Transcript SI-PSI-EA2004 complet - SI en PCSI et PSI Condorcet Belfort

PROJET INTERFAS : CALAGE EN POSITION POUR L’IMPRESSION EN
PLUSIEURS COULEURS.
Présentation :
Pour obtenir une impression graphique en plusieurs couleurs, il faut faire passer une feuille à
imprimer entre différents rouleaux d’impression (des couleurs primaires par exemple). Pour la
qualité de l’impression il est nécessaire de positionner angulairement plusieurs rouleaux
d’impression les uns par rapport aux autres.
La solution proposée utilise la propriété "différentiel" d’une poulie Redex pour réaliser cette
fonction.
L’ensemble du sujet comporte 8 pages dont 4 comportant 8 annexes :
L’annexe 1 représente le poste d’impression. Celui-ci est constitué de deux groupes
d’impression entraînés à l’aide d’une courroie crantée par un moteur principal non
représenté. Chaque groupe (ou rouleau) d’impression imprime entre autre une croix de
positionnement. Un capteur optique (non représenté) permet de détecter les écarts de
position entre les différentes croix. Ces mesures viennent alors alimenter le moteur de
calage qui fait varier légèrement la position du rouleau A par rapport au rouleau B. Ceci
de manière à faire coïncider les 2 croix de positionnement.
L’annexe 2 représente la poulie Redex seule.
L’annexe 3 représente le schéma d’implantation de l’ensemble.
L’annexe 4 donne le schéma cinématique. Les pièces 3, 4, 4’, 5 et 6 composent les
différents solides de la poulie Redex. Sur ce schéma, la partie « Moteur principal » est
en fait composé d’un moteur et d’un ensemble poulie-courroie non représenté.
L’annexe 5 fournit toutes les données nécessaires au problème.
L’annexe 6 donne la schématisation d’un groupe d’impression.
Les annexes 7 et 8 fournissent les réponses fréquentielle et temporelle.
Notations : On note ω i / j , la vitesse de rotation du solide i par rapport au solide j et, θ i / j
l’angle du solide i par rapport au solide j.
La transformée de Laplace de ces fonctions utilisera la même notation mais avec la variable p.
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I. DIMENSIONNEMENT CINEMATIQUE :
1.
Déterminer à l’ aide du schéma cinématique la relation entre ω 3 / 0 ,ω 5 / 0 , ω 6 / 0 . Pour cela il
est conseillé de partir de l’ expression de ω 5 / 6 ω 3 / 6 .
2.
Déterminer l’ expression de ω 5 / 0 en fonction de ω 1 / 0 , ω 8 / 0 et des caractéristiques
géométriques Z3, Z4, Z4’ , Z5, r1, r3, r6 et r8. .
Mettre cette relation sous la forme du schéma bloc suivant :
3.
4.
5.
ω 1/0
ω 3/0
ω 8/0
ω 6/0
+
+
ω 5/0
Lorsque le calage est correct on a ω 8 / 0 = 0 rd .s −1 . Déterminer le rapport r1 r3 , pour avoir
dans ce cas ω 5 / 0 = ω 1 / 0 . En déduire la valeur numérique du rayon à choisir pour la poulie
1.
Simplifier alors le schéma bloc de la question 3.
II. DIMENSIONNEMENT DYNAMIQUE DES MOTEURS :
On conservera pour cette partie les valeurs obtenues aux questions 4 et 5 de la partie
précédente.
1. L’ annexe 6 donne la représentation simplifiée d’ un rouleau d’ impression. Déterminer
l’ expression du moment d’ inertie noté I (I1 = I5 = I) autour de l’ axe de révolution en
fonction de m, R et r. Faire l’ application numérique.
2. Déterminer l’ expression de l’ énergie cinétique des solides suivants :
1, 3, 5, 6 et 8.
3. Déterminer l’ expression de l’ énergie cinétique du solide 4.
4. On note Σ l’ ensemble des solides 1, 3, 4, 5, 6 et 8. Déterminer l’ expression de l’ énergie
cinétique de Σ par rapport au référentiel fixe T(Σ/0) et la mettre sous la forme :
1
1
T(Σ / 0 ) = I1éq .ω12/ 0 + I 8éq .ω 82/ 0 + I1−8éq .ω1/ 0 .ω 8 / 0 .
2
2
5. Déterminer la valeur numérique de I1éq.
6. Pendant la phase d’ accélération le moteur de calage sert de moteur frein. On a alors
ω 8 / 0 = 0 rd .s −1 . En utilisant le théorème de l’ énergie cinétique appliqué à l’ ensemble des
solides en mouvement Σ, déterminer la valeur numérique du temps nécessaire pour passer
de l’ état immobile à la vitesse de fonctionnement pour laquelle on a ω 1 / 0 = 11 rd .s −1 .
Pendant cette phase, on suppose que le moteur principal exerce un couple constant noté :
C1dem = 30 mN (couple de démarrage). Le résultat sera exprimé en fonction en autre des
couples C1, CA et CB.
7. On se place maintenant en régime établi avec ω 1 / 0 = Cte et ω 8 / 0 = 0 rd .s −1 . Déterminer
alors la valeur de C1éta (couple en régime établi).
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8.
Déterminer pour la même phase la valeur du couple C8 pour conserver ω 8 / 0 = 0 rd .s −1 .
III. VERIFICATION DES CARATERISTIQUES DE STABILITE ET PRECISION :
Le but de cette partie est de vérifier les caractéristiques de stabilité et de précision ainsi que la
détermination du temps de réponse du système.
En effet, les pages à imprimer sont séparées sur le papier par une distance δ. La détection
d’ une erreur de positionnement se fait en fin d’ impression d’ une page. Il faut que lorsqu’ une
erreur est détectée, celle-ci soit corrigée (erreur inférieure au maxi toléré) au début de
l’ impression de la feuille suivante.
Cahier des charges :
→ Condition de stabilité : marge de phase Mϕ > 45°.
→ Erreur de position tolérée : e < 0,5 mm.
Données :
→ Vitesse de défilement du papier : V = 40 m / mn.
→ Distance entre les pages : δ = 20 mm.
→ Rayon des cylindres d’ impression : R = 60 mm.
L’ étude cinématique et dynamique permet de construire le schéma bloc suivant :
θ 1/0
+
-
H(p)
ω 8/0
θ8/0
S
+
+
θ5/0
Ampli + moteur
H(p) est la modélisation par un premier ordre de gain pur K et de constante de temps T d’ un
amplificateur et d’ un moteur.
S est un gain pur déterminé dans la partie I.
θ8/ 0
.
ω8/ 0
2. Pour étudier les performances de ce système, on transforme le schéma avec en entrée la
consigne (θ 1 / 0 − θ 5 / 0 ) c et en sortie la grandeur réelle (θ 1 / 0 − θ 5 / 0 ) :
1.
Déterminer la fonction de transfert :
(θ 1/0 − θ5/0 )c
+
-
H(p)
ω 8/0
θ8/0
S
θ 1/0 − θ5/0
Ampli + moteur
La mesure de l’ erreur de position étant mesurée une fois par page, la consigne d’ entrée
qui conduit à recaler les 2 rouleaux sera modélisée par un échelon d’ amplitude θ0.
L’ annexe 7 donne la représentation dans le plan de Black de la fonction de transfert en
boucle ouverte. En utilisant le critère du revers, conclure quant au respect du cahier des
charges vis à vis de la stabilité.
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3.
4.
5.
6.
7.
Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée noté FT(p).
Déterminer l’ écart statique noté εs. Vérifier que sa valeur respecte bien le cahier des
charges.
Déterminer en fonction de V et δ, le temps maximum noté T pour effectuer la correction
ainsi que l’ erreur de position angulaire maximale admissible entre les rouleaux notée eθ
en fonction de R et e. Effectuer l’ application numérique.
On détecte une erreur d’ impression de 2 mm. Déterminer la consigne θ0 à imposer de
manière à annuler cet écart.
L’ annexe 8 donne la réponse temporelle de θ1/0 – θ5/0 pour la consigne θ0. Vérifier que le
cahier des charges est respecté, c’ est à dire qu'
à partir de l’ instant T, l’ écart (θ1/0 – θ5/0)
est inférieur à eθ.
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Annexe 1 : fonctionnement général.
Fonctionnement normal.
Correction des écarts de position.
Annexe 2 : poulie Redex seule.
La poulie Redex possède 3 jeux de satellites. Pour notre étude et le schéma cinématique de
l’annexe suivante, on se limitera à un seul jeu.
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Annexe 3 : schéma d’implantation.
Moteur de calage Brushless
Différentiel SR20.3
Rouleau impression B
Rouleau impression A
Annexe 4 : schéma cinématique.
8
Moteur de
calage
C
Différentiel Redex SR20.3
6
7
4
4’
B
Papier à imprimer
x
5
3
y
Rouleau impression B
A
Sens de
défilement
2
O
0
1
Rouleau impression A
Moteur
principal
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Annexe 5 : Données du problème.
Nombres de dents de la poulie Redex SR20.3 :
Z3 = 36 dts, Z4 = 25 dts, Z4’ = 20 dts, Z5 = 45 dts.
Rayons des poulies :
r8 = 20 mm, r6 = 60 mm, r3 = 30 mm, r1 à déterminer.
Entraxe :
On note d la distance entre les axes ( A, x ) et ( B, x ) : d = 40,625 mm.
Moments d’inertie :
I1 : moment d’inertie autour de l’axe (O, x ) de l’ensemble formé du rouleau
d’impression A de la poulie 1 et du rotor du moteur principal. Sa masse est notée
m1.
I3 : moment d’inertie autour de l’axe ( A, x ) du solide 3.
I4 : moment d’inertie autour de l’axe ( B, x ) du solide 4. On note m4 sa masse et B son
centre d’inertie.
I5 : moment d’inertie autour de l’axe ( A, x ) de la poulie 5 et du rouleau d’impression.
Sa masse est notée m1.
I6 : moment d’inertie autour de l’axe ( A, x ) du solide 6.
I8 : moment d’inertie autour de l’axe (C , x ) du solide 8.
I3 = 8.10-5 kg.m2, I4 = 8.10-5 kg.m2, I6 = 0,029 kg.m2, I8 = 2.10-4 kg.m2, I1 et I5 à
déterminer. m4 = 160 g.
Actions extérieures :
C1 : couple du stator du moteur principal sur le rotor.
C8 : couple du stator du moteur de calage sur le rotor.
CA : Moment sur l’axe (O, x ) de l’action mécanique du papier sur le rouleau
d’impression A.
CB : Moment sur l’axe ( A, x ) de l’action mécanique du papier sur le rouleau
d’impression B.
CA = CB = -6 mN.
On suppose toutes les liaisons parfaites et on néglige les masses et inerties des courroies 2 et
7.
Annexe 6 : représentation d’ un rouleau d’ impression.
R
r
L
Cylindre creux de longueur L, de rayon extérieur R, de rayon intérieur r et de masse m avec :
L = 450 mm, R = 60 mm, r = 40 mm et m = 22,3 kg.
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Annexe 7 : réponse fréquentielle dans Black.
10
Gain en dB
de la FTBO 5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-190
-180
-170
-160
-150
-140
-130
-120
-110
Phase en degré de la FTBO
Annexe 8 : réponse temporelle.
θ1/0 − θ 5/0
(en degré)
2.5
Début de la correction
2.0
1.5
1.0
0.5
Phase de
détection
de l'
écart
0.0
-0.5
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Temps (en s)
9/9