Transcript CAPACITE MOS Approches imagées des propriétés de la capacité

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CAPACITE
MOS
Approches imagées des propriétés
de la capacité MOS
Représentation Qψ
http://pagesperso-orange/physique.belledonne/
Capacité MOS
125
CAPACITE
MOS
Approches imagées des propriétés
de la capacité MOS
Représentation Qψ
http://pagesperso-orange.fr/physique.belledonne/
Capacité MOS
126
Capacité MOS
127
~
ψ
s
Capacité MOS
~
128
Sommaire
CAPACITE MOS................................................................................................................... 130
Introduction ........................................................................................................................ 130
Avertissement (cf. Chapitre Structure MOS) ..................................................................... 130
Définition des capacités ..................................................................................................... 130
Capacités classiques : ..................................................................................................... 130
Extension de la notion de capacité : capacité du SC d’une structure MOS. .................. 132
Expression générale de la capacité MOS dynamique ........................................................ 132
Capacité dynamique du SC ................................................................................................ 134
Comportement général ................................................................................................... 134
Accumulation (ψ s < 0 )................................................................................................... 136
Bandes plates ψ S ≈ 0 ..................................................................................................... 136
Désertion (ψ s < 2ψ b ) ..................................................................................................... 136
Inversion (ψ s > 2ψ b )...................................................................................................... 138
Synthèse, capacité de la structure MOS ............................................................................. 142
Capacité normalisée ........................................................................................................... 144
Caractérisation : eox, dopage, VFB ....................................................................................... 146
Capacités statiques et pont diviseur de tension .................................................................. 148
Capacité MOS Annexe: Capacité d’une zone désertée. ..................................................... 150
Capacité MOS Annexe : Mesure des capacités.................................................................. 152
Capacité dynamique ....................................................................................................... 152
Capacité quasistatique .................................................................................................... 152
Capacité statique ............................................................................................................ 152
Capacité MOS
129
CAPACITES
+Q
-Q
isolant
i
Statique:
C stat =
Dynamique:
C=
Quasistatique:
C qs =
V
Capacité MOS
Q
V
dQ
dV
i
dV dt
130
CAPACITE MOS
Introduction
La structure MOS est considérée ici comme un composant, la capacité MOS, au même titre
que le transistor MOS. Elle est aussi un véhicule test de caractérisation, aussi bien pour la
structure MOS que pour le transistor.
Nous donnerons des définitions précises, puis nous étudierons le comportement de la structure
MOS et nous terminerons par le pont diviseur de tension qui permet d’établir très aisément la
tension seuil VT présentée dans le chapitre structure MOS.
Avertissement (cf. Chapitre Structure MOS)
Dans toutes les équations qui suivent,
pour tenir compte des charges dans l’oxyde
et de la différence des travaux de sortie
il suffit de remplacer
VG par VG - VFB
Définition des capacités
Plusieurs capacités peuvent être définies et mesurées.
La définition est sans ambiguïté lorsqu’il est possible de définir un dipôle constitué de deux
conducteurs (ou SC) séparés par un isolant : sans polarisation extérieure, la charge de chacun
des conducteurs est nulle, et une tension V appliquée aux bornes transfère une charge Q d’un
conducteur vers l’autre: la charge totale reste donc nulle.
Une capacité est positive, il faut donc prendre quelques précautions.
L’indice A désignera une capacité (ou charge) par unité de surface ( C A = C A ).
Capacités classiques :
Trois capacités sont définies :
La capacité statique :
Q
C stat =
V
La capacité dynamique ou différentielle, de loin la plus utilisée en électronique :
dQ
C=
dV
Et la capacité quasi-statique, moins usitée, variante de la capacité dynamique:
dQ dt
i
C qs =
soit
C qs =
dV dt
dV dt
Les méthodes de mesures des capacités sont évoquées en annexe Mesure des capacités.
Capacité MOS
131
CAPACITE DYNAMIQUE DU SC
QAsc
C
A
SC
A
∆QSC
=−
∆ψ S
∆ψs
ψs
∆QAsc
EFFET DU TYPE DE SUBSTRAT
Type p
Type n
QAsc
QAsc
invers.
t+
accum.
t+
VG
desert.
N A-
ψs
invers.
e-
dQSC / dΨs < 0
Capacité MOS
desert.
ND+
VG
accum.
e-
ψs
132
Extension de la notion de capacité : capacité du SC
d’une structure MOS.
Prenons une structure MOS. La capacité classique de l’ensemble est donnée par :
dQM
dQ
C=
( = − SC )
dVG
dVG
Il est commode pour les calculs ultérieurs, sachant que l’on sait calculer la charge du SC en
fonction de la variation de potentiel à ses bornes ψ S , de définir une capacité telle que (cf. fig.
CAPACITE DYNAMIQUE DU SC) :
A
dQSC
dQSC
A
CSC = −
ou CSC = −
dψ S
dψ S
Le signe moins est là pour assurer une capacité positive. On vérifiera sur la fig. EFFET DU
TYPE DE SUBSTRAT qu’effectivement, quel que soit le type de SC, QSC est toujours une
fonction décroissante de ψs. Ceci est dû à la convention qui consiste à considérer qu’une
tension positive est appliquée à la structure lorsque le plus est appliqué au métal et donc le
moins au SC.
Une définition similaire s’appliquerait à la capacité statique.
Cette capacité CSC n’est pas une capacité au sens classique du terme, qui exige l’échange entre
2 conducteurs. Elle ne peut d’ailleurs pas être exploitée directement, il n’y a pas de connexion
électrique en surface du SC.
Expression générale de la capacité MOS
dynamique
Par définition, la capacité dynamique mesurée est égale à
dQM
C=
dVG
Sans aucun calcul, la fig. CAPACITE DYNAMIQUE
l’évolution de cette capacité.
M-O-S donne une idée de
Connaissant la relation qui lie la charge dans le métal à VG et Ψs (cf. Chapitre MOS):
ε ox
(VG −ψ s )
eox
et en définissant la capacité de l’oxyde:
ε A
Cox = ox
alors :
eox
QMA =
QM = Cox (VG −ψ s )
expression dans laquelle nous retrouvons bien la relation classique qui relie la charge d’une
capacité dont l’isolant de permittivité ε ox a une épaisseur eox et dont la différence de potentiel
aux bornes (de l’isolant) est égale à VG − ψ s .
Capacité MOS
133
CAPACITE DYNAMIQUE M-O-S
QAsc
C
∆VG
A
MOS
A
∆QSC
=−
∆VG
∆VG
Ψs
∆VG
∆QAsc
Pente εox/eox
Cf. structure MOS
Capacité MOS
134
La différentiation conduit à :
dQM = Cox ( dVG − dψ s ) soit, en utilisant la définition de CSC :
CSC =
− dQSC
dψ s
QM + QSC = 0
et en appliquant
CSC =
=>
dQM
dψ s

dQ 
dQM = Cox  dVG − M 
CSC 

1
1
ou encore : dQM (
+
) = dVG
Cox CSC
d’où, à partir de la définition C =
dQM
:
dVG
1
1
1
=
+
Expression générale de la capacité d’une structure MOS
C Cox CSC
Expression équivalente à l’association de deux capacités en série, ce qui semble finalement
naturel, mais il ne faut en général appliquer cette relation qu’avec beaucoup de discernement !
L’expression de la capacité d’oxyde vient d’être définie et ne pose pas de problème, si l'on
excepte la désertion côté métal, faible mais bien réelle! Nous allons donc en premier lieu nous
concentrer sur le comportement de la capacité du SC, puis nous effectuerons la synthèse.
Capacité dynamique du SC
Nous l’avons définie par :
− dQ SCA
− dQSC
A
CSC =
où C SC =
dψ s
dψ s
Comportement général
Comme nous l'avons vu, la courbe Qψ se prête facilement à l’illustration de la capacité du SC,
mais c'est en fait un peu plus compliqué, car, en inversion nous allons devoir considérer les
conditions de mesure.
En accumulation et en désertion, la capacité CSC mesurée ne dépend pas de la fréquence de
mesure, car elle concerne le transport de majoritaires, ici des trous, qui suivent les variations
de tension. L’équilibre est en permanence réalisé. Ceci reste vrai tant que la fréquence de
mesure reste inférieure au Gigahertz, après c’est un autre monde ! Par contre, en inversion, il
faudra distinguer 3 cas qui dépendront des conditions de mesure expérimentales.
Pour les calculs, nous repartirons de la relation établie dans l’étude de la Structure MOS, en
prenant toujours un matériau de type p (cf. fig. CAPACITE DYNAMIQUE SC (équilibre)):
1/ 2

 kT
kT q (ψ s −2ψ b )/ kT  
Q = ±  2ε SC qN a  (e− qψ s / kT − 1) + ψ s +
e

q
 q


Signe : – si ψs>0, + si ψs<0.
A
SC
Capacité MOS
135
CAPACITE DYNAMIQUE SC (équilibre)
C SCA =
QAsc
accumulation
− qψ s
ε SC
A
CSC =
⋅ e 2 kT
2 ⋅ LD
− dQ SCA
dψ s
(pente de la courbe)
A
CSC
=
ε SC
LD
ψs
désertion
ε SC
A
C SC =
lZD
inversion
CSCA =
ε SC
2
Capacité MOS
⋅ LD
⋅e
q (ψ s − 2ψ b )
2 kT
136
Dans plusieurs expressions, nous utiliserons la longueur de Debye, déjà rencontrée dans MOS
Annexe Couche d'inversion, effets quantiques:
LD =
ε SC 
kT
 q
qN a



Accumulation (ψ
s
<0
)
A
Dans QSC
seul le terme des trous (en e− qψ s / kT ) joue un rôle.
1

 kT   2
Q ≈ +  2 ⋅ ε SC ⋅ q.N a    e − qψ s / 2kT 
 q 

En différentiant cette relation et en utilisant la longueur de Debye, la capacité s’écrit :
A
SC
ε SC
− qψ s
e 2kT
ψs < 0
LD
Elle varie donc exponentiellement avec le potentiel de surface, ce qui est visualisé par la pente
de la courbe de la figure CAPACITE DYNAMIQUE SC (équilibre).
C =
A
SC
2
Bandes plates ψ
S
≈0
On ne garde que :
1/ 2

 kT − qψ s / kT

Q =  2ε SC qN a  (e
− 1) + ψ s  
 q


Un développement au second ordre de l’exponentielle, pour ne pas obtenir une charge
identiquement nulle, conduit facilement à :
A
SC
ε SC
ψs ~0
LD
Ce résultat n’est pas trivial, car les porteurs libres viennent en contact avec la surface et on
pourrait s’attendre à une capacité "infinie" !
CSCA =
Désertion (ψ
s
< 2ψ b
)
Les exponentielles ne donnent pas de contribution notable :
1/ 2

kT  

Q = −  2ε SC qN a ψ s −  
q 


Expression exactement identique à celle d’une zone désertée de jonction abrupte, ou de diode
kT
Schottky. Le terme
est souvent négligé dans les diodes, et pourrait aussi être négligé ici.
q
La capacité s’écrit simplement en utilisant la profondeur de zone désertée lZD :
A
SC
A
CSC
=
ε SC
lZD
lZD =
2ε SC (ψ s − kT q )
qN a
ψ s < 2ψ b
Elle diminue donc lentement avec le potentiel de surface (cf. fig. CAPACITE
DYNAMIQUE DU SC.
Capacité MOS
137
BASSES ET HAUTES FREQUENCES
Basse fréquence
Haute fréquence
La charge de la couche d’inversion suit la fréquence f.
La génération de porteurs assure l’équilibre,
le transit entre la zone neutre et la couche d’inversion
Tout se passe comme s’il y avait un contact
entre la couche d’inversion et la zone neutre
La charge de la couche d’inversion ne suit pas la fréquence f.
La génération de porteurs est trop lente
Equivalent à l’absence de connexion
entre la couche d’inversion et la zone neutre du SC
eox
eox
lZD
lZD
~
f
~
f
CA=εox /eox
1/CA=eox/εox + lZD/ε sc
BASSES ET HAUTES FREQUENCES (2)
CSC =
Cox =
ε ox
eox
ε SC
lZD
A
A
" R"
Le semiconducteur peut être assimilé à
une capacité en parallèle avec une résistance.
Aux fréquences élevée, on retrouve les deux capacités en série.
Aux basses fréquences, seule la capacité d’oxyde sera observable.
Capacité MOS
138
Inversion (ψ
s
> 2ψ b
)
Fréquence de mesure alternative basse
(cf. Fig. BASSES ET HAUTES FREQUENCES)
Elle est telle que la charge de la couche d’inversion puisse suivre exactement les variations de
la tension alternative appliquée. La charge d’inversion est à chaque instant en équilibre (grâce
aux générations-recombinaisons dans la zone désertée) et respecte donc absolument la courbe
QAsc(ψs) dont on ne garde ici que le terme exponentiel en + qψ S :
1/ 2
(ψ s −2ψ b )/2kT
kT 

Q = −  2ε SC qN a    eq
 q 

De manière tout à fait similaire à l’accumulation, la capacité évolue exponentiellement avec le
potentiel de surface, avec un "retard" 2ψ b :
A
SC
C =
A
SC
ε SC
2 LD
q (ψ s −2ψ b )
e 2kT
ψ s > 2ψ b et basse fréquence
Fréquence de mesure alternative élevée
Les générations-recombinaisons sont insuffisantes pour assurer l’équilibre. La charge de la
couche d’inversion est invariante durant un cycle alternatif de mesure, la zone désertée se
comporte comme un isolant. Il est facile de montrer en électrostatique que l’existence d’une
zone conductrice (la couche d’inversion) entre les deux isolants ne change rien à la capacité.
Donc la structure se comporte comme deux isolants en série placés entre 2 conducteurs, la
grille et le SC neutre.
Nous avons vu dans l’étude de la structure MOS qu’en inversion forte, la profondeur de la
zone désertée varie peu, et qu’elle peut être assimilée à la valeur de la zone désertée d’une
hauteur de barrière 2ψ b , appelée lmax :
A
CSC
=
ε SC
lmax
lmax =
2ε SC 2ψ b
qN a
ψ s > 2ψ b et haute fréquence
Cette capacité est donc constante en inversion.
NB :
Si l’on voulait raffiner, il faudrait retirer à lmax l’épaisseur de la couche d’inversion (~LD),
mais il y aurait alors d’autres corrections du même ordre (cf. MOS Annexe tension seuil VT)
qui iraient en sens contraire.
Capacité MOS
139
DEPLETION PROFONDE
QAsc
(pas de formation de zone désertée)
ψs
VG
Qsinv=0
ψs
GENERATION DE LA ZONE DESERTEE
(après déplétion profonde)
QAsc
VG = Cte => |QAinv(t)|
ψs
(t infini)
ψs(t)
QAinv(t)
Capacité MOS
ψs
(t=0) VG
ψs
ψs
140
Application rapide de la tension VG de polarisation.
Supposons que le balayage se fasse des VG négatifs (accumulation pour un SC type p) vers les
VG positifs qui normalement provoquent une inversion. Si l’application de cette tension de
polarisation est rapide, (une heure peut-être rapide pour un bon matériau !), alors la couche
d’inversion ne se forme pas.
Les figures DEPLETION PROFONDE et GENERATION DE LA ZONE DESERTEE
correspondent à ce cas: la zone désertée s’étend, le potentiel ψs peut largement dépasser 2ψb
et donc l’essentiel de la variation de potentiel peut avoir lieu dans le SC (ψs) alors qu’il peut
être beaucoup plus faible dans l’oxyde (VG-ψs). C’est un régime hors équilibre appelé
désertion profonde. La génération de porteurs permettra avec le temps la constitution de la
couche d'inversion d'équilibre.
La capacité est clairement celle d’une zone désertée et peut donc s’exprimer, comme
précédemment dans le régime de désertion, par :
CSCA =
ε SC
lZD
lZD =
2ε SC (ψ s − kT q )
qN a
application VG rapide
A VG fixe, le potentiel de surface ainsi que la longueur de zone désertée vont diminuer avec le
A
:
temps, ce qui induira une augmentation de la capacité CSC
ψ s( t ) ↓
A
lZD ( t ) ↓ CSC
(t )↑
A
Qinv.
(t )↑
Capacité MOS
141
CAPACITE MESUREE (Dynamique)
Génération recombinaison,
échange d’électrons
entre bandes
de conduction et de valence,
pour assurer l’équilibre
de la couche d’inversion
Capacité
mesurée
Accumulation
Cox
n
e r ti o
Dés
Inversion
Basse fréquence
Haute fréquence
zone désertée " isolante ",
pas d’échanges
Inversion
Retour
Équilibre
VG=Cte
Désertion profonde
Variation VG trop rapide
La couche d’inversion ne se forme pas
La zone désertée augmente, la capacité diminue..
VT
VG
CSC(ψs) et C(VG) DYNAMIQUES
0,010
Csc (F/m 2 )
23
-3
Si, 300K, 10 m
Basse fréquence
0,005
Haute fréquence
0,000
-0,5
0,0
0,5
0,015
C (F/m 2 )
1,0
ψ s(V)
0,010
23
1,5
-3
Si, 300K, 10 m
Ox: 30A
Basse fréquence
0,005
Haute fréquence
0,000
-2,0
0,0
2,0
VG
Capacité MOS
4,0
142
Synthèse, capacité de la structure MOS
Pour des mesures en accumulation, en désertion et en inversion basse fréquence, la figure de
principe CAPACITE MESUREE illustre le comportement de la capacité de l’ensemble de la
structure MOS.
Dans le cas le plus général, nous avons montré que la capacité de l’ensemble de la structure
MOS, capacité qui serait mesurée de l’extérieur, est équivalente à celle de l’oxyde et du SC
placés en série.
1
1
1
=
+
Tous cas confondus
C Cox CSC
Elle est minimum en désertion juste avant l’inversion, et se rapproche de celle de l’oxyde en
accumulation et inversion puisque les pentes des exponentielles deviennent très grandes. Nous
préciserons plus loin l’écart entre la capacité de la structure et celle de l’oxyde.
Il faut noter que la courbe basse fréquence est impossible à mesurer sur les bons matériaux
actuels car il faudrait des fréquences de mesure très largement inférieures au Hz, à moins de
chauffer ou d’éclairer le SC.
Dans les conditions habituelles de mesure, juste après l’application de la polarisation, pour
VG > VT le matériau se trouvera en désertion profonde. La capacité rejoindra alors
progressivement la courbe haute fréquence, et jamais la courbe basse fréquence : en effet, si la
couche d’inversion n’est pas en équilibre avec la polarisation VG , elle suit encore moins le
signal alternatif de mesure qui lui est superposé, beaucoup plus rapide, et elle ne peut donc
que rejoindre la courbe haute fréquence.
Cas du transistor MOS
Sur un transistor MOS c’est la capacité basse fréquence que l’on mesure car les porteurs libres
nécessaires à la couche d’inversion sont très rapidement acheminés depuis les zones de source
et de drain.
Capacité MOS
143
CAPACITE NORMALISEE (Dynamique)
C/Cox
Accumulation
kT/q
VG
Bandes
plates
1
kT/q
VG -2ψb
Basse fréquence
sert
Dé
Invers
i
on
1
1+(εοx/εsc)(LD/eox)
ion
Inversion
1
Haute fréquence
1+(εox/εsc)(lmax/eo x)
VT
Capacité MOS
VG
144
Capacité normalisée
La figure capacité normalisée donne les principales caractéristiques du rapport C Cox .
La capacité de bande plate, pour ψ s = 0 présente un intérêt particulier, comme nous le verrons
plus loin. Elle est telle que :
1
1
L
=
+ D
C Cox Aε SC
Nous donnons ci-dessous quelques précisions sur l’allure de cette courbe normalisée.
En régime d’accumulation, seul le terme exponentiel des trous est notable et donc :
qψ
QSC = K exp(− s )
Une différentiation conduit à :
2kT
dQSC
dψ s
=−
QSC
2kT q
soit, en remplaçant
QSC
par
QSC = Cox (ψ s − VG ) ,
dQ
et ensuite en utilisant
CSC = − SC
dψ s
CSC ψ s − VG
=
(rappel, ceci est valable en accumulation, SC type p)
Cox
2kT q
Pour appréhender la manière dont la capacité tend vers Cox réécrivons la relation
1
1
1
Cox − C Cox
=
+
sous la forme :
=
soit finalement :
C Cox CSC
C
CSC
Cox − C 2kT q
=
grandeur qui est bien positive. Comme ψs est faible en accumulation, et
C
ψ s − VG
VG négatif (type p) :
Cox − C 2kT q
≈
C
VG
expression qui nous donne, connaissant VG, l’écart relatif entre sur la mesure de la capacité C
de la structure MOS et celle de l’oxyde (cf. fig. CAPACITE NORMALISEE).
Une expression semblable peut-être démontrée pour la mesure de la capacité en inversion
basse fréquence :
q (ψ s − 2ψ b )
Cox − C
2kT q
≈
en utilisant
QSC = K exp
C
VG − 2ψ b
2kT
NB :
Du fait de l’utilisation d’oxyde de plus en plus fins, il faudrait tenir compte, dans l’évaluation
de la capacité d’oxyde, de la zone désertée dans le métal, qui même si elle est courte (~1Å car
chaque atome est un dopant potentiel et donc la charge d’espace est très élevée) n’est plus
négligeable.
Capacité MOS
145
CARACTERISATION: type du dopage
C: Capacité
mesurée
C: Capacité
mesurée
VG
VG
Substrat type p
Substrat type n
CARACTERISATION: eox, dopage, VFB
C: Capacité
mesurée
1 – Mesure de Cox => eox
4 – Détermination de VFB
VFB
3 – Tracé de C(VG) théorique
2 – Mesure de 1/Cox +1/Cscmin => lmax => dopage
VG
Capacité MOS
146
Caractérisation : eox, dopage, VFB
Tout d’abord, l’allure générale de la courbe renseigne immédiatement sur le type du
semiconducteur. (voir figure Caractérisation : type de dopage)
Ensuite la mesure en accumulation donne accès à l’épaisseur d’oxyde eox car :
ε A
Cox = ox
eox
La connaissance de la capacité haute fréquence CHF , en inversion, permet alors de calculer
lmax à partir de la relation :
l
1
1
=
+ max
CHF Cox ε SC A
Il est alors possible de déterminer la dopage du matériau, compte tenu des deux équations :
2ε SC (2ψ b )
N
kT
lmax =
et
ψ b = ln( a )
qN a
q
ni
Qui en éliminant ψ b conduit à une équation transcendante en N a .
PS : il suffit en fait d’écrire
2ε 2kT
N
ln( a ) ,
N a = 2SC
qlmax q
ni
de porter un dopage raisonnable dans le logarithme, de calculer N a , et de boucler une fois.
Ces éléments permettent ainsi de tracer la courbe théorique C (VG ) . Elle est décalée en tension
par rapport à la courbe expérimentale : la valeur en volt qui sépare ces deux courbes (de la
courbe théorique vers la courbe expérimentale, donc positive dans le cas de la figure) est la
tension de bande plate VFB .
Rappel VFB est la tension grille qu’il faut appliquer à la structure pour qu’elle soit en bandes
plates : sur la figure, il est manifeste qu’il faut appliquer une tension VG positive pour obtenir
la capacité de bande plate.
VFB et états d’interface :
dans toute notre étude nous n’avons jamais tenu compte des états d’interface ou de charges
mobiles dans l’oxyde. S’ils existent, la courbe expérimentale n’est pas seulement une
translation de la courbe théorique, mais elle est déformée. Toutefois la détermination de VFB
ne change pas, si l’on prend bien soin de déterminer le décalage en VG pour la valeur de
bande plate CFB déterminée par :
1
1
L
=
+ D
CFB Cox ε SC A
où
LD
est la longueur de Debye :
Capacité MOS
LD = ε SC
kT
q
qN a
147
PONT DIVISEUR DE TENSION
ψs
Capacités de zone désertée
Q
Cdynam.= dQ/dψs
ψs
Cstatique. = Q/ψs
VG
εox
eox
εSC
A
ψs
Q2 = K.ψs
2.dQ / Q = dψs / ψs
2.dQ / dψs = Q / ψs
lZD
Capacité d’Oxyde
Donc:
2.Cdyn. = Cstat.
-------------Cdyn.?
Cdyn. = A εSC/lZD
Cstatique = Cdynamique
Cox = A εox/eox
(capacité de l’ isolant)
--------------
Pont (de capacité statique) diviseur de tension:
ψs = VG. (1/CSC)/(1/Cox+1/CSC)
Cstat.?
Q = A 2ε SC qNψ S
lZD =
VG = ψs (1+2(εsc/εox) (eox/lZD))
Capacité MOS
2ε SCψ S
qN
⇒ Cstat = Q ψ S = A 2ε SC lZD
148
Capacités statiques et pont diviseur de tension
Nous profitons de cette présentation des capacités pour donner une justification "électrique"
de l’expression de la tension seuil établie dans l’étude de la structure MOS (cf. Chapitre
MOS) :

ε e 
VT = 2ψ b 1 + 2 sc ox 
ε ox lmax 

En fait, la tension ψ s est liée à la tension VG par le pont diviseur constitué par les capacités
d’oxyde et du SC :
stat .
1 CSC
ψ s = VG
stat .
1 CSC
+ 1 Coxstat .
La tension seuil VT est alors simplement la tension VG pour laquelle ψ s est égal à 2ψ b :
stat .
1 CSC
2ψ b = VT
stat .
1 CSC
+ 1 Coxstat .
ou encore :
 C stat . 
VT = 2ψ b 1 + SC
stat . 
 Cox 
La figure PONT DIVISEUR DE TENSION explicite les valeurs des capacités statiques :
Coxstat . =
ε ox
eox
CSCstat . = 2
A
ε SC
A
lmax
qui, reportées dans l’expression, nous procure la tension seuil recherchée :

ε e 
VT = 2ψ b 1 + 2 sc ox 
ε ox lmax 

Noter que le facteur 2 dans l’expression de la capacité du SC provient de la dépendance en
racine carrée de la charge du SC ( Q = K ψ ) : la capacité statique de zone désertée Q /ψ est
deux fois plus élevée que sa capacité dynamique dQ / dψ (elle même égale à ε A l ).
A
A la lumière de ces explications, la transformation de QZD
max utilisée pour transformer
l’expression de la tension seuil (cf. TMOS Annexe: Tension VDSAT approximation) devient
claire : c’est la charge par unité de surface contenue dans la capacité statique de valeur
surfacique 2
A
QZD
max = 2
ε SC
lmax
ε SC
lmax
, aux bornes de laquelle est appliquée une tension 2ψ b soit :
2ψ b
Capacité MOS
149
CAPACITE D’UNE ZONE DESERTEE
1
2
ρ(x)
ρ=0
ρ(l)
x=0
l
x
E=0
Ψs
Ψ
Capacité MOS
150
Capacité MOS Annexe: Capacité d’une zone
désertée.
dQSC
dψ S
Soit une zone désertée d’un SC située en surface d’un SC (cf. figure CAPACITE D'UNE
ZONE DESERTEE) dont le dopage n'est pas forcément constant.
Pour simplifier les notations, le potentiel est choisi nul dans la zone neutre et égal à ψ s en
surface. Rappel : un potentiel est défini à une constante près.
La variable d’espace x est choisie nulle en surface (important) , elle s’enfonce dans le SC.
Nous utiliserons ici l’extension de la notion de capacité:
CSC = −
L’expression de la charge respecte :
l
QSC = A∫ ρ dx
0
et le potentiel peut être calculé à partir de (cf. MOS Annexe: Gauss et électrostatique 1D)
2 xρ
2
ψ 2 −ψ 1 = ∫
dx − [ x E ]1
1
ε
cette relation est particulièrement sympathique à employer ici car :
x est nul en 1, et le champ E nul en 2
d’où :
l xρ
ψ s = −∫
dx
0
ε
Les différentielles de QSC et ψ respectent donc :
dQSC = Aρ (l ) dl
dψ s = −
l ρ( l )
ε
dl
Dont le rapport, avec le signe moins provenant de sa définition, donne la capacité :
εA
CSC =
l
La zone désertée par les porteurs libres se comporte donc exactement comme un isolant.
NB: La quantité:
l x ρ
ψ s = −∫
dx
0
ε
peut être comprise de deux manières différentes (A est la surface de la capacité):
1 l
ψs = −
x ρ Adx
qui est un calcul de barycentre
ε A ∫0
l ρ Adx
l dQ
ψ s = −∫
=∫
qui est une somme de tensions aux bornes de capacités
0 εA
0 C
( x)
x
Capacité MOS
151
Capacité MOS
152
Capacité MOS Annexe : Mesure des capacités
Capacité dynamique
dQ
dV
est souvent mesurée en appliquant une tension harmonique :
V = V0 + v0 e jωt ce qui implique dV = jω v0 e jωt dt
D’où la capacité
dQ dt
i
C=
C=
soit
jω t
jω v0 e
jω v0 e jωt
Pour une capacité linéaire, ou non linéaire avec de faibles excursions en tension, la charge est
elle aussi harmonique, et en phase avec la tension appliquée ; donc le courant (sa
dérivée/temps) est en quadrature :
i = i0 j e jωt d’où:
i
Cω = 0
expression bien connue de l’impédance d’une capacité.
v0
C=
La capacité dynamique
Capacité quasistatique
i
dV dt
est mesurée à partir du courant qui circule lorsqu’on applique une rampe de tension. En la
comparant à l’expression de la capacité dynamique :
i
il s'avère que la rampe de tension joue le même rôle (et a d’ailleurs bien
C=
jω v0 e jωt
sûr la même dimension) que le produit ω v0 . Ceci permet d’avoir la réponse capacitive pour
des "fréquences" faibles : une rampe de tension de 1V/sec "équivaut" à une fréquence de
1,5Hz pour une amplitude v0 de 100mV.
La capacité quasistatique
C=
Capacité statique
Une mesure directe de la charge Q est rarement effectuée. Nous voudrions simplement
rappeler ici qu’il faut prendre beaucoup de précautions. Tout d’abord, il peut très bien y avoir
des charges dans les 2 conducteurs (ou SC), sans tension appliquée, du fait de la nature
différente de ces conducteurs, le cas le plus classique étant la jonction p-n. Il faut donc faire
intervenir un décalage de tension.
D’autre part la notion de charge d’un conducteur n’est pas toujours évidente à préciser dans le
cas où il n’y a pas d’isolant proprement dit; dans une jonction p-n par exemple ; notamment
en polarisation directe, les porteurs d’une zone envahissent la zone opposée et il est délicat
d’évaluer la charge d’une armature de ce type particulier de condensateur. En fait le problème
est quelque peu théorique car, en polarisation directe, la conductance devient très élevée et la
capacité non mesurable.
Capacité MOS