Transcript TD3

Aix-Marseille Université
2013-2014
L3
Algèbre et Géométrie - TD n0 3
1
Espaces hermitiens. Espaces euclidiens.
Exercice 1. (Cauchy-Schwarz) Soit (E, h) un espace hermitien. Démontrer que
|hx, yih | ≤ kxkh kykh ∀ x, y ∈ E.
Exercice 2. (orthogonal, biorthogonal) Soit h une forme sesquilinéaire hermitienne (resp. bilinéaire symétrique) sur
l’espace complexe (resp. réel) de dimension finie E, et soit N (h) le noyau de h. Démontrer que pour tout sous-espace
F ⊂ E on a
1. dim(E) − dim(F ⊥h ) = dim(F ) − dim(F ∩ N (h)).
2. (F ⊥h )⊥h = F + N (h)
Exercice 3. (le produit scalaire L2 ). Démontrer que la formule
Z b
hf, gi :=
f (t)g(t)dt
a
définit un produit scalaire hermitien sur l’espace C([a, b], C) des fonctions continues à valeurs complexes sur l’intervalle
[a, b]. L’espace prehilbertien (C([a, b], C), h·, ·iL2 ) est-il un espace hilbertien ? Justifier votre réponse.
Exercice 4. (classification des espaces euclidiens et hermitiens)
Soient (E, f ) et (E 0 , f 0 ) deux espaces euclidiens (resp. hermitiens) de même dimension. Démontrer qu’il existe un
isomorphisme u : E → E 0 tel que
hu(x), u(y)if 0 = hx, yif ∀x, y ∈ E.
Exercice 5. Soit (E, h) un espace hermitien. Démontrer que f := Re(h) est un produit scalaire sur E, tandis que
ω := Im(h) est une forme antisymétrique non-dégénérée sur E.
Exercice 6.
1. Soit K un corps commutatif quelconque. Démontrer que l’application
Mn (K) × Mn (K) → K , (A, B) 7→ Tr(AB)
est une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée. Montrer que, sur le sous-espace
sl(2, K) := {A ∈ M2 (K)| Tr(A) = 0} ,
la forme quadratique associée à la forme (A, B) → Tr(AB) est donnée par A 7→ −2 det(A).
2. Démontrer que l’application (A, B) 7→ Tr(t A¯ B) est un produit scalaire hermitien sur Mn (C). En déduire que
(A, B) 7→ Tr(t A B) définit un produit scalaire euclidien sur Mn (R).
 
a
Exercice 7.
1. Soit v =  b  ∈ R3 \ {0}. Ecrire la matrice de la rotation de R3 autour de l’axe d := Vec(v) et
c
d’angle θ. Cas particulier : v = (1, −1, 1), θ = π6 .
2. Considérons les vecteurs


 
1
0
−1
1
4

 
v=
 1  , w = 1 ∈ R
−1
1
(a) Déterminer une base orthonormale (f1 , f2 , f3 , f4 ) de R4 telle que Vec(f1 , f2 ) = Vec(v, w).
(b) Écrire la matrice de la rotation d’angle θ autour du plan vectoriel π := Vec(v, w) et la matrice de la rotation
d’angle η autour du plan vectoriel π ⊥ .
(c) Décrire explicitement l’ensemble de tous les éléments de SO(4) qui laissent invariant le plan π. Décrire
explicitement l’ensemble de toutes les éléments de O(4) qui laissent invariant le plan π
Exercice 8. (groupes classiques compacts) Montrer que les groupes O(n), SO(n), U (n) et SU (n), considérés comme
sous-espaces topologiques de l’espace euclidien Mn (R) (resp. Mn (C)), sont compacts. Les groupes GL(n, R), GL(n, C),
SL(n, R) et SL(n, C) sont-ils compacts ?
Exercice 9. (algèbres de Lie des groupes SO(n), U (n) et SU (n)).
Désignons par
so(n) := {a ∈ Mn (R)| t a = −a}
(resp. u(n) := {a ∈ Mn (C)| t a
¯ = −a}, resp. su(n) := {a ∈ u(n)| Tr(a) = 0})
le sous-espace des matrices antisymétriques (resp. antihermitiennes, resp. antihermitiennes à trace nulle).
1. Soit γ : ] − ε, ε[→ Mn (R) (resp. γ : ] − ε, ε[→ Mn (C)) un chemin différentiable tel que
(a) γ(0) = In
(b) im(γ) ⊂ SO(n) (resp. im(γ) ⊂ U (n), resp. im(γ) ⊂ SU (n)).
Démontrer que γ(0)
˙
∈ so(n) (resp. γ(0)
˙
∈ u(n), γ(0)
˙
∈ su(n)).
2. Démontrer que pour tout a ∈ so(n) (resp. a ∈ u(n), resp. a ∈ su(n)) le chemin différentiable t 7→ exp(ta) satisfait
aux propriétés (a) et (b).
3. En déduire que
C1
so(n) = {γ(0)|
˙
γ : ] − ε, ε[−→ Mn (R), γ(0) = In , im(γ) ⊂ SO(n)},
C1
u(n) = {γ(0)|
˙
γ : ] − ε, ε[−→ Mn (C), γ(0) = In , im(γ) ⊂ U (n)}
C1
et su(n) = {γ(0)|
˙
γ : ] − ε, ε[−→ Mn (C), γ(0) = In , im(γ) ⊂ SU (n)}.
Quelle est l’interpretation géométrique des ces égalités ?
4. Une K-algèbre de Lie est un K-espace vectoriel g muni d’une application bilinéaire antisymétrique [·, ·] : g×g → g
qui satisfait à l’identité de Jacobi
[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0.
Montrer que, pour toute K-algèbre associative A, le crochet de Lie
(a, b) 7→ [a, b] := ab − ba
définit une structure de K-algèbre de Lie sur A. En particulier, pour Mn (K), celle-ci est désignée par gl(n, K).
Montrer
(a) que sl(n, K) := {a ∈ gl(n, K)| Tr(a) = 0} est une sous-algèbre de Lie de gl(n, K), c. à d. que sl(n, K) est
stable pour le crochet de Lie et
(b) que so(n), u(n) et su(n) sont des sous-algèbres de Lie réelles de gl(n, R) (resp. gl(n, C)).
5. Montrer que l’image de so(n) (resp. u(n) et su(n)) par l’application exponentielle coïncide avec SO(n) (resp.
U (n), resp. SU (n)).
Exercice 10.
1. Soit a ∈ Mn (C). Démontrer que
det(exp(a)) = eTr(a) .
Indication : Vérifier d’abord cette identité pour les matrices supérieures triangulaires.
2. Montrer que
C1
sl(n, R) = {γ(0)|
˙
γ : ] − ε, ε[−→ Mn (R), γ(0) = In , im(γ) ⊂ SL(n, R)}
C1
sl(n, C) = {γ(0)|
˙
γ : ] − ε, ε[−→ Mn (C), γ(0) = In , im(γ) ⊂ SL(n, C)}
et donner l’interpretation géométrique de ces égalités.
Exercice 11. (diagonalisation simultanée)
Soit (E, f ) un espace euclidien et g : E × E → R une forme bilinéaire symétrique. Démontrer que E admet une base
qui est à la fois f -orthonormale et g-orthogonale. Donner l’équivalent de ce théorème pour un espace hermitien.
Indication : Montrer d’abord qu’il existe un endomorphisme g-symétrique u unique tel que
f (x, u(y)) = g(x, y) ∀x, ∀y ∈ E .
Exercice 12. (diagonalisation simultanée)
Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K.
1. Soit u ∈ End(E) un endomorphisme diagonalisable. Démontrer qu’un sous-espace F ⊂ E est u-invariant (c’est
à dire vérifie u(F ) ⊂ F ) si et seulement si F est de la forme
M
F =
Fλ , Fλ ⊂ Eλ .
λ∈Spec(u)
2. Soient u et v ∈ End(E) deux endomorphismes diagonalisables qui commutent. Montrer que u et v sont simultanément diagonalisables, c. à d. qu’il existe une base de E dans laquelle les matrices de u et v sont toutes deux
diagonales.
Exercice 13. (isomorphismes exceptionnels)
1. 1er isomorphisme exceptionnel : Soit F : C = M1 (C) → M2 (C) l’application définie par
a −b
F (a + bi) =
.
b a
Montrer que F
(a) est un monomorphisme de R-algèbres ;
(b) induit un isomorphisme de R-algèbres de Lie (F|u(1) :=) ϕ : u(1) → so(2) ;
(c) induit un isomorphisme de groupes (F|U (1) :=) f : U (1) → SO(2) ;
enfin, que l’on a :
(d) exp ◦ ϕ = f ◦ exp|u(1) .
2. 2ème isomorphisme exceptionnel : Soit E := {ai + bj + ck| a, b, c ∈ R} ⊂ H le R-sous-espace vectoriel des
quaternions purs, S3 := {q ∈ H| kqk = 1} l’ensemble des quaternions de norme 1 (c’est une sphère de dimension
3) et enfin H : H → M2 (C) l’application donnée par
w −z
H(w + zi) =
.
z¯ w
¯
Montrer que H
(a) est un monomorphisme de R-algèbres ;
(b) induit un isomorphisme de R-algèbres de Lie (H|E =:) χ : E → su(2), où l’on considère E comme sousalgèbre de Lie de l’algèbre de Lie associée à l’algèbre associative H (voir TD 3) ;
(c) induit un isomorphisme de groupes (H|S3 =:) h : S3 → SU (2) ;
enfin, que l’on a :
(d) exp ◦ χ = h ◦ exp|su(2) ;
√
(e) χ est une isométrie (E, k · k) → (su(2), det).
(On observera que, sur su(2), on a det(a) = 12 Tr(t a
¯a), donc que a 7→
p
det(a) est une norme.)
3. (caractérisations de U (2) et de SU (2))
Montrer que
cos θ eiα − sin θ eiβ α,
β,
γ,
δ
∈
R,
α
+
δ
=
γ
+
β
U (2) =
sin θ eiγ
cos θ eiδ cos θ eiα − sin θ eiβ
SU (2) =
α, β, γ, δ ∈ R, α + δ = γ + β = 0 .
sin θ eiγ
cos θ eiδ
4. Pour tout "quaternion"√q ∈ SU (2), démontrer que l’application adq : su(2) → su(2) donnée par adq (a) = qaq −1
appartient à SO(su(2), det) ' SO(3).
En déduire que l’application ad : q 7→ adq induit un isomorphisme
ι : S3 /{±1} ' SU (2)/{±I2 } → SO(3).
Exercice 14. L’espace projectif réel 3-dimensionnel P3 (R) est défini comme le quotient
P3 (R) := R4 \ {0}/∼ ,
où ∼ est la relation d’équivalence x ∼ y s’il existe t ∈ R∗ tel que y = tx (donc si x et y sont colinaires). Cette relation
d’équivalence induit sur la sphèreS 3 ⊂ R4 une relation d’équivalence a très simple : xay si soit x = y, soit x = −y.
1. Montrer que l’inclusion S 3 ,→ R4 induit une bijection S 3 /a → P3 (R).
'
2. Définir une bijection naturelle f : P3 (R) −→ SO(3).
3. Un ensemble U ⊂ P3 (R) sera dit ouvert par rapport à la topologie quotient de P3 (R) si son pré-image q −1 (U ) ⊂
R4 \ {0}, où q : R4 \ {0} → P3 (R) désigne la surjection canonique. Montrer que les ensembles ouverts de P3 (R)
forment une topologie sur P3 (R), et par rapport à cette topologie la bijection f est un homéomorphisme.
Exercice 15. Soit a un endomorphisme normal de l’espace hermitien (E, h) et soit n ∈ N. Quel est le nombre de
solutions normales qu’admet l’équation un = a ?
Indication : Utiliser l’exercice 2, 2.
Exercice 16. En utilisant le théorème de Gramm-Schmidt, démontrer que
1. toute matrice A ∈ GL(n, R) se décompose d’une façon unique comme A = U T , où U ∈ O(n) et T est une
matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont strictement positifs ;
2. toute matrice A ∈ GL(n, C) se décompose d’une façon unique comme A = U T , où U ∈ U (n) et T est une
matrice triangulaire supérieure (complexe) dont les éléments diagonaux sont (réels et) strictement positifs.
Exercice 17. Soit (E, h) un espace hermitien et n ∈ N.
1. Montrer que pour tout endomorphisme hermitien a à valeurs propres positives il existe un unique endomorphisme
hermitien b à valeurs propres positives tel que bn = a.
2. Démontrer que tout automorphisme a ∈ GL(E) se décompose comme a = bu, où b est un endomorphisme
hermitien à valeurs propres strictement positives et u ∈ U (E).
3. Donner l’équivalent de ce résultat pour un espace euclidien.
Exercice 18. (actions canoniques) Soit α : SO(n) × Rn → Rn l’action naturelle de SO(n) sur Rn .
1. Pour tout x ∈ Rn décrire l’orbite et le stabilisateur de x par rapport à l’action α.
2. Cette action est-elle (a) transitive, (b) libre, (c) effective ?
Mêmes questions pour les actions naturelles de SU (n) et de U (n) sur Cn . Observer que l’action de SU (2) sur C2 \ {0}
est libre et faire le lien avec l’Ex. 3, 2.
Exercice 19. Soit α : R∗+ × R2 → R2 (resp. β : R∗+ × R2 → R2 ) l’action du groupe multiplicatif (R∗+ , ·) sur R2 donnée
par α(t, (x, y)) := (tx, ty) (resp. β(t, (x, y)) := (tx, t−1 y)).
1. Dans chaque cas, décrire l’orbite et le stabilisateur d’un point (x, y) ∈ R2 .
2. Montrer que, dans le cas de l’action α, le quotient (R2 \ {0})/R∗+ est homéomorphe au cercle S1 , tandis que,
pour l’action β, le quotient (R2 \ {0})/R∗+ est un espace non-Hausdorff. gg ggg ggg hhh hh hhh hhh hhh aaaaa