Transcript Enonce - CPGE Dupuy de Lôme

PC Dupuy de Lôme 2014-2015
Physique
Devoir 6 - Le 3 novembre - 3H30
Si vous détectez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, prévenez un enseignant ou notez le sur votre copie et
poursuivez.
Tout résultat non justifié, toute formule non encadrée ne sera pas prise en compte.
Vous attacherez une importance particulière à la rédaction.
Des questions ou parties de problèmes peuvent être indépendantes les unes des autres. Passez un temps suffisant à
comprendre et trouver une réponse, mais ne restez pas bloqués sur une question.
Calculatrices autorisées.
A
Mesures interférométriquesInspiré du problème Banque PT 2014
AI
Trous d’Young
Un Laser envoie, sur un trou circulaire de faible diamètre d percé dans un plan 0 , un faisceau de lumière parallèle
monochromatique, de longueur d’onde dans le vide 0 (Fig 0). On observe la figure 1 sur l’écran e placé à la
distance D de 0 ( e et 0 sont parallèles).
Le faisceau incident se propage dans l’air ( indice absolu Na ) dans la direction X ′ X perpendiculaire aux plans.
On associe au plan un repère (O; Y ′ Y; Z ′ Z ). La figure 2 donne, en fonction de z , l’intensité lumineuse I observée
sur e .
I
Fig2
|
− z1
z1
|
z
Fig1 - Photo
AI-1
AI-1a
Quel est le phénomène physique observé ?
AI-1b Le rayon R de la tâche centrale, supposé égal à z1 , est donné par l’une des relations suivantes :
0 D
0 D
0 d
K:
:
ou K: : 2 ou K: :
Na d
Na d
Na D
Proposer la bonne réponse en justifiant brièvement les raisons de votre choix. (K est une constante sans dimension
dépendant de la géométrie de l’objet et dont la valeur pour le trou circulaire est d’environ 1,2)
On peut considérer que le trou d’Young se comporte comme une source lumineuse, notée S , quasi ponctuelle,
émettant de la lumière dans un cône d’ouverture correspondant à la tache centrale de la figure 1.
AI-2
AI-2a
Évaluer littéralement Tracer, en fonction de z , le profil de l’intensité lumineuse sur e en supposant que la zone éclairée l’est
uniformément
AI-2b
AI-2c
2
Comparer ce profil à la figure . Conclure en 5 lignes maximum sur la validité de ce modèle.
Dans toute la suite, les trous d’Young seront assimilés à des sources ponctuelles.
1
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AII
Physique
Dispositif interférentiel à deux trous d’Young
Le dispositif est le même qu’en AI, mais le faisceau arrive sur deux trous d’Young percés dans le plan 0 (fig3). Ces
deux trous d’Young, éclairés par un faisceau incident parallèle se propageant dans la direction OX , se comportent
comme deux sources lumineuses S1 et S2 ponctuelles, monochromatiques de longueur d’onde 0 , synchrones,
cohérentes, distantes de b (fig 3a) et symétriques par rapport à l’axe OX .
Ces ondes se propagent dans l’air d’indice Na .
On utilise le repère (OXY Z ), l’origine O étant prise au milieu de S1 S2 (fig3)
On observe des interférences dans la zone commune d’éclairement du plan e . Cette zone est sensiblement un
disque de rayon R = m (fig3 et 3b).
On s’intéresse aux phénomènes en un point M (x = D; y; z ) du plan e .
1
AII-1
Préciser la signification des termes synchrone et cohérent.
AII-2
Les distances séparant les deux sources du point M sont notées respectivement d1 = S1 M et d2 = S2 M .
AII-2a
Évaluer d21 et d22 en fonction de y , z , D et b.
AII-2b
En déduire la différence de marche Æ2/1 = (S2 M ) − (S1 M ) lorsque y , z et b sont très petits devant D .
AII-2c
Æ2/1 est indépendante de z , en déduire l’allure de la figure d’interférences.
1
Montrer que l’intensité lumineuse en un point M est de la forme I = A: [ + osB ] en explicitant B en
fonction de Æ2/1 et 0 .
AII-3
AII-4
Reproduire et compléter la fig 3b en dessinant l’allure géométrique des franges d’intensité maximale.
2
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AII-5
Na ≡
1
AIII
Physique
Évaluer le nombre de franges lumineuses d’intensité maximale observables avec 0 =
et D = m
2
500 nm, b = 2 mm,
Montage expérimental
On reprend le montage précédent de A-II mais on observe, à présent, les phénomènes sur un écran situé dans
le plan focal image d’une lentille convergente( L2 ). Cette lentille, fonctionnant dans les conditions de Gauss, sera
considérée comme parfaitement stigmatique pour ses points conjugués. Les trous d’Young sont symétriques par
rapport à l’axe optique OX de la lentille L2 .
On observe les interférences en un point M d’ordonnée y du plan . On suppose S1 et S2 en phase
Reporter la figure 4 sur la copie, tracer les rayons lumineux issus de S1 et S2 interférant en M et faire
apparaître la différence de marche Æ2/1 .
AIII-1
AIII-2
AIV
Montrer que Æ2/1 = Na :
b:y
f′
Mesure de l’indice de réfraction
2
,
Le dispositif de mesure comprend une source S , ponctuelle, de longueurs d’onde dans le vide a;b = 0 ±
placée au foyer objet d’une lentille convergente L1 ( fig 5 ).
Entre les deux lentilles L1 et L2 ( considérées comme minces , identiques, de distance focale f ′ ) , on dispose deux
cuves C1 et C2 identiques de longueur L. Deux fentes d’Young séparées de la distance b sont placées avant L2
symétriquement par rapport à l’axe SO . On observe sur un écran dans le plan focal image de L2 . Les points S
et O sont sur l’axe optique commun de L1 et L2 . La cuve C2 contient de l’air d’indice optique absolu Na ; la cuve
C1 contient un gaz d’indice optique absolu N1 .
AIV-1
3
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Physique
Déterminer la différence de chemin optique Æ2/1 entre une onde issue de S arrivant en M passant par C2
et celle passant par C1 , en fonction de Na , N1 , b, f ′ , L et l’ordonnée y de M sur l’écran AIV-1a
AIV-1b
Relier
On note pa et pb les ordres d’interférences en M associés aux longueurs d’onde respectivement a et b .
p = pb − pa à , 0 et Æ2/1 sachant que ≪ 0
AIV-1c
Pour quelle valeur Ælim de Æ2/1 observera-t-on le premier brouillage des interférences ?
AIV-2
0
Un capteur lumineux est placé en O (y = ). Tant qu’il n’y a pas de brouillage, ce compteur s’incrémente de 1
unité à chaque détection d’une frange brillante. On part de l’état initial où les deux cuves sont remplies d’air à la
même pression.
AIV-2a
Déterminer la valeur de l’ordre d’interférence pI initial associé à la longueur d’onde 0 .
On remplace progressivement l’air de la cuve C1 par du gaz d’indice N1 (N1 > Na ). Lorsque C1 est
uniquement rempli de ce gaz, le détecteur s’est incrémenté de k unités. Préciser le nouvel ordre d’interférence pF
associé à la longueur d’onde 0 en y = et le sens dans lequel le système de frange a défilé ( on attend ici une
réponse argumentée )
AIV-2b
0
AIV-2c
Déterminer l’expression littérale de N1 en fonction de Na , k, L et 0
AIV-2d
Pour L = ;
1 00 m ; k = 100 ; Na = 1; 00029 ; 0 = 500 nm calculer N1
Afin que le capteur puisse détecter les franges brillantes, on doit se placer hors de la zone de brouillage.
Ælim
On cherche donc à avoir Æ2/1 <
. Quelle est alors la valeur maximum de pour les valeurs numériques de la
question précédente ?
AIV-2e
2
AV
Suivi de déplacement
On utilise un dispositif de Michelson à deux miroirs parfaitement orthogonaux, éclairés par un fin pinceau lumineux
monochromatique émis par un Laser. On se ramène au modèle dans lequel la séparatrice, inclinée à 45°, est idéale
(elle est semi réfléchissante, infiniment mince et n’introduit aucun déphasage )( fig6).
4
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Physique
Déterminer l’intensité lumineuse I sur le détecteur D ; montrer qu’elle se compose d’un terme constant et
d’un terme variable lié au déplacement x(t)
AV-1
Le détecteur D élimine la composante constante du signal et donne une tension Ud proportionnelle à la
composante variable de l’intensité I . Montrer que Ud = U0 :os (t) et expliciter (t) en fonction de x(t) et des
données.
AV-2
AV-3 Le détecteur D est couplé à un compteur C incrémenteur de franges (cf AIV-2). Le compteur est à 0 lorsque
x= .
0
On envisage un déplacement de la cible toujours dans le même sens de L =
du compteur ?
AV-3a
200:. Quelle sera l’indication
100
On envisage à présent un déplacement de L1 =
: dans un sens puis un déplacement de L2 =
sens opposé.. Donner l’abscisse finale de la cible et l’indication du compteur. Commenter.
AV-4
AV-5
100: en
Lame à retard
On interpose sur le bras OO2 , une lame d’indice N et d’épaisseur e, dans le but que le détecteur D délivre la
tension Ud = U0 :sin (t) , (t) ayant la même expression que celle trouvée en AV-2.
Donner l’expression littérale des épaisseurs possibles de la lame pour qu’il en soit ainsi.
AV-6
Mesure d’abscisses
Le dispositif interférométrique de suivi de déplacement est modifié de manière à générer, à l’aide de deux détecteurs, les tensions Ud1 = U0 :os (t) et Ud2 = U0 :sin (t) (fig7)
X2
Der
Int
AD
Ud1
Ud2
X1
Der
Ua
Us
fig7.
On donne les expressions des relations entre tensions d’entrée et sortie pour les différents modules (Kd , Km , Ki
et Ka sont des constantes) :
Dérivateur temporel
Multiplieur
e2
Der
Intégrateur
X
Amplificateur de différence
e2
Int
AD
s
e
s
s = Kd :
de
dt
s
e1
e
s = Km :e1 :e2
AV-6a
Déterminer l’expression de Ua
AV-6b
En déduire l’expression de Us en fonction de
s
s = Ki : ∫ e:dt
(t) puis de x(t)
5
e1
s = Ka :(e2 − e1 )
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AV-6c
AVI
Physique
Quel est l’intérêt de ce montage ?
Étude du module intégrateur
Un utilise un filtre actif comportant une Amplificateur Linéaire Intégré permettant de réaliser un filtre amplificateur dont la fonction de transfert est du type H =
H0
1 + j: !! . Le diagramme de Bode pour ce filtre est donné
0
ci-contre.
AVI-1 Déduire du diagramme de Bode les valeurs de
!0 et H0 .
AVI-2 Afin de tracer ce diagramme de Bode, quel type
GdB
de signal doit-on imposer en entrée du filtre ? Proposer en le justifiant une fréquence d’échantillonnage pour
l’acquisition du signal de sortie afin d’effectuer les mesures permettant le tracé du diagramme de Bode proposé.
AVI-3 Déterminer la condition sur ! afin que le filtre
se comporte comme un intégrateur. Exprimer alors la
constante Ki en fonction de H0 et !0 .
10
0
10
-10
10
10
2
f (kHz )
3
Afin de tester le caractère intégrateur de ce filtre, on impose en entrée du filtre un signal créneau de
fréquence f =
Hz dont le spectre est proposé ci-dessous. On analyse alors le signal acquis en observant son
spectre. Commenter le spectre et en déduire la fréquence d’échantillonnage choisie par l’opérateur.
AVI-4
500
Signal en entrée
Signal en sortie
A (V )
A (V )
f (kHz )
1
2
f (kHz )
3
1
6
2
3
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B
Physique
Double vitrage
On étudie les transferts énergétiques au niveau d’une fenêtre double vitrage de surface S séparant une pièce à
la température Tp =
K et l’extérieur à la température Te =
K . On considère qu’un système de chauffage
maintient la pièce à température. On se place en régime stationnaire et on considèrera la conduction unidimensionnelle.
Données pour le verre :
298
270
● Matériau transparent dans le visible
Donnée pour l’air
0 025 W:m−1 :K −1
● Matériau assimilable à un corps noir pour les infrarouge lointains
● Conductivité thermique a = ;
12
● Conductivité thermique v = ; W:m−1 :K −1
Autres données
● e=
4 mm ; d = 8 mm
● Surface de vitrage : S =
BI
e
e
4 m2
d
Pertes par conduction
BI-1
Résistance thermique du double vitrage
Définir la résistance thermique d’un matériau de surface S d’épaisseur a, soumis à un vecteur de densité
Ð
→
→
de courant thermique j = j:Ð
ex auquel on impose les températures T (x = ) = T0 et T (x = a) = T1 < T0 , en fonction
de j , S , T0 et T1
BI-1a
BI-1b
0
Ð
→
ÐÐ→
On rappelle la loi de Fick j = −:gradT . Déterminer son expression en fonction de a, S et En déduire la résistance thermique pour le double vitrage en négligeant les phénomènes de convection
aux interfaces interne et externe. Donner l’expression du flux du au phénomène de conduction . Effectuer
l’application numérique
BI-1c
Les phénomènes de convection sont pris en compte aux interfaces vitre-air extérieur et vitre-air de la pièce.
Pour une interface en x0 , ces phénomènes imposent un flux à l’interface :
BI-1d
= ±h:S: [Tvitre(x0 ) − Tair (x0 )]
10 W:m−2 :K −1
Donner l’expression du flux du aux phénomènes de conduction et convection v . Effectuer l’application numéh=
rique
BI-1e Selon vous le phénomène de convection augmente-t-il ou diminue-t-il les pertes thermiques au niveau du
double vitrage ? Les valeurs de et v correspondent-elles à votre analyse ? Commenter.
BI-2
Effets du rayonnement
Lorsqu’un matériau est assimilable à un corps noir, le flux surfacique rayonné par ce matériau suit la loi de Stéphan
'r = :T 4 . La longueur d’onde du rayonnement émis est donnée par la loi de Wien : T = ; : −3 m:K
On notera :
2 9 10
● 'P le flux surfacique émis par les murs de la pièce.
● '1 le flux surfacique émis par le vitrage coté intérieur, vers la pièce et vers l’autre vitrage.
● '2 le flux surfacique émis par le vitrage coté extérieur, vers l’extérieur et vers l’autre vitrage.
● 's le flux surfacique solaire au niveau du vitrage.
7
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Physique
BI-2a
Reporter le schéma ci-contre sur la copie et représenter les différents flux surfaciques
e
Justifier l’affirmation suivante : "L’émission des
corps noirs tels que les murs ou les vitrages se font dans
les gammes de longueur d’onde correspondant à l’infrarouge lointain".
e
d
BI-2b
Traduire l’équilibre des corps noir pièce, vitrage
intérieur et vitrage extérieur sous forme de trois équations.
BI-2c
Mur
On note r le flux d’énergie global du au flux solaire incident ainsi qu’au phénomène de rayonnement,
dirigé de l’extérieur vers l’intérieur au niveau de l’interface air intérieur-vitrage, et pour la surface S du vitrage.
Montrer que r = :S:'s
BI-2d
2
Déduire du bilan énergétique ci-dessus la relation entre les températures du verre intérieur et extérieur. En
considérant le verre intérieur à la température de la pièce, calculer la valeur de la température du verre extérieur.
Commenter cette valeur.
BI-2e
8