¨
ar en kvadratisk matris och B en kolonnmatris. D˚
a har detta
ekvationssystem en entydig l¨
osning, om och endast om A ¨
ar
inverterbar. L¨
osningen ges d˚
a av
X = A−1 B.
En metod att ber¨akna inversen till en matris A ¨
ar att l¨osa ett
ekvationssystem AX = Y med allm¨
ant h¨
ogerled Y . Om det ¨ar l¨osbart,
har vi att A−1 Y = X , vilket vi kan tolka som ett ekvationssystem med
allm¨
ant h¨ogerled X , i vilket A−1 ¨
ar koefficientmatrisen.
 september 
14(24)
Exempel
Vi ska ber¨akna inversen till


2
1 3
0 2 ,
A = 1
1 −1 2
i den m˚
an denna existerar, och l¨
oser d¨
arf¨
or ett ekvationssystem
AX = Y med allm¨ant h¨
ogerled:

2x1 + x2 + 3x3 = y1
x1
+ 2x3 =
y2

x1 − x2 + 2x3 =
y3
Vi l¨
oser detta ekvationssystem med hj¨
alp av Gausselimination. Som
det ser ut nu, m˚
aste f¨orsta ekvationen multipliceras med −1/2, om vi
med hj¨
alp av denna vill eliminera x1 fr˚
an andra och tredje ekvationen.
F¨
or att slippa brottas med br˚
aktal i v˚
ara r¨
akningar, multiplicerar vi
f¨
orst andra och tredje ekvationen med 2:
 september 
15(24)

2x1 + x2 + 3x3 = y1
2x1
+ 4x3 =
2y2
−1

2x1 − 2x2 + 4x3 =
2y3
−1

x2 + 3x3 = y1
2x1 +
⇐⇒
−x2 + x3 = −y1 + 2y2

−3x2 + x3 = −y1
+ 2y3

2x1 + x2 + 3x3 = y1
−x2 +
x3 = −y1 + 2y2
⇐⇒

−2x3 = 2y1 − 6y2 + 2y3
−3
Innan vi forts¨atter eliminera variabler i v¨
ansterleden, dividerar vi
b˚
ada leden i den sista ekvationen med −2:
 september 
16(24)

2x1 +
⇐⇒
⇐⇒


2x1 +


2x1

x2 + 3x3 = y1
−x2 + x3 = −y1 + 2y2
x3 = −y1 + 3y2 − y3
x2
−x2
−x2
= 4y1 − 9y2 + 3y3
=
−y2 + y3
x3 = −y1 + 3y2 − y3
−3
−1
+
= 4y1 − 10y2 + 4y3
=
−y2 + y3
x3 = −y1 + 3y2 − y3
Slutligen dividerar vi de f¨
orsta ekvationen med 2 och andra
ekvationen med −1:
 september 
17(24)
Vi f˚
ar d˚
a

x1 = 2y1 − 5y2 + 2y3
x2 =
y2 − y3

x3 = −y1 + 3y2 − y3 .
Koefficientmatrisen i h¨ogerledet a
okta inversen till A:
¨r den s¨


2 −5
2
A−1 =  0
1 −1 .
−1
3 −1
Det skadar aldrig att kontrollera att man r¨
aknat r¨
att, genom att
ber¨
akna AA−1 eller A−1 A, f¨
or att se om svaret blir E . Utf¨or denna
kontroll f¨or exemplet ovan!
 september 
18(24)
N¨
ar vi nu v¨al k¨anner till A−1 kan vi l¨
osa ekvationssystemet AX = B
f¨
or vilket h¨ogerled B som helst! Till exempel f˚
as l¨
osningen till

2x1 + x2 + 3x3 = 1
x1
+ 2x3 = −1
(2)

x1 − x2 + 2x3 = 4
(d¨
ar koefficientmatrisen ¨
ar just matrisen A ovan) genom att ber¨akna
A−1 B, d¨ar
 
1
B = −1 .
4
Vi f˚
ar

   
2 −5
2
1
15
A−1 B =  0
1 −1 −1 = −5 .
−1
3 −1
4
−8
Med andra ord s˚
a har (2) l¨
osningen

x1 = 15
x2 = −5

x3 = −8.
 september 
19(24)
Exempel
I ett exempel fr˚
an den f¨
orsta f¨
orel¨
asningen konstaterade vi att
ekvationssystemet

 x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + x2 + x3 = 3

4x1 + 3x2 − x3 = 7
hade o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar (och om 7 byttes mot 4 i den tredje
ekvationens h¨ogerled, s˚
a blev det inga l¨
osningar alls till systemet). Att
vi inte har entydig l¨osning h¨
ar, beror p˚
a att koefficientmatrisen


1 1 −1
A = 2 1
1
4 3 −1
inte ¨
ar inverterbar. Detta kommer vi uppt¨
acka om vi f¨ors¨oker
ber¨
akna A−1 , genom att l¨
osa AX = Y med allm¨
ant h¨ogerled Y :
 september 
20(24)

 x1 + x2 − x3 = y1
2x1 + x2 + x3 =
y2

4x1 + 3x2 − x3 =

y1
x 1 + x 2 − x 3 =
−x2 + 3x3 = −2y1

−x2 + 3x3 = −4y1

y1
x 1 + x 2 − x 3 =
−x2 + 3x3 = −2y1

0 = −2y1
y3
−2
−4
+ y2
+ y3
−1
+ y2
− y2 + y3
Vi f˚
ar ett system utan variabler i v¨
ansterledet till den tredje
ekvationen. Det kan d¨
arf¨
or inte finnas en entydig l¨
osning; det blir
antingen ingen alls eller o¨
andligt m˚
anga, beroende p˚
a vilka v¨arden
som y1 , y2 och y3 har. F¨
or att det ¨
overhuvudtaget ska kunna finnas en
l¨
osning, m˚
aste −2y1 − y2 + y3 = 0 g¨
alla (och i s˚
a fall finns det i sj¨alva
verket o¨andligt m˚
anga l¨
osningar). I exemplen fr˚
an den f¨orsta
f¨
orel¨
asningen hade vi endera (y1 , y2 , y3 ) = (2, 3, 7) eller
(y1 , y2 , y3 ) = (2, 3, 4). Vi ser att −2y1 − y2 + y3 = 0 ¨ar uppfyllt i det
f¨
orstn¨
amnda fallet.
 september 
21(24)
N˚
agra r¨
aknelagar f¨or r¨
akning med matrisinverser presenteras i
nedanst˚
aende sats.
Sats
L˚
at A och B vara tv˚
a inverterbara matriser av samma typ och l˚
at
s 6= 0 vara ett reellt tal. D˚
a¨
ar matriserna A−1 , AT , sA och AB ocks˚
a
inverterbara, och
(i) (A−1 )−1 = A
(ii) (AT )−1 = (A−1 )T
1
(iii) (sA)−1 = A−1
s
(iv) (AB)−1 = B−1 A−1 (OBS: Ordningsf¨
oljden!)
Bevis av (iv).
Eftersom
(AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AEA−1 = AA−1 = E
och med liknande r¨akningar (B −1 A−1 )(AB) = E , s˚
a ¨ar B −1 A−1 en
invers till AB. Eftersom en inverterbar matris bara kan ha en invers,
m˚
aste allts˚
a (AB)−1 = B −1 A−1 .
 september 
22(24)
Vi rundar av med ett exempel som kan ses som en varning att det
inte bara ¨ar att r¨akna p˚
a ”som vanligt” n¨
ar det g¨
aller algebra med
matriser.
Exempel
Givet de tre matriserna
2 −1
2 1
A=
, B=
−1
2
3 2
och C =
−1
4
,
0 −2
l¨
os matrisekvationen
AX = AB + CA.
L¨osning.
H¨
ar k¨
anns det frestande att bryta ut A i h¨
ogerledet och sedan
f¨
orkorta:
1 5
AX = AB + CA =⇒ AX = A(B + C ) =⇒ X = B + C =
.
3 0
Denna l¨osning ¨ar dock felaktig! (Varf¨
or?)
 september 
23(24)
Om A vore inverterbar, s˚
a kan vi multiplicera b˚
ada leden i ekvationen
AX = AB + CA fr˚
an v¨
anster med A−1 . Vi f˚
ar d˚
a
A−1 AX = A−1 (AB + CA)
=⇒ EX = A−1 AB + A−1 CA
=⇒ X = B + A−1 CA.
Nu visar det sig att A faktiskt ¨
ar inverterbar, och att
1 2 1
−1
.
A =
3 1 2
Visa detta som en ¨ovning! Efter litet r¨
akningar (fyll i detaljerna p˚
a
egen hand) f˚
ar vi att
1 −8 25
−1
X = B + A CA =
.
3 −1 23
Felet vi g¨or oss skyldiga till i det f¨
orsta l¨
osningsf¨
orslaget ¨ar att r¨akna
som om CA och AC vore samma matris, vilket de inte ¨ar! Man m˚
aste i
¨
allm¨
anhet ocks˚
a vara f¨orsiktig med att f¨
orkorta: Aven
om AB = AC
s˚
a¨
ar det inte alls s¨akert att B = C (s˚
avida inte A ¨
ar inverterbar).
 september 
24(24)