Transcript TD 2014 - LSLL - Physique Chimie au lycée par Wahab Diop LSLL

Cours à domicile: 779165576
LYCEE SEYDINA UMAMOULAYE
TERMINALES s
Cellule de Sciences Phy.sk/ues
LES OSCILLATIONS MECANIQUES
ANNEE SCOLAIRE
2013/ 2014
peqcz 1
:On donne : m = 100 g ; k = 40 N.m· 1
Un oscillateur mécanique est constitué d'un ressort à spires non jointives die raideur k dont une
extrémité est fixée à un solide S de dimensions telles
qu'il peut être assimilé à un solide ponctuel de masse ·
m. L'autre extrémité du ressort est fixe (voir figure
ci-contre).
0
(S)
X
Dans cette expérience, on néglige tous les frottements. Le plan sur lequel se déplace le solide S es1t horizontal. La position
-+
-+
du centre d'inertie G est donnée par le vecteur position 0G x i • L'origine du re!)ère est choisie de telle sorte que lorsque
-+
-+
l'oscillateur passe par sa position d'équilibre, on ait OG
o.
-+
-+
1) Indiquer sur un schéma les forcies appliquées à S lorsque l'on a OG x i " pour x différent de zéro.
2) Établir l'équation différentielle du mouvement de S. calculer la pulsation propre C110 et la période propre Ta de
l'oscillateur.
3) Donner la forme générale de l'équation horaire du mouvement de S.
4) On écarte S de sa position d'équilibre d'une quantité X.= + 3 cm et on libère S sans vitesse initiale à une date
prise comme origine des temps. Etablir l'équation horaire du mouvement de S.
y'
5) Donner en fonction du temps les expressions numériques de l'énergie cin ~~tique et de
l'énergie potentielle élastique de cet oscillateur. Vérifier que son énergie mécanique est
j
constante.
=
=
t.c
om
=
QIBRCil 2
re
iq
ue
ch
im
ie
=
=
.s
ha
=
po
in
un oscillateur harmonique est constitué d'un ressort de n; asse
négligeable suspendu à
un point fixe A, auquel est accroché un solide ponctuel S de masse m = 200g et de
centre d'inertie G.
1) La longueur à vide du ressort est to 20 cm. Quand on accroche le solide S,
le ressort s'allonge de 8 cm. On prendra g
10 m/s2 • ·
a) Ecrire les conditions d'équilibre de la masse dans le champ de pesant.eur.
b) Calculer la constante de raideur k du ressort.
2) On tire le solide s verticalement vers le bas en donnant un allongement
supplémentaire a
2 cm au ressort. On lâche ensuite le solide sans vitesse initiale.
a) Faire un bilan des forces qui s'exercent sur S. On prendra comme origine
des déplacements la position d'équilibre du ressort avec le solide accroché.
(S)
L'axe vertical (O,Î) est orienté vers le bas.
b) Etablir l'équation différentielle du mouvement.
c) Déterminer l'équation horaire t -+ y (t)
=
D"RCI 1
://
ph
ys
Un solide S, de masse m
200 g et de centre d'inertie
G, peut se déplacer d'un mouvement de translation rectiligne, sans
frottement, le long d'un banc à coussin d'air. Celui-ci fait un angle a= 10°
avec l'horizontale. Le solide est attaché à l'extrémité inférieure d'un
ressort de masse négligeable, à spires non jointives et à réponse linéaire ;
l'autre extrémité du ressort est fixée en A (voir figure). On prendra g
10
m/s2 •
1) Le solide !I étant en équilibre, son centre d'inertie est en Go.
Le ressort dont l'axe est parallèle à la direction du banc, a subi
un allongement Ato 6 cm.
a) Représenter les forces qui s'exercent sur le solide S.
b) Ecrire la condition d'équilibre du solide S sous forme
tp
ht
=
=
-+
~
vectorielle et projeter la relation suivant les deux axes (0, i ) et (0, j ).
c) Exprimer le coefficient de raideur k du ressort en fonction des données.
calculer sa valeur numérique.
2) On écarte le solide de sa position d'équilibre vers le bas. Son centre d'inertie
est alors en G1• La distance GaG1 mesurée le long du banc vaut d
5 cm. On rtbandonne le solide sans vitesse à une
date que l'on prendra pour origine des temps. La position Ga sera prise comme origine des abscisses.
a) Ecrire la relation de la dynamique (ou théorème du centre d'inertie).
b) Etablir l'équation différentielle du mouvement.
....---------------------...
=
c) l'équation horaire du mouvement.
OllQCZ 4
Sur un plan incliné d'un angle a par
rapport au plan horizontal, on dispose un ressort R de
masse négligeable et de constante de raideur k, de longueur
vide la, fbcé par une de ses extrémité à un point A d'une
butée fixe. A son autre extrémité se trouve un petit solide
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à
de
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masse m, de centre d'inertie g pouvait glisser sans frottement le long du plar; incliné.
•
1) Quand S est au repos, la longueur du ressort est .1 et g est en O. Déterminer lorsque S êst au repos, l'expression
de l'allongement du ressort en fonction de k, m, g, a.
A.M: k= 10 N/m; m = 400 g; g 10 m/s2 ; o 30°.
2) En tirant sur le ressort de façon que son axe demeure toujours parallèle à une droite de plus grande pente du
plan incliné, on écarte S de sa position d'équilibre de xO = 8 cm. Pùis on le libère en le lançant vers le haut
avec une vitesse v
0,3 m/s. Des oscillations prennent alors naissance.
a) Déterminer l'énergie mécanique totale du système [ressort R - solide S - 1'"erre] à un instant t pendant les
oscillations. On prendra l'~ergie potentielle de pesanteur nulle au point o.
b) En déduire l'équation différentielle du mouvement et écrire l'équation hor.;1ire du mouvement du ·centre d'inertie
=
=
=
G de S, dans le repère (0,
i ), l'instant du début des oscillations étant pris co 1mme origine des temps.
peqp
1
Un groupe d'él6ves utilise deux méthodes différentes pou tr déterminer la constante de raideur K
d'un ressort à spires non jointives.
1) La méthode st.atlque
L'extrémit6 supérieure du ressort est fixée. A son extrémité libre, sont susptindues successivement des masses de
différentes valeurs (f"igure a). Pour chaque masse m l'allongement Al du ressort est mesuré à l'aide d'une règle
non re résenté sur la
ure • Le tableau de valeurs suivant est obtenu :
08
07
2 5
5 0
7 5
·10
12 4
15 1
17 5
19 8
a) Tracer le graphe Al en fonction de la masse m. En déduire la relation numéricuue entre Al et m.
b) Sur le schéma~ représenter les forces s'exerçant sur la masse m. traduire alc,·rs la condition d'équilibre et en déduire
l'expression de K en fonction de m, Al et l'intensité de la pesanteur g.
c) En déduire la valeur de la constante de raideur K. On prendra g
9,81 m.s· 2 •
2) La méthode dynamique
Dans cette partie le ressort précédent est utilisé pour réaliser un oscillateur 11orizontal. Le solide de masse M, de
valeur inconnue, solidairement lié au ressort, se déplace sur un support horbontal (figure b). Tous les frottem~nts
sont négligés. On utilise un axe X'X horizontal orienté par le
in
t.c
om
=
....
------~-oooo-=1-. -z-}---------·
-j figur;J
ph
ys
iq
ue
c
hi
m
ie
.s
h
ar
ep
o
vecteur unitaire i et on repère la position du centre d'inertie G
du solide par son abscisse x sur cet axe.
A l'équilibre le ressort n'est ni comprimé, ni allongé et
l'abscisse x est nulle (le point G est confondu avec l'origine de
l'axe X'X).
a) Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur la masse M à
un Instant t donné et les représenter sur un schéma.
1 figure b
1
b) Par application du théorème du centre d'inertie appelé aussi
deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du
mouvement~En déduire-l'expression de la période To·des
oscillations en fonction de la constante de raideur K et de M.
c) La mesure de 10 oscillations donne 10,6 s. Calculer To.
d) L'objet pr~dent de masse M est surchargé d'une masse m1 = 20g fixée r:;.ur lui. Le système est à nouveau mis
en oscillation comme précédemment. Cette fois la durée de 10 oscillations d <»nne 10,7s. Exprimer la nouvelle
période T en fonction de K, m1 et M
e) En déduire l'expression de Ken fonction de To, Tet m1.
f) calculer K. Comparer avec le résultat obtenu par la méthode statique. ExpJiquer.
Un ressort (R) de longueur à vide Io =10 cm, de constante de raideur K, est accroché à un solide
=0,100 kg. L'ensemble est placé sur un banc à coussin d'air hodzontal. L'extrémité libre du ressort est
P'WA 1
de masse m
://
accrochée en un point fixe. Les frottements sont négligeables. Au repos, le C•!ntre d'inertie G, du solide, est en 0,
ht
tp
pris comme origine des abscisses sur l'axe x•x (voir figure).
1. On déplace le solide de sa position d'équilibre suivant l'axe X'X et on le liche sans vitesse initiale.
a. Le document 1 représente le système dans deux positions différentes. Rer.:opier chaque schéma et représenter
les forces s'exerçant sur le solide.
b. Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement du centre d'inertie G du solide. En déduire la nature du
mouvement de G.
2. Un système Informatisé avec capteurs, interface et logiciel adéquats, a permis de tracer les graphes des
documents 2 et 3. Déterminer, à l'aide du document 2, la constante de raideur K du ressort (R). En déduire la
période propre To des oscillations du système solide-ressort.
3. En exploitant le graphe du document 3, donner l'équation horaire du mou,,ement de G.
4. A partir du document 3, préciser :
a. la longueur 1 du ressort à l'origine des dates.
b. Le sens suivant lequel le solide se déplace immédiatement après la date t = O.
c. La date à laquelle le solide passe pour la première fois par la position d'équilibre, après la date t o.
d. L'énergie potentielle étant nulle lorsque le solide est dans sa position d'équilibre, donner l'expression et la valeur
num&ique de l'énergie rn6canique Em du système solide-ressort. En déduire: la valeur maximale de la vitesse du
solide S.
e. Montrer que les variations d'énergie cinétique compensent les variations d'énergie potentielle élastique.
5. Les deux régimes d'un oscillateur amorti sont représentés sur le docume!ï1t 4.
Qualifier ces deux régimes et associer, justification à l'appui, chaque graphe du document 4 à l'un de ces régimes.
=
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Les suspensions des voitur- sont munies de ressorts et d'amortisseurs. Quelle courbe du document 4 correspand •
au régime d'oscillateur où lies passagers auront un aneilleur confort lorsque l'automobile subit une secousse, en
traversant un «dos d'ine ,.. par exemple ? lustifier qualitativement en une ou deux phrases.
-
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DocuVi.t.tll\t
4
1
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1) Un solide S, de masse m peut glisser sanf! frottement sur une tige horizontale x'x. li est fixé à l'extrémité libre
d'un ressort R de
masse négligeable et de raideur K. On repère la position du centre d'inertie G du solide par son abscisse x. A
l'équilibre x = O, on tire horizontalement le sc;lide jusqu'à une distance b>O et on l'abandonne à t
0 sans vitesse
initiale. Etablir l'équation différentielle du mcuvement.
a) En appliquant le .théorème du centre d'inert ie.
b) En appliquant le théorème de l'énergie ciné tique.
K 10N/m ; M 200g ; b
2cm.
2) Le solide S, est maintenant muni d'une palette lt de masse négligeable ;
la palette est immergée dans un liquide qui exerce sur
cette dernière une force de frottement opposé au déplacement.
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ph
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2
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1
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x(cm)
i--(1,:
~
~
La force de frottement est de la forme : f = --À V , A est une constante positive et
V la vitesse du solide.
a)Etablir l'équation différentielle du mouveme nt.
b)Montrer que la variation de l'énergie mécariique est égale au travail de la force de frottement.
Donner en con-rvant • - m~m- conditions initiales, l'allure d- courbes représentant l'abscisse x de G en fonction
du temps, suivant l'importance des frottemerlts.
·
IXllQC'I
1) Un ressort, d'axe horizontal, à spir- non jointiv-, de ma•- négligeable, de constante de raideur k=lSN.m·l,
est fix6 à l'une de _ . extN.nités. Une bille, cie maue m=150g, fixée à l'autre extrém~ du ressort, peut se
~aeer sur une table à coussin _
d 'air horizoritale. On néglige les forces de fw'ottement.
~
Le mouvement de la bille est étudié dan• le r'l!père (0, ; ) : l'origine 0 coincide avec la pasition au repas du centre
d'inertie de la bille, le rest:0rt n'étant ni comprimé, ni étiré ( figure 1).
b
··
g
A la date t=O, on comprime le ressort de Sem dans le sens négatif de l'axe choisi puis .L
on abandonne le systèftM! à lui même sans vitesse initiale. ·
~-·=
a) Etablir l'équation différentielle du mouvement de la bille.
~ ~
:;.,
1
b) April• avoir 6tabll 1'6quatlon horaire du mouvement, d"'=erminer la date à laque~~
~
la bille p••- pour la troisiM\.... foi• à l'absci•.,. x=•2,Scm en allant dan• le sens négatif des élonaationP. 1
...
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2) On considère maintenant le 11\'R~me con9titué de deux palete de m••m1 etm2 placés •ur une table à cou••ln d'air horizontale et rellu par un
ressort de constante de raideur k et de masse négligeable. Les centres
d'inertie des deux palets occupent les position• 01 et 02 à t'équilibre. On
écarte les palets l'un de l'autre et on les liche simultanément -n• vitesse
initiale. Les forces de frottement seront négligées. On rapporte le
ê02
0
i~1G1
X2Ftgure 2 .
--+
XI
mouvement du système à un repère (0, t ) dont l'origine O coïncide avec
la position du centre d'inertie G du système (figure 2). '
a) Montrer que le centre d'inertie du système reste fixe au cours du mouvement.
b) Chaque palet est repéré sur l'axe d'oscillatlon par son écart x par rapport
position d'équilibre. Montrer que
la écarts at~briques x1 et X2 des deux palets sont rell& par :mi.x1+m2X2=0 ;
c) Etablir l'équation différentielle du mouvement de chaque palet. En déduire le période T d'ottcillatlon du système.
d) calculer la fréquence N d'oscillation de ta molécule de chlorure d'hydrogi:ne H-CI sachant que la constante de
raideur de ta liaison H-CI vaut k=4,61.10 2 N.m-•. On donne : masses des atom es en kg : m(H)=t,66.10-27 et
à••
BAC S1
m(Cl)=58,13.10-27 •
$3
1'1P RA 1 SANTE MILTAIRE 2012
On considère le dlsp9sitlf ci-contre. Le corps A de masse mi= 400 g glisse sans frottement sur le plan horizontal.
Il est relié au corps a·de masse mz =200 g par fintermédialre d'un fil Inextensible, de masse n•ligeable passant
sur la gorge d'une poulie P mobile sans frottement autour d'un axe horizontal. La poulie est assimilable à un
cerceau de masse "'3 200 g et de rayon r (valeur de r non donnée).
=
e0 =15 cm
et de constante de
om
(R) est un ressort à spires non jointives, de masse négligeable, de longueur à vide
m
ie
hi
-~--.
(À est une constante positive). A réquDibre rabsdsse du centre d'inertie
ec
F= - Â v.
'-~-:-
x(t)
tp
://
p
hy
si
qu
G de A est nulle •
5-3-1 Le corps A est déplacé suivant raxe du ressort vers le point 1 de a = 4 cm, à
partir de sa position d'équilibre · puis lâché sans vitesse initiale à la date t =o.
Etablir réquation différentielle du mouvement.
5-3-2 L'équation différentielle précédente a pour solution
=a1e- rtcos( m1t-q>1 ) où y,@i et
ÇJ1 sont des constantes positives.
Exprimer:
a) y en fonction de Â. et mi
ht
.._
.s
h
ar
ep
oi
nt
.c
raideur k =40 N/m.11 est fixé en 1 et Hé au corps A. On pendra g = 9,80 m/ 5'-.
5-1 Déterminer la longueur du ressort à réquilibre.
5-2 Le système étant en équilibre, on déplace B verticalement
vers le bas d'une longueur
d = 3 cm puis on rabandonne sans vitesse à la date t =O.
Etablir réquatfon différentielle régissant le mouvement de A.
En déduire r équation horaire du mouvement de A. On prendra
pour origine des espaces la position de A à réquilibre. On
suppose que les deux brins de fil restent toujours tendus et
que le fil ne glisse pas sur la poulie.
= _ S-} ~ corps A toujou'!_ fblé • rextrém~ dY._!~rt R plonge ~f!!tenant ctans u_n
liquide exerçant une force de frottement fluide, opposée au déplacement, de la forme
b) la pseudo-pulsationm1 en fonction de y et m0
=
Œ
v-;;;
5-3-3 Déterminer la pseudo-période T sachant que le coefficient de frottement
2,4Ns/m.
5-3 -4 Donner rallure du graphe X = f(t).
Â.
S-4 Les oscillations de A sont maintenant entretenues par une force vet1:icale F
5-4-1 Etablir la relation :
est égal à
=
Fmsin(Ot+<p).
m1i + Â.i + kx = Fmsin(Ot+q>)
5-4-2 On admet que, le régime établi, la solution de réquatlon précédente est du type: x(t)=a1sin(Oi:).
Faire la construction de Fresnel (Os rp s tr) • En déduire rexpresslon de ramplitude a 1 du mouvement de A et
.
2
.
celle de tan <p •
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