Transcript Calculs de limites 1 Calculs de limites

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Calculs
Exercices
Calculs de limites
1
Calculs de limites
On calculera les limites suivantes, en utilisant en priorité la théorie des équivalents, et en deuxième
recours seulement la théorie des développements limités.
1
cos2 x
lim
− 2 tan x
1
=
1 + cos 4x
2
x→π/4
lim
x→0
2 tan x − tan 2x
4
=−
x(1 − cos 3x)
9
xx − x
= −2
x→1 1 − x + ln x
lim
esin x − etan x
=1
x→0 sin x − tan x
√
√
x + 3 − 3 3x + 5
lim
=0
x→1
1 − tan πx
4
lim
xx − (sin x)x −
x4 ln x
lim
x→0+
x3
6
=
1
6
xx − (sin x)sin x
= −∞
x3
x→0+
!
r
p
3
9
29
3
lim x2
x2 + x − 1 − x3 + x2 − x + 1 = −
x→+∞
2
8
48
1
x
1
lim
ln(ln(e
+
x))
−
= 3
x→0 (arctan x)3
e+x
6e
1
2
+
= −1
lim
x→1 (π/4) − arctan x
x−1
lim
e x − xe
=0
x→0 ln x − ln e
lim
lim
x→0
ln(1 + 2x + 2x2
ln(1 + 2x + 3x2
1/(ex −1)
1
=√
e
sinh x argshx/(sinh x−x)
lim
=e
x→0
x
p
p
lim sinh x2 + x − sinh x2 − x = +∞
x→+∞
lim
x→0
1
1
−
2
x
tan2 x
=
2
3
πx + 1
π−6
lim x arctan x −
=
x→+∞
2x + 1
4
MPSI 1
1
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Exercices
2
2
lim
− 2 = −∞
x
x→0+ x(ex − 1)
sin x 1/ sin x
lim
=1
x→0
x
x
x
e − 1 1/(e −1) √
lim
= e
x→0
x
lim
x→+∞
lim
x→+∞
x sin
1
x
x2
= e−1/6
1 x
e
1
3
=
x 1+
− ex ln 1 +
x
x
8
2
sin x ln(1 + x2 )
=0
x→0
x tan x
lim
lim
x→9π
4x
15 tan 5x
161
2 + 8cotan 3
=
x
cos 6
3
lim (xcotanx)cotanx = 1
x→0
!1/13
24 .55/2
lim
=
x→2
39
!
3 x/2
15
1 3x
lim x
− 1+
= e3/2
1+
x→+∞
2x
x
8
2x + 3 x
2x+1 + 5x/2
1/(2−x)
!x2
r
1
2
lim
2 1+ − 1+
= e1/4
x→+∞
x
x
1 x
1
e
2
3
lim
x 1+
− ex ln 1 +
=
x→+∞
x
x
8
r
lim (3x + 4x − 24)cotan(2−x) = 3−9 .4−16
x→2
p
x 1
p
3
3
x3 + 3x2 + 2 − x3 + 1 =
x→+∞
e
lim (cosh x)sinh x − (sinh x)cosh x = −∞
lim
x→+∞
√
n 8
√
n
n
3 2−2 3 =
n→+∞
9
tan x 1/(1−cos x)
lim
= e4/3
x→0 tanh x
ln(x + 1) x ln x
lim
=e
x→+∞
ln x
lim
lim (cos x)e1/(1−sin x) = −∞
x→π/2+
MPSI 1
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Exercices
x
π
1
= e2
lim
tan
+
x→+∞
4 x
x
cosh x
4
lim x
−1 =0
x→+∞
sinh x + 1
1/(1−x)
√
πx
lim 4 sin
−x
= e1−π 3
x→1
6
x
√
πx
πx
= eπ 3/24
lim
cos
+ sin
x→+∞
3x + 1)
6x + 1)
!
1 x
1 2x
1 3x
11e
2
lim x
1+
−4 1+
+3 1+
=
x→+∞
x
2x
3x
72
2x 1/ cos x
lim ln
e
= −∞
−
π
x→(π/2)
lim x2 e1/ sin x = 0
x→0−
lim (x2 + x − 2) tan
x→1
πx
6
=−
2
π
1
π
lim (2x2 − 3x + 1) tan πx =
x→1/2
sin x − sin e
= e cos e
x→e
ln x − 1
1
1
lim
−
= −2
x→0 xex (x + 1)
x cos x
1
π
1
−
=
lim
x→0 4x
2x(eπx + 1)
8
lim
lim (2 − x)1/ cos(πx/2) = e2/π
x→1
lim
sin
x→+∞
πx
2x + 1
x2
= e−π
2 /32
x/2
x2 − 1
lim
=1
x→+∞ x2 + 1
2x 1/ cos x
lim ln
e
= −∞
π
x→+π/2−
lim ln(1 + sin x).cotan2x =
x→0
1
2
lim x2 e1/ sin x = 0
x→0−
lim (x2 + x − 2) tan
x→1
MPSI 1
3
πx
6
=−
2
π
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Calculs
Exercices
lim (2x2 − 3x + 1) tan πx =
x→ 12
1
π
sin x ln(1 + x2 )
=0
x→0
x tan x
lim
x3/2 − 1 + (x − 1)3/2
=0
x→1
(x2 − 1)1/2
lim
lim√
x→1/
(arcsin x)2 −
2x2 − 1
2
arctan(2 sin x) −
cos 3x
x→π/6
lim
π2
16
π
4
=
π
4
√
=−
3
6
x ln(cosh x − 1)
=1
x→+∞
x2 + 1
lim
lim
x→π/2+
etan x
=0
x − π/2
2 cos2 x + cos x − 1
= −3
x→π/3 cos2 x − 3 cos x + 1
lim
lim
x→1+
xx − 1
√
=0
ln(1 − x2 − 1)
(sin x)x − 1
=1
xx − 1
x→0+
2
3
1
lim
−
=−
2
3
x→1 1 − x
1−x
2
lim
lim (2 − x)1/ cos(πx/2) = e2/π
x→1
lim (2 − x)tan(πx/2) = e2/π
x→1
limx→π (1 + sin x)1/ cos(x/2) = e2
cotanx
p
limx→0 x + 1 + x2
=e
limx→1 (1 + ln x)tan(πx/2) = e−2π
πx tan(πx/2 1
=
limx→1 tan
4
e
limx→0+ (cosx)ln x = 1
limx→0
MPSI 1
1 + tan x
1 + tanh x
4
1/ sin3 x
= e2/3
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limx→0+
Exercices
√ cotanx
cosh x
√
=1
cos x
limx→2 (2x + 3x − 12)tan(πx/4 = (24 .39 )−4/π
limx→+∞ ln(1 + e−x )
1/x
=
1
e
limx→0+ x1/(1+2 ln x) = e1/2
3x 1/ cos 3x 1
limx→π/6 tan
=
2
e
x
coshx
=1
limx→+∞
1 + sinh x
limx→0 (ln(e + x))1/x = e1/e
limx→0+
1
= +∞
x(x − ln x)x
limx→π/2− (3 + 2etan x )π−2x = e2
x −1)
limx→0+ x1/ ln(e
lim
x→+∞
√ 1/√x
x + 1 − cosh x
=e
x −1
(ex + 1)e
lim
x→+∞
2
cosh
√
=e
− (ex − 1)e
x +1
= −∞
Limites avec paramètre
1)a, b > 0.
limx→(a+b)/2
xa −
xb −
a+b a
2
a+b b
2
a
=
b
a+b
2
a−b
2)n ∈ N∗ .

lim 
x→+∞
n
Y

!1/n
(x + k)
− x =
k=1
n+1
2
3)a ∈ R, cos a 6= 0.
cos(a + 1/x)
cos a
ax + bx
2
lim
x→+∞
x
= e− tan a
4)a, b > 0.
lim
x→+∞
MPSI 1
1/x
= M ax(a, b)
5
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Calculs
Exercices
4)a, b > 0.
lim
x→0+
3
ax + bx
2
1/x
√
=
ab
Exercices Divers
1) On utilise le fait que :
∀x ∈]0, 1[, φ(x) =
n
X
k=0
xk =
1 − xn+1
1−x
a)Poser y = 1−x dans la fraction précédente et effectuer un DL en y = 0 avec trois termes significatifs.
b)En déduire les trois première
dérivées
P de φ(x) en xP= 1.
P
c)En déduire le calcul de nk=0 k, de nk=0 k 2 ,et de nk=0 k 3 .
2)On considère la relation (tan x)0 = 1 + tan2 x. Si on connait un DL de tan x en x = 0 on peut
insérer ce DL dans le terme de droite de l’équation ce qui permet d’obtenir un DL de (tan x)0 puis en
intégrant de calculer un nouveau DL de tan x, qui contiendra l’ordre suivant. Utiliser cette méthode
pour calculer un DL à l’ordre 7 de tan x en x = 0.
3)Utiliser une méthode similaire pour calculer le DA de xn , où xn est la nième racine strictement
positive de l’équation tan x = x.
5)On veut montrer que
n
X
k! ∼ n!
k=1
Majorer grossièrement
4
Pn−2
k=1
k! et conclure.
Developpements Asymptotiques
1)Au voisinage de x = 0,
1
1
1
1
1 2
−
=−
+
−
x + o(x2 )
x(ex − 1) x2
2x 12 720
2)Lorsque x → +∞,
1
1
1
x ln(x + 1) − (x + 1) ln x = − ln x + 1 −
+ 2 − 3 +o
2x 3x
4x
1
x3
3)
lim
x→+∞
sinh
p
p
x2 + 2x − sinh x2 − 3x = +∞
4)a) Montrer que pour chaque n ∈ N∗ , l’équation d’inconnue x > 0 xn + x − 1 = 0 admet une unique
solution xn .
b)Montrer que limn→+∞ xn = 1.
c)Montrer que
ln n
ln n
xn = 1 −
+o
n
n
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