Transcript Løsning - Institutt for elektronikk og telekommunikasjon

Norges teknisknaturvitenskapelige universitet
Institutt for elektronikk og telekommunikasjon
Side 1 av 3
Løsningsforslag
TFE4120 Elektromagnetisme 15. august 2014
Oppgave 1
a)
b)
Vi velger oss en kuleate som Gaussate utenfor kulen (se øving 2). Dette
Q
ˆr. Når Gaussaten legges i en radius
gir at feltet utenfor kulen er E =
4π0 r2
Q
r < a nner man at feltet er E = 4π0 a2 ar ˆr.
Som i forrige oppgave legger vi en kuleate som Gaussate utenfor kuleskallet. Dette gir at feltet er null utenfor kulen siden den netto, symmetriske
ladningsfordelingen er lik null. Dette kan intuitivt innsees fra en superposisjon av bidraget fra kulen og kuleskallet.
c)
Superposisjonen av kulen og kuleaten kan nå umulig gi
E = 0 overalt uten-
for kuleskallet. Legg også merke til at symmetrien er brutt slik at integralet
i Gauss' lov ikke kan forenkles som før.
d)
Her får vi et omvendt Faraday-bur. Er man utenfor det ledende kuleskallet
vil man ikke kunne merke hva som skjer inne i skallet. Ladningen på kuleskallet vil øyeblikket kompensere for enhver endring av feltet inne pga. av
forskyvningen av kulen. Feltet utenfor vil derfor være null. Dette kan også
V utenfor kuleskallet vha. grensebetinV = konst. på kuleskallet og V = 0 i uendeligheten. Disse betingelsene
sees fra Laplace' likning: Man nner
gelsen
er ikke avhengige av posisjonen til det som måtte benne seg inne i kuleskallet. Dvs. man får samme
e)
V
og
E
som i
b).
Fra forrige punkt ser vi at tross asymmtrien inne i kuleskallet, oppfører
V
og
E seg på samme måte som i b), dvs. de er kulesymmetriske utenfor kuleskallet. Dermed kan vi bruke Gauss' lov, hvilket betyr at E utenfor kuleskallet
blir som for en punktladning Q plassert i origo. Kuleskallet får en negativ
ateladning på innsiden (som totalt adderes opp til −Q), og en positiv ateladning på yttersiden (som adderes opp til +Q). Den negative ateladningen
på innsiden blir størst nærmest kula (den blir fordelt på akkurat samme måte
som i forrige deloppgave), mens den positive ateladningen på utsiden blir
jevnt fordelt.
Oppgave 2
a)
Bruk Amperes lov, se f.eks. øving 9. Svar:
B=
µ0 N I
zˆ.
l
(1)
Side 2 av 3
b)
Strømmen er fordelt tilnærmet på samme måte som i en tettviklet solenoide.
Den totale strømmen som går rundt sylinderen i tilfellet med en tettviklet
solenoide er
N I,
mens for røret er den
Js l.
Så feltet er
B = µ0 Js zˆ.
(2)
Røret er bare en vikling, så selvinduktansen blir
L=
c)
Φ
µ0 Js πa2
µ0 πa2
=
=
.
Js l
Js l
l
(3)
V
,
I
(4)
Resistansen blir
R=
der
I = Js l
og
V
er potensialforskjellen over lengden
Vi får
E2πa
2πa
E2πa
=
=
Jld
σEld
σld
R=
d)
2πa.
Her bruker vi sammenhengen at summen av emf 'ene er lik
−
dΦ
dt
så
= −L
dI
dt
(5)
RI :
= RI,
(6)
dI
1
= − I,
dt
τ
der
τ=
(7)
µ0 πa2 σld
µ0 σad
L
=
=
≈ 3.8 · 10−4 s.
R
l 2πa
2
(8)
Diigningen (7) har den generelle løsningen som angitt i oppgaven.
e)
Strømmen blir
I=
der
u = dz/dt
e
1 dΦ
u dΦ
=−
=−
,
R
R dt
R dz
er hastigheten til magneten. Eekttapet blir
u2
P = RI =
R
2
dΦ
2
.
dz
Denne energien må tas fra den potensielle energien til magneten,
mg
(9)
(10)
mgz ,
der
er tyngen. Dvs.
u2
R
dΦ
2
= mgu,
dz
som gir
u = mgR
dΦ
dz
(11)
−2
.
(12)
Side 3 av 3
f)
Vi ser at magnetens hastighet er proporsjonal med
bremsing når
R
er liten, dvs.
σ
R,
så vi får mest opp-
er stor. Det er dermed om å gjøre at lederen
har høy ledningsevne. Dette virker litt rart man skulle kanskje tro at det er
om å gjøre å ha stor
R
for å få mye tap. Poenget er at for å få stort tap må
vi også ha stor strøm, og vi får større strøm i dette tilfellet når
R
er mindre.
Til sammen vil disse to eektene gjøre at tapet minker med økende
Hvis vi øker ledningsevnen ytterligere, vil
τ
til slutt bli så stor at
R.
I = e/R
ikke lenger blir gyldig under bevegelsen. Da vil selvinduktansen få en betydning. I grensen ideell leder vil røret sette opp en strøm slik at uksen
alltid blir konstant, uansett hvor magneten benner seg. Se på situasjonen
der magneten faller ned fra
z =∞
mot røret. Siden uksen til å begynne
med er null, må den alltid være det. Når magneten er over røret, vil det gå
en strøm som angitt på guren, og feltet fra den strømmen vil bremse magneten. Hvis magneten kommer seg igjennom røret, vil kraften snu retning,
slik at den vil øke magnetens hastighet. Til slutt (i
z = −∞) vil hastigheten
til magneten være som om røret ikke hadde vært der.
Oppgave 3
Spørsmål
Alt. i)
Alt. ii)
Alt. iii)
Alt. iv)
a)
x
b)
x
c)
x
d)
e)
x
x