KROK PO KROKU Z MATEMATYK* - Kompetencje kluczowe drogą

Transcript KROK PO KROKU Z MATEMATYK* - Kompetencje kluczowe drogą

KROK PO KROKU DO MATURY Z MATEMATYKI

Jesteśmy uczniami klasy 3d z Zespołu Szkół Nr 1 im.

Noblistów Polskich w Pyrzycach. W ramach projektu unijnego „Kompetencje Kluczowe Drogą do Kariery” przygotowujemy się do egzaminu maturalnego z matematyki. Ponieważ jesteśmy uczniami klasy humanistycznej, to przygoda z matematyką nabiera nowego wymiaru. Od początku roku szkolnego krok po kroku „przechodzimy” przez kolejne działy matematyki, aby jak najlepiej zdać egzamin. Wybraliśmy kilka przykładowych zadań, które rozwiązaliśmy.

STANOWIMY ZESPÓŁ

Z1M2

ZESPÓŁ Z1M2

ROZDZIAŁ I

LICZBY I DZIAŁANIA

1. Uzasadnij, że liczba jest wymierna.

[2p] 2.

Pan Lewandowski zarabia grudniu na jego konto razem z pensją wpłynął dodatek świąteczny, a kwota, którą otrzymał, wyniosła 3745 zł. Jaki procent miesięcznie 3500 zł netto. W comiesięcznej pensji stanowi dodatek świąteczny?

[2p] 3.

Dane są zbiory: A Zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek: │

x - 3

│<

6, 2

B zbiór liczb rzeczywistych spełniających warunek:

≤12.

1 ≤ 3x –

Ile parzystych liczb naturalnych należy do zbioru

A\ B

[4p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ I

Zadanie 1.

LICZBY I DZIAŁANIA

Postęp: = Zastosowanie własności pierwiastków: * = Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie wartości wyrażenia 1, zatem jest to liczba wymierna.

1p 2p

Zadanie 2.

Postęp: Zapisanie równania: 3500p=245, gdzie p oznacza szukany procent.

1p Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie p: p=7% 2p

Zadanie 3

Postęp: Wyznaczenie zbioru A: A=(-3; 9)i 3 Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie nierówności:

3x-2



1 i 3x-2≤12

Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie zbioru B B =<1; 4 > Rozwiązanie bezbłędne: należących do zbioru A\B=(-3; 1)  (4 ;9); są trzy takie liczby 1p 2p 3p

ROZDZIAŁ II

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Dany jest wielomian wykresu należą

y= -2x

punkty

2 + bx + c.

A=(1,6),

Wiadomo,

B(-2,-9)

że do Wyznacz parametry

b,c.

[2p] 2.

Wyznacz dziedzinę wyrażenia W= [2p] 3.

Dany jest wielomian wszystkie

W(x)=2 x 2

wartości parametru

dokładnie dwa miejsca zerowe.

[4p]

– mx + 5m

. Wyznacz tak, aby wielomian miał

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ II WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Zadanie 1.

Postęp: Zapisanie układu: Rozwiązanie bezbłędne: Rozwiązanie układu równań 1p 2p

Zadanie 2

Postęp: Zapisanie warunku

x 3 – 16x = 0

i doprowadzenie go do postaci

x(x 2 -16) = 0

Rozwiązanie bezbłędne: Rozwiązanie warunku i zapisanie odpowiedzi: D=R\ {-4, 0, 4} 1p 2p

Zadanie 3.

Postęp: Zapisanie nierówności wynikającej z treści zadania: Δ>0 Pokonanie zasadniczych trudności.

Zapisanie nierówności:

m 2 -40m>0

Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:

m 1 =0, m 2 =40

Rozwiązanie bezbłędne: Rozwiązanie nierówności:

mє(-∞,0)



(40,+∞)

1p 2p 3p 4p

ROZDZIAŁ III

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

Rozwiąż równanie

3x 3 – 6x 2 + 5x -10 = 0

[2p] 2.

Rozwiąż nierówność

– 36x 2 .

Podaj

(2x – 1) 2 –( 5x +2) 2 >8(x+1) + 8x 2 – 13

największą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność.

[4p] 3.

Wykaż, że dla każdej wartości parametru

nierówność

x 2 + (m+1)x + m 2 + 1<0

jest fałszywa dla każdej liczby rzeczywistej

[4p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ III RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

Zadanie 1.

Postęp: Zapisanie równania w postaci : (x-2)(3x 2 +5)=0 Rozwiązanie bez błędne: Zapisanie odpowiedzi: x=2 1p 2p

Zadanie 2.

Postęp: Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia do przekształcenia lewej strony nierówności

8x 5 -12x 2 + 6x-1 – (25x 2 + 20x + 4x)>8(x + 1) + 8x 5 -13 – 36x 2

Istotny postęp: Zapisanie lewej strony nierówności:

-x 2 -22x>0

Pokonanie zasadniczych trudności Rozwiązanie nierówności :

mє(-22,0)

Rozwiązanie bezbłędne: Zapisanie odpowiedzi:

x=-1

1p 2p 3p 4p

Zadanie 3.

Postęp: Wyznaczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego: Δ= 3m 2 +2m -3 Pokonanie zasadniczych trudności Wykazanie, że wyróżnik jest ujemny dla każdej liczby rzeczywistej m :

Δ m = -32

Rozwiązanie bezbłędne: i ramiona są skierowane w dół Zapisanie wniosku: wyróżnik Δ= -3m 2 +2m -3 stale ujemny i ramiona paraboli skierowane do góry, zatem wszystkie wartości trójmianu są dodatnie, czyli podana nierówność jest zawsze fałszywa.

1p 3p 4p

ROZDZIAŁ IV

FUNKCJE

Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji

f(x)=

[2p] 2.

Miejscem zerowym funkcji

f(x)=ax + 2

jest liczba . Wyznacz wzór funkcji funkcji

f f

i podaj argumenty, dla są mniejsze od wartości funkcji których wartości

g(x)= -3x + 4.

[4p] 3.

Wykres funkcji f danej wzorem f(x)= -

x 2 +bx +c.

a) Wyznacz współczynniki wykres funkcji

f b

, a następnie naszkicuj b) Dla jakich wartości x wykres funkcji f leży powyżej wykresu funkcji

g(x) = x + 2

[5p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ IV FUNKCJE

Zadanie 1.

Postęp: Wyznaczenie dziedziny funkcji: D=R\{-5} Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie miejsc zerowych: x=0, x=5 1p 2p

Zadanie 2.

Postęp: Zapisanie równania:

a +2 =0

Istotny postęp: Wyznaczenie

a=-4

i zapisanie wzoru funkcji:

y= -4x+2

Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie nierówności :

-4x+2< -3x+4

Rozwiązanie bezbłędne: Rozwiązanie nierówności:

xє(-2;∞)

1p 2p 3p 4p

Zadanie 3.

Postęp: Zapisanie funkcji w postaci iloczynowej y= - (x+2)(x-4) Pokonanie zasadniczych trudności Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej y= - x 2 + x + 4 i podanie odpowiedzi b=1, c=4. Naszkicowanie wykresu funkcji Rozwiązanie prawie całkowite: Zapisanie nierówności Rozwiązanie bezbłędne: x 2 Podanie odpowiedzi:

xє(-2,2)

+ x + 4> x+2 1p 2p 3p 4p

ROZDZIAŁ V

CIĄGI

Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym

a n =n 5 – 5n

że ten ciąg ma tylko jeden wyraz równy 0.

2 + n -5.

Wykaż, [2p] 2.

Tomek, Marcin, Jurek zbierają znaczki. Liczby znaczków chłopców w podanej kolejności tworzą malejący ciąg geometryczny. Marcin ma 450 znaczków. Oblicz, ile znaczków mają pozostali chłopcy, jeśli w sumie wszyscy trzej mają ich 1425.

[5p] 3. Dany jest ciąg (x, 2x+y, y,18). Wyznacz liczby

x i y

tak, aby trzy pierwsze wyrazy tego a trzy ostatnie ciągu tworzyły ciąg arytmetyczny, – geometryczny.

[5p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ V CIĄGI

Zadanie 1

Postęp: Zapisanie wyrazu ogólnego ciągu w postaci :

a n + 1)

(n - 5) Rozwiązanie bezbłędne: =(

n 2

Uzasadnienie tezy zadania: jedynym rozwiązaniem równania w zbiorze liczb naturalnych dodatnich jest liczba 5, zatem tylko piąty wyraz ciągu jest równy 0.

1p 2p

Zadanie 2.

Postęp: Zapisanie układu równań: Pokonanie zasadniczych trudności: Zapisanie równania z jedną niewiadomą np. :

x 2 -975x + 202 500=0

Rozwiązanie prawie całkowite: Rozwiązanie równania:

x=300 lub x=675

Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie drugiej zmiennej i zapisanie odpowiedzi uwzględniającej treść zadania: Tomek ma 675, a Jurek 300 znaczków.

1p 2p 3p 5p

Zadanie 3.

Istotny postęp: Zapisanie układu równań: Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. : 9x

2 =18(2x-3x)

Rozwiązanie prawie całkowite: Rozwiązanie równania:

x=0 lub x=-2

Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie drugiej zmiennej i zapisanie odpowiedzi: lub 2p 3p 4p 5p

ROZDZIAŁ VI

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Wykaż, że dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwa jest równość tg α + = [2p] 2.

Jedna z przyprostokątnych trójkąta jest o 6 dłuższa od drugiej. Tangens kąta ostrego jest równy . Wyznacz pole i obwód tego trójkąta.

[6p] 3.

Dany jest kąt α taki, że 0 0 < α < 90 0 i tg α = 2.

Oblicz wartość wyrażenia

W= .

Wynik przedstaw w postaci ułamka o wymiernym mianowniku.

[4p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ VI FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Zadanie 1.

Postęp: Przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci:

L= +

Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wykazanie tożsamości:

L= + = =P

1p 2p

Zadanie 2.

Postęp: Zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta w postaci:

a, a+6

Istotny postęp: Zapisanie równania: = Pokonanie zasadniczych trudności Rozwiązanie równania:

a=9

Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie długości wszystkich boków trójkąta: 9, 15, 3  54 Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie pola i obwodu trójkąta:

P= , L=3(8+



54)

1p 2p 3p 4p 6p

Zadanie 3

Postęp: Zapisanie układu równań: Istotny postęp: Rozwiązanie układu równań: Pokonanie zasadniczych trudności: Zapisanie wyrażenia w postaci: W= Rozwiązanie bezbłędne: Usunięcie niewymierności z mianownika i zapisanie wartości wyrażenia w żądanej postaci: W= 3p 4p 1p 2p

ROZDZIAŁ VII

PLANIMETRIA

1. Dany jest prostokąt

ABCD

o przekątnych długości 12 i kącie między przekątnymi 120 0 . Oblicz pole tego prostokąta.

[2p] 2. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 2. Wyznacz pole i obwód trójkąta.

[5p] 3. Dany jest równoległobok

ABCD

o kącie 120 boku tego równoległoboku.

0 , dłuższej przekątnej 18 i krótszym boku 8. Oblicz długość drugiego [5p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ VII PLANIMETRIA

Zadanie 1.

Postęp: Obliczenie jednego z boków prostokąta: 6, 6  3 Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie drugiego z boków prostokąta i jego pola: P=36  3 1p 2p

Zadanie 2.

Postęp: Zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta w postaci:

a, a+6

Istotny postęp: Zapisanie równania: = Pokonanie zasadniczych trudności Rozwiązanie równania:

a=9

Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie długości wszystkich boków trójkąta: 9, 15, 3  54 Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie pola i obwodu trójkąta:

P = , L=3(8+



54)

1p 2p 3p 4p 6p

Zadanie 3.

Postęp: Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń:  BC  =8; CE – odcinek prostopadły do AB i E należy do prostej AB; jeżeli kąt ABC=120 0 , to kąt CBE=60 0 Istotny postęp: Wyznaczenie długości odcinka BE:  BE  =4 Pokonanie zasadniczych trudności: Wyznaczenie długości wysokości CE:  CE  =4  3 Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie długości odcinka AE:  AE  =2  69 Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie długości drugiego boku równoległoboku AB:  AB  =2  69- 4 1p 2p 3p 4p 5p

ROZDZIAŁ VIII

GEOMETRIA ANALITYCZNA

Wyznacz równaniu równanie prostej

2x + 5y – 1 = 0 k

prostopadłej do prostej przechodzącej przez punkt

A=(0,-4)

[2p]

o 2.

Prosta

x 2 l

o równaniu

– 2x + y 2 2x - y + 4 = 0 + 4y = 32

współrzędne punktów

A, B

i przecina w punktach okrąg o równaniu

A i B.

długość cięciwy

AB.

Wyznacz [4p] 3.

Dany jest kwadrat mają współrzędne

ABCD.

Kolejne wierzchołki tego kwadratu

A=(-2,-2), B=(3,3)

Wyznacz współrzędne wierzchołka

kwadratu b.

Wyznacz promieniu równanie okręgu o środku w punkcie

r =



i [7p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ VIII GEOMETRIA ANALITYCZNA

Zadanie 1.

Postęp: Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do: a=-5 Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie równania prostej prostopadłej do: y=-5x-12 1p 2p

Zadanie 2

Postęp: Zapisanie układu równań: Pokonanie zasadniczych trudności: Rozwiązanie układu i zapisanie współrzędnych punktów A, B: A=(0,4); B= Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie długości cięciwy AB:  AB  = 1p 3p 4p

Zadanie 3

Postęp: Wyznaczenie długości boków kwadratu:  AB  = Istotny postęp: Wyznaczanie równania prostej AB:

y=x

Pokonanie zasadniczych trudności Wyznaczanie równania prostej BC:

y= x+6

Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie układu równań: Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka C: C(-2,8) lub C(2,-8) Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie równania okręgu: (x-3) 2 +(y-3) 2 =50 6p 7p 1p 2p 3p 5p

ROZDZIAŁ IX

STEREOMETRIA

Dany jest 12.

Kąt graniastosłup prawidłowy trójkątny o wysokości nachylenia przekątnej ściany płaszczyzny podstawy ma miarę 60 0 bocznej . Oblicz do objętość graniastosłupa.

[2p] 2.

Dany jest  89, a prostopadłościan, którego przekątna jest równa krawędzie podstawy 3 i 4. Oblicz długość wysokości tego prostopadłościanu.

[2p] 3.

Tworząca stożka jest nachylona do podstawy pod kątem 60 0 , pole powierzchni bocznej objętość tego stożka.

stożka jest równe 162. Oblicz [6p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ IX STEREOMETRIA

Zadanie 1

Postęp: Wyznaczenie krawędzi podstawy graniastosłupa a=4  5 Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie objętości graniastosłupa: V=144  3 1p 2p

Zadanie 2.

Postęp: Wyznaczenie przekątnej podstawy: d=5 Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: h=8 1p 2p

Zadanie 3.

Postęp: Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych oznaczeń: h,l – odpowiednio wysokość i tworząca stożka r – promień podstawy stożka Pokonanie zasadniczych trudności Zapisanie układu równań: Rozwiązanie prawie całkowite: Rozwiązanie układu równań: r=9 i l=18 Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie wysokości i objętości walca: h=9  3, V=243  3 1p 5p 4p 6p

ROZDZIAŁ X

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rzucamy kostką będącą liczbą pierwszą.

do gry i monetą.

Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy orła i liczbę oczek [2p]

A i B P(A

są zdarzeniami losowymi takimi, że 

B)=0,75.

Oblicz

P(A



B).

P(A)=0,1 i P(B)=0,3,

[2p] 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną symetryczną kostką do gry.

Oblicz prawdopodobieństwo, że na każdej kostce wypada liczba oczek podzielna przez 3 lub na każdej kostce wypadło mniej niż 4 oczka.

[6p]

ODPOWIEDZI:

ROZDZIAŁ X RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Zadanie 1

Postęp: Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych: Rozwiązanie bezbłędne: Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń A – wyrzucenie orła i liczby oczek będącej liczbą pierwszą: A=3 i obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P(A)= = 1p 2p

Zadanie 2.

Postęp: Wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A i B: P(A)=0,9, P(B)=0,85 Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B: P(A  B)=0,85 1p 2p

Zadanie 3.

Postęp: Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych: Istotny postęp: Wyznaczenie liczebności zdarzenia A – na każdej kostce wypadła liczba oczek podzielna przez 3: A=4i wyznaczenie liczebności zdarzenia B – na każdej kostce wypadło mniej niż 4oczka: B=9 Pokonanie zasadniczych trudności: Wyznaczenie liczebności zdarzenia A  B: A  B=1 Rozwiązanie prawie całkowite: Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń A, B, A  B: P(A)= , P(B)= , P( A  B )= Rozwiązanie bezbłędne: Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B: P(A  B)= 1p 3p 4p 5p 6p

Strony internetowe z zadaniami matematycznymi

1. http://www.math.edu.pl/ 2. http://www.e-zadania.pl/ 3. http://www.zadania.info/ 4. http://www.kangur-mat.pl/zadania.php

5. http://zadaniamatematyczne.pl/sitemap

Tu możesz znaleźć wiele ciekawych zadań

Prezentacja przygotowana w ramach projektu „Kompetencje kluczowe drogą do kariery” współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego wraz z logotypami Projektu WSP TWP, Unii Europejskiej i Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki”