Transcript B5570

Théorie du freinage
par
Jean-Jacques CARRÉ
Ingénieur de l’École Supérieure des Techniques Aéronautiques
et de Construction Automobile
Directeur Études Produits à la société Bendix Europe, Division Technique
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.
2.1
2.2
3.
3.1
3.2
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2 - 1989
3.3
Généralités.................................................................................................
Définitions ....................................................................................................
Classification des freins ..............................................................................
Conditions à respecter pour les freins .......................................................
1.3.1 Conditions d’établissement ...............................................................
1.3.2 Conditions d’installation ....................................................................
Qualités demandées à un frein...................................................................
Influence du rendement des transmissions mécaniques
de la machine...............................................................................................
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4
Problème du freinage .............................................................................
Définition du problème ...............................................................................
2.1.1 Cas des appareils de levage ..............................................................
2.1.2 Cas des freins de direction, translation et orientation.....................
Grandeurs caractéristiques du freinage ....................................................
2.2.1 Distance, durée et accélération de freinage .....................................
2.2.2 Travail et puissance de freinage ........................................................
2.2.3 Rôle de l’inertie des corps en mouvement.......................................
2.2.4 Efforts, couples, puissances et travaux
au cours du cycle opératoire .............................................................
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Base de calcul du dimensionnement..................................................
Garnitures de freins.....................................................................................
3.1.1 Généralités sur les organes de friction .............................................
3.1.2 Base de calcul des garnitures de freins : la puissance spécifique..
Rotor de frein ...............................................................................................
3.2.1 Détermination du diamètre du rotor de frein...................................
3.2.2 Détermination de l’épaisseur du limbe du rotor de frein................
3.2.3 Conduite de calcul du dimensionnement.........................................
3.2.4 Conditions à réaliser dans l’établissement des rotors de frein ......
Exemples numériques.................................................................................
3.3.1 Treuil à crochet à moteur à courant continu à excitation en série .
3.3.2 Monte-charges et ascenseurs............................................................
3.3.3 Pont roulant.........................................................................................
3.3.4 Treuil à benne preneuse automatique (calcul complet) ..................
3.3.5 Véhicules roulants ..............................................................................
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uels que soient le système de freinage et son emploi, un frein absorbe une
énergie mécanique extérieure pouvant être soit une énergie potentielle
due à la gravité (cas des appareils de levage), soit une énergie cinétique (cas
des véhicules), soit les deux à la fois (cas, par exemple, d’un véhicule lancé
abordant une descente). L’énergie mécanique absorbée est restituée par le frein
sous une autre forme qui dépend du système de freinage considéré.
Q
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THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
Nous nous limiterons à l’étude des freins transformant l’énergie mécanique
en chaleur par frottement de deux solides car ce sont les plus répandus et les
plus économiques pour assurer la fonction de freinage : le ralentissement ou
l’arrêt de la machine ou de l’appareil en mouvement est dû à la résistance de
frottement engendrée dans un organe de friction, par la pression d’un corps
contre la jante d’un rotor en mouvement.
Nous ne saurions trop insister sur l’importance du freinage et sur le soin que
l’on doit apporter à la détermination des freins. Dans le prix d’une installation,
les dispositifs de freinage entrent pour une faible part et, cependant, ils
conditionnent à la fois la sérucité et la souplesse de conduite de l’appareil. Ils
sont un élément de jugement du sérieux de la construction.
1. Généralités
1.1 Définitions
Un frein est un transformateur d’énergie destiné à ralentir
(frein de ralentissement) ou à arrêter complètement le mouvement d’un engin (frein d’arrêt).
Le tableau 1 donne le principe des systèmes de freinage courants.
Un organe de friction est essentiellement un transformateur
d’énergie en chaleur. Le rotor du frein emmagasine et disperse la
plus grande partie de la chaleur produite : c’est donc par le calcul
des dimensions du rotor qu’il faudra aborder le problème (§ 3.2). De
plus, le choix des dimensions du rotor est soumis à des conditions
faisant intervenir la nature du métal de friction du rotor et celle de
la garniture de frein frottant sur le rotor (Technologie du freinage.
Organes de friction : garnitures et contre-matériaux [B 5 571]).
Les propriétés d’un frein sont caractérisées par les grandeurs
suivantes.
— L’effort de commande est la force maximale constante exercée par l’opérateur sur l’organe de commande du frein au cours du
freinage.
— La course de commande est le déplacement de l’organe de
commande du frein, de la position de repos à la position de freinage.
— L’indice de commande d’une installation de freinage est le produit de l’effort par la course de commande. Cet indice, homogène
à une énergie, caractérise la valeur de l’installation de freinage
comprenant le frein proprement dit et la transmission (§ 3).
— L’efficacité d’un frein (souvent appelée puissance d’un frein)
est le rapport du couple de freinage à l’indice de commande.
Nota : dans le cas du freinage en translation de certaines installations à commande
hydraulique, le couple de freinage est souvent comparé à la pression de commande pour
caractériser l’efficacité, sans prendre en compte la notion de déplacement.
— La régularité d’un frein est caractérisée par son indice de
régularité, rapport de la variation relative du couple de freinage à
la variation relative du coefficient de frottement. Par définition,
l’indice de régularité de deux surfaces planes est égal à l’unité. La
régularité du couple ou de l’effort de freinage dû au frottement est
d’autant plus grande que l’indice de régularité est plus petit.
1.2 Classification des freins
Les freins peuvent être classés suivant deux paramètres :
— d’après la forme de l’organe de friction utilisé :
• freins à sabots (rotor cylindrique ou rotor à gorge),
• freins coniques (rotor conique ou rotor à gorge),
• freins à enroulement (ou à bandes) (rotor cylindrique),
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• freins à mâchoires (rotor-tambour cylindrique),
• freins à disques (cas particulier des freins coniques d’angle au
sommet égal à 180o).
Cette classification correspond au plan adopté dans cet ensemble
consacré au freinage pour la description des divers types de freins
(articles spécialisés [B 5 571] [B 5 574] [B 5 580] [B 5 598] dans cette
rubrique) ;
— d’après le mode de fonctionnement :
• freins à commande réversible sans blocage (fonctionnant à la
main, au pied, etc.),
• freins à encliquetages non automatiques (fonctionnant à la
main, au pied, électromagnétiques, etc.),
• freins à encliquetages automatiques (freins actionnés par la
charge et utilisant la poussée axiale d’une vis) ; ces freins peuvent
être coniques ou à lames,
• freins à sabots ou à bandes actionnés par la force centrifuge.
1.3 Conditions à respecter pour les freins
1.3.1 Conditions d’établissement
Les premiers freins étaient rudimentaires : ils agissaient soit sur
les jantes des rotors, soit sur les moyeux. Leurs dimensions étaient
très réduites, d’où une usure très rapide des surfaces frottantes.
L’énergie à absorber, étant proportionnelle à la masse en mouvement
et au carré de la vitesse, croît très vite avec cette dernière. C’est pourquoi les freins réalisés aujourd’hui ne conservent des premiers appareils rudimentaires que le principe. En tout cas, l’inertie de la charge
à freiner est un ennemi qu’il faut réduire le plus possible.
Un frein ne doit pas demander de trop gros efforts de
commande ; on doit pouvoir le commander avec la progressivité
et l’instantanéité que demandent les circonstances. Ainsi, dans les
freins commandés par un organe auxiliaire (un contrepoids, par
exemple), on installe des amortisseurs à air qui évitent la chute
brusque du contrepoids et, par suite, le serrage brutal du frein. La
tenue de l’appareil ne doit pas être influencée par le freinage, ce
qui pose des problèmes particuliers lors de l’étude des
commandes.
En raison du travail considérable fourni par les appareils, on doit
s’assurer que l’échauffement des parties frottantes n’est pas trop
grand (§ 3).
Selon que les freins servent à immobiliser dans l’espace une
charge soumise à l’action de la pesanteur (ou à régulariser sa
vitesse), ou bien à arrêter le mouvement horizontal de masses se
déplaçant sous l’influence de forces extérieures ou de leur propre
inertie, on les classe généralement en freins de charge et freins de
translation (ou d’orientation).
(0)
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THÉORIE DU FREINAGE
Tableau 1 – Systèmes de freinage courants pour une transformation d’énergie mécanique
Mode de transformation
Énergie transformée
Applications
Frottement solide
Énergie calorifique
Freins de ralentissement et d’arrêt
Frottement liquide
Énergie calorifique
Freins de ralentissement et d’arrêt
si l’étanchéité est suffisante
Création de courants de Foucault
Énergie électrique elle-même transformée
sur place en énergie calorifique
Freins de ralentissement
Création d’énergie électrique par dynamos
ou moteurs réversibles
Énergie calorifique par résistances électriques
Transformation thermodynamique
par compression d’air
Énergie calorifique et énergie interne de l’air
comprimé
Freins de ralentissement
Transformation par création de fluide
sous pression (pompe)
Énergie calorifique et énergie potentielle
(accumulateurs)
Freins de ralentissement
Énergie électrique récupérée
■ Cas des freins de charge (mouvement vertical) : si le frein ne sert
qu’à tenir la charge dans l’espace, il faut avoir un autre moyen de
faire descendre la charge à la vitesse voulue ; on peut employer, par
exemple, le freinage électrique ou un frein de descente à encliquetage.
Le premier frein n’est alors qu’un frein d’arrêt ; il est installé sur
l’arbre moteur ou sur le premier arbre intermédiaire. Le type le
plus usité est le frein à bandes serré par un contrepoids qui se
trouve dégagé par le soulèvement d’un éléctro-aimant ou d’un
levier de frein à main. Lorsqu’on emploie un électro-aimant, le
frein se serre aussitôt que le courant du moteur est coupé. Dans
certains cas, ce frein d’arrêt peut être dégagé, en outre, par la traction d’un câble commandé par une pédale.
Pour éviter que la charge ne prenne une vitesse exagérée à la descente (par exemple, en cas de fausse manœuvre), on installe, en plus
du frein d’arrêt, un frein régulateur de descente, souvent constitué
d’un frein avec un encliquetage pour immobiliser la fonction de
réglage de l’opérateur.
Dans le cas où la manœuvre est réalisée à l’aide de moteurs
électriques, l’énergie mécanique peut être absorbée et, par suite, la
vitesse de la charge amortie, à la montée ou à la descente, par la
mise en court-circuit du moteur de levage. Mais il faut remarquer
que l’effet de freinage n’a lieu que pendant le mouvement (il est
donc nécessaire de prévoir le frein d’arrêt de la charge suspendue
à l’état de repos).
Le réglage de la vitesse de descente du fardeau peut se faire
aussi par l’opérateur. Dans ce cas, également, il faut encore prévoir
un frein d’arrêt avec électro-aimant pour le cas d’interruption du
courant du moteur.
L’emploi de freins ordinaires et de freins à cliquets manœuvrés
à la main exige une grande attention de la part de celui qui les
commande. Les freins différentiels, établis en vue de la descente
d’une charge, ne sont généralement pas suffisants pour le freinage
à la montée.
■ Cas des freins de translation ou d’orientation (mouvement
horizontal) : ce type d’utilisation doit permettre le ralentissement du
mouvement avec précision dans la commande, ainsi que l’arrêt ; de
plus, il doit maintenir la charge à l’arrêt et ceci avec beaucoup de
sécurité (cas d’un véhicule immobilisé dans une pente).
Généralement, il est composé d’un frein à commande au pied pour
le contrôle du freinage jusqu’à l’arrêt, doublé d’un frein à encliquetages pour l’immobilisation.
L’aspect progressivité du freinage demande l’utilisation de systèmes de commande directe ou assistée ayant le moins d’hystérésis
possible.
Le frein à encliquetages, pour des questions de sécurité, sera à
prévoir à commande mécanique ou pneumatique (véhicules poids
Freins de ralentissement
lourds) ; dans ce dernier cas, le relâchement de la pression libère
un effort emmagasiné dans un ressort qui, par un transformateur
de mouvement (levier, coin, etc.), assure la commande du frein.
1.3.2 Conditions d’installation
Les rotors de freins doivent être installés, autant que possible,
sur l’arbre de commande (arbre tournant à grande vitesse) ou, si
cet arbre est susceptible de se déplacer, sur l’arbre intermédiaire le
plus voisin, afin de diminuer l’effort tangentiel, c’est-à-dire travailler
avec un couple minimal. Les freins doivent être disposés aussi près
que possible de l’endroit où se produit l’effort qu’ils combattent, en
évitant que la résistance du frein ne soit transmise par un arbre (ce
qui le fatigue beaucoup), ou par des engrenages (ce qui risque de
les détériorer). C’est pourquoi pour des véhicules routiers, par
exemple, le meilleur emplacement se trouve au niveau de la roue.
Les freins doivent être accessibles pour faciliter leur entretien.
Dans le cas des freins à bandes par exemple, les bandes souffrent
beaucoup d’être souvent ouvertes lors du montage et du démontage ; il y a donc avantage à monter, si possible, le frein en porte
à faux sur son arbre. Dans l’encombrement disponible, il faut toujours prévoir le dégagement latéral de la bande.
Enfin, la disposition du frein doit être telle que les calories dégagées lors de son fonctionnement soient facilement évacuées.
1.4 Qualités demandées à un frein
On demande à un frein :
— l’efficacité ;
— la régularité du couple de freinage ;
— le silence lors du fonctionnement ;
— un faible indice de commande ;
— des réglages aussi espacés que possible ou bien pas de
réglage grâce à un dispositif automatique ;
— une construction facile ;
— un entretien facile ;
— un bas prix de revient correspondant au genre de construction de la machine.
Ces qualités s’opposent l’une à l’autre et il faut établir, entre elles,
un compromis en fonction du but à atteindre. Un frein, s’il doit être
efficace, ne doit pas l’être trop sous peine de désordres graves, tels
qu’une fatigue exagérée des mécanismes et des supports par suite
de l’action brusque et presque instantanée du freinage, des oscillations, des enrayages des galets de roulement, etc. Un frein efficace
est un frein qui fournit un couple de freinage donné pour un faible
indice de commande (§ 1.1).
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THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
La régularité du couple (ou de l’effort) de freinage peut être due,
soit à la faible variation du couple de freinage lorsque le coefficient
de frottement de la garniture vient à varier, soit à une réponse du
frein par un couple de freinage aussi proche que possible de la
proportionnalité à l’effort de commande exercé.
Nous verrons que efficacité et régularité sont antagonistes. Le principe du frein est un élément déterminant de la corrélation efficacitérégularité. Les dispositions particulières de la timonerie et l’indice
de commande peuvent influer défavorablement sur la régularité.
La facilité de construction et son prix dépendent essentiellement
des modalités d’emploi du frein. L’efficacité du frein intervient favorablement dans son prix de revient.
La facilité d’entretien d’un frein dépend de son accessibilité
(§ 1.3.2).
L’indice de commande est fonction du jeu fonctionnel, de la rigidité
de la commande, de la compressibilité de la garniture de friction,
de la déformation du rotor, de la dilatation du rotor (dans les freins
à tambour) sous l’influence de la chaleur développée par le frottement et, pour certains types de freins, de l’usure normale de la
garniture pendant une période donnée (donc de la fréquence des
réglages de rattrapage d’usure). Mais cet indice de commande est
surtout lié au type de frein et à la valeur du coefficient de frottement.
La dilatation du rotor dépend de son diamètre. Aussi, pour comparer entre eux les divers types de freins, il est nécessaire de les rapporter à un rotor type (par exemple, 500 mm de diamètre effectif)
et à un effort de freinage tangentiel type de 1 000 N (ce qui délivrera
un couple de 250 N · m). Il est bien entendu que la comparaison de
deux freins ne peut se faire qu’en mettant à part le dispositif de
commande (les flexions des timoneries peuvent allonger les courses
à chaque relais ou les différents organes d’un circuit hydraulique
de commande peuvent avoir des dilatations variables sous pression
ce qui est ressenti dans la course de commande).
1.5 Influence du rendement
des transmissions mécaniques
de la machine
Dans ce paragraphe, on étudiera l’influence du rendement des
transmissions mécaniques de la machine sur le choix du couple de
freinage et de l’inertie du rotor de frein.
Il ne faut pas oublier que tous les organes de transmission constituent eux-mêmes un frein qui absorbe une certaine énergie, soit
lorsque le moteur entraîne la machine, soit lorsqu’il est entraîné par
elle au moment du freinage. Le frein moteur agit alors comme
servocommande du frein intérieur que constitue la mécanique
elle-même.
Avec une transmission par engrenages cylindriques ou coniques,
le rendement dépasse rarement 0,85 dans le sens moteur et 0,81
dans le sens récepteur. L’action de ce frein intérieur n’est donc pas
prépondérante (véhicule routier, par exemple).
Il n’en est pas de même lorsque la réduction est à vis sans fin
de rapport élevé : celle-ci absorbe alors la majeure partie du travail
de freinage et le frein moteur ne fournit plus qu’un appoint régulateur
conditionnant la durée de l’opération. Si le réducteur est irréversible,
l’inertie de l’arbre moteur doit lui fournir l’appoint de couple nécessaire pour que le freinage ne soit pas instantané. De plus, le rendement d’une transmission à vis n’est pas constant : il s’améliore
avec le rôdage et diminue ensuite avec l’augmentation de l’usure ;
il est sensible à la qualité du lubrifiant et à la température de
fonctionnement.
Dans ce cas, le couple exercé par le frein sera donc plus faible
que dans le cas d’une transmission par engrenages et, pour diminuer l’effet des variations de rendement de la transmission à vis, il
faudra augmenter l’inertie de l’arbre moteur (souvent dans de fortes proportions) en utilisant un rotor de frein plus lourd.
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De plus, comme il est nécessaire d’assurer un couple de freinage
variable au gré du conducteur, il est indispensable de prévoir une
commande proportionnelle de type électro-aimant à intensité
variable ou commande mécanique directe.
2. Problème du freinage
2.1 Définition du problème
Pour ramener au repos un corps en mouvement, on doit absorber l’énergie mécanique qu’il a emmagasinée et la transformer en
chaleur par frottement dans le frein.
Le travail de frottement est dû :
— à l’action de la pesanteur sur la masse manœuvrée, qui provoque un couple, appelé couple de gravité ; ce couple agit positivement à la descente et négativement à la montée. Le rendement
de la transmission diminue l’effet du couple de gravité à la descente et l’augmente à la montée ;
— à l’action des résistances passives, provenant des frottements
en divers points, qui donnent un couple de résistances passives ;
ce couple vient toujours en aide au couple de freinage (pour les
véhicules routiers, il est introduit par la résistance au roulement, la
résistance aérodynamique et par le frein moteur).
La somme algébrique du couple de gravité et du couple de
résistances passives forme ce que nous appellerons le couple statique.
— à l’énergie cinétique comprenant la force vive de la charge
animée d’une vitesse v, soit mv 2 / 2, et celle de l’ensemble des
masses tournantes m, d’inertie I = mD 2 / 4 et de vitesse angulaire ω,
soit Σ Iω 2 / 2.
Le couple cinétique correspond à l’ensemble de ces énergies
cinétiques ; il agit toujours positivement.
■ Toutes les énergies cinétiques partielles doivent être ramenées à
l’arbre du frein. On sait que, si une pièce d’inertie In tourne autour
d’un arbre avec une vitesse angulaire ωn tandis que le rotor de frein
tourne avec la vitesse angulaire ω, la pièce équivalente sur l’arbre du
rotor aura un moment d’inertie I n′ tel que :
2
2
I n′ ω 2 = I n ω n
d′où
ωn
2
- = In ρn
In′ = I n --------ω2
(1)
en désignant par ρn le rapport de démultiplication entre la pièce
considérée et le rotor de frein.
Dans le cas où il y aurait multiplication, de rapport ρn′ , on devrait
écrire :
I′n = I n 1/ ρn′ 2
(2)
■ L’inertie de la charge peut également être rapportée à la vitesse
angulaire du rotor de frein, en tenant compte, s’il y a lieu, de la
démultiplication du mouflage :
2
I′ = m ρ 1 r 2
(3)
avec ρ 1 produit du rapport de démultiplication du rotor de frein
par le rapport de mouflage (1 pour action directe, n pour
mouflage de n brins).
2.1.1 Cas des appareils de levage
2.1.1.1 Pour la montée
L’énergie cinétique Ec avant freinage de la charge de masse m
est : Ec = mv 2 / 2. Si le moteur s’arrêtait brusquement, la charge m
monterait encore d’une course s min sous l’influence de Ec. L’effort
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correspondant à cette montée serait mv 2 / 2s min . Comme il y a équilibre entre la charge et cet effort, on a :
mv 2
mg = ----------------2s min
soit
v2
s min = --------2g
(4)
s min étant la course minimale de freinage et g l’accélération de la
pesanteur.
Le câble soutenant la charge doit toujours rester tendu, sous
peine d’abandonner la charge ; le frein doit donc agir progressivement pour permettre au treuil de tourner encore jusqu’à l’arrêt de
la charge.
La force de freinage se calcule comme suit. Soit une course de
freinage imposée s f (supérieure à s min ). Si l’on diminue de F f (force
de freinage) la tension mg du câble qui devient mg – F f , les forces
mv 2
appliquées (mg – F f), -------------- et mg sont en équilibre, d’où :
2s f
soit
mv 2
mg = ( mg – F f ) + -------------2s f
mv 2
F f = -------------2s f
(5)
2.2 Grandeurs caractéristiques
du freinage
2.2.1 Distance, durée et accélération de freinage
2.2.1.1 Mouvement de translation
■ 1er cas simple où seule l’énergie cinétique intervient. En admettant que l’accélération négative (décélération) γ produite par le
freinage soit constante au cours du coup de frein, la distance de freinage s f est donnée par :
1
1
2
s f = ----- v t f = ----- γ t f
2
2
et la durée de freinage :
2.1.1.2 Pour la descente
Le frein n’est pas entièrement dégagé, mais il exerce un effort de
freinage F d . La résultante mg – F d agit donc de haut en bas, et le
travail développé est :
d’où
1
( mg – F d ) s d = ----- mv 2
2
1
2
s d = ----- mv / ( mg – F d )
2
mv 2
F f tot = F d + F f = mg + -------------2s f
(7)
2.1.2 Cas des freins de direction,
translation et orientation
Dans le cas des freins d’orientation de grue, les forces d’accélération produisent des torsions et des flexions dans la charpente
métallique de la grue. L’accélération angulaire admissible limitera
donc la valeur du couple de freinage.
Dans le cas des véhicules roulants, ce sont des considérations de
distances d’arrêt et la valeur de l’accélération négative (décélération) qui entrent en ligne de compte pour déterminer le couple de
freinage, en même temps que les conditions de transmission et
d’évacuation de la chaleur produite par le frottement.
Dans le cas des ponts roulants, les forces d’accélération produisent
des flexions latérales dans les poutres du pont au début de la translation, ainsi qu’une augmentation de la tension des câbles et des
chaînes, lorsque la charge commence à monter.
2s
---------fγ
(10)
■ 2e cas plus complexe d’un véhicule roulant pour une distance
d’arrêt s f . Il est nécessaire de prendre en compte d’autres éléments
que l’énergie cinétique pure. On doit considérer l’inertie des pièces
tournantes, la possibilité de pente, la résistance au roulement, la
pénétration dans l’air :
Σ E ( énergie )
s f = ---------------------------------------------Σ R ( résistance )
E cinétique + E giration
s f = ------------------------------------------------------------------------------------------R moy.f + R moy.p + R moy.r + R moy.a
(6)
La charge continue à descendre avec la vitesse v : nous sommes
alors au stade de la marche normale. Comme la vitesse de descente
de la charge ne doit pas varier, il faut provoquer une résistance de
freinage telle que sa valeur R, y compri les frottements des mécanismes, soit égale et opposée à mg de façon à neutraliser cette
dernière.
Pendant le freinage, la charge, descendant avec une vitesse v, doit
être ramenée au repos sur le parcours s f . On doit exercer un effort
supplémentaire de freinage F f , donné par la formule (5), et l’effort
de freinage total est :
(8)
Pour une estimation rapide de cette distance, l’abaque de la
figure 1 a été établi, permettant une lecture directe.
La décélération est égale à :
2s f
γ = --------(9)
2
tf
2s
t f = ---------f- =
v
Au démarrage, la masse m passe, pendant le parcours du chemin s d , de la vitesse nulle à la vitesse v.
THÉORIE DU FREINAGE
(frottement) ( ± pente)
●
(roulement)
( ± aérodynamique)
Énergie cinétique :
1
Ec = ----- mv 2
2
avec m masse du véhicule.
● Énergie de giration : dans le cas d’un véhicule routier et pour un
pneumatique monté sur une jante, on pourra faire une approximation sur le rayon, en prenant le rayon moyen r moy égal à 0,7 fois le
rayon sous charge r c .
2
v
Avec I = m r moy et ω = ------ , on obtient l’énergie de giration Eg :
rc
1
1
2
Eg = ----- I ω 2 = ----- m r moy ω 2
2
2
1 2
2
qui donne, sachant que r moy ≈ ----- r c :
2
1
Eg = ----- mv 2 par roue
4
soit
Eg = mv 2 pour les 4 roues du véhicule
L’énergie de giration qui est généralement prise en compte n’incorpore que les roues et on néglige celle correspondant au volant
moteur, aux pignons de boîte, aux arbres, au différentiel.
● Résistances :
ΣR moy = R moy.f + R moy.p + R moy.r + R moy.a
Pente : avec α angle de pente et f moy coefficient fonction de tous
les paramètres (frottement, roulement, aérodynamique), on a :
R moy.p = mg cos α f moy
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THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
Figure 1 – Abaque de calcul de la distance de freinage en fonction de la vitesse et de la décélération
Roulement : pour un véhicule routier, la résistance au roulement
est due au plat formé par un pneumatique sur la route :
(0)
R moy.r = mg cos α f r
avec f r coefficient de résistance au roulement.
Une formule approchée donne les valeurs suivantes :
— pneu basse pression ..................................................
— pneu haute pression ..................................................
— lors du démarrage pour pneu haute pression .......
— en tout terrain.............................................................
B 5 570 − 6
Si nous prenons, à titre d’exemple, f r = 0,018 avec un véhicule de
1 000 kg sur sol plat (cos α = 1), on a alors : R moy.r ≈ 177 N.
Il est important de préciser que, pour des questions de stabilité
en roulement, on essaie toujours d’avoir une portance négative
(action aérodynamique confirmant l’appui du véhicule au sol),
donc le poids qui intervient dans la formule de résistance au roulement est variable avec la vitesse.
Pour un calcul plus précis de la résistance au roulement, on peut
appliquer la formule générale d’Andreau :
f r = 0,03
f r = 0,015
f r = 0,02
f r = 0,15
V 3,7
– 10
R moy.r = 0,001 m cos α ⋅ 2g ------------- – ---------------------------------------------------p 0,64 7 375,8 × 10 3 p 2,08
avec V vitesse du véhicule (en km/h) et p pression du pneu (en bar).
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Pour des vitesses entre 20 et 150 km/h et des pressions entre 0,9
et 10 bar, cette formule est bien adaptée.
En dehors de ces limites, la formule DIN (Deutsches Institut für
Normung) peut être utilisée :
0,010 545
0,475 ⋅ 10 –6 V 2
R moy.r = mg cos α 0,005 + ----------------------------- + -----------------------------------------p
p
avec V en km/h et p en bars.
Aérodynamique : la résistance aérodynamique est donnée par :
(m2) surface frontale ; en première approche, pour un
véhicule routier de tourisme, on peut prendre :
S = 0,8 × hauteur × largeur
v f (m/s) vitesse du véhicule,
v v (m/s) vitesse frontale du vent (positive ou négative),
ρ masse volumique de l’air (ρ = 1,202 kg/m3 à une altitude
de 200 m).
Nota : pour des vitesses données en km/h, la résistance est :
Wf = Cf α
(15)
(16)
La puissance moyenne de freinage pendant le coup de frein uniforme est égale à la moitié de la puissance maximale de freinage :
1
P moy = ----- P max
2
(17)
La puissance moyenne générale de freinage, pendant un cycle
de durée t 0 (s) au cours duquel il se produit un certain nombre de
coups de frein d’une durée totale de η secondes, est égale au produit de la puissance moyenne par le rapport de la durée totale des
coups de frein à la durée du cycle :
η
P ( t 0 ) = P moy -----t0
ρ
R moy.a = 0,038 6 ----- C x S ( v f ± v v ) 2
2
Très souvent, on emploie la notion de SC x qui associe les paramètres de forme du véhicule.
2.2.1.2 Mouvement de rotation autour d’un axe
(18)
Pour les pièces tournantes, la puissance maximale de freinage
s’exprime en fonction du moment d’inertie I des masses tournantes
et de la durée de freinage t f par :
2
Dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe, l’accélération angulaire de freinage sera le rapport du couple de freinage
au moment d’inertie des pièces tournantes et de la charge :
(11)
avec I
moment d’inertie de l’ensemble par rapport à l’axe de rotation (produit de la masse m par la distance de son centre
de gravité à l’axe de rotation, élevée au carré),
C f couple de freinage.
Nota : dans le cas d’une grue , la volée peut être considérée comme un plan et la charge
comme un point matériel ; les contreventements sont négligeables pour le calcul des
inerties.
La durée de freinage t f est le rapport de la vitesse angulaire ω à
l’accélération (ou décélération) angulaire γ a :
(12)
Le parcours angulaire de freinage α f est le demi-produit de la
durée de freinage par la vitesse angulaire :
1
α f = ----- ω t f
2
formule dans laquelle R est la résistance due aux frottements.
Dans un mouvement de rotation, le travail de freinage pendant
un cycle d’opérations est donné par :
P max = C f ω max
0,3 à 0,4 sur voiture
0,5 à 0,6 sur camionnette
tf = ω /γ a
1
Ec = ----- mv 2 = ( R + F f ) s f
2
■ La puissance de freinage pendant le coup de frein est maximale
pour la vitesse angulaire maximale :
avec C x coefficient de forme, égal à :
C
dω
γ a = ---------- = ------fdt
I
L’énergie cinétique absorbée pendant le coup de frein comprend
le travail dû aux frottements :
avec α (rad) parcours angulaire total.
ρ
R moy.a = ----- C x S ( v f ± v v ) 2
2
S
THÉORIE DU FREINAGE
(13)
I ω max
P max = -----------------2 tf
(19)
2.2.3 Rôle de l’inertie des corps en mouvement
Le début de ce paragraphe 2 a montré que l’inertie, caractérisée
par la masse m pour les corps en mouvement de translation, ou par
le moment d’inertie I pour les corps en mouvement de rotation, est
proportionnelle à l’énergie mécanique qu’il faut absorber pour ramener le corps au repos. L’inertie est donc toujours nuisible, sauf dans
le cas où elle régularise la vitesse et la course de freinage : ce sera,
par exemple, le cas pour les monte-charges ou les ascenseurs.
Pour les appareils de levage, les pièces tournantes et la charge
ne représentent qu’un très faible pourcentage de l’inertie de l’arbre
moteur et des pièces que ce dernier porte directement. Mais, dans
les mécanismes d’orientation et de translation, c’est au contraire
l’inertie des pièces en mouvement qui a la prépondérance.
La prise en considération des effets d’inertie est d’autant plus indiquée que, pour les grandes vitesses, la force centrifuge intervient
encore pour ajouter au freinage des tensions supplémentaires à
celles, déjà considérables parfois, supportées par le métal
constituant les organes sollicités.
2.2.2 Travail et puissance de freinage
■ Dans un mouvement de translation, le travail de freinage W f est
le produit de la distance de freinage s f par l’effort de freinage F f :
Wf = Ff sf
(14)
2.2.4 Efforts, couples, puissances et travaux
au cours du cycle opératoire
2.2.4.1 Principe du calcul
En général, on se donne un couple de freinage supérieur au couple
nominal du moteur pour les mouvements de déplacement (direction, translation, orientation d’un appareil de levage). Dans le cas
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B 5 570 − 7
THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
du levage, il est nécessaire de majorer le couple de freinage d’autant
plus fortement que le moteur est plus puissant et que la vitesse de
levage est plus élevée.
sions suivant l’énergie qu’ils doivent absorber, puis à vérifier la pression qu’ils supportent ainsi que la fixation des garnitures sur leur
support.
Pour les véhicules roulants, on se donne plutôt la longueur d’arrêt
et l’accélération négative de freinage. Le calcul est effectué avec des
valeurs de décélération de 9,81 m/s2 pour les véhicules routiers.
L’étude des formes des organes de friction doit assurer la meilleure
évacuation de la chaleur.
En utilisant les relations (4) à (13), on peut calculer les accélérations, efforts, temps et parcours de freinage.
On calcule les inerties des diverses pièces de la machine, et on
examine les différentes phases du cycle d’opérations pour déterminer le travail total de freinage (somme des divers travaux de frottement durant le cycle d’opérations) et la puissance moyenne de
freinage.
Remarque pratique : comme on l’a vu au paragraphe 2.2.3,
l’inertie de pièces tournantes pour les appareils de levage est
faible par rapport à celle de l’arbre moteur. Il en est de même de
la charge : on peut donc, pour un projet, s’épargner le calcul long
et fastidieux des inerties autres que celle de l’arbre moteur,
moyennant une majoration forfaitaire limite de 5 %.
Au contraire, pour les mécanismes de déplacement, on calcule
l’inertie de la masse entraînée, qui est généralement plus grande
que celle de l’arbre moteur, en majorant cette inertie de 3 % (pour
un avant-projet) que l’on ajoute à l’inertie de la masse déplacée.
2.2.4.2 Cas des appareils de levage
Le cas où le moteur freine est le plus fréquent et correspond aux
treuils de vitesse inférieure à 30 m/min.
Pour arrêter la charge à la descente, la puissance maximale de
freinage est développée au commencement du coup de frein qui est
appliqué brusquement, le moteur cessant de freiner la descente au
même moment. Une fois le frein réglé, cette puissance maximale
est indépendante des conditions de marche de la machine, lesquelles
n’agissent plus que sur la puissance moyenne absorbée. De plus,
cette puissance maximale de freinage déterminée par le frein est
égale, aux rendements de transmission près, à la somme de la puissance due à la pesanteur (potentielle) et de celle due à l’inertie, la
seconde se réglant sur la première pour former avec elle la puissance
maximale de freinage. Enfin, comme les rendements de transmission absorbent de l’énergie, les efforts transmis au frein doivent être
réduits dans le rapport des rendements de transmission pour ramener tous les efforts à l’arbre de frein.
2.2.4.3 Cas des freins de translation
Pour le cas des véhicules routiers, l’objectif est d’atteindre une
décélération et d’assurer le freinage dans une distance minimale.
Généralement, le calcul sera effectué en dissipant la totalité de l’énergie par frottement, les résistances passives intervenant dans le sens
de « l’allégement » de l’énergie dissipée par frottement.
3. Base de calcul
du dimensionnement
3.1 Garnitures de freins
3.1.1 Généralités sur les organes de friction
Comme nous l’avons vu au paragraphe 1.1, un organe de friction
est un transformateur d’énergie mécanique en chaleur. Le calcul des
organes de friction consiste, d’abord, à proportionner leurs dimen-
B 5 570 − 8
Les garnitures supportent leur travail de friction, ou travail de
freinage, avec une usure minime tant qu’une température critique
n’est pas dépassée : au-delà de cette température, le frottement
devient irrégulier et l’usure s’accroît très rapidement. Chaque type
de garniture a une température critique, température maximale d’utilisation au-delà de laquelle les caractéristiques d’usure et de coefficient de friction divergent. Le choix des garnitures se fera donc
surtout d’après la température limite présumée des surfaces
frottantes ; les valeurs maximales admissibles sont données dans
l’article [B 5 771].
En général, un organe de friction travaille de façon intermittente,
par périodes très courtes de travail violent suivies de longs arrêts.
Pendant ces périodes très courtes, il y a accumulation d’une certaine
quantité de chaleur dans un volume réduit ; cette chaleur se propage
ensuite dans la masse pour s’évacuer lentement vers l’extérieur.
Si les coups de frein se succèdent régulièrement, chaque nouveau coup de frein apporte une nouvelle quantité de chaleur, alors
que la précédente n’est pas complètement évacuée. Ce nouvel
apport de calories augmente donc la température, d’autant plus
que la température due aux coups de frein précédents est plus
élevée. Il s’établit un certain équilibre entre les apports intermittents de calories et leur évacuation à peu près régulière, équilibre
à considérer dans le calcul de la garniture.
Les apports d’énergie absorbés par la friction (évalués en joules)
sont faciles à déterminer exactement. Quant à l’évacuation des calories, elle est plus ardue à évaluer en raison de nos connaissances
peu précises des sections de passage de la chaleur, des interfaces
entre pièces, de l’état des surfaces radiantes (mat ou poli, clair ou
sombre, sec ou gras), du débit d’air réel qui passe au contact du
métal, des surfaces ventilées, etc.
Le calcul suivant donne donc des températures approchées, mais
assez peu éloignées de la réalité.
3.1.2 Base de calcul des garnitures de freins :
la puissance spécifique
Nous désignerons sous le nom de puissance spécifique le rapport
de la puissance de freinage (§ 2.2.2) à l’aire totale de la surface métallique frottante du rotor de frein (surface utile du rotor) ; elle sera
exprimée en watts par mètre carré de surface métallique frottante.
Cette grandeur nous servira de base de calcul.
Nous prendrons pour hypothèse que la garniture est relativement
isolante et que la presque totalité de la chaleur dégagée par le frottement passe dans le rotor de frein à travers la surface métallique
frottante qui défile devant la garniture. Les nouvelles générations
de garnitures, dites semi-métalliques et frittées, par exemple, présentent une plus grande conductivité thermique mais elles sont souvent associées à un écran thermique.
La puissance spécifique maximale, rapport de la puissance maximale à la surface métallique frottante, correspond à l’opération de
frottement du coup de frein, qui détermine la pointe de température
au-dessus de la température résiduelle de la surface métallique frottante, au moment où le coup de frein commence. La température
maximale à considérer sera la température stabilisée correspondant
à des applications répétées dans les conditions maximales.
La puissance spécifique moyenne, puissance absorbée par mètre
carré de surface métallique frottante pendant un cycle t 0 , permet
le calcul de la température résiduelle.
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3.1.2.1 Freins d’arrêt
■ Cas d’un échauffement peu important : à la suite d’études approfondies fondées sur les lois de Stephan et de Fourier, la relation suivante peut être utilisée pour obtenir une bonne approche de la
température de fonctionnement (relation vérifiée par l’expérience) ;
elle exprime que la température T de la garniture à la fin d’un coup
de frein doit demeurer inférieure ou égale à la température maximale
admissible T max de la garniture (ou parfois appelée température de
sécurité de la garniture) :
T = ∆T m + T r + T o T max
où

∆T m =




3 300
 T r = ----------------v
+ 10

max 1
P
------------- ----73,6 S
2
P
------------- ----73,6 S
La surface de l’élément de friction étant un disque de diamètre extérieur de 240 mm et de diamètre intérieur de piste de 113 mm, soit
S = 0,07 m2, on a donc :
3,75
( P/S ) moy = ------------- = 53,5 kW/m 2
0,07
ce qui permet de déterminer le coefficient d’échange.
Pour ce cas précis d’essai au banc, le coefficient d’échange est
égal à :
T max – T o
400 × 4
- = --------------------A = --------------------------------------------53,5
( P/S ) moy ⋅ 1/ v
(20)
tf
e
10 ----- + -------e
15
moy 1
P
+ ------------- ----73,6 S
moy
(21)
(22)
avec e (mm) épaisseur du limbe du rotor de frein,
durée de freinage,
t f (s)
v (m/s) vitesse périphérique moyenne du rotor de frein.
La température T o est la température de l’atmosphère entourant
les surfaces frottantes (pour les freins montés dans un carter, c’est
la température interne du carter).
■ Cas d’un échauffement présumé important : on obtient une
valeur de l’élévation de température ∆T m plus proche de la valeur
mesurée, au cours d’un cycle de freinage avec la relation suivante :
1
∆T m = T max – T o = A ( P/S ) moy ---------v
(23)
avec A
coefficient d’échange,
(P / S )moy (kW/m2) puissance spécifique moyenne,
T max (oC)
température maximale atteinte (valeurs
données en [B 5 571]),
T o (oC)
température ambiante,
v (m/s)
vitesse périphérique moyenne du rotor de
frein.
Prenons l’exemple d’un essai au banc comportant n cycles de freinage pour déterminer la valeur du coefficient d’échange A.
Chaque cycle d’une durée t 0 de 40 s comprend :
— une montée en vitesse à 120 km/h (ω = 100 rad/s) ;
— un freinage à décélération constante = 0,4 g jusqu’à l’arrêt ;
— une distance en roue libre ;
— une remontée en vitesse, etc.
L’inertie correspondant à la masse à freiner est de 30 kg · m2.
La vitesse moyenne est : v ≈ 16 m/s.
La température maximale mesurée a été de T max = 420 oC.
Avec une température ambiante de 20 oC, on a :
∆T m = T max – T o = 400 oC
valeur qui permettra la sélection de la garniture [B 5 571].
L’énergie de freinage pour n cycles est donnée par :
1
E f = ----- I ω 2 n
2
ce qui permet d’en déduire la puissance moyenne (exprimée en kW) :
Iω 2 n
30 × 10 4
P ( t 0 ) = ----------------- ⋅ 10 –3 = ------------------------ ⋅ 10 –3 = 3,75 kW
2 t0 n
2 × 40
THÉORIE DU FREINAGE
≈ 30
Les équations précédentes permettent d’avoir une bonne estimation de la température à la fin d’une application de freinage.
Pour des applications répétées, il faut faire appel au calcul de la
température maximale T max , température d’équilibre pour le cycle
considéré, qui sera à prendre en compte pour le choix des
garnitures ; elle se calcule comme pour un embrayage (articles
Embrayages [B 5 850] [B 5 598] dans ce traité).
3.1.2.2 Freins de ralentissement ou d’absorption
Comme nous l’avons vu au paragraphe 1.1, les freins ralentisseurs sont destinés à modérer un mouvement continu à vitesse
sensiblement constante ou lentement variée.
Il s’agit toujours de déterminer la température maximale atteinte
par suite de la chaleur accumulée dans la pièce métallique frottante,
différence entre la chaleur développée par le frottement et la chaleur
évacuée. Cette évacuation se produit à débit croissant lorsque la température augmente. À chaque équilibre correspond une température
maximale.
Pour les freins ralentisseurs qui travaillent à un rythme régulier,
comme dans les appareils de levage pour lesquels les périodes de
descente durent rarement plus d’une demi-minute, on utilisera la
formule suivante :
T e = 2 ∆T m + T r + T o
avec T e
(24)
température d’équilibre assimilable à une température
maximale,
∆T m élévation de température moyenne de la surface métallique frottante au cours d’un coup de frein isolé,
Tr
température résiduelle de la surface métallique frottante au début d’un nouveau coup de frein.
Ici, la vitesse pendant le coup de frein, ou vitesse de freinage, est
considérée comme constante, alors qu’elle décroît linéairement pour
le frein d’arrêt. Cette formule conduira à de fortes épaisseurs de
parois (afin d’emmagasiner la chaleur) alors que cette épaisseur
entre à peine en ligne de compte dans les freins d’arrêt.
Il y a lieu d’attacher une grande importance à la ventilation des
surfaces frottantes.
3.1.2.3 Limite de la puissance spécifique moyenne
En complément de la limite due à la température, une autre
limite de la puissance spécifique moyenne est celle imposée par la
vitesse d’usure de la garniture.
En moyenne, 1 mm d’usure de garniture par dm2 résulte d’une
puissance à l’état sec de l’ordre de 40 à 100 kW (soit un travail pendant 1 h de 144 à 360 MJ), suivant la qualité de garniture utilisée.
Nota : en usage industriel, pour une garniture à l’état gras entretenu, l’usure est 5 à 8
fois moindre.
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B 5 570 − 9
THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
L’usure croît très vite quand la température maximale de la garniture est dépassée.
Les valeurs de (P / S )moy usuelles pour différentes garnitures sont
de 5 à 9 kW/m2 (voir l’article [B 5 571]).
3.1.2.4 Abaque de calcul
de la puissance spécifique moyenne
La figure 2 donne l’abaque permettant de déterminer la puissance
spécifique moyenne, rapportée à la surface métallique frottante
totale de jante, en fonction de la vitesse périphérique moyenne du
rotor de frein et de l’élévation de température au-dessus de
l’ambiante des surfaces métalliques frottantes.
3.2 Rotor de frein
3.2.1 Détermination du diamètre du rotor de frein
Quand l’inertie du moteur est beaucoup plus importante que celle
des pièces entraînées, la vitesse périphérique du rotor de frein est
généralement comprise entre 15 et 22 m / s (cas de treuils, par
exemple),
Quand l’inertie des pièces entraînées est très supérieure à celle
du moteur, cette vitesse peut aller jusqu’à 30 m/s (cas des véhicules
routiers).
Dans les cas usuels, sous réserve de vérification des inerties, le
diamètre des rotors de frein est donné par le tableau 2 (la largeur
du limbe du rotor étant calculée par ailleurs, pour obtenir la surface
métallique frottante qui convient pour la puissance et l’utilisation du
moteur souhaitées).
(0)
Tableau 2 – Usage industriel : diamètres des rotors
de freins
Vitesse
de rotation
(tr/min)
1 500
1 000
750
Figure 2 – Abaque de calcul de la puissance spécifique moyenne
en fonction de la vitesse périphérique moyenne et de l’élévation
de température des surfaces métalliques frottantes
Diamètre du rotor de frein
(m)
Puissance
du moteur
Frein
Frein
Frein
Frein
Frein
Frein
de déplade déplade déplade treuil
de treuil
de treuil
cement
cement
cement
(kW)
5,8 à 14,7
14,7 à 29,4
29,4 à 44,1
44,1 et plus
0,200
0,250
0,300
0,300
0,350
0,400
rare
0,300
0,350
0,400
0,450
0,350
0,400
0,450
0,500
0,350
0,400
0,500
0,550
0,400
0,450
0,550
0,600
Pour les moteurs très puissants (au-dessus de 45 kW), on pourra
être conduit à monter un frein sur chaque bout d’arbre.
3.2.2 Détermination de l’épaisseur du limbe
du rotor de frein
Une fois le diamètre du rotor choisi, on se donne la température
ambiante probable T o .
Le choix du type de la garniture a été fixé en fonction de la température maximale d’utilisation T max .
B 5 570 − 10
On dispose donc de ( T max – T o ) correspondant à la somme
(∆T m + T r) d’après la relation (20), avec ∆T m dépendant de la puissance spécifique maximale et T r dépendant de la puissance spécifique moyenne.
Dans le cas où le freinage dépasse une durée de 5 s, le
terme ∆T m peut être prédominant, mais ce cas est assez rare.
La plupart des applications de freinage ne dépassent pas 3 s et
les coups de frein se succèdent à raison de 3 ou 4 par minute ; le
terme T r est alors le plus important.
Comme il faut réduire au minimum l’inertie du rotor de frein,
l’épaisseur e du limbe sera le minimum compatible avec sa résistance mécanique. On prendra généralement les valeurs données
dans le tableau 3 en fonction du diamètre du rotor de frein.
(0)
Pour un usage automobile, le diamètre extérieur du rotor étant
limité par l’encombrement de la jante, il est plus facile de parler de
volume utile du rotor dans sa zone de friction (tenant compte de
l’épaisseur e du limbe) et de surface des garnitures (tableau 4).
(0)
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3.2.4 Conditions à réaliser dans l’établissement
des rotors de frein
Tableau 3 – Usage industriel :
épaisseur du limbe des rotors de freins
Diamètre du rotor
Épaisseur du limbe du rotor (1)
(mm)
jusqu’à 0,300 m
de 0,300 à 0,600 m
au-dessus de 0,600 m
6
8
10
(1) Ces valeurs constituent un minimum. Il sera nécessaire de prévoir le
remplacement du disque après 1 mm d’usure.
Tableau 4 – Usage automobile : volume utile du rotor
et surface des garnitures
Poids
des véhicules
(daN)
Vitesse
(km/h)
Volume utile
du rotor
(cm3)
Surface
des garnitures
(cm2)
Rotor plein (1)
1 100 à 1 200
1 200 à 1 300
1 300 à 1 400
1 400 à 1 500
1 500 à 1 600
1 600 à 1 700
1 700 à 1 800
140
145
160
170
175
190
200
250
280
320
370
400
470
520
30
32
35
35
38
40
50
550
620
680
760
35
40
45
50
Rotor ventilé
1 500 à 1 600
1 600 à 1 700
1 700 à 1 800
1 800 à 1 900
165
175
185
190
THÉORIE DU FREINAGE
(1) Dans le but d’unifier (réduction du nombre de pièces en fabrication),
les valeurs soulignées sont choisies en priorité.
L’expérience a montré que le seul métal convenant réellement à
la friction et qui reste d’un prix abordable est la fonte perlitique
type F.
Il est nécessaire d’utiliser un métal résistant à la fissuration sous
contrainte thermique. Le risque de fissuration vient de la différence
de température entre le limbe et le voile du rotor sous l’action du
frottement.
C’est pourquoi, du fait des grands diamètres appliqués aux véhicules industriels, les fabricants ont étudié un rotor à limbe rapporté
fixé sur le voile par un dispositif permettant la libre dilatation concentrique du limbe ; ainsi, les contraintes liées à la dilatation sont minimisées ce qui réduit les déformations en surface donc nuisibles au
bon portage de la garniture sur toute la longueur article [B 5 571].
On évite ainsi les échauffements exagérés des zones les plus fortement chargées, causes d’usure rapide des garnitures et des rotors.
Pour les freins d’affalage qui reçoivent tout le travail de descente
et pour les freins à action prolongée, l’épaisseur des limbes et des
surfaces de freinage doit être majorée par rapport aux dimensions
que l’on utiliserait pour des freins d’arrêt ordinaires, en s’efforçant
toutefois de ne pas trop augmenter l’inertie. Dans ce cas encore, le
frein sur le moteur n’est valable que pour de faibles puissances,
car son diamètre est limité, et la largeur de la jante ne peut pas être
très grande. Il faudra donc placer un frein auxiliaire soit sur le tambour des câbles (mais il y a un danger de refroidissement trop lent
par suite de la faible vitesse de rotation), soit, ce qui est préférable,
sur l’un des arbres de renvoi du mouvement ; généralement, leur
vitesse périphérique est de 5 à 6 m/s. Le frein sur le moteur ne sera
qu’un frein de sécurité, actionné seulement au moment de l’arrêt
pour éviter la fatigue de la transmission.
Moyennant ces précautions, la contrainte thermique dans les
rotors de frein est faible ; aux vitesses habituelles, cette contrainte
n’atteint qu’exceptionnellement 20 N/mm2.
3.3 Exemples numériques
3.3.1 Treuil à crochet à moteur à courant continu
à excitation en série
3.2.3 Conduite de calcul du dimensionnement
La conduite de calcul sera la suivante.
— Pour une première approximation, choisir une puissance spécifique moyenne (P /S)moy usuelle, à partir de laquelle on déduit la
valeur de la largeur du rotor, puisque le diamètre est connu, imposé
par les conditions d’installation.
— En déduire la puissance spécifique maximale (P /S)max , la
puissance maximale étant connue.
— Choisir la valeur de l’épaisseur e du limbe (tableau 3).
— Déterminer la température ambiante probable T o .
— Déterminer la vitesse périphérique moyenne v de la jante du
rotor, connaissant la vitesse de rotation du rotor et la proportion
des temps de marche et d’arrêt au cours d’un cycle d’opérations.
— Calculer les températures ∆T m et T r à partir des relations (21)
et (22).
— Calculer ensuite la température T de la garniture, somme de T o ,
∆T m et T r [relation (20)], et en déduire, dans le tableau des températures maximales d’utilisation T max des garnitures article [B 5 571],
la garniture à choisir. Si T > T max , corriger la valeur de la surface
S en fonction de (T – T max ) et recommencer le calcul. Il est rare que
ce second calcul ne conduise pas à un résultat très voisin du résultat
cherché.
■ Données
Treuil : 10 t.
Vitesse : 0,2 m/s.
Mouflage simple.
Tambour de diamètre de 0,5 m et d’inertie de 9,2 kg · m2.
Moteur à courant continu de 26,8 kW à 630 tr/min en charge et
1 200 tr/min à vide, d’inertie de 2,1 kg · m2.
Réduction obtenue par deux trains d’engrenages droits, en
acier :
— le premier 100/14 dents (module 7) :
I roue = 3,5 kg · m2,
I pignon pris en compte avec l’inertie du moteur ;
— le second 83/14 dents (module 12) :
I couronne = 25 kg · m2,
I pignon = 0,075 kg · m2.
La couronne de 83 dents est solidaire du tambour.
Les réductions sont de 5,9 entre le tambour et l’arbre intermédiaire, et de 7,1 entre l’arbre intermédiaire et le moteur, soit au
total 7,1 × 5,9 = 42 et, en tenant compte du mouflage, la réduction
totale est de 84.
Masse totale (y compris crochet et mouflage) : 10 300 kg.
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B 5 570 − 11
THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
Rendement de la transmission : 0,85.
Choix du rotor de frein :
— diamètre 500 mm ;
— largeur de jante 95 mm ;
— épaisseur de jante 8 mm ;
— inertie 1,1 kg · m2.
■ Calcul du couple statique
Le couple statique, c’est-à-dire transmis au moteur, est :
1
103 000 × 0,250 × -------- × 0,85 = 260 N ⋅ m
84
(en considérant l’accélération de la pesanteur égale à 10 m/s2).
■ Calcul des moments d’inertie (ramenés à l’arbre moteur)
Durée de freinage [relation (12)] :
ω
66
t f = ------- = ------------- = 1,22 s
γa
53,8
Course de la charge pendant le freinage, jusqu’à l’arrêt
[relation (8)] :
0,20
s f = ------------- × 1,22 = 0,122 m
2
■ Freinage à vide à la descente
Les moteurs série (continus ou monophasés à collecteur) ont
tendance à l’emballement dans la marche à vide, en raison de la
diminution du flux d’induction.
À vide, la vitesse angulaire du moteur est :
Inertie correspondant à la charge :
1
I 1 = 10 300 × -------84
2
× 0,250 2 = 0,091 kg ⋅ m 2
Inertie du tambour et de la couronne :
2π
ω = --------- × 1 200 = 126 rad/s
60
Le couple de freinage ne s’oppose plus qu’au couple d’inertie.
Accélération négative angulaire [relation (11)] :
I (tambour) + I (couronne) = 34,2 kg · m2
1
I 2 = 34,2 × -------42
2
= 0,02 kg ⋅ m 2
C
442
γ a = -------f- = ------------- = 130,7 rad/s 2
I
3,38
Durée de freinage [relation (12)] :
Inertie de la roue de 100 dents (module 7) et du pignon de 14 dents
(module 12) : I = 3,5 kg · m2, l’inertie du pignon étant négligeable
devant celle de la roue :
1
I 3 = 3,5 × ---------7,1
2
= 0,07 kg ⋅ m 2
126
t f = ---------------- = 0,96 s
130,7
Avec une vitesse du crochet de grue de (0,20 × 126)/66 = 0,382 m/s
la distance d’arrêt du crochet [relation (8)] est :
0,382
s f = ---------------- × 0,96 = 0,183 m
2
Inertie du moteur :
I 4 = 2,1 kg ·
m2
Inertie du rotor de frein :
I 5 = 1,1 kg · m2
grandeur supérieure à la distance d’arrêt en charge.
I tot = 3,38 kg · m2
■ Freinage à la montée
● 1er cas : si le frein est symétrique (par exemple, frein à
mâchoires), le couple de freinage C f aura la même valeur à la montée
et à la descente.
On voit que le moment d’inertie de la charge I 1 est équivalent à
celui des pièces tournantes (I 2 + I 3) et représente environ 1/35 de
celui de l’ensemble moteur-rotor de frein.
Pour le freinage en charge, le couple de freinage et le couple statique s’ajoutent : 260 + 442 = 702 N · m pour produire l’accélération
négative (décélération) γ a :
Le rotor intervient pour 1/3 dans l’inertie totale, d’où la nécessité
de faire un rotor aussi léger que possible et de faible inertie.
702
γ a = ------------- = 207,7 rad/s 2
3,38
soit le moment d’inertie total :
■ Freinage en charge à la descente
À pleine charge, la vitesse angulaire du moteur est :
2π
ω = --------- × 630 = 66 rad/s
60
À la descente en pleine charge, le moteur fonctionne en génératrice en débitant sur des résistances, établies pour que la vitesse de
descente à pleine charge soit égale à la vitesse en montée.
Le frein est réglé de manière à obtenir un couple de freinage C f
égal à 1,7 fois le couple statique nécessaire pour retenir la charge
maximale :
C f = 1,7 × 260 = 442 N · m
À la descente en pleine charge, le couple demeurant disponible
pour s’opposer au couple d’inertie est égal à :
C d = 442 – 260 = 182 N · m
Accélération négative angulaire [relation (11)] :
γa
Cd
182
dω
= ---------- = -------= ------------- = 53,8 rad/s 2
dt
I
3,38
De même :
66
t f = ---------------- = 0,317 s
207,7
0,20
s f = ------------- × 0,317 = 0,031 7 m
2
Le freinage à vide en montée aura les mêmes caractéristiques
que le freinage à vide en descente.
● 2 e cas : si le frein est dissymétrique (par exemple, frein à enroulement irréversible), le frein sera 4 à 6 fois moins efficace à la
montée qu’à la descente.
Si le couple de freinage à la montée est de 442/4 = 110,5 N · m,
le couple total arrêtant l’appareil en charge à la montée sera :
442 + 110,5 = 552,5 N · m
Dans ces conditions :
552,5
γ a = ---------------- = 163,4 rad/s 2
3,38
66
t f = ---------------- = 0,40 s
163,4
0,20
s f = ------------- × 0,40 = 0,04 m
2
B 5 570 − 12
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À vide, le couple de freinage sera seulement de 110,5 N · m.
Aussi :
110,5
γ a = ---------------- = 32,7 rad/s 2
3,38
126
t f = ------------- = 3,85 s
32,7
THÉORIE DU FREINAGE
75 882
d’où une puissance de freinage de --------------------- = 421,5 W .
180
Tous ces résultats sont résumés dans le tableau 5 ; ils seront
comparés aux caractéristiques des matériaux de friction et des freins
afin de faire un choix de matériau et de technologie.
■ Calcul des puissances spécifiques
La surface frottante du rotor étant de π × 0,5 × 0,095 = 0,15 m2,
on a :
— puissance spécifique maximale :
0,382
s f = ---------------- × 3,85 = 0,73 m
2
Cette course de freinage à vide à la montée est incompatible avec
une utilisation précise de l’organe de levage ; en conséquence, les
freins à enroulement à effet dissymétrique doivent être proscrits
pour les treuils à moteur à courant continu ou moteur monophasé
à collecteur, avec excitation en série.
-----SP 55 692
= --------------------- = 371,28 kW/m 2
0,15
— puissance spécifique moyenne :
-----SP ■ Calcul de la puissance de freinage
La puissance maximale de freinage ne dépend que du couple de
freinage et de la vitesse initiale du rotor au début du coup de frein :
P max = ω C f
max
moy
421,5
= ---------------- = 2,81 kW/m 2
0,15
3.3.2 Monte-charges et ascenseurs
à vide
P max = 442 × 126 = 55 692 W
en charge
P max = 442 ×
66 = 29 172 W
Supposons que le cycle de fonctionnement de l’appareil soit de
180 s et qu’il comporte une montée et une descente à pleine charge,
et une montée et une descente à vide.
Durée totale des coups de frein en charge :
1,22 + 0,317 = 1,537 s
Énergie absorbée par le frein :
29 172
--------------------- × 1,537 = 22 418 J
2
Avec ce type d’appareils, il faut éviter les trop grands écarts d’arrêt
par rapport aux paliers et les arrêts doivent être « doux ». Si l’effort
de freinage est rigoureusement constant, les écarts d’arrêt proviennent des variations de charge de la cabine. Un contrepoids équilibre la cabine et la demi-charge maximale ; l’appareil est donc,
suivant les cas, moteur ou récepteur et l’action de la gravité tend
donc tantôt à s’ajouter à l’effort du frein, tantôt à s’en retrancher,
aussi bien à la montée qu’à la descente. Il en résulte une accélération
négative variable de l’appareil. De plus, le moteur tourne plus vite
en récepteur qu’en moteur, d’où une augmentation d’énergie cinétique qui accompagne l’effet de gravité.
Dans ces conditions, pour éviter une augmentation des écarts
d’arrêt, il faut réduire la course d’arrêt, dans la mesure où une accélération négative plus grande ne nuit pas au confort, et augmenter
l’inertie des pièces en mouvement pour minimiser les variations
d’énergie de freinage résultant des variations de charge par rapport
à l’énergie totale de freinage. On réduira les variations de vitesse
du moteur, suivant qu’il est moteur ou récepteur, en prenant un
moteur relativement puissant, notamment pour les appareils à très
forte utilisation.
(0)
Durée totale des coups de frein à vide :
2 × 0,96 = 1,92 s
Énergie absorbée par le frein :
55 692
--------------------- × 1,92 = 53 464 J
2
Pour la durée totale du cycle, l’énergie absorbée est :
22 418 + 53 464 = 75 882 J
Tableau 5 – Caractéristiques de freinage d’un treuil à crochet à moteur à courant continu à excitation en série
C
(N · m)
Accélération
négative
angulaire
a
(rad/s2)
Montée en pleine charge
702
207,7
66
0,317
29,17
4 623
Descente en pleine charge
182
53,8
66
1,22
29,17
17 795
Couple
de ralentissement
Opérations
du cycle
Vitesse
angulaire
Durée
de freinage
Puissance
maximale
Énergie
de freinage
(rad/s)
tf
(s)
P max
(kW)
E
(J)
Montée à vide
442
130,7
126
0,96
55,69
26 732
Descente à vide
442
130,7
126
0,96
55,69
26 732
Énergie totale de freinage au cours du cycle (180 s)..........................................................................................................................
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B 5 570 − 13
THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
■ Détermination du rotor de frein
Le moment d’inertie calculé I est le moment d’inertie total,
comprenant celui de la cabine, de sa charge, du contrepoids, du
tambour, du moteur et du rotor ; les quatre premiers correspondent à un poids de 37 000 N.
Le tambour ayant un diamètre de 0,5 m et la réduction étant de
26,2, le moment d’inertie rapporté à l’axe du tambour est :
Exemple d’un ascenseur
■ Données
Poids de la cabine : 10 000 N.
Charge maximale : 10 000 N.
Contrepoids : 15 000 N.
Vitesse : 1 m/s.
Accélération négative : 1 m/s2.
3 700 × (0,25)2 = 231,25 kg · m2
Variation de la course d’arrêt admise : ± 0,03 m, soit des courses
limites de freinage de 0,47 et 0,53 m. L’arrêt le plus court se fera à
la montée, cabine pleine.
Compte tenu du rendement (η = 0,7), on a :
— le travail, à la montée, de la charge de la cabine :
1
( 15 000 – 10 000 ) × 0,47 × ---------- = 3 357 J
0,7
— le travail, à la descente, de la charge de la cabine :
(15 000 – 10 000) × 0,53 × 0,7 = 1 855 J
Moteur de 25,7 kW à 1 000 tr / min, avec une inertie de
1,625 kg · m2, utilisé au tiers de sa charge pour les mouvements à
vitesse constante.
Vitesse angulaire en charge :
— à la montée : 1 = 103 ( rad/s ) ;
— à la descente : 2 = 106 ( rad/s ) .
Les énergies freinées sont proportionnelles aux courses d’arrêt,
soit :
1
2
----- I ω 1 – 3 357
2
0,47
----------------------------------------- = ------------1
0,53
2
----- I ω 2 + 1 855
2
d’où
I ≈ 15,5 kg ·
m2
■ Calcul des travaux et puissances
Énergie cinétique :
— pour la course de 0,47 m :
15,5 × ( 103 ) 2
------------------------------------- = 82 220 J
2
— pour la course de 0,53 m :
15,5 × ( 106 ) 2
------------------------------------- = 87 080 J
2
Énergies totales correspondantes :
— pour la course de 0,47 m :
82 220 – 3 357 = 78 863 J
— pour la course de 0,53 m :
87 080 + 1 855 = 88 935 J
Énergie moyenne correspondant à l’arrêt en une seconde :
1
----- (78 863 + 88 935) = 83 900 J
2
soit une puissance de freinage moyenne de 83,9 kW.
Pour un service intense, soit un cycle moyen de 10 s, la puissance de freinage moyenne sera de :
d’où l’on déduit l’inertie transmise au moteur par la roue et la vis :
1
231,25 × 0,70 × ------------26,2
2
= 0,24 kg ⋅ m 2
On connaît, en outre, l’inertie du moteur, égale à 1,625 kg · m2.
L’inertie totale étant de 15,5 kg · m2, l’inertie du rotor est alors
égale à :
15,5 – 0,24 – 1,625 = 13,64 kg · m2
On choisit un rotor de 0,6 m de diamètre, de 0,25 m de largeur
avec garniture de 0,24 m, donc une surface de 0,45 m2. Sa vitesse
périphérique ne doit pas dépasser 32 m/s, elle aura cependant un
bon refroidissement.
■ Détermination des puissances spécifiques
Puissance spécifique maximale :
-----SP max
167,8
= ---------------- = 372,8 kW/m 2
0,45
Puissance spécifique moyenne :
-----SP moy
8,39
= ------------- = 18,6 kW/m 2
0,45
La largeur du rotor (0,25 m) peut sembler élevée, mais il ne faut
pas atteindre les températures où le coefficient de frottement de la
garniture est moins stable. On obtient ainsi un couple de friction
régulier et stable. En effet, la course d’arrêt est inversement proportionnelle au coefficient de frottement de la garniture et le couple de freinage est proportionnel à ce coefficient, ce qui conduit à
une variation maximale admissible de ce coefficient de ± 4 %, qui
ne peut s’obtenir que si la température reste au-dessus de 110 oC.
3.3.3 Pont roulant
Dans les freins de direction, de translation et d’orientation, la gravité n’intervient plus et l’inertie reste seule en jeu.
En général, on donne à l’accélération négative par le frein une
valeur comparable à l’accélération par le moteur. Cette valeur est
relativement faible, surtout si l’appareil est de grandes dimensions,
une accélération trop forte faisant balancer la charge.
Dans les appareils spéciaux de métallurgie (ponts chargeurs), le
chariot porte une infrastructure très lourde et très haute, et une
trop forte accélération, positive ou négative, créerait des torsions
exagérées dans la charpente même du pont (allant jusqu’à doubler
la contrainte de la poutre principale), tout en développant des
contraintes transversales. Le frein doit donc être étudié et réglé
avec soin.
Les accélérations positives et négatives ayant mêmes valeurs, le
couple maximal du frein est lié au couple maximal du moteur ; il
lui est inférieur, car les résistances de transmission et de roulement, qui s’opposent au couple moteur, viennent au contraire en
aide au couple de freinage.
83,9/10 = 8,39 kW
B 5 570 − 14
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_________________________________________________________________________________________________________________
■ Données
Pont roulant sur lequel vient le chariot de l’exemple du paragraphe 3.3.1.
Poids total en charge : 2 × 10 5 N.
Vitesse : 1 m/s.
Roulement sur galets de 0,500 m, donc tournant à 38,2 tr/min.
Moteur de 15 kW à courant continu : 640 tr/min (ou 67 rad/s) et
I 2 = 2,1 kg · m2.
Réduction par engrenage : 640/38,2 = 16,7.
Rendement de la transmission : 0,85.
Rotor de frein :
• diamètre : 0,5 m ;
• largeur : 0,04 m ;
• surface : 0,06 m2 ;
• I 3 = 0,7 kg · m2.
Durée de freinage : 2 s.
Cycle : 180 s, comprenant 2 coups de frein de 2 s.
■ Calcul du moment d’inertie total
Inertie de la charge rapportée au moteur, sachant que l’inertie
équivalente rapportée à la jante des galets est de 1 250 kg · m2 :
1
I 1 = 1 250 × ------------16,7
2
= 4,5 kg ⋅ m 2
Dans le coup de frein, cette inertie est grevée du rendement des
engrenages et ramenée à :
I 1 = 4,5 × 0,85 = 3,8 kg · m2
d’où le moment d’inertie total :
I tot = I 1 + I 2 + I 3 = 6,6 kg · m2
■ Calcul des caractéristiques de freinage
La résistance au roulement vient en aide au freinage, soit :
0,015 × 200 000 = 3 000 N
Couple transmis au moteur :
3 000 × 0,25 × 0,85 × (1/16,7) = 38,2 N · m
Couple d’accélération négative :
I · γ a = 6,6 × 33,5 = 221 N · m
sachant que l’accélération angulaire est de :
γ a = dω /dt = 67/2 = 33,5 rad/s2
Couple de freinage :
C f = 221 – 38,2 = 182,8 N · m
■ Calcul de la puissance de freinage
Puissance de freinage maximale :
Pour un moteur triphasé, les résultats seront du même ordre, car
c’est l’inertie de la masse entraînée qui est prépondérante dans le
calcul.
Pour les freins d’orientation des grues commandées au pied, il
faut être très prudent car les accélérations négatives peuvent être
beaucoup plus grandes suivant la façon dont le grutier les
commande. Par exemple, avec dω /dt = 2 rad/s2, on aurait sensiblement la même puissance spécifique moyenne, alors que la puissance
spécifique maximale serait bien plus forte (environ 800 kW/m2).
3.3.4 Treuil à benne preneuse automatique
(calcul complet)
■ Données
Poids de la benne : à vide : 3 t et en pleine charge : 8 t.
Vitesse de levage : 1 m/s.
Moteur triphasé : 101 kW à 750 tr/min, I = 15,25 kg · m2 :
— vitesse en charge : 730 tr/min ;
• vitesse à vide : 750 tr/min ;
• vitesse en descente : 770 tr/min ;
— couple nominal : 1 340 N · m.
Tambour :
— diamètre : 0,6 m ;
— longueur d’enroulement : 0,45 m.
Réduction de rapport : 6,1 × 3,77 = 23.
Couple de freinage : 2 700 N · m.
Durée du cycle : 70 s.
■ Calcul des moments d’inertie (rapportés à l’arbre moteur)
Inertie de la charge : on suppose qu’elle se trouve à la périphérie
du tambour.
À vide :
max
12,25
= ---------------0,06
moy
0,136
= ---------------0,06
2
= 0,51 kg ⋅ m 2
= 1,36 kg ⋅ m 2
Inertie du tambour.
— Couronne :
diamètre : 0,6/0,54 m
longueur : 0,45 m
poids : 1 900 N
— Voile :
diamètre : 0,7 m
épaisseur moyenne : 0,02 m
poids : 600 N
≈ 204
( 0,35 ) 2
I v = 60 × --------------------- = 3,675 kg ⋅ m 2
2
et de même pour la roue du tambour :
— Couronne :
kW/m 2
Puissance spécifique moyenne :
-----SP 1
I 2 = 8 000 × ( 0,3 ) 2 × -------23
= 0,136 kW
■ Calcul des puissances spécifiques
Puissance spécifique maximale :
P
----S
2
En charge :
Puissance de freinage moyenne :
1
I 1 = 3 000 × ( 0,3 ) 2 × -------23
I c = 190 × (0,285)2 = 15,4 kg · m2
P max = 182,8 × 67 = 12,25 kW
1 2×2
P moy = ----- -------------- × 12,25
2
180
THÉORIE DU FREINAGE
≈ 2,3 kW/m 2
diamètre : 1,13/1,03 m
longueur : 0,15 m
poids : 2 000 N
I c = 200 × (0,54)2 = 58,32 kg · m2
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
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THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
— Voile :
diamètre : 1,03 m
épaisseur moyenne : 0,02 m
poids : 1 300 N
( 0,515 ) 2
I v = 130 × ------------------------ = 17,24 kg ⋅ m 2
2
d’où le moment d’inertie du tambour et de ses accessoires, rapporté à l’arbre du moteur :
I3 =
1
------23 2
× ( 94,635 ) = 0,179 kg ⋅ m 2
Inertie de l’arbre intermédiaire.
— Pignon intermédiaire :
diamètre : 0,3 m
largeur : 0,15 m
poids : 830 N
( 0,15 ) 2
I p = 83 × --------------------- = 0,934 kg ⋅ m 2
2
— Roue intermédiaire :
• Couronne :
diamètre : 0,92/0,86 m
largeur : 0,1 m
poids : 660 N
Inertie du manchon semi-élastique (manchon à 12 broches) :
chaque demi-manchon est constitué par un voile en acier de 8 mm
d’épaisseur, soudé sur un moyeu de diamètre de 120 mm :
— l’un portant des broches de 30 mm de diamètre, à collerette
de diamètre 50 mm et à queue filetée de diamètre 20 mm ;
— l’autre portant des bagues en tube d’acier de 60/70, soudées
à leur tiers milieu.
Dans les bagues d’acier, s’emmanchent des bagues en caoutchouc
de diamètre extérieur de 60 mm et de longueur de 60 mm. Des nervures raidissent les voiles et assurent la ventilation du limbe du manchon. Ce limbe en fonte perlitique est fixé sur le socle du demimanchon moteur par un dispositif à libre dilatation radiale.
• 12 broches sur un diamètre de 0,350 m et de masse unitaire(0)
:
broche
bague de caoutchouc
tube d’acier
1,4 kg
I broches = 12 × 1,4 × (0,175)2 = 0,51 kg · m2
• Voile du 1er demi-manchon :
diamètre : 0,45 m
épaisseur : 0,008 m
poids : 100 N
( 0,225 ) 2
I v = 10 × ------------------------ = 0,25 kg ⋅ m 2
2
I c = 66 × (0,445)2 = 13,07 kg · m2
• Voile :
diamètre : 0,86 m
épaisseur moyenne : 0,015 m
poids : 685 N
• Voile du 2e demi-manchon :
diamètre : 0,58 m
épaisseur : 0,008 m
poids : 170 N
( 0,43 ) 2
I v = 68,5 × --------------------- = 6,332 kg ⋅ m 2
2
• Moyeu :
diamètre : 0,200 m
longueur : 0,120 m
poids : 295 N
( 0,1 ) 2
I m = 29,5 × ----------------- = 0,147 kg ⋅ m 2
2
• Arbre :
diamètre : 0,11 m
longueur libre : 0,83 m
poids : 620 N
( 0,055 ) 2
I a = 62 × ------------------------ = 0,093 kg ⋅ m 2
2
d’où le moment d’inertie total de l’arbre intermédiaire rapporté à
l’arbre moteur :
I4 =
1
---------6,1
2
( 0,075 ) 2
I 5 = 13,7 × ------------------------ = 0,038 5 kg ⋅ m 2
2
B 5 570 − 16
( 0,29 ) 2
I v = 17 × --------------------- = 0,715 kg ⋅ m 2
2
• Supplément pour ailettes : 0,25 kg · m2, d’où le moment
d’inertie total du manchon semi-élastique :
I 6 = 1,725 kg · m2
Inertie du limbe du rotor de frein : adoptons un diamètre de
0,60 m qui convient pour la vitesse et la puissance, et une épaisseur moyenne de 0,01 m, la bride de fixation s’ajoutant au limbe
d’épaisseur 0,008 m du manchon. Prenons la largeur de 0,03 m, ce
qui donne une masse de 45 kg :
I 7 = 45 × (0,295)2 = 3,9 kg · m2
Inertie de l’arbre proprement dit :
diamètre : 0,07 m
longueur libre : 0,9 m
poids : 270 N
( 0,035 ) 2
I 8 = 27 × ------------------------ = 0,016 5 kg ⋅ m 2
2
× ( 20,576 ) = 0,55 kg ⋅ m 2
Inertie du pignon :
diamètre : 0,15 m
longueur : 0,1 m
poids : 137 N
0,7 kg
0,2 kg
0,5 kg
Inertie totale :
Inertie totale du moteur et de l’arbre du moteur :
I t = I moteur + I 5 + I 6 + I 7 + I 8 = 20,93 kg · m2
Inertie totale des pièces tournantes (tambour, arbre intermédiaire,
moteur et accessoires) :
I 3 + I 4 + I t = 21,66 kg · m2
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d’où l’inertie totale :
— avec benne posée : 21,66 kg · m2
— avec benne vide : 22,17 kg · m2
— avec benne pleine : 23,02 kg · m2
La partie la plus importante de l’inertie provient des pièces tournantes, la benne vide représentant 2,5 % et la benne pleine 6 %
environ de l’inertie totale. On peut donc ne calculer que les inerties
de l’arbre moteur et majorer le chiffre trouvé de 5 %.
■ Arrêt en descente à vide
La benne ouverte est affalée sur le tas ; il n’y a pas lieu de compter
de couple statique. Le couple de ralentissement est alors égal au
couple de freinage C f = 2 700 N · m.
Inertie :
I = 21,66 kg · m2
Vitesse angulaire :
2π
ω = --------- × 770 = 80,6 rad/s
60
Accélération angulaire :
2 700
γ a = ----------------- = 124,6 rad/s 2
21,66
THÉORIE DU FREINAGE
Parcours angulaire de freinage :
1
α f = ----- ( 76,4 × 0,448 ) = 17,1 rad
2
Travail de freinage :
W f = 2 700 × 17,1 = 46 170 J
■ Arrêt en descente en charge
La condition la plus défavorable est l’arrêt avant l’ouverture de
la benne. C’est la charge qui entraîne le moteur, le rendement diminue donc le couple transmis. Le couple statique transmis s’oppose
au ralentissement.
Le couple de ralentissement est la différence entre le couple de
freinage et le couple statique transmis.
Couple statique transmis au moteur :
1
C s = 80 000 × 0,3 × 0,85 × -------- = 887 N ⋅ m
23
d’où le couple de ralentissement :
C f – C s = 2 700 – 887 = 1 813 N · m
Inertie totale (avec benne pleine) :
I = 23,02 kg · m2
Durée de freinage :
80,6
t f = ---------------- = 0,64 s
124,6
Parcours angulaire de freinage [relation (13)] :
1
α f = ----- ( 80,6 × 0,64 ) = 25,8 rad
2
Travail de freinage [relation (15)] :
W f = 2 700 × 25,8 = 69 660 J
■ Arrêt en montée en charge
Le couple statique au tambour est transmis au moteur par la
transmission de rapport 23 et de rendement 0,85. C’est le moteur
qui entraîne la charge jusqu’à l’arrêt. Le rendement augmente donc
l’effort que doit fournir le moteur.
Le couple de ralentissement est la somme du couple de freinage
et du couple statique.
Couple statique transmis au moteur :
1
1
C s = 80 000 × 0,3 × -------- × ------------- = 1 227,6 N ⋅ m
23 0,85
d’où le couple de ralentissement :
C s + C f = 1 227,6 + 2 700 = 3 927,6 N · m
Inertie (avec benne pleine) :
I = 23,02 kg · m2
Vitesse angulaire :
2π
ω = --------- × 730 = 76,4 rad/s
60
Accélération angulaire :
3 927,6
γ a = ---------------------- = 170,6 rad/s 2
23,02
Durée de freinage :
Vitesse angulaire :
2π
ω = --------- × 770 = 80,6 rad/s
60
Accélération angulaire :
1 813
γ a = ----------------- = 78,75 rad/s 2
23,02
Durée de freinage :
80,6
t f = ---------------- = 1,023 s
78,75
Parcours angulaire de freinage :
1
α f = ----- ( 80,6 × 1,023 ) = 41,23 rad
2
Travail de freinage :
W f = 2 700 × 41,25 = 111 321 J
■ Arrêt en montée à vide
C’est le moteur qui entraîne la charge ; le rendement augmente
le couple transmis à l’arbre moteur. Le couple statique transmis aide
au ralentissement.
Le couple de ralentissement est la somme du couple de freinage
et du couple statique transmis.
Couple statique transmis au moteur :
1
1
C s = 30 000 × 0,3 × -------- × ------------- = 460 N ⋅ m
23 0,85
d’où le couple de ralentissement :
C f + C s = 2 700 + 460 = 3 160 N · m
Inertie totale (avec benne vide) :
I = 22,17 kg · m2
Vitesse angulaire :
76,4
t f = ---------------- = 0,448 s
170,6
2π
ω = --------- × 750 = 78,5 rad/s
60
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B 5 570 − 17
THÉORIE DU FREINAGE __________________________________________________________________________________________________________________
Accélération angulaire :
γa
La durée de freinage maximale étant t f = 1,023 s, on a :
3 160
= ----------------- = 142,5 rad/s 2
22,17
8
463
1,023
∆T m = ------------- 10 × ---------------- + -------15
73,6
8
Durée de freinage :
d’où
Parcours angulaire de freinage :
1
α f = ----- ( 78,5 × 0,55 ) = 21,59 rad
2
Travail de freinage :
W f = 2 700 × 21,59 = 58 293 J
■ Détermination du rotor de frein et des garnitures
La conduite de calcul du dimensionnement est donnée au paragraphe 3.2.3.
— Le travail de freinage global pour les quatre opérations précédentes du cycle est de 285 444 J, d’où, pour un cycle de 70 s, une
puissance de 4,08 kW.
Prenons une puissance spécifique moyenne de 9 kW/m2. La surface métallique frottante nécessaire est donc : 4,08/9 = 0,45 m2.
Pour le diamètre choisi de 0,60 m, la largeur de frottement doit
être égale à 0,238 m, soit 0,25 m, d’où S = 0,47 m2 et la largeur totale
du rotor sera de 0,28 m.
La puissance spécifique moyenne corrigée devient :
(P /S )moy = 4,08/0,47 = 8,68 kW/m2
La puissance maximale de freinage à la vitesse angulaire
maximale est : 2 700 × 80,6 = 217,6 kW d’où la puissance spécifique
maximale :
217,6
( P/S ) max = ---------------- = 463 kW/m 2
0,47
— D’après le tableau 3 (page 11), l’épaisseur moyenne utile de la
paroi e est de 8 mm pour un diamètre de rotor de frein de 0,6 m.
— On suppose, de plus, une température ambiante T o de 30 oC.
— Pour déterminer la vitesse périphérique moyenne v, nous
admettrons que le temps de marche du moteur est de 60 % du cycle.
La vitesse périphérique moyenne de la poulie étant :
3.3.5 Véhicules roulants
Ce sont des considérations de distances d’arrêt et la valeur de
l’accélération négative (décélération) qui entrent en ligne de compte
pour déterminer le couple de freinage, en même temps que les conditions de transmission et d’évacuation de la chaleur produite par le
frottement.
■ Données du véhicule
Masse : m = 1 500 kg.
Vitesse : V = 130 km/h.
Décélération : a = 6 m/s 2 .
■ Puissance moyenne de freinage
La puissance moyenne nécessaire pour absorber l’énergie cinétique est :
mV γ a
mv 2
P = -------------- = ------------------2t
2 × 3,6
avec
d’où
on obtient la vitesse moyenne générale :
— Dans le cas d’un échauffement peu important, la température
de la garniture à la fin d’un coup de frein est donnée par les relations (20) :
T = ∆T m + T r + T o
tf
e
10 -----e- + ------15 1
P
+ ------------- ----73,6 S
moy
et (P /S ) (kW/m2) puissance spécifique,
e (mm)
et
V ( km/h )
v ( m/s ) = --------------------------3,6
1 500 × 130 × 6
P = ------------------------------------------- = 162,5 kW
2 × 3,6
d’où
1 500 × ( 130 ) 2
= 233,7 kcal
Q = -----------------------------------------------2 × ( 3,6 ) 2 × 4,185
■ Distance d’arrêt
Avec v vitesse du véhicule à l’origine, le temps qui s’écoule
jusqu’à l’arrêt complet du véhicule est :
max
3 300
2
P
T r = ------------------ ------------- ----v + 10 73,6 S
v
t = ------γa
mV 2
mv 2
( en calories )
Q = -------------------------- = -----------------------------------------------2 × 4,185
2 × ( 3,6 ) 2 × 4,185
v = 23,55 × 0,6 = 14,13 m/s
avec
T = ∆T m + T r + T o = 120,4 °C T max
Une garniture pour laquelle T max = 130 oC convient donc ; avec
T max = 120 oC, on se trouverait trop juste. On se reportera à l’article
consacré aux garnitures de freins article [B 5 571] pour déterminer
le type de garnitures en fonction de la température maximale d’utilisation.
Un tel appareil de levage est utilisé un grand nombre d’heures
dans l’année : à conditions égales, il faut donc choisir la garniture
dont la résistance à l’usure est la plus grande.
■ Quantité de chaleur à évacuer
La quantité de chaleur engendrée pendant le freinage est :
2π
--------- × 750 × 0,3 = 23,55 m/s
60
1
P
∆T m = ------------- ----73,6 S
oC
3 300
2 × 8,68
8,68
T r = ------------------------------ ----------------------- + ------------- = 79,25 o C
14,13 + 10 73,6
73,6
78,5
t f = ---------------- = 0,55 s
142,5







= 11,4
épaisseur de la paroi.
moy
v
t = ----γ
et la distance parcourue pendant ce temps est :
v2
s f = ------------2µg
avec µ pourcentage de g dans la décélération (γ = µg ).
B 5 570 − 18
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La distance d’arrêt est donc indépendante de la masse du
véhicule ; elle augmente avec la vitesse et avec le temps de freinage
qui croît lui-même avec la vitesse.
Nota : à 50 km/h, il faut une distance 4 fois plus importante pour s’arrêter qu’à 25 km/h.
À 100 km/h, il en faut 16 fois plus.
Un autre facteur est souvent oublié : le temps mort entre le
moment où surgit l’obstacle et le moment où l’action des freins se
trouve opérationnelle. On peut estimer ce temps mort ∆t à une
moyenne de 0,6 s. La distance d’arrêt réelle devient alors :
THÉORIE DU FREINAGE
L’abaque de la figure 3 donne les distances d’arrêt en fonction de
la vitesse et du coefficient µ pour une valeur ∆t de 0,6 s.
La connaissance des distances d’arrêt minimales permet de se
fixer la vitesse maximale pour une longueur libre de route donnée.
Une vitesse de 120 km/h exige sur bonne route (µ = 0,6) environ
115 m de « champ libre » (95 m si l’on ne tient pas compte du temps
mort, figure 2), page 10.
v2
s f = -------- + v ⋅ ∆t
2γ
Figure 3 – Abaque de calcul
de la distance d’arrêt du véhicule
(tenant compte du temps mort t = 0,6 s)
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