Transcript Tentan 2013-08-27 - Communication Systems division

Referenser till 2014 års upplaga av
kursboken ges i sådana här röda rutor.
¨
¨ S YSTEMTEKNIK
L INK OPINGS
U NIVERSITET, I NST. F OR
KOMMUNIKATIONSSYSTEM
TSKS10 Signaler, Information och Kommunikation
Tentamen TEN1, 2013–08–27, kl. 08.00 — 13.00
Skriv ditt ID nummer p˚a varje inl¨amnat blad, och numrera sidorna. H¨ogst en uppgift per
sida. Anv¨and ej baksida.
Tentan har tv˚a delar: del 1 (teori) och del 2 (probleml¨osning).
Tentan kan ge maximalt 50 po¨ang. Minst 25 po¨ang totalt och minst 8 po¨ang p˚a del 1 kr¨avs
f¨or godk¨ant. Prelimin¨ara betygsgr¨anser: 3: 25p, 4: 37p, 5: 44p
Motivera noga varje steg i l¨osningarna. Skriv l¨asligt och gl¨om ej att ge ett tydligt svar.
F¨orenkla alla svar s˚a l˚angt som m¨ojligt. Rimlighetskontrollera Dina svar. Orimliga svar ger
alltid 0 po¨ang. Om du g¨or approximationer, beskriv hur nogranna de a¨ r och varf¨or.
Till˚atna hj¨alpmedel:
• P˚a del 1: inga hj¨alpmedel
• P˚a del 2:
• Kursboken Signals, Information och Communications av E. G. Larsson
• Errata till Signals, Information och Communications
• TSKS10 — liten ordlista
• Formler och Tabeller av Sune S¨oderkvist
• Tables and Formulas in Signal Theory av Mikael Olofsson
• BETA Mathematics Handbook
• Elektronisk utrustning (minir¨aknare, dator, etc.) eller egna anteckningar ej till˚atna.
Efter att Du slutf¨ort del 1, l¨amna in denna till tentamensvakten innan Du tar fram
b¨ockerna och b¨orjar med del 2.
Examinator: Erik G. Larsson, ISY, 073-6209426, [email protected]
Bes¨oker salen kl. 9 och kl. 11
Kursadministrat¨or: Carina Lindstr¨om, 013-284423, [email protected]
Resultat: meddelas senast 2 veckor efter tentan
Visning: 16 september, kl 14.00-15.00 Hammingrummet (ing. B29, A-korr, o¨ vre plan)
L¨osningar till tentan finns p˚a kurshemsidan efter tentamens slut.
Antal uppgifter som ing˚ar i tentamen: 7. Antal sidor (inkl detta f¨ors¨attsblad): 6
Lycka till!
1
˚
DEL 1: TEORIFRAGOR
(15p)
1. Sant eller falskt? F¨or varje delfr˚aga ger r¨att svar +1 po¨ang, fel svar -1 (minus en)
po¨ang, inget svar 0 po¨ang. Totalt ger uppgiften mellan 0 och 10 po¨ang. Uppgiften kan
inte ge mindre a¨ n 0 po¨ang totalt. Ingen motivering kr¨avs. Anv¨and svarsformul¨aret!
(10p)
(a) Signalen
x(t) =
a¨ r strikt bandbegr¨ansad.
Z ∞
−∞
sinc2 (t − τ )e−|τ | d τ
(b) Signalen
x(t) = sinc5 (t)
a¨ r strikt bandbegr¨ansad.
(c) Signalen
x(t) = sinc5 (t)
a¨ r strikt tidsbegr¨ansad.
(d) Den karakt¨aristiska impedansen hos en kabel kan vara komplexv¨ard.
(e) Impedansen f¨or en anpassad last som ansluts till en kabel kan vara komplexv¨ard.
(f) Vilken kabel som helst kan f˚a en reellv¨ard karakt¨aristisk impedans, bara man kopplar den till en l¨ampligt anpassad last.
(g) Entropin f¨or en k¨alla med alfabetet (a, b, c, d) kan vara 4, om sannolikheterna f¨or
de fyra symbolerna v¨aljs p˚a l¨ampligt s¨att.
(h) Entropin f¨or en k¨alla med alfabetet (a, b, c, d) kan vara 2, om sannolikheterna f¨or
de fyra symbolerna v¨aljs p˚a l¨ampligt s¨att.
(i) En bin¨ar k¨alla som alltid levererar symbolen 1 har entropin H(x) = 1.
(j) Kodorden i en Huffmankod a¨ r alltid olika l˚anga.
2. Betrakta en smalbandig signal definierad utifr˚an sin I/Q representation
x(t) = xI (t) cos(2π fct) − xQ (t) sin(2π fct)
d¨ar xI (t) och xQ (t) a¨ r I/Q komponenterna och fc a¨ r b¨arfrekvensen.
(a) Definiera signalens envelopp (envelope) x(t)
¯ uttryckt i xI (t) och xQ (t)
(2p)
(b) Ge en ekvation som uttrycker xI (t) och xQ (t) i signalens envelopp (envelope) x(t)
¯
och dess fas (phase) φ (t)
(3p)
2
¨
DEL 2: PROBLEMLOSNING
(35p)
2 cos(2π fc′t)
cos(2π fct)
xˆI (t)
xI (t)
LP
x(t)
x(t)
xˆQ (t)
xQ (t)
LP
−2 sin(2π fc′t)
− sin(2π fct)
(b) I/Q demodulator med b¨arfrekvens fc′ .
(a) I/Q modulator med b¨arfrekvens fc .
3. Betrakta I/Q modulator/demodulatorn i figuren ovan. Modulatorn a¨ r inst¨alld p˚a
b¨arfrekvensen fc och demodulatorn a¨ r inst¨alld p˚a b¨arfrekvensen fc′ , d¨ar fc′ 6= fc . Det
finns allts˚a en inb¨ordes frekvensskillnad p˚a fc′ − fc Hz. Som en konsekvens, s˚a a¨ r i
allm¨anhet
xˆI (t) 6= xI (t),
xˆQ (t) 6= xQ (t).
(a) Ge ett uttryck som relaterar xˆI (t) och xˆQ (t) till xI (t) och xQ (t).
(3p)
fc′ − fc
a¨ r k¨and hos demodulatorn. H¨arled och beskriv en mekanism (ge
(b) Anta att
en explicit formel) med vilken xI (t) och xQ (t) kan a˚ terskapas fr˚an xˆI (t) och xˆQ (t). (3p)
(c) Beskriv n˚agon situation i praktiken d¨ar ett s˚adant frekvens-synkroniseringsfel uppkommer.
(2p)
4. Betrakta kodboken
X1 = (001000011000)
X3 = (010111111100)
X5 = (100010101001)
X2 = (010000011001)
X4 = (010010101010)
(a) Vad a¨ r M och N (med definitioner som i S.I.C. avsnitt 6.3)?
2014: 6.2
(b) Vad a¨ r kodens takt, R?
(1p)
(c) Vad a¨ r dmin ?
(1p)
3
(1p)
(d) Hur m˚anga bitfel kan koden r¨atta?
(1p)
(e) Koden anv¨ands o¨ ver en bin¨arsymmetrisk kanal (binary symmetric channel) med
r˚a-felsannolikhet ε . Ungef¨ar (beroendet av ε i termer av storleksordning) hur ser
sannolikheten f¨or fel efter avkodning ut?
(1p)
(f) Kommentera kodens prestanda, till exempel j¨amf¨ort med en (7,4) Hammingkod.
(3p)
5. Betrakta ett LTI system H som ger utsignalen
y(t) = H {x(t)} = 3x(t − 5) + x(t − a)
om insignalen a¨ r x(t).
Vi observerar y(t) men vet inte vad a a¨ r och inte heller vad x(t) var. Vi vet dock att x(t)
a¨ r en signal som a¨ r l¨amplig f¨or att skatta tidsf¨ordr¨ojningar. (Du kan anta att a > 5.)
F¨oresl˚a ett s¨att att ta reda p˚a a, utifr˚an en observation av y(t). Illustrera med figurer
hur Du t¨ankt.
(8p)
6. Betrakta en kanal med bin¨ar insignal x och kontinuerlig utsignal y, s˚asom definierad i
S.I.C. avsnitt 6.7.2 med K = 2. Insignalen a¨ r antingen x = −1 eller x = 1. Utsignalen
a¨ r
y = x+w
d¨ar w a¨ r normalf¨ordelad med medelv¨arde 0 och varians σ 2 . (En s˚adan kanal kallas
“binary input additive Gaussian noise (BI-AGN)”.)
(a) Ge ett explicit uttryck f¨or py|x (y|x) som funktion av y, f¨or x = −1 och x = 1.
(1p)
(c) Vad a¨ r det minsta v¨arde som C i (6.48) kan anta f¨or n˚agot σ 2 och varf¨or?
(1p)
(b) Ge ett explicit uttryck f¨or py (y) i (6.47) som funktion av y, om x = −1 och x = 1
a¨ r lika sannolika.
(1p)
2014: (6.57)
(d) Vad a¨ r det st¨orsta v¨arde som C i (6.48) kan anta f¨or n˚agot
2014: (6.58)
σ2
och varf¨or?
(3p)
2014: (6.37) på sidan 167
7. Betrakta ekvation (6.30) p˚a sidan 128 i S.I.C.
(a) Ge ett matematiskt bevis av (6.30). 2014: (6.37)
(3p)
(b) Ge en intuitiv f¨orklaring.
(2p)
4
Some Handy Formulas
Trigonometric Identities
cos2 (x) + sin2 (x) =1
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
sin(2x) =2 sin(x) cos(x)
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 1 − 2 sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1
1
sin(x) cos(y) = (sin(x + y) + sin(x − y))
2
1
sin(x) sin(y) = (cos(x − y) − cos(x + y))
2
1
cos(x) cos(y) = (cos(x + y) + cos(x − y))
2
Fourier Transform
• Suppose x(t) and X( f ) constitute a Fourier transform pair,
X( f ) =F {x(t)} =
Z ∞
−∞
x(t) =F −1 {X( f )} =
x(t)e− j2π f t dt,
Z ∞
−∞
and
X( f )e j2π f t d f .
Then
F {x(−t)} = X(− f )
1
f
F {x(at)} = X
,
a
a
a>0
F {x(t − T )} = e− j2π f T X( f )
1
F {x(t) cos(2π fct)} = (X( f − fc ) + X( f + fc ))
2
1
F {x(t) sin(2π fct)} = (X( f − fc ) − X( f + fc ))
2j
5
• If X1 ( f ) = F {x1 (t)} and X2 ( f ) = F {x2 (t)} are two Fourier transform pairs, then
F {(x1 ∗ x2 )(t)} = X1 ( f )X2 ( f )
F {x1 (t)x2 (t)} = (X1 ∗ X2 )( f )
Z ∞
−∞
x1 (t)x2∗ (t) dt
=
Z ∞
−∞
X1 ( f )X2∗ ( f ) d f
• Some basic transform pairs:
x(t) = cos(2π fct)
⇔
x(t) = sin(2π fct)
⇔
x(t) = sinc(t)
⇔

1,
x(t) =

0,
1
2
otherwise
|t| ≤
x(t) = e−|t|
(
e−t , t ≥ 0
x(t) =
0,
otherwise
x(t) =
1
1 + t2
⇔
1
X( f ) = (δ ( f − fc ) + δ ( f + fc ))
2
1
X( f ) = (δ ( f − fc ) − δ ( f + fc ))
2j

1, | f | ≤ 1
2
X( f ) =

0, otherwise
X( f ) = sinc( f )
⇔
X( f ) =
2
1 + 4π 2 f 2
⇔
X( f ) =
1
1 + j2π f
⇔
X( f ) = π e−2π | f |
6
Prelimin¨ara svar/l¨osningsf¨orslag
Eventuella synpunkter p˚a r¨attningen beaktas om de inkommit skriftligen till ISYs studentexpedition innan 2013-09-30.
1. (a) sant (multiplikation med en triangel i frekvensdom¨anen)
(b) sant (en rektangel faltad med sig sj¨alv fem g˚anger i frekvensdom¨anen)
(c) falskt
(d) sant
(e) sant
(f) falskt (karakteristiska impedansen a¨ r en egenskap hos kabeln, och har inget att
g¨ora med lasten den kopplas till)
(g) falskt, entropin a¨ r h¨ogst 2 bitar
(h) sant
(i) falskt, denna k¨alla har entropin noll
(j) falskt, se t.ex. motexempel i U-35 2014: 5-3c
2. (a) Se S.I.C. ekvation (1.53)
(b) Se S.I.C. ekvation (1.54)
3. Detta var lektionsuppgift U-13 2014: 1-14
4. Detta var lektionsuppgift U-53(c) 2014: 6-10
5. Detta var en del av uppgiften i laborationen som ingick i kursen. Se ocks˚a lektionsuppgift U-27(c). 2014: 4-3(c)
6. (a)
1 1 − 1 2 (x+1)2
py|x (y|x = −1) = √
e 2σ
2π σ
och
1 1 − 1 2 (x−1)2
py|x (y|x = 1) = √
e 2σ
2π σ
(b) M.h.a. Bayes regel,
py (y) = py|x (y|x = −1)P(x = −1) + py|x (y|x = 1)P(x = 1)
1!
= py|x (y|x = −1) + py|x (y|x = 1)
2
1 1 − 1 2 (x+1)2
1
1 1 − 1 2 (x−1)2
√
=
e 2σ
e 2σ
+√
2
2π σ
2π σ
7
(c) C = 0.
I gr¨ansfallet att kanalen a¨ r v¨aldigt brusig, σ → ∞, s˚a s˚a n¨armar sig den betingade
f¨ordelningen f¨or y n¨ar x = −1 och den betingade f¨ordelningen f¨or y n¨ar x = +1
varandra (variansen a¨ r mycket st¨orre a¨ n medelv¨ardet). y inneh˚aller allts˚a ingen
information om x, s˚a H(x) = H(x|y).
(d) C = 1.
I gr¨ansfallet att bruset f¨orsvinner, σ → 0, s˚a blir den betingade f¨ordelningen f¨or
y n¨ar x = −1 en Dirac-impuls i x = −1. Den betingade f¨ordelningen f¨or y n¨ar
x = +1 blir en Dirac-impuls i x = 1. Kanalen blir allts˚a deterministisk s˚a y = x.
Vi kan se kanalen som ekvivalent med en bin¨arsymmetrisk kanal med ε = 0.
7. (a) Notera att
((1 − p)(1 − ε1 ) + pε2 )N + (p(1 − ε2 ) + (1 − p)ε1 )N = N.
2014: (6.37)
S˚a (6.30) f¨oljer av (5.8) med r = ((1 − p)(1 − ε1 ) + pε2 )N.
(b) Antalet bin¨ara str¨angar med r 0or och N − r 1or a¨ r samma sak som antalet bin¨ara
str¨angar med N − r 0or och r 1or.
8