Transcript Document 4651873

LE Ange
KHOURI Nadine
M1 MMD
PROJET DE MONTE CARLO
SUJET 1: LE PRICING
Selim ZOUGHLAMI
QUESTION 1:

Supposons d’abord que X est un mouvement brownien. Wt  G([ 0, T ]) .
Alors W0  G(0) suit une loi N (0,0) et donc W0  0 ps.

Ensuite, on fixe s>0 et on note Hs l’espace vectoriel engendré par
~
(Wr ,0  r  s) , H s l’espace vectoriel engendré par (Wsu  Ws , u  0) . Alors
~
Hs et H s sont orthogonaux puisque pour r [0, s],u  0
E[Wr (Wsu Ws )]  E[G([0, r])G(]s, s  u])]  0
~
d’après les propriétés des mesures gaussiennes. Comme Hs et H s sont aussi
contenus dans un même espace gaussien, on en déduit grâce au théorème
suivant:
Soit H un espace gaussien et soit ( H i , i  I ) une famille de sous espaces
vectoriels de H . Alors les sous espaces Hi , i  I sont orthogonaux dans L2 si et
seulement si les tribus  (Hi ),i  I sont indépendantes.
~
que  (Hs ) et  (H s ) sont indépendantes. En particulier Wt  Ws est indépendante
de  (Hs )   (Wr , r  s) . De plus on a, Wt  Ws  G(]s, t]) suit la loi N (0, t  s) .
QUESTION 2:
Une option d’achat (ou call) donne à l’operateur qui l’achète le droit et non
l’obligation d’acheter un actif financier, à un prix d’exercice spécifié K au moment
de l’achat et à une date déterminée T appelée date de maturité de l’option.
Expliquons maintenant pourquoi le payoff de l’option d’achat s’écrit:
C(T,K,T)  (ST  K)  max( ST  K,0)
où K est le prix d’exercice, ST le cours de l’action, et T la date de maturité de
 l’option.



Le risque de l’acheteur est limité au montant de la prime qu’il verse au
vendeur au moment du contrat lui donnant le droit de se déclarer acheteur. Son
gain est en revanche, illimité.
Deux cas seront alors possibles:

Soit ST  K : Dans ce cas là, l’acheteur n’a aucun intérêt à exercer son
option, car elle engendrerait une perte. Son gain est alors nul.



Soit ST  K : Dans ce cas là, l’acheteur exerce son option. En effet, il

achète l’actif financier au prix K , ensuite la revend au prix ST pour
bénéficier de la hausse du cours. Ainsi son gain sera ST  K .


On voit bien que le bénéfice potentiel d’un acheteur d’option d’achat de connaît

pas de limite objective.
On retrouve bien:
C(T,K,T)  (ST  K)  max( ST  K,0)
Ce résultat est illustré par le graphique suivant:

QUESTION 4 :
Variables antithétiques :
L’objectif de cette méthode est de réduire la variance. En effet, les
variables antithétiques sont une des techniques employées dans la méthode
Monte-Carlo où l’on utilise les propriétés de symétrie d’une distribution et de
corrélations négatives entre deux variables aléatoires.
Dans le cadre de notre projet, c’est-à-dire dans le cadre des applications
liées à la finance, on doit souvent calculer M= E[(G)] où G est une gaussienne
centrée.
loi
Or on sait que G   G . Cela vient de la propriété de symétrie des
gaussiennes.
Donc un estimateur de M= E[(G)] est :
Mn 
1
( (G1 )  (G1 )  ...   (Gn )   (Gn ))
2n
Où G1,..., Gn sont n réalisations de la loi de G. Si on note
Mn 
1
((G1 )  ...  (Gn )) l’estimateur Monte Carlo classique, on obtient
n
Var ( M 2 n ) 
2n
G in d epi
1
1 2n
(

(
G
))

Var

i
Var((Gi ))
2n i1
4n 2
i 1
1
Var((G1 ))
2n
Pour pouvoir comparer l’efficacité des deux méthodes, on compare bien
Gi a la même loi que
évidemment la variance des deux estimateurs.
La variance de l’estimateur M est
n
1
Var
(
((Gi )  (G(i)))

4n 2
i 1
Gindepi
1 n
Var((Gi )  (Gi ))
 4n 2 
i1
G meme loii
1
 4n (Var ((G1 ))  Var ((G1 ))  2.Cov((G1 ), (G1 )))
G1   G1
1
 2n (Var((G1 ))  cov((G1 ), (G1 )))
Var (M 2n ) 

On conclut que Var( M 2 n )  Var( M 2 n ) si et seulement si cov((G1 ), (G1 ))  0.
Or, nous pouvons conclure grâce au théorème suivant :
Soit G une variable aléatoire, T une transformation décroissante de R telle que
loi
T (G)  G et  une fonction monotone.
Ainsi :
Cov((G), (T (G)))  0.
Cette méthode accélère donc, pour un nombre de simulations donné, la
convergence vers le vrai prix de l’option. On voit bien ce résultat sur notre fichier
Excel. Les fluctuations du prix de l’option sont beaucoup moins importantes dans
le cas des variables antithétiques. Ainsi, on voit bien, par le calcul, puis par
l’application sur Excel, que la performance de la simulation Monte-Carlo peut
être améliorée en ayant recours à cette technique.
Exemple:
Cet exemple a été trouvé sur www.wikipedia.fr, nous avons choisi de l’intégrer
dans notre réponse car il explique bien, surtout grâce au tableau inséré par la
suite, l’amélioration de la méthode de Monte-Carlo par celle des variables
antithétiques pour un simple calcul d’intégrale.
On souhaite estimer :
1
dx
01  x
1
I 
La valeur exacte est I =ln2  0.69314718055995. On peut voir cette intégrale
1
comme l’espérance de f (U ) , où f ( x) 
1 x
Et U est distribuée selon une loi uniforme sur [0,1].
On compare ensuite l’estimateur Monte Carlo classique (par exemple une
échantillon de taille 2n, n  1500, tiré selon la loi uniforme standard) à l’estimateur
avec variable antithétique (échantillon de taille n , complété par l’échantillon
transformé 1- u j ).
La variance se réduit comme suit :
Estimation Variance
Méthode classique
0,69365
0,02005
Variable antithétique 0,69399
0,00063
On constate une très nette réduction de la variance dans le cas de l’utilisation
d’une variable antithétique.
QUESTION 5 :
Montrons que le prix de cette option admet une formule fermée qui s’écrit
C(0,K,T)  S0 .N(d1)  K.exp(r.T).N(d2 )
S    2 
ln 0  r  T
K  
2 
avec: d1 
. T

d2  d1   . T

On note la probabilité risque-neutre P, le spot S0 , le strike K, le taux d’intérêt
sans risque r, la volatilité  la maturité T et la barrière B. On pose par la suite:


r
2


2
K
S0
B
b
S0
k
Ces variables nous seront utiles pour la démonstration.
Le cours de l’action sous P est modélisé par:

t  [0,T]
St  S0e
  2 
r
t Wt
 2 
où (W t ) est un mouvement Brownien sous P.


Ainsi le prix C  C(S0,K,r,T,,B) vérifie:
C  erT E P ((ST  K) 1(sup0t T St )B } )

 S0erT  (ew  k) 1 ln b T(  ) (w,m)dwdm
{m
2
 (e
 S0erT
 k)1
w
{m
2
 S 0e
ln b
 2T
rT 

2


S 0e
rT 
[
ln k
w

2
 (e
2

1

} {w m
(2mw )2
2T
ln b

2(2m  w)
e
}
T
w
T 2
2
e
(2mw )2
2T
2 T
Te
2(ew  k) w

]m
e dw
w
2 2 T
T
ln b

ln b
 2T
ln b


}


(2w  w )2
2T
e

(2
ln b

w )2
2T
ln k
w
)
(ew  k) w
e dw
T

On remarque que, pour tout réel x, 2x   x  x

S0e
rT 
ln b
 2T

2
2
 (e
w

w2
2T

(2
ln b

w )2
 e 2T
)
ln k
(ew  k) w
e dw
T

w
On pose v 
T


C

S0e
rT 
 2T
2
2
v
(e
(2
e
ln b
 T

2
v )2
)(e
Tv
 k)e 
Tv
dv (1)
ln k
 T
 2 2
2
(N(
    a)  N(    b))
(2)
On a alors :
f (a,b,,  )  e


v2

2
On introduit alors la fonction f définie par
f (a,b,,  )  e

ln b
 T
 2 2
2
(N(    a)  N(    b)) (3)
dwdm
En utilisant (1), (2), et (3), on obtient:
 2T
 ln k ln b

f 
,
,0,(   ) T 
 T  T

 ln k ln b

k. f 
,
,0,  T 
 T  T

 ln k ln b

ln b
 f 
,
,2
,(   ) T 
 T  T  T

 ln k ln b

ln b
k. f 
,
,2
,  T 
 T  T  T

C  S0e

rT 
2
Après simplification, en remarquant que 2   2  2r et que    
obtient:

2 
  S
 2   S0

0
ln

(r

)T
ln

(r

)T 
 
 
K
2
B
2
C(S0 ,K,r,T, ,B)  S0 N 
 N 

 T
 T







 

 
  S
 2   S
 2 
 ln 0  (r  )T  ln 0  (r  )T 
2  N  B
2 
KerT N  K

T

T

 

 

 

 
  B 2
 2   B
 2 
ln

(r

)T
ln

(r

)T 




B  2
S 0K
2   S0
2 


B  N
N
 

 T
 T
S0   
 

 
 

 
2r
  B   2    B   2  
 ln
 r  T  ln  r  T 
S0KerT B  2   S0K  2    S0  2  

N
  N
 

B S0   
 T
 T
 
 

 

 
2r

r
2

2 , on
Or on sait bien que :
x  
0  N(x)  1
x  
N(x)  1 N(x)
et aussi que:


N(x) ~
x 
x2
2
e
2 x
On vérifie bien que si l’on fait tendre B vers l’infini, on a

 S   2  
 S   2  
0
ln  r  T 
ln 0  r  T 
K  2  
K  2  
C(S0,K,r,T, ,B)  S0 N 
 KerT N




 T
 T
B 









qui est bien la formule dans call européen simple dans le cadre du modèle de
Black-Scholes.
QUESTION 8 :
Dans le cas où K=0, cherchons à trouver une formule pour C F (0, TC , T ,0) .
Nous cherchons à calculer E ((ST  STC )  ) .
Tout d’abord, écrivons S T en fonction de S TC .
ST  STC . exp( .(T  TC )   (WT  WTC )) avec
 r
2
2
Donc :
E ((ST  STC )  )  E ((STC .(exp( .(T  TC )   (WT  WTC ))  1)  ) car STC  0.
Nous pouvons dire maintenant, que S TC est une fonction de WTC , et comme WTC et
(WT  WTC ) sont indépendants (propriété d’un Mouvement Brownien), S TC va être
indépendant de ce qui reste dans l’espérance i.e.
(exp( .(T  TC )   (WT  WTC ))  1)  .
Ainsi, l’espérance du produit va simplement être le produit des espérances :
E ((ST  STC )  )  E (STC ).E (exp(( .(T  TC )   (WT  WTC ))  1)  )
On a : E ( STC )  S 0 et E ((exp( .(T  TC )   (WT  WTC ))  1)  ) est le prix d’un call
émis en TC et de maturité T , pour un actif qui vérifie S 0  1.
On a alors la formule :
E ((ST  STC )  ) = S à .C (0,1, T )  S 0 ( N (d1 )  K . exp( r.T ).N (d 2 ))
En effet, dans la fomule du C (0,1, T ) on a , K  S 0  1 . Ainsi, on se retrouve avec la
formule suivante :
E ((ST  STC )  )
   r 1 
  r 1 
S 0  N  T       e rY N  T      
=     2 
   2 
QUESTION 10 :
Rappelons tout d’abord la définition de la discrépance :
Soient : x  ( xn ) n1 une suite de points de 0,1n ,
 n la mesure de Lebesgue sur 0,1n ,
A un sous pavé quelconque de 0,1 ,
n
P l’ensemble des sous pavés de 0,1 .
n
La discrépance d’ordre k de la suite x est la quantité :
Dk ( x)  SupDk ( A, x) tqA  P
La suite x est à discrépance faible si :
 (ln k ) n
Dk ( x)  Ok  
 k

 .

Les générateurs les plus connus sont les générateurs pseudo-aléatoires
(générateur où la suite des nombres qui sera simulée est prévisible sous
certaines conditions). Les algorithmes utilisant les suites à discrépance faible
sont asymptotiquement meilleurs que les algorithmes pseudo-aléatoires. En
effet, ces derniers sont utilisés dans les méthodes de Monte-Carlo, d’où
l’application à ce projet.
Les générateurs quasi-aléatoires se basent sur la construction de suites à
discrépance faible. Les suites de Van Der Corput sont un exemple de suite
quasi-aléatoire. En effet, elles génèrent des suites de nombres distribués selon
une loi uniforme. « Elles sont basées sur la conversion d’entiers dans la base
d’un nombre premier, puis inversion par rapport à la virgule décimale. »
Explicitons la méthode de construction de cette suite. En effet, on est en
dimension 1. Soit p un nombre premier. Pour tout entier n, on s’intéresse à
l’écriture de ce nombre entier en base p :
r
n   ai pi où ai  0,..., p  1.
i 0
r
Ensuite on pose x n  
i 0
ai
.
p i 1
La suite ( xn ) n que nous venons de définir, est la suite de Van Der Corput. En
effet, c’est une suite équirépartie sur
0,1 à
discrépance faible. Voici les
quelques premiers termes de la suite :
0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 0.01, 0.11, 0.21, 0.31, 0.41, 0.51, 0.61,
0.71, 0.81, 0.91, 0.02, 0.12, 0.22, 0.32,…
Le résultat que nous trouvons sur notre page Excel vient confirmer ce que
nous avions précisé dans les paragraphes précédents. En effet, la méthode
utilisant la suite de Van Der Corput améliore celle de Monte-Carlo en
augmentant la rapidité de convergence vers le vrai prix de l’option.