Transcript Sammansättning :: Avbildningar

c Mikael Forsberg 2008
1
Sammansättning :: Avbildningar
Sammansättningar från förr ::
√
Från gymnasiematematiken har vi sett uttryck
√ på formen f (x) = 2x + 3. Vad man då gjort är
att man satt samman två enklare funktioner x och 2x + 3 till en mer komplicerad funktion. Med
sådana sammansättningar kan man från enklare, mer elementära funktioner, konstruera funktioner
med nästan vilken komplexitet som helst, för i stort sett vilket behov som helst.
Sammansättning av linjära avbildningar ::
Vi ska nu titta på vad det innebär att sätta samman linjära avbildningar. Vi ska se att eftersom
sådana avbildningar beskrivs som matriser så blir sammansättningen en produkt av de sammansatta avbildningarnas matriser. Vi kommer följa exemplen, spegling i linjen y = x och rotation
med vinkeln α = π/6 (rotation med 30◦ ), och se vad som händer när vi sammansätter dessa på
olika sätt.
Exempel 1. Vi ska dels använda oss av spegling i linjen y = x och speglingens matris beskrivs,
som vi såg i en tidigare anteckning, av matrisen
0 1
Sx−y =
1 0
Dels ska vi använda en rotation som, för godtycklig vinkel α, representeras av matrisen
cos α − sin α
Rα =
.
sin α cos α
√
För vår vinkel α = π/6 (dvs 30◦ ), som ger cos(π/6) = 3/2 och sin(π/6) = 1/2 och då får vi
följande rotationsmatris
√
√
1
3/2 √
−1/2
3 √
−1
◦
=
R30 =
1/2
3/2
1
3
2
I figurerna 1 och 2 så visas den geometriska effekten av sammansättning av de två avbildningarna.
Det finns två sätt att sätta att göra sammansättningen:
1. rotera först och spegla sedan :: se figur 1.
2. spegla först och rotera därefter :: se figur 2.
I figurerna syns tydligt att de båda sätten inte ger samma sak (här avslöjas den geometriska effekten
av att matrismultiplikationen inte är kommutativ!)
c Mikael Forsberg 2008
2
Figur 1: Längst till vänster är vårt utgångsläge, i mitten har vi applicerat rotation med 30◦
och efter denna rotation så speglar vi sedan i linjen y = x, vilket ger oss bilden längst till
höger!
Figur 2: Från vårt utgångsläge (till vänster) så speglar vi först i linjen y = x (mitten)
och roterar sedan med 30◦ (till höger)
Från figurerna kan vi utläsa hur de sammansatta avbildningarna verkar på standardbasvekterna,
som i figurerna är markerade som röda och gröna pilar. Från figur 1 har vi t.ex.
√1/2
3/2
√
0
3/2
7→
1
−1/2
1
0
7→
totala effekten på (1, 0) är en rotation med 60◦ ...
totala effekten på denna vektor är en rotation med -120◦
Detta ger oss nu att den sammansatta avbildningens matris blir
M=
√1/2
3/2
√
3/2
−1/2
=
1
2
√1
3
√
3
−1
Hur får vi nu denna matris med hjälp av matriserna för speglingen och rotationen?
Om analyserar detta noggrannt så har vi att resultatet y = R30◦ x ska sättas in i speglingen. Då får
man att vår sammansatta avbildning blir Sx−y y = Sx−y R30◦ x så matrisen för den sammansatta
avbildningen borde bli matrisprodukten Sx−y R30◦ . Vi checkar ::
c Mikael Forsberg 2008
Sx−y R
30◦
=
0
1
1
0
1
2
3
√
3 √
−1
1
3
1
=
2
0
1
1
0
√
3 √
−1
1
3
1
=
2
√1
3
√
3
−1
som alltså är matrisen M , vilket var vad vi hoppades på!
Om vi i stället speglar först och roterar sedan så får vi, på motsvarande sätt, att sammansättningen
ges av den omvända matrismultiplikationen, dvs
√ √
1 −1
1
0 1
3 √
−1
3
√
◦
R30 Sx−y =
=
1 0
3
3 1
1
2
2
Genom att titta på hur standardbasvektorerna transformeras i figur 2 så kan vi som i ovan beräkna
sammansättningsens matris direkt ::
Notera att de båda resulterande vektorerna är samma som i den direkta rotationen R30◦ men här
är basvektorernas resultatvektorer bytta mot varandra (vilket orsakas av speglingen) och det gör
att vi får
−1/2
1
√
7→
0
3/2
√
0
3/2
7→
1
1/2
Från detta får vi att sammansättnings matrisen denna gång blir
√ 1 −1
3
√
3 1
2
vilket var samma sak som matrisprodukten R30◦ Sx−y : bra!
Lärdomar ::
Låt oss nu sammanfatta vad man kan lära sig från detta exempel::
1. Från figurerna kan man tydligt se att den ordningen man sammansätter de geometriska
avbildningarna i har stor betydelse för vad slutresultatet blir. Detta är i samklang med
2. Matrisprodukten är inte kommutativ AB 6= BA. Man får inte vända på produkten och tro
att det blir samma sak.
3. När man från en produkt AB ska avgöra vilken av operationerna som tas först då produkten
verkar på en kolonnvektor x så läser man från höger till vänster så att B tas först och sedan
applicerar man A. Detta blir tydligare då man skriver upp denna verkan (förtydligade med
paranteser som man vanligen inte skriver upp):
ABx = A [Bx] ,
dvs, B verkar på x medan A verkar på y = Bx.