Transcript DS Octobre 14 - Numericable

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Sciences de l’Ingénieur
DS de SI en MP, octobre 14
Durée : 2h
Corrigé sur le site : http://perso.numericable.fr/starnaud/
Exercice 1
Soit un anneau de masse « m », de rayon « R »
et d’épaisseur négligeable.
On note
la densité linéique de masse.

1. Déterminer la matrice d’inertie en O.
2. Déterminer la matrice d’inertie en A tel que

OA  R.x .
Exercice 2
Soit une plaque de masse « m », de longueur
« a » et de largeur « b ».On note
la
densité surfacique de masse.

1. Déterminer la matrice d’inertie en G.
2. Déterminer la matrice d’inertie de cette
plaque à l’extrémité A tel que
a  b 
GA  .x  . y
2
2
Exercice 3
Problème posé : On se propose de calculer les
équations de mouvement d’une éolienne.
L’éolienne étudiée est composée de 3 solides :



  
R
(
A
,
x
Le solide (0) appelé bâti sur lequel est fixé le repère 0
0 , y0 , z0 ) .
  
R
(
A
,
x
Le bras oscillant (1) sur lequel est fixé le repère 1
1 , y1 , z1 ) .
  
L’hélice (2) sur lequel est fixé le repère R2 (G2 , x 2 , y 2 , z 2 )
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Le bras (1) est animé d’un mouvement de rotation d’axe
au bâti (0).
 
z1  z 0
et
 
 
( x0 , x1 )  ( y0 , y1 )  

( A, z 0 ) et d’angle 
L’hélice (2) est animée d’un mouvement de rotation d’axe
rapport au bras (1).

(G2 , x1 ) et d’angle 

  
 
x2  x1 , ( y1 , y 2 )  ( z1 , z 2 )   , et AG2  L.x1
Le bras (1), de centre d’inertie A, de
masse m1, a un opérateur d’inertie en A
  
dans la base ( x1 , y1 , z1 ) :
par rapport
 A1
I A (1)   0

 E1
0
B1
0
par
 E1 
0 

C1  ( x , y , z )
1
1
1
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L’hélice (2), de centre d’inertie G2, de
masse m2, a un opérateur d’inertie en G2
  
dans la base ( x 2 , y 2 , z 2 ) :
 A2
I G (2)   0

 0
2
0
B2
0
0
0

C2  ( x , y ,z )
2
2
2
Action du vent sur l’hélice (2) :

XV 2
 FV 2 

vent  2   


 YV 2
 M V 2 ( G2 )  G 2  Z
 V2
Action du vent sur le bras (1) :
Avec


CA  h.x1  a.z1
Action de la génératrice sur (2) :
LV 2 

MV2 
N V 2  en G 2 dans ( x , y ,z )
2
2
2


 FV 1   F . sin  .x0 

vent  1  

0

C



0
gen  2   


C.x1   . .x1 G
2
Questions
1. Justifier la forme des opérateurs d’inertie des solides (1) et (2).
2. Déterminer au point A le torseur cinétique du solide (1) dans son mouvement par
rapport à (0).
3. Déterminer au point A le torseur dynamique du solide (1) dans son mouvement par
rapport à (0).
4. Déterminer au point G2 le torseur cinétique du solide (2) dans son mouvement par
rapport à (0).
5. Déterminer au point G2 le moment dynamique du solide (2) dans son mouvement par
rapport à (0) en projection sur

x1 .
6. Appliquer le TMD (Théorème du Moment Dynamique) au solide (2) en projection sur

x1 . En déduire une première équation de mouvement.
7. Expliquer la démarche de calcul pour obtenir la deuxième équation de mouvement.
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Exercice 4 : Roue autonome (CCP MP 13)
La roue autonome ez-Wheel (prononcer "easywheel") propose une solution simple pour
tracter des équipements de manutention et de transport de charges, des véhicules légers et
matériels médicaux.
L’avantage de la solution ez-Wheel est d’être adaptable à la majorité des produits roulants
qui existent sur le marché. Les dimensions et l’interface mécanique standardisées permettent
une installation simple et immédiate.
La solution intègre, au sein d’une roue, tous les composants nécessaires à la traction : la
motorisation électrique, des batteries haute énergie de très longue durée de vie, un
contrôleur de puissance assurant un pilotage optimal et la gestion de la batterie ainsi qu’une
interface de commande sans fil.
La transmission de l’énergie est réalisée par un variateur (incorporé à la carte de
commande), un moteur brushless, puis un réducteur.
Nous vous proposons, dans ce sujet, d’étudier l’implantation de la roue autonome sur un
fauteuil roulant. Pour ce genre d’application, où il est nécessaire de mettre en place deux
roues autonomes sur le fauteuil, la commande des roues n’est pas aussi simple que pour
des applications à une seule roue. En effet, en plus de gérer le mouvement d’avance du
fauteuil, il faut également gérer ses changements de direction.
Les deux ez-Wheel étant implantées sur chacune des deux roues arrière, le pilotage des
deux roues est lié afin de maîtriser la direction du fauteuil.
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Chacune des deux roues est alors asservie par l’intermédiaire de capteurs mesurant la
vitesse de rotation de l’arbre du moteur brushless.
Etude de la fonction « S’adapter au sol ».
Les différentes normes relatives à l’accessibilité des espaces publics aux personnes à
mobilité réduite imposent certaines réalisations au niveau des accès des bâtiments.
Les escaliers, infranchissables pour une personne en fauteuil roulant, doivent être remplacés
ou complétés par des rampes d’accès. Comme l’indique la figure suivante, extraite des
textes normatifs, ces rampes peuvent avoir une pente maximale de 12% (soit environ 6,8°).
Objectif :
Valider les performances du moteur vis-à-vis de la fonction « S’adapter au sol ».
Les figures suivantes donnent les dimensions du fauteuil motorisé et le paramétrage de
l’étude en phase de montée d’une pente.
Les hypothèses d’étude de cette partie sont :
  
 Le référentiel R0 (O , x0 , y 0 , z 0 ) , lié au sol, est supposé galiléen.
 Le fauteuil se déplace en ligne droite dans une phase de montée, le problème est
considéré comme un problème plan.
 Le référentiel



g   g .z 0


  
R f (O f , x f , y f , z f ) est lié au fauteuil avec y f  y 0 .
est l’action de la pesanteur avec g = 9,81 m·s−2 .
 Le vecteur position du fauteuil est


OO f  x (t ). x f  y (t ). z f .
 Chaque moteur fournit le même couple, noté Cm (ils peuvent fournir 70 N.m au
maximum)
 On suppose que le problème est équivalent à un seul moteur qui fournit un couple
2Cm sur une seule roue arrière.
 L’ensemble S = {fauteuil + roues motorisées + utilisateur} a une masse MS = 150 kg,
son centre d’inertie est G.
 Le contact roue arrière/sol se fait avec frottement, on note f le coefficient de
frottement.
 L’inertie des roues et celle du moteur sont négligées.
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 L’inertie des roues étant faible devant les autres inerties, l’effort tangentiel (suivant


x f ) du sol sur les roues avant sera négligé.

Les roues arrière sont en liaison pivot d’axe (O f , y f )
par rapport au châssis du
fauteuil.
 Les liaisons autres que les liaisons roue/sol sont considérées comme parfaites.
Les dimensions du fauteuil sont celles d’un fauteuil classique :
e = 400 mm
h = 600 mm
H = 1000 mm
l = 200 mm
L = 1300 mm
r = 150 mm R = 400 mm
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Le torseur des actions mécaniques transmissibles par le solide i sur le solide j sera noté :
Questions
1. Donner les expressions des torseurs des actions mécaniques transmissibles en
faisant apparaître les composantes nulles et le repère choisi :
 Du sol sur le fauteuil au niveau de la roue avant {Tsol→roue avant} au point N.
 Du sol sur le fauteuil au niveau de la roue arrière {Tsol→roue arrière} au point M.
 Du poids sur le fauteuil {Tpoids→fauteuil} au point G.
2. Donner l’expression du moment dynamique de l’ensemble S par rapport au référentiel
R0 au point G
3. Ecrire les trois équations scalaires du principe fondamental de la dynamique appliqué
à l’ensemble S en projection dans Rf au point G.
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Pour les questions suivantes, on suppose que le contact roue arrière/sol se fait à la limite du
glissement.
4. En déduire l’accélération maximale du fauteuil x pour être à la limite du glissement.
Faire l’application numérique pour une pente de béton mouillé de 12% (f = 0,45).
5. En appliquant le théorème du moment dynamique à la roue arrière, déterminer
l’expression du couple moteur Cm en fonction de l’accélération x . Faire l’application
numérique dans les conditions de limite de glissement.
6. Comparer avec la valeur du couple moteur du constructeur et justifier ce choix. Pour
cela, déterminer l’expression littérale puis la valeur numérique de l’action mécanique
du sol sur la roue avant.
On suppose, pour la question suivante, que le contact entre les roues arrière et le sol se fait
toujours avec frottement mais qu’il n’est plus à la limite de glissement. On suppose, de plus,
que le couple moteur est de 70 N.m sur chacune des roues.
7. Calculer l’accélération du fauteuil. Les moteurs mis en place sur le fauteuil,
permettent-ils de respecter les normes d’accès au bâtiment ? Le fauteuil risque-t-il de
basculer ?
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