Transcript ﻣﺎدة اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت ﺗﻤﺎرﯾﻦ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت ﺳﻠﺴﻠﺔ

‫ﻣﺎدة اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت‬
‫أﻛﺎدﯾﻤﯿﺔ اﻟﺠﮭﺔ اﻟﺸﺮﻗﯿﺔ‬
‫ﻧﯿﺎﺑﺔ وﺟﺪة‬
‫ﺳﻠﺴﻠﺔ ﺗﻤﺎرﯾﻦ ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ ﻓﻲ اﻟﻨﮭﺎﯾﺎت‬
1
lim
x+
-3x3 + 7x2 - 5
=
1 + x + x2
2
3
lim
-5x
=
x3 3 - x
x>3
4
5
3x2 - 5x
=
x-1 x2 + 4x + 3
x > -1
6
7
lim
1-x
=
x+2
8
lim
x2 + 1
=
x+4
10
lim
n -n=
12
9
lim
x1
x<1
x+
11
n+
13
2
lim 2x - 3x + 1 =
x-
1 - 3x2
14
x+
lim
x2 - x + 1 - x - 1 =
16
17
lim
x2 + 1
=
x+4
18
lim
2x - 4
=
x+1 -3
20
19
x8
lim cos 1 =
x
21
x+
1
lim
3
5
x+
9
-3x3 + 7x2 - 5
= -
1 + x + x2
-5x
= 
x3 3 - x
x>3
2
4
3x2 - 5x
= 
+ 4x + 3
6
lim
1-x
=0
x+2
8
lim
x2 + 1
=1
x+4
10
x1
x<1
x+
3x2 - 5x
=
x-3 x2 + 4x + 3
x > -3
lim
lim
n+
n
=
(n + 3)(n + 5)
lim sin 1 =
x
x2
lim
x+
2x - 1
=
x
x2 - x + 1 - 2x =
lim
x+
x-1
=
x+2
lim
n2 + 1
n
lim
=
n+ 2n2 + 1
lim
x3
‫ ﻧﺟﯾب ﻋﺛﻣﺎﻧﻲ‬: ‫اﻷﺳﺗﺎذ‬
x+6 -3
=
x-3
x+5 -x
lim
x+
x2 - x
lim
n
=
n2 + 1
lim
-4x + 3
=0
3x2 + 1
n+
x-
lim
=
3x2 - 5x
= -
+ 4x + 3
x-3 x2
x > -3
x-1 x2
x > -1
7
22
lim
lim
-4x + 3
=
3x2 + 1
x-2
x < -2
15
x-
lim
x-
lim
n+
n
=0
(n + 3)(n + 5)
lim sin 1 = sin 1
2
x
x2
lim
x+
2x - 1
= 
x
http://xyzmath.voila.net
page 1
lim
n - n = -
11
n+
13
2
lim 2x - 3x + 1 = - 2
x-
3
1 - 3x2
15
17
19
21
1
lim
x+
2
lim
x-
14
lim
x2 + 1
= -1
x+4
18
lim
3
2x - 4
=
x+1 -3 2
20
x8
16
lim cos 1 = 1
x
22
x+
lim
x+
x2 - x + 1 - 2x = -
x-1
= 
x+2
lim
n2 + 1
n 1
lim
=
2
n+ 2n2 + 1
lim
x3
lim
x+6 -3 1
=
6
x-3
x+5 -x
x+
lim
n+
x2 - x
n2
= -1
n
=0
+1
-3x3 + 7x2 - 5
= -
1 + x + x2
-3x3 + 7x2 - 5
-3x3
= lim
= lim -3x = -
x+ x2
x+
1 + x + x2
lim
x-
-4x + 3
=0
3x2 + 1
-4x + 3 lim -4x lim -4
=
=
=0
3x2 + 1 x- 3x2 x- 3x
-5x
= 
3-x
x>3 
0>3-x
x3
x>3
3-x<0

D'autre part lim -5x = - 15
x3
x>3
4
3
2
x2 - x + 1 - x - 1 = -
x-
lim
x+
x-2
x < -2
lim
x+
lim
3
12
donc
donc lim
x3
x>3
lim 3 - x = 0-
x3
x>3
-5x
= 
3-x
3x2 - 5x
= -
x-3 x2 + 4x + 3
x > -3
lim
lim 3x2 - 5x = 27 + 15 = 42
x-3
x > -3
lim x2 + 4x + 3 = 9 - 12 = 3 = 0
x-3
x > -3
x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3),
x
-
2
+
x + 4x + 3
lim x2 + 4x + 3 = 0
x-3
x > -3
-3
0
-
-1
0
lim 3x2 - 5x = 42 lim
x-3
x > -3

+
3x2 - 5x
= -
+ 4x + 3
x-3 x2
x > -3
‫ ﻧﺟﯾب ﻋﺛﻣﺎﻧﻲ‬: ‫اﻷﺳﺗﺎذ‬
http://xyzmath.voila.net
page 2
5
lim
3x2 - 5x
x-1 x2 + 4x + 3
x > -1
= 
lim 3x2 - 5x = 3 + 5 = 8
lim x2 + 4x + 3 = 1 - 4 + 3 = 0
et
x-1
x > -1
x-1
x > -1
En remarquant que x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3), on peut donner le signe de x2 + 4x + 3
x
-3
-1
-

+
0
0
+
x2 + 4x + 3
On en déduit que
lim x2 + 4x + 3 = 0+
x-1
x > -1
6
lim
n+
lim 3x2 - 5x = 8 , on en déduit
et comme
x-1
x > -1
n
=0
(n + 3)(n + 5)
Utilisation d'une règle opératoire
n
n
=
donc
(n + 3)(n + 5) n2 + 8n + 15
7
x<1
lim
x1
x<1

0<1-x
lim 1 - x = 0+
n
n
= lim
= lim 1 = 0
(n + 3)(n + 5) n+ n2 n+ n

1-x>0
lim x + 2 = 3
x1
x<1
donc
lim
x1
x<1
1-x
= 0+
x+2
donc
lim
x1
x<1
1-x
= 0+
x+2
lim sin 1 = sin 1
2
x
x2
lim 1 = 1
x 2
lim
x+
lim sin 1 = sin 1
2
x
donc
x2
9
lim
n+
1-x
=0
x+2
x1
x<1
8
3x2 - 5x
= 
x-1 x2 + 4x + 3
x > -1
lim
x2
x2 + 1
=1
x+4
lim x2 + 1 = 
x+
donc
lim
x+
x2 + 1 = 
et
Il s'agit donc d'une forme indéterminée de type 

On peut factoriser le terme dominant
x21 + 1  x
1+ 1
1+ 1
2
2
2
x
x
x2
x +1

=
=
=
x+4
x1 + 4
x1 + 4
1+4
x
 x
 x
1
1
= 0 donc lim 1 +
=1
2
x+ x
x+
x2
lim 4 = 0 donc lim 1 + 4 = 1
x+ x
x+
x
lim
On en déduit
lim
x+
1+ 1
x2
=1
1+4
x
et
‫ ﻧﺟﯾب ﻋﺛﻣﺎﻧﻲ‬: ‫اﻷﺳﺗﺎذ‬
(x tend vers , donc x est positif)
1+ 1 =
x2
lim
x+
donc
lim x + 4 = 
x+
lim
x+
1 =1
x2 + 1
=1
x+4
http://xyzmath.voila.net
page 3
10
lim
x+
2x - 1
= 
x
x =  on a donc une forme indéterminée du type 

On peut factoriser le terme dominant
lim 2x - 1 = 
2x - 1
=
x
x2 - 1
 x
lim
et
x+
x+
x 2 - 1
 x
=
x
parce que x = ( x )
1
1
= 0 donc lim 2 - = 2
x+
x
x
2x - 1
donc lim
= 
x+
x
lim
x+
11
lim
n+
lim
n+
lim
et de plus
x+
2
x = 
n = 
lim
x+
et
lim -n = -
x 2 - 1 = 
 x
on a donc une forme indéterminée du type  - 
n+
de plus
lim n = 
n+
x2 - x + 1 - 2x = -
lim x2 - x + 1 = lim x2 =  donc
x+
lim
x+
n - n = -
On peut factoriser le terme dominant
n
2
n - n = n 
- 1 = n  1 - 1
parce que n = ( n )
n


 n 
lim n =  donc lim 1 = 0 et lim 1 - 1 = -1
n+
n+
n+
n
n
1
donc lim n 
- 1 = -
donc
lim n - n = -
n+
n+
 n 
12
donc
x+
lim
x+
x2 - x + 1 =  , d'autre part lim - 2x = -
x+
On a donc une forme indéterminée du type  - 
On peut factoriser le terme dominant
x2 - x + 1 - 2x =
(x tend vers , donc x est positif et
On a alors
donc
lim
x+
d'autre part
1
1-1+
- 2x = x 
x x2

x21 - 1 + 1  - 2x = x
 x x2
lim 1 = 0 ,
x
x+
lim
x+
1
1-1+
- 2
x x2

x2 = x )
1
= 0 , donc
x2
1
lim 1 - 1 +
=1
x x2
x+
donc
lim
x+
1
1-1+
=
x x2
1 =1
1
1-1+
- 2 = -1
x x2
lim x = 
x+
donc
lim x 
x+

‫ ﻧﺟﯾب ﻋﺛﻣﺎﻧﻲ‬: ‫اﻷﺳﺗﺎذ‬
1
1-1+
- 2 = - donc lim
x+
x x2

http://xyzmath.voila.net
x2 - x + 1 - 2x = -
page 4
13
2
lim 2x - 3x + 1 = - 2
x-
3
1 - 3x2
2x2 - 3x + 1 lim 2x2
On peut utiliser une règle opératoire lim
=
= lim 2 = - 2
x-
x- -3x2
x--3
3
1 - 3x2
14
lim
x-2
x < -2
x-1
= 
x+2
lim x - 1 = -2 - 1 = - 3
et
x-2
x < -2
donc
15
lim
x+
lim
x-2
x < -2
lim
x+
x-1
= 
x+2
lim x + 2 = 0-
x-2
x < -2
x2 - x + 1 - x - 1 = -
x2 - x + 1 - x - 1
x-1
= 
x+2
lim
donc
(si x < -2 , on a x + 2 < 0)
x-2
x < -2
3
2
conduit à une forme indéterminée du type  - 
La factorisation du terme dominant ne permet pas de lever l'indétermination.
On peut utiliser la quantité conjuguée.
x2 - x + 1 - x - 1 =
x2 - x + 1 - (x + 1) =
=
=
x2 - x + 1 - (x + 1)2
- 3x
[ x2 - x + 1 + (x + 1)]
x
=



donc
donc
16
lim
x+
lim
x+
=
x2 - x + 1 - x2 - 2x - 1
[ x2 - x + 1 + (x + 1)] [ x2 - x + 1 + (x + 1)]
=
On a lim 1 = 0 et
x+ x
[ x2 - x + 1 - (x + 1)][ x2 - x + 1 + (x + 1)]
[ x2 - x + 1 + (x + 1)]
lim
x+
- 3x
=
1
1
1- +
+x+1 x
x x2
-3
1
1
1-1+
+ 1 + 
2
x
x x
1
=0
x2
donc
1
1-1+
+1+1=2
x x2
x
x2 - x + 1 - x - 1 = -
et



1
x21 - 1 +  + x + 1
x
x2

- 3x
1
1
1-1+
+ 1 + 
x
x x2
1
1-1+
=
x x2
lim
x+
lim
x+
- 3x
=



1 = 1 et
lim 1 + 1 = 1
x
x+
-3
=-3
2
1
1
1-1+
+ 1 + 
2
x
x x
3
2
n2 + 1
n 1
lim
=
2
n+ 2n2 + 1
n2 + 1
n
lim
fait apparaître une forme indéterminée du type 
2
n+ 2n + 1

On peut se ramener à une règle opératoire en écrivant
‫ ﻧﺟﯾب ﻋﺛﻣﺎﻧﻲ‬: ‫اﻷﺳﺗﺎذ‬
http://xyzmath.voila.net
page 5
n2 + 1
n n2 + 1
n
n
n3 + 1

=
=
2n2 + 1 n (2n2 + 1) 2n3 + n
n3 + 1
n3
Alors lim
= lim
= lim 1 = 1
n+ 2n3 + n
n+ 2n3
n+ 2
2
17
donc
n2 + 1
n 1
lim
=
n+ 2n2 + 1
2
x2 + 1
= -1
x+4
lim
x-
La recherche de la limite aboutit à une forme indéterminée du type 

On peut factoriser le terme dominant
x21 +
x2 + 1
=
x+4

1
x2
1
x2
1+
|x|
=
x1 + 4
x1 + 4
x


 x
Or x tendant vers -, x est négatif, et par conséquent | x | = -x
On a donc
x2
+1
=
x+4
On a
et
-x
1+
1
x2
x1 + 4
 x
=
1+
1
x2
1+4
x
lim 1 = 0, donc lim 1 + 1 = 1 donc lim
x-
x-
x2
x2
lim 4 = 0 donc lim 1 + 4 = 1
x- x
x-
x
x-
1
x2
= 1 donc
1+4
x
1+
On en déduit
18
lim
x3
lim
x3
lim
x-
-
1+
lim
1+4
x
x-
1+
1
x2
1
=
x2
1 =1
= -1 et
lim
x-
x2 + 1
= -1
x+4
x+6 -3 1
=
6
x-3
x+6 -3=
9 -3=0
lim x - 3 = 0
et
x3
On est donc conduit à une forme indéterminée du type 0 .
0
En l'absence de factorisation évidente, on peut utiliser la quantité conjuguée.
x + 6 - 3 ( x + 6 - 3)( x + 6 + 3)
x+6-9
x-3
=
=
=
=
x-3
(x - 3)( x + 6 + 3)
(x - 3)( x + 6 + 3) (x - 3)( x + 6 + 3)
On a lim
x3
19
lim
x8
lim
x8
x+6 +3=
9 +3=6
donc
lim
x3
1
=1
x+6 +3 6
donc
lim
x3
1
x+6 +3
x+6 -3 1
=
6
x-3
3
2x - 4
=
x+1 -3 2
2x - 4 =
16 - 4 = 0
et
lim
x8
x+1 -3=
9 -3=0
On est donc conduit à une forme indéterminée du type 0 . En l'absence de factorisation évidente, on peut
0
utiliser les quantités conjuguées.
‫ ﻧﺟﯾب ﻋﺛﻣﺎﻧﻲ‬: ‫اﻷﺳﺗﺎذ‬
http://xyzmath.voila.net
page 6
2x - 4
( 2x - 4)( 2x + 4)( x + 1 + 3)
(2x - 16)( x + 1 + 3)
=
=
x + 1 - 3 ( x + 1 - 3)( x + 1 + 3)( 2x + 4)
(x + 1 - 9)( 2x + 4)
2(x - 8)( x + 1 + 3) 2( x + 1 + 3)
=
(x - 8)( 2x + 4)
2x + 4
=
lim 2( x + 1 + 3) = 2( 9 + 3) = 12
x8
2( x + 1 + 3) 12 3
=
=
x8
8 2
2x + 4
donc lim
x+5 -x
lim
20
x+
x2 - x
lim
et
2x + 4 =
x8
3
2x - 4
=
x+1 -3 2
lim
donc
16 + 4 = 8
x8
= -1
x+5 -x
La recherche de lim
x+
conduisant à une forme indéterminée, on peut factoriser le terme dominant
x2 - x
x2 = | x | = x
1
1+5 -1
- 1
x
= x
1-1
x
Comme x tend vers  , on a x positif et on aura par conséquent
x+5 -x
x1 + 5 - x
 x
=
x2 - x
- 1
x
x21

lim 5 = 0
x
lim
donc
x+
21
1-1
x
1
x
1+5 =0
x
lim
donc
et

=
1+5
x
1-1
x
1+5 =1
x
lim
x+
1
x
lim
lim
et
x+
1 =0
x
1 + 5 - 1 = - 1 et lim 1 = 0
x+ x
x
1+5 -1
x
x+
x
x
x
x+
1
x
x 
1-1
x
= -1
et
x+5 -x
lim
x+
x2 - x
donc
lim 1 - 1 = 1
x
x+
donc
= -1
lim cos 1 = 1
x
x+
lim 1 = 0
x
lim
n+
lim
n+
lim cos 1 = cos 0
x
donc
x+
22
x
x+
1-1 =1
x
lim
x+
=
lim 1 + 5 = 1 donc
x
donc
x+
1+5 -x
x
x
x+
donc
n
=0
n2 + 1
n = 
et
On peut factoriser
lim n2 + 1 = 
n+
n
n
=
n2 + 1
On a donc une forme indéterminée du type 

n
n + 1 
n
n n

lim
n+
Donc
lim cos 1 = 1
x
x+
n = 
donc
lim
1
n+
n
n + 1
n
lim
n+
=0
1 =0
n
et
lim n
n+
et par conséquent
‫ ﻧﺟﯾب ﻋﺛﻣﺎﻧﻲ‬: ‫اﻷﺳﺗﺎذ‬
1
=
n
n + 1
n
n = 
lim
n+
donc
lim n
n+
n + 1 = 
n
n
=0
n2 + 1
http://xyzmath.voila.net
page 7