Transcript Leçon - PYSA

Pierre-Yves Gouiffes – Collège Joseph-Anglade (Lézignan-Corbières)
LES DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
Compétences
III
Géométrie
Construire les médiatrices d’un triangle
1
2
3
4
Construire le cercle circonscrit à un triangle
1
2
3
4
Construire les bissectrices d’un triangle
1
2
3
4
Construire les hauteurs d’un triangle
1
2
3
4
Construire les médianes d’un triangle
1
2
3
4
Construire le centre d’un cercle
1
2
3
4
Calculer l’aire d’un triangle
1
2
3
4
Grandeurs et mesures
I
LES DROITES REMARQUABLES
Définition (D1) – Médiatrice
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.
Définition (D2) – Cercle circonscrit
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.
Propriété (P1) – Concourance des médiatrices
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
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Définition (D3) – Bissectrice
La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
Propriété (P2) – Concourance des bissectrices
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.
Définition (D4) – Hauteur
La hauteur d’un triangle est la droite qui est perpendiculaire à un côté et qui passe par le sommet opposé à ce côté.
(BH) est la hauteur issue du sommet B
(BH) est la hauteur relative au côté [AC]
H est le pied de la hauteur issue de B
La hauteur (BH) peut être extérieure au triangle
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La hauteur d’un triangle peut désigner une droite, un segment ou une longueur selon le contexte.
Propriété (P3) – Concourance des hauteurs
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
Définition (D5) – Médiane
La médiane d’un triangle est la droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
(BM) est la médiane issue du sommet B
La médiane d’un triangle peut désigner une droite, un segment ou une longueur selon le contexte.
Une médiane est toujours intérieure au triangle.
Propriété (P4) – Concourance des médianes
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
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II
LES CAS PARTICULIERS
Propriété (P5) – Triangle isocèle
Si un triangle est isocèle alors la médiane, la hauteur et la bissectrice issues du sommet principal et la médiatrice
relative à la base sont des droites confondues.
Propriété (P6) – Triangle équilatéral
Si un triangle est équilatéral alors la médiane, la hauteur et la bissectrice issues d’un même sommet et la
médiatrice du côté opposé sont des droites confondues.
III
L’AIRE D’UN TRIANGLE
Propriété (P7) – Aire d’un triangle
L’aire A d’un triangle de côté c et de hauteur associée h est A =
c×h
2
Exercice (E1)
ABC est un triangle où H est le pied de la hauteur issue de B.
AC = 7 cm et BH = 6 cm. Calculer l’aire du triangle ABC.
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Aire(ABC) =
AC × BH 7 × 6 42
=
= = 21
2
2
2
L’aire du triangle ABC est égale à 21 cm².
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