Transcript DS3 CCP 06

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Devoir de S.I. n°3
Mercredi 26 novembre 2014
P.C.S.I.
Machine outil à structure parallèle ( d’après concours C.C.P. 2006 )
Les mots suivi d’une * sont définis dans un glossaire donné en fin de sujet.
La machine-outil* URANE SX développée par la société COMAU
(ex RENAULT AUTOMATION) de Castres est représentée ci-contre.
L’URANE SX est une machine-outil à broche horizontale* dédiée aux
opérations de perçage, lamage*, taraudage* et alésage*, à structure parallèle de
type Delta ( Figure 1 ) ce qui lui confère des performances dynamiques très
supérieures (de l’ordre de 30%) à celles des structures séries classiques.
L’architecture de base est constituée d’un bâti tunnel ( Figure 2 )
monobloc rigide dans lequel sont disposés les trois axes parallèles de
déplacement, également répartis.
→
Les axes de déplacement en translation de direction z0 , sont réalisés
par des glissières à galets à recirculation et motorisés par des moteurs linéaires
mot1 , mot2 et mot3 , associés à des règles de mesure haute résolution.
→
y0
Moteur linéaire motj
Barre de
liaison bi
Bâti R0
→
z0
O0
→
x0
Platine porte
électro-broche
Figure 1
Leur pilotage par une commande
numérique rapide et performante confère à
l’unité
une
raideur
d’asservissement
élevée et des performances dynamiques
autorisant
des
combinaisons
variées
d’usinage par interpolation des axes avec
une grande précision et une bonne
répétabilité de positionnement.
Le déplacement des axes par
moteurs linéaires autorise des vitesses de
déplacement
élevées,
accélérations
permettent
importantes.
le
positionnement
avec
des
Ces
axes
déplacement
dans
les
trois
et
le
Figure 2
plans
spatiaux d’une électro-broche à très grande vitesse adaptée à l’usinage TGV ( Très Grande Vitesse ) .
Figure 3
2
La zone d’usinage est constituée d’un ensemble accouplé à l’avant de l’unité, entièrement cartérisé*, avec portes manuelles
sécurisées permettant le chargement et le déchargement des pièces et l’accès à l’outil. Un tablier télescopique plan ( Figure 3 )
assure la séparation de la zone de travail avec le bâti tunnel.
La platine est reliée à chacun des 3 moteurs par 2
des 6 barres b1 à b6 , de même longueur L, en liaisons
rotules* de centres A1 à A6 avec les moteurs et en liaison
rotules de centres B1 à B6 avec la platine. Toutes les
→
distances des points Ai à l’axe (O0, z0 ) sont égales
et constantes.
La coordination d’ensemble des axes 1, 2 et 3
( Figure 5 )
est réalisée par une commande numérique
comprenant le directeur de commande numérique et les
cartes d’asservissement des trois axes. Ces dernières agissent
sur les modules électroniques de puissance des trois moteurs
linéaires.
Bien que les variables manipulées par la commande
numérique
soient
des
variables
numériques,
on
les
considèrera, pour la suite du sujet, comme étant analogiques :
le système est donc, sur le plan théorique, supposé linéaire et
continu.
Figure 4
I - Modélisation d’un moteur linéaire.
Les moteurs linéaires sont depuis
Module de
puissance
longtemps utilisés dans l’industrie, aussi
bien sur les machines-outils que sur les
Commande
numérique
petits équipements de fabrication (semiconducteurs par exemple). Ils s’imposent
dès lors qu’une grande vitesse et/ou une
grande précision sont nécessaires.
Ils sont caractérisés par l’absence
de contact mécanique et l’absence de
transformation de mouvement
( on dit
aussi qu’ils sont à entraînement linéaire
direct ) , le mouvement et l’effort étant
Moteur
linéaire 1
AXE 1
Moteur
linéaire 2
AXE 2
Moteur
linéaire 3
AXE 3
Platine
porte
électrobroche
Capteur de
position
Module de
puissance
Capteur de
position
Module de
puissance
Capteur de
position
directement appliqués à la charge sans
perte due aux systèmes de transmission et
de conversion
Figure 5
de mouvement (rotatif en linéaire, par exemple).
Ils sont constitués ( Figure 6 ) d’un barreau magnétique composé d’aimants permanents à polarité alternée, entouré
d’un bloc moteur (ou carcasse) contenant trois séries de n solénoïdes Ai , Bi et Ci entrelacés parcourus respectivement par les
courants iA , iB et iC .
Le module électronique de puissance utilise les informations délivrées par deux capteurs à effet Hall* implantés dans le bloc
moteur pour synchroniser les variations des courants iA , iB et iC avec le déplacement du bloc moteur afin de maintenir un effort
constant sur la charge à déplacer.
3
Figure 6
On note ( Figure 7 ) :
• z : la distance d’un solénoïde par rapport à un pôle nord
• i : l’intensité du courant qui parcourt le solénoïde
compté positivement dans le sens direct autour de
l’axe z
• pS : le pas (ou période spatiale) égal à la longueur de
Figure 7
deux aimants
• B(z) : le champ magnétique au niveau du solénoïde
• FS(z) : la force développée par le solénoïde
Dans ces conditions, la valeur du champ magnétique B(z) au niveau du solénoïde ainsi que la force FS(z) développée par ce
z
z
dernier sont données par les expressions suivantes :
B(z) = B0 cos ( 2 π ) et FS(z) = - KS i cos ( 2 π ) avec
pS
pS
• B0 : valeur du champ magnétique au niveau du pôle nord
• KS : constante dépendant des caractéristiques du barreau magnétique et du solénoïde
Comme l’illustre la Figure 7 , FS(z) s’annule pour z =
pS
3 pS
ou z =
4
4
Afin de maintenir un effort constant permettant
A1
B1
C1
A2
B2
de mouvoir le moteur quelle que soit la position z , on
dispose de n séries de trois solénoïdes Ai , Bi et Ci
pS
( i = 1 à n ) décalés de
et parcourus respectivement
3
par les courants iA , iB et iC ( Figure 8 ).
On note z la position du solénoïde A1 par
N
S
S
z
z
pS
z+
3
rapport à un pôle nord.
capteurs à effet Hall implantés dans le bloc moteur.
Le deuxième décalé du premier d’un quart de période ps délivre l’information :
Les courants dans les solénoïdes Ai , Bi et Ci sont respectivement :
z
)
pS
z 2π
+
) et
pS
3
2 pS
3
Figure 8
Le premier capteur, implanté au droit du solénoïde A1 , délivre une information :
Q.1 - Montrer que iB = - i cos ( 2 π
pS
3
ps
et iC en fonction des informations délivrées par deux
iA = - i cos ( 2 π
z+
z+
On fait varier la répartition des courants iA , iB
Il est clair que
→
z
N N
iC = - i cos ( 2 π
z 2π
)
pS 3
iA = - i
B1
B0
z
)
pS
z
B2 = B0 sin ( 2 π )
pS
B1 = B0 cos ( 2 π
iB = i
B1 + B2 3
2 B0
iC = i
B1 - B2 3
2 B0
4
Q.2 - En s’aidant de la Figure 8 , montrer que dans ces conditions, l’effort total F généré par l’ensemble des solénoïdes Ai , Bi et Ci
3
devient indépendant de la position z du bloc et s’écrit F = n KS i = Km i où Km est la constante de force globale du moteur.
2
II - Modélisation d’un axe.
Le schéma fonctionnel d’un axe est représenté Figure 9.
Fr
Moteur linéaire
Commande
numérique
Module de
puissance
um
iA
iB
iC
B1
B2
Solénoides
Bloc
moteur
F
zm
Capteurs à
effet Hall
Platine
+
Electrobroche
ze
Capteur de
position
Figure 9
La commande numérique délivre un signal de commande um(t) en volts.
L’intensité i(t) générée par le module de puissance est donnée par l’expression :
La force F(t) transmise au bloc moteur est donnée par l’expression :
i(t) = Ke um(t)
(1)
F(t) = Km i(t)
(2)
L’ensemble « bloc moteur + barres de liaison + platine porte électrobroche » est modélisé Figure 10 avec :
• f : coefficient de frottement visqueux des glissières à galets à recirculation
• k : les deux barres de liaison sont assimilées à une barre unique de coefficient de raideur k .
• m : masse du bloc moteur
• M : masse des barres, de la platine et de l’électrobroche
• Fr(t) : effort résultant de l’opération d’usinage agissant comme une perturbation.
zm(t)
Il en résulte les équations suivantes :
d zm
d 2z m
- k ( zm - ze ) = m 2
dt
dt
d 2z e
k ( zm - ze ) - Fr (t) = M 2
dt
F(t) - f
(3)
ze(t)
k
F(t)
m
(4)
M
Fr(t)
f
Q.3 - Déterminer les transformées de Laplace des
Figure 10
équations (1) à (4) ci-dessus en considérant nulles les
valeurs initiales.
Q.4 - A partir des équations (1) à (4) et du schéma bloc de
la Figure 11, donner les expressions littérales des
fonctions de transfert G1(p), G2(p) et G3(p).
Fr(p)
F(p)
Um(p)
G1(p)
+
G2(p)
+
k
Figure 11
+
-
Ze(p)
G3(p)
5
Afin de simplifier la modélisation de l’ensemble
« bloc moteur + barres de
zm(t)
liaison + platine porte électro-broche », on suppose f négligeable et la raideur k des
barres infinie. On note MT la masse de l’ensemble « bloc moteur + barres de liaison +
F(t)
Cela conduit à la représentation de la Figure 12 avec :
F(t) - Fr(t) = MT
d 2z m
dt2
L’organisation fonctionnelle d’un axe asservi est alors représentée par le schéma
Figure 12
bloc de la Figure 13 avec :
•
C(p) : fonction de transfert du
Fr(p)
correcteur
•
Kr : gain du capteur absolu de
Zc(p)
Nc(p)
Kr
position
•
Fr(t)
MT
platine porte électro-broche ».
Um(p)
+
+
-
Zc : consigne de position définie
-
Zm(p)
1
MT p 2
Kr
Nm(p)
par la commande numérique
F(p)
Ke Km
C(p)
Une dernière simplification rend
Figure 13
unitaire la boucle de retour, Figure 14.
Fr(p)
III - Etude du capteur de position.
Zc(p)
La mesure de position est effectuée par une
Um(p)
+
règle collée au bâti munie de fentes espacées d’une
F(p)
Kr Ke Km
C(p)
-
+
-
Zm(p)
1
MT p
2
distance pr ( pr = 4 µm , pas de la règle ) et par deux
Figure 14
capteurs optiques A et B montés sur le bloc
moteur et décalés d’un quart de pas
pr
( Figure 15 ) .
Ces capteurs renvoient l’information
0
s’ils se situent face à une fente ou 1 dans le cas
contraire.
Suivant le sens de déplacement du moteur,
Figure 15
Z+ ou Z- , les capteurs A et B renvoient les
informations a et b données Figure 16 .
Un compteur
Nm
d’origine mesure (POM), est
a
1
a
1
incrémenté
0
0
mis à zéro lors de la prise
suivant
ou décrémenté
le
sens
de
déplacement du moteur à
chaque
changement
d’état
( passage de 0 à 1 ou passage
de 1 à 0 )
t
b
1
t
b
1
0
0
Déplacement suivant Z+
du couple de
variables ( a, b ) .
Q.5 - Justifier que le gain du capteur soit égal à Kr = 106 incréments/mètre
t
Figure 16
Déplacement suivant Z-
t
6
IV - Etude des performances du système asservi.
On considère le schéma bloc de la Figure 14. Le correcteur est à action proportionnelle et dérivée (PD) de fonction de
transfert C(p) = KC ( 1 + Td p ) .
Q.6 - Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte HBO(p) et l’expression du gain de boucle KBO .
Q.7 - Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée HBF(p) , en l’absence de perturbation Fr(p).
L’effort perturbateur est un échelon de la forme Fr = F0 u(t) .
Q.8 - Déterminer l’expression de l’écart en régime permanent εFr = lim ( zc(t) - zm(t) ) pour zc(t) = 0 dû à cette perturbation.
t→∞
On néglige la perturbation, le schéma bloc devient celui de la Figure 17. On donne :
• Kr = 106 incr/m
• Ke = 1 A/V
Zc(p)
• Km = 500 N/A
Um(p)
+
KC ( 1 + T d p )
F(p)
Kr Ke Km
-
Zm(p)
1
MT p
2
• MT = 95 kg
• Td = 0,1 s
Figure 17
La Figure 18 représente le diagramme de Bode en boucle ouverte pour la valeur KC = 1 V/incr.
Figure 18
Q.9 - Justifier quantitativement le diagramme de Bode proposé.
Q.10 - Par lecture du diagramme de Bode, quel est le gain en dB obtenu à la pulsation où la phase vaut -135° ? Retrouver cette
valeur par le calcul d’après l’expression de HBO(p).
Le critère de stabilité retenu nécessite qu’à la pulsation où la phase vaut -135°, le gain soit nul ( justification : cours de PSI ).
Q.11 - Quelle est la valeur de KC qui assure ce critère ?
7
Afin de ménager la mécanique, on utilise une loi de commande en position « cubique » ( Figure 19 ), caractérisée par des
accélérations en trapèze, le Jerk correspondant à la dérivée de l’accélération. On s’intéresse aux quatre premières phases. Pour
chacune d’elles, on considère nulles l’origine des temps et les conditions initiales.
Position
Z(t)
1
Vitesse
2
3
4
5
6
7
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t
t4
t5
t6
t7
Vm
Accélération
γm
t1
t2
t3
t2
t3
t
Jerk
Jm
t4
t1
t5
t6
t7
t
-Jm
Figure 19
Q.12 - Reproduire, sur la feuille de copie, le tableau de la Figure 20 ci-après et le compléter en donnant les expressions littérales,
pour chaque phase, du jerk, de l’accélération, de la vitesse, de la position zc(t) , de sa transformée de Laplace Zc(p) et de l’écart en
régime permanent ε(∞) = lim ( zc(t) - zm(t) ) en vous inspirant des réponses données pour la phase 4.
t→∞
( On ne retiendra que le terme de plus haut degré en t de chaque expression des lignes Accélération, Vitesse et Position )
8
Caractéristiques
Phase 1
0 à t1
Phase 2
t1 à t2
Phase 3
t2 à t3
Phase 4
t3 à t4
Jerk
0
Accélération
0
Vitesse
Vm
Position zc(t)
Vm t
Zc(p)
Vm
p2
ε(∞)
Figure 20
On introduit une correction par anticipation comme l’illustre la Figure 21.
Ka p 2
Zc(p)
+
KC ( 1 + T d p )
-
+
+
Kr Ke Km
Zm(p)
1
MT p
2
Figure 21
Q.13 - Déterminer la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée.
Q.14 - Montrer que, si on choisit correctement le gain Ka , il est possible d’annuler l’écart de poursuite ε(∞).
Q.15 - Quelle est alors l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée ?
GLOSSAIRE CHRONOLOGIQUE :
- Machine outil : Machine permettant de réaliser des opérations d’usinage, c’est à dire d’enlèvement de matière, en vue de la
réalisation de pièces mécaniques. On distingue :
- les machines outils dont l’outil se déplace rapidement (mouvement de coupe, en général rotation) et la pièce lentement
(mouvement d’avance, en général translations), cas de la machine étudiée ici.
- les machines outils dont la pièce se déplace rapidement et l’outil lentement, cas du tour par exemple.
- Broche : Ensemble tournant et recevant les outils réalisant l’enlèvement de matière.
- Machine outil à broche horizontale : Machine outil dont le mouvement de coupe de l’outil est une rotation d’axe horizontal.
- Taraudage : Opération succédant à un perçage, et consistant à réaliser la forme dans laquelle une vis pourra être implantée.
- Lamage : Opération succédant à un perçage, consistant à agrandir le diamètre de perçage sur les premiers millimètres de celui-ci
et dont le but est généralement de cacher la tête de la vis que recevra le perçage une fois taraudé.
- Alésage : Réalisation de forme de révolution à l’intérieur d’un perçage.
- Cartérisé : Enfermé dans un carter, c’est à dire dans une enceinte inaccessible à l’opérateur lorsque la broche fonctionne.
- Liaison rotule : Liaison entre deux pièces, du type sphère dans sphère creuse, autorisant toutes rotations entre les deux pièces,
mais aucune translation.
- Effet Hall : Demander, si besoin, au prof de physique ! ! !