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IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
1) Un peu d’histoire
∑{T }
i A
= {0}
i
2) Forces
3) Moments et couples
4) Equilibres
5) Statique par les torseurs
6) Statique graphique
7) Frottements
Voir également le
Guide de la Mécanique
8) Systèmes hyperstatiques
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IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Systèmes statiquement équivalents
63
1
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Systèmes statiquement équivalents
⎧ torseur⎫
⎨
⎬ = {T}A
⎩en A ⎭

⎧ S ⎫
=⎨  ⎬
⎩ M A ⎭A
ou

⎧ S ⎫
{T}= ⎨  ⎬
A
MA ⎭
A⎩
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IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Définition :
En un point donné A, un torseur d’action mécanique est un
système force-couple constitué de 2 grandeurs :

a)  Une force ou somme vectorielle S indépendante du point choisi

b)  Un couple ou moment résultant M A fonction du point A choisi
⎧ Sx

⎧ S ⎫
⎧ torseur⎫
⎪
⎨
⎬ = {T}A = ⎨  ⎬ = ⎨ Sy
⎩en A ⎭
⎩ M A ⎭A ⎪
⎩ Sz

S
et

MA
M Ax ⎫
⎪
M Ay ⎬
M Az ⎪⎭
ou
⎧X
⎪
{T}A = ⎨ Y
⎪Z
⎩
LA ⎫
⎪
MA ⎬
N A ⎪⎭
= éléments de réduction du torseur
S = résultante générale du torseur
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2
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Torseur en différents points :
a) La somme vectorielle S du torseur a même valeur en tout point, elle
est invariante
b) MA étant connu, la valeur du moment en B, MB est obtenu par :



M B = M A + BA ∧ S

S
A

MA
A

S
B
B



M B = M A + BA ∧ S
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IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Exemple d’une liaison :
⎧ 0
⎪
100⎫
⎪
0 ⎬
⎪1000 0 ⎪
⎩
⎭A
{T2 /1}A = ⎨ 0
?
−0,1
BA −0,04
0
A(0,0,0)
B(0.1, 0.04,0)
100
−0,1
0



M B = M A 0 + BA −0,04 ∧ S 0
0
0
1000
60
= 100
0
⎧ 0
60 ⎫
⎪
⎪
{T2 /1}B = ⎨ 0 100⎬
⎪1000 0 ⎪
⎩
⎭B
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3
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Addition de torseurs :

⎧ S ⎫
{T1} = ⎨  1 ⎬
⎩ M1A ⎭ A
;

⎧ S ⎫
{T2 } = ⎨  2 ⎬
⎩ M 2A ⎭ A
;
…

⎧ S ⎫
; {Tn } = ⎨  n ⎬
⎩ M nA ⎭ A
  

⎧ S = S + S + ...+ S
⎫
1
2

 n  ⎬
{T}A = {T1}A + {T2 }A + ...+ {Tn }A = ⎨ 
⎩ M A = M1A + M 2A + M nA ⎭ A
N’est possible que si tous les torseurs sont
écrits au même point
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Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Multiplication par un scalaire :


⎧ S ⎫
⎧ a.S ⎫
a.{T} = {a.T} = a.⎨  ⎬ = ⎨  ⎬
⎩ M A ⎭ A ⎩ a.M A ⎭ A
Egalité de 2 torseurs :


 
⎧S ⎫
⎧S ⎫
⎧S = S
⎫
{T1} = {T2 } ⇔ ⎨ 1 ⎬ = ⎨ 2 ⎬ ⇔ ⎨ 1 2  ⎬
⎩ M1A ⎭ A ⎩ M 2A ⎭ A
⎩ M1A = M 2A ⎭ A
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4
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5) Statique par les Torseurs

⎧0⎫
Torseur nul : {0} = ⎨  ⎬
En tout point
⎩0⎭

⎧0 ⎫
Torseur couple : {C} = ⎨  ⎬ En tout point
⎩M⎭
Invariants d’un torseur :
Invariant vectoriel :

S
 
Invariant scalaire (automoment) : S .M A
 
 
  


S .M B = S . M A + BA ∧ S = S .M A + S . BA ∧ S

 
 
⊥S
S .M B = S .M A

0
(
)
(
)
70
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Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Glisseur :

⎧S ⎫
{G}A = ⎨  ⎬
⎩0 ⎭ A
Invariant
 scalaire nul
S .M A = 0
Partout !
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5
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5) Statique par les Torseurs
Cas général :
Tous les torseurs
ont un axe central
unique où S et M
sont colinéaires
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Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Principe fondamental de la statique :
Un solide S en équilibre sous l’action de n torseurs d’actions
mécaniques reste en équilibre si la somme des n torseurs, tous écrits au
même point, est égale au torseur nul.
n
∑{T
} = {0}
k /S I
k=1
73
6
Torseurs d’actions des liaisons usuelles supposées parfaites
(frottement nul entre les surfaces, contact sans jeu)
74
75
7
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Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
Mise en application:
Déterminer la grandeur T de la
tension dans le câble de retenue
et la grandeur de la force sur
l’articulation en A
La poutre AB est un profilé en I
ayant une masse linéique de
95kg/m
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5) Statique par les Torseurs
1) Identifier les liaisons
Données
{T2 / S }
3
1
S
2
Appui simple
Inconnues
{T1/ S }
Pivot
{T3 / S }
Pivot
77
8
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5) Statique par les Torseurs
2) Représenter le DCL
DCL :
FAx
A
3
{T1/ S }A
 G
P
FAy
C
B

F1
{TP }G {T }
2/S C
S
1
{T3 / S }B
2
P = m.g = 95.10−3.(5).9,81 = 4,66kN
78
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Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
3) Formuler tous les torseurs
DCL :
FAx
A
{T1/ S }A
FAy
 G
P
{T3 / S }B
C

F1
{TP }G {T }
2/S C
B
⎧ FAx
⎪
{T1/ S } = ⎨ FAy
⎪ 0
⎩
0⎫
⎪
0⎬
0⎪⎭ A
⎧ 0 0⎫
⎪
⎪
{T2 / S } = ⎨−F1 0⎬
⎪
⎪
⎧−T cos25 0⎫ ⎩ 0 0⎭C
⎪
{T3 / S } = ⎨ T sin25
⎪
⎩
0
⎪
0⎬
0⎪⎭ B
⎧ 0 0⎫
⎪
⎪
{TP } = ⎨−P 0⎬
⎪ 0 0⎪
⎩
⎭G
79
9
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
4) Exprimer tous les torseurs en un même point A
0
3,38
0
⎧ 0 0⎫
⎧ 0
0 ⎫
 
 

⎪
⎪
⎪
⎪
0 ⎬ avec M A ( F1 ) = MC ( F1 ) 0 + AC 0 ∧ F1 −F1
{T2 / S } = ⎨−F1 0⎬ = ⎨−F1
⎪ 0 0⎪
⎪ 0 −3,38F ⎪
0
0
0
⎩
⎭C ⎩
1⎭ A
⎧
⎫
⎧−T cos25 0⎫
0
⎪−T cos25
⎪
 
 

⎪
⎪
⎪
⎪
0
⎬ avec M A (T ) = M B (T ) + AB ∧ T
{T3 / S } = ⎨ T sin25 0⎬ = ⎨ T sin25
(4,88T sin25 ⎪
⎪
0
0⎪⎭ B ⎪
0
⎩
⎪⎩
+0,25T sin25)⎪⎭ A
⎧ 0 0⎫
⎧0
0 ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
0 ⎬
{TP } = ⎨−P 0⎬ = ⎨−P
⎪ 0 0⎪
⎪
⎪
⎩
⎭G ⎩ 0 −2,38.P ⎭ A
0
2,38
0
 
 

M
(
P
)
=
M
(
P
)
0
+
AG
0
∧
P
−P
avec
A
G
0
0
0 80
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Statique du solide
5) Statique par les Torseurs
n
5) Ecrire les équations d’équilibre
∑{T
} = {0}
k /S I
k=1
{T1/ S }A + {T2 / S }A + {T3 / S }A + {TP }A = {0}
⎧ FAx
⎪
⎨ FAy
⎪ 0
⎩
⎧
⎫
0⎫ ⎧ 0
0 ⎫ ⎪−T cos25
0
0 ⎫
⎪ ⎧0
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
0⎬ + ⎨−F1
0 ⎬ + ⎨ T sin25
0
0 ⎬ = {0}
⎬ + ⎨−P
(4,88T sin25 ⎪ ⎪
⎪
0⎪⎭ A ⎪⎩ 0 −3,38F1 ⎪⎭ A ⎪
0
⎩ 0 −2,38P ⎭ A
⎪⎩
+0,25T cos25)⎪⎭ A
⎧ FAx − T cos25 = 0
⎪
⎨ FAy − F1 + T sin25 − P = 0
⎪−3,38F + (4,88T sin25 + 0,25T cos25) − 2,38P = 0
⎩
1
81
10
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices complémentaires
Un mât de charge, utilisé pour décharger les
navires, se compose d’un mât principal AB (1),
lié en A (liaison rotule) au pont (0) du bateau et
maintenu en B par deux câbles BC et BD.
La charge à lever 3 (P = 3000daN) est fixée en
E sur un deuxième mât EF (2) pouvant tourner
(pivot d’axe F,z) autour de AB. Les poids sont
négligeables.
Pour !=30°, déterminer les
tensions (TBC et TBD) des câbles BC
et BD
82
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Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
A) DCL

TBC 
TBD
z
En A :
B
liaison rotule => 3 inconnues
algébriques RAx, RAy, RAz
En B :
- 2x1 liaison pivot
D
F
A
C
x


RAx R
Az

RAy
E

P
y
- angles connus
=> 2x1 inconnues algébriques
TBC, TBD
Nb. d’inconnues ? :
H
Nb. d’équations ? :
83
11
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Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
B) Formulation des torseurs
z

TBC 
TBD
B
D
F
A
C
x


RAx R
Az

RAy
⎧ RAx 0 ⎫
⎪
⎪
{τ A }= ⎨ RAy 0 ⎬
⎪R
⎪
Az 0 ⎭
A⎩
E

P
y
⎧0 0⎫
⎪
⎪
{τ E }= ⎨ 0 0 ⎬
⎪
⎪
0⎭
E⎩-P
 ? 
TBC = TBD
H
84
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Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
⎧3
⎫
⎪ (TBC − TBD ) sin(39,8°)
⎪
⎪5
⎪
τ
=
?
{ B} ⎨
? ⎬
⎪−cos(39,8°) T + T
⎪
( BC BD )
⎪⎩
⎪⎭
B
z
B

TBC

TBCz
6
TBCz = −TBC cos(β )
D
3
3
C
β
F
A

TBCxy
4
x
y
β = 39,8° ?
AC = 4 2 + 32 = 5
β = arctg(5 /6) = 39,8°

TBCxy = TBC sin(39,8°)
85
12
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Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs

TBCy
3
y
A

TBCxy
⎧3
⎫
⎪ (TBC − TBD ) sin(39,8°)
⎪
⎪5
⎪
τ
=
?
{ B} ⎨
? ⎬
⎪−cos(39,8°) T + T
⎪
( BC BD )
⎪⎩
⎪⎭
B

TBCxy = TBC sin(39,8°)

TBCx
AC = 4 2 + 32 = 5
4
C
3
5
4
= −TBC sin(39,8°)
5
TBCx = TBC sin(39,8°)
x
TBCy
86
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Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
⎧ 3
(TBC − TBD ) sin(39,8°)
⎪
⎪⎪ 45
{τ B }= ⎨− (TBC + TBD ) sin(39,8°)
⎪ 5
⎪ −cos(39,8°)(TBC + TBD )
⎪
B⎩
z

TBC 
TBD
B
D
F
A
C
x


RAx R
Az

RAy
E

P
y
⎧0
⎪
{τ E }= ⎨ 0
⎪−P
E⎩
0⎫
⎪
0⎬
0⎪⎭
⎫
⎪
0⎪
⎪
0⎬
0⎪
⎪
⎪⎭
⎧ RAx
⎪
{τ A }= ⎨ RAy
⎪R
A ⎩ Az
0⎫
⎪
0⎬
0⎪⎭
H
87
13
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Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
C) Transfert de tous les torseurs en 1 point
z

TBC 
TBD
B
F
C
x


RAx R
Az
0⎫ ⎧?
⎪ ⎪
0⎬= ⎨?
0⎪⎭ A ⎪⎩?
⎧ 3
(TBC − TBD ) sin(39,8°)
⎪
⎪⎪ 45
{τ B }= ⎨− (TBC + TBD ) sin(39,8°)
⎪ 5
⎪ −cos(39,8°)(TBC + TBD )
E
 B ⎪⎩
D
A
⎧0
⎪
{τ E }= ⎨ 0
⎪−P
E⎩

RAy
P
⎧ RAx
⎪
{τ A }= ⎨ RAy
⎪R
A ⎩ Az
y
H
?⎫
⎪
?⎬
?⎪⎭
⎫
⎪
0⎪ ⎧? ?⎫
⎪ ⎪ ⎪
0⎬= ⎨? ?⎬
0⎪ A ⎪⎩? ?⎪⎭
⎪
⎪⎭
0⎫
⎪
0⎬
0⎪⎭
88
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
{τ E }A
?
z
AE
B
F
A
x
α = 30°
AE = AF + FE
?
0
AH sin α
AE = 0 + AH cos α
AF EF sin 30°
AH = EF cos 30
E

P
30°
y
α
H
0 6cos 30°sin α
AE = 0 + 6cos 30°cos α
AF 6sin 30°
89
14
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
{τ E }A
?
⎧0
⎪
{τ E }= ⎨ 0
⎪−P
E⎩
z
B
F
A
E

P
30°
x
α = 30°
⎧
⎫
⎪ 0 ⎛ 6cos 30sin 30 0 ⎞⎪
⎪ ⎜
⎟⎪
{τ E }= ⎨ 0 ⎜ 6cos 30cos 30 ∧ 0 ⎟⎬
⎪−P ⎜ 6sin 30 + AF −P ⎟⎪
⎠⎪
⎪ ⎝
⎩
⎭
A
⎧ 0 −4,5P ⎫
⎪
⎪
{τ E }= ⎨ 0 2,598P ⎬
⎪−P 0 ⎪
⎭
A⎩
y
α
⎫
0⎫ ⎧ 0

⎪
⎪ ⎪
0⎬= ⎨ 0 M E + AE ∧ P ⎬
⎪
0⎪⎭ A ⎪⎩−P
⎭
H
90
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
{τ B }A
?
⎧ 3
(TBC − TBD ) sin(39,8°)
⎪
⎪⎪ 45
{τ B }= ⎨− (TBC + TBD ) sin(39,8°)
⎪ 5
⎪ −cos(39,8°)(TBC + TBD )
⎪
B⎩
⎧ 0,384 (T − T )
BC
BD
⎪
{τ B }= ⎨−0,512(TBC + TBD )
⎪−0,768 T + T
( BC BD )
⎩
A
⎫
⎪
⎫
0⎪ ⎧ 0,384 (TBC − TBD )


 ⎪
⎪ ⎪
0⎬= ⎨−0,512(TBC + TBD ) M B + AB ∧ (TBC + TBD )⎬
⎪
0⎪ A ⎪⎩−0,768(TBC + TBD )
⎭
⎪
⎪⎭
⎛ 0 0,384 (T − T ) ⎞⎫
BC
BD
⎜
⎟⎪
⎜ 0 ∧ −0,512(TBC + TBD )⎟⎬=
⎜ 6 −0,768(T + T )⎟⎪
BC
BD ⎠⎭
⎝
A
⎧ 0,384 (TBC − TBD ) 3,72(TBC + TBD ) ⎫
⎪
⎪
⎨−0,512(TBC + TBD ) 2,304 (TBC − TBD )⎬
⎪−0,768 T + T
⎪
0
( BC BD )
⎩
⎭
91
15
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
D) Equilibre des torseurs au point A
⎧ 0 −4,5P ⎫
⎪
⎪
{τ E }= ⎨ 0 2,598P ⎬
⎪−P 0 ⎪
⎭
A⎩
⎧ RAx
⎪
{τ A }= ⎨ RAy
⎪R
A ⎩ Az
0⎫
⎪
0⎬
0⎪⎭
⎧ 0,384 (TBC − TBD ) 3,72(TBC + TBD ) ⎫
⎪
⎪
{τ B }= ⎨−0,512(TBC + TBD ) 2,304(TBC − TBD )⎬
⎪−0,768 T + T
⎪
0
( BC BD )
⎩
⎭
A
{τ A }A + {τ B }A + {τ E }A = {0}
5 équations
5 inconnues
92
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
⎧ RAx + 0,384 (TBC − TBD ) = 0
⎪
⎪⎪ RAy − 0,512(TBC + TBD ) = 0
⎨ RAz − 0,768(TBC + TBD ) − P = 0
⎪−4,5P + 3,72 T + T = 0
( BC BD )
⎪
⎪⎩2,598P + 2,304 (TBC − TBD ) = 0
⎧ 0,384 (TBC − TBD ) 3,72(TBC + TBD ) ⎫
⎪
⎪
{τ B }= ⎨−0,512(TBC + TBD ) 2,304(TBC − TBD )⎬
⎪−0,768 T + T
⎪
0
( BC BD )
⎩
⎭
A
⎧ 0 −4,5P ⎫
⎪
⎪
{τ E }= ⎨ 0 2,598P ⎬
⎪−P 0 ⎪
⎭
A⎩
⎧ RAx
⎪
{τ A }= ⎨ RAy
⎪R
A ⎩ Az
0⎫
⎪
0⎬
0⎪⎭
93
16
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les équations de la statique
A) DCL

TBC 
TBD
z
En A :
B
liaison rotule => 3 inconnues
algébriques RAx, RAy, RAz
En B :
- 2x1 liaison pivot
D
F
A
C
x


RAx R
Az
E

RAy

P
y
- angles connus
=> 2x1 inconnues algébriques
TBC, TBD
Nb. d’inconnues ? :
H
Nb. d’équations ? :
94
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
B) Equilibre des forces (maxi 3 équations algébriques)
3
(TBC − TBD ) sin(39,8°)
5
4
− (TBC + TBD ) sin(39,8°)
5
−cos(39,8°)(TBC + TBD )
z

TBC 
TBD
B
D
F
A
C
x


RAx R
Az

RAy
E

P
y
RAx
0

+ RAy + 0 = 0
RAz −P



 
TBC + TBD + RA + P = 0
Détermination de β
et des composantes de TBC et TBD
H
95
17
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
C) Equilibre des moments (maxi 3 équations algébriques)
 
 
  
M A (TBC ) + M A (TBD ) + M A ( P ) = 0


 
AB ∧ (TBC + TBD ) + AE ∧ P = 0
z

TBC 
TBD
B
D
F
A
C
x


RAx R
Az

RAy
E

P
3,72(TBC + TBD )
−4,5P

2,304 (TBC − TBD ) + 2,598P = 0
0
0
y
Détermination de AE
96
H
IUT Dijon 1° année GMP
Statique du solide
5) Exercices Complémentaires
Résolution par les torseurs
⎧ RAx + 0,384 (TBC − TBD ) = 0
⎪
⎪⎪ RAy − 0,512(TBC + TBD ) = 0
⎨ RAz − 0,768(TBC + TBD ) − P = 0
⎪−4,5P + 3,72 T + T = 0
( BC BD )
⎪
⎪⎩2,598P + 2,304 (TBC − TBD ) = 0
3
(TBC − TBD ) sin(39,8°)
5
4
− (TBC + TBD ) sin(39,8°)
5
−cos(39,8°)(TBC + TBD )
3,72(TBC + TBD )
−4,5P

2,304 (TBC − TBD ) + 2,598P = 0
0
0
RAx
0

+ RAy + 0 = 0
RAz −P
97
18