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Licence de Math´
ematiques – S4
2013-2014
M45, Analyse num´
erique
TP2 – Interpolation polynomiale
Exercice 1. V´erifier les commandes de Scilab d’exercice 3 et 4 du TD2. Comparer les
r´esultats.
Exercice 2. En rappelant exercice 2 du TD2, ´ecrire un programme Scilab permettant
de tracer `a la fois les points d’interpolation (xj , yj ) et le polynˆome p(x), pour diff´erentes
valeurs de n. V´erifier la valeur pour (n + 1).
Exercice 3.
´
1. Ecrire
une fonction Scilab [dd]=diffdiv(xp,yp) qui, pour des points d’interpolation donn´es par xp et yp, calcule le vecteur dd qui contient les diff´erences divises
(∇0 [x1 ], ∇1 [x1 , x2 ], . . . , ∇n−1 [x1 , x2 , . . . , xn ]).
´
2. Ecrire
une fonction Scilab [P]=myhorner(dd,xp,x) qui, ´etant donn´es les diff´erences
divises dd, les points d’interpolation xp et le vecteur x, calcule par l’algorithme de
Horner la valeur du polynˆome d’interpolation de Lagrange P en chacune des coordonn´ees de x.
´
3. Ecrire
une fonction Scilab comparaison(f,a,b,n) qui, ´etant donn´es la fonction f,
l’intervalle [a, b] d’interpolation et le nombre de points d’interpolation n :
– d´efinit les points d’interpolation (xi )1≤i≤n :
b−a
• points ´equir´epartis : xi = a + (i − 1) n−1
, 1 ≤ i ≤ n,
a+b
b−a
π
• et points de Tchebychev : xi = 2 + 2 cos((2i − 1) 2n
), 1 ≤ i ≤ n,
– calcule le polynˆome P d’interpolation de f aux points (xi )1≤i≤n ,
– repr´esente sur un mˆeme graphique la fonction, les points d’interpolation et le
polynˆome d’interpolation (dans un premier temps, le graphique se limiter a` l’intervalle [a, b], mais on pourra ensuite ´elargir la zone graphique).
sur [−2, 2], pour diff´erentes
4. Tester le programme pour la fonction f (x) = sin(2πx)
2πx
valeurs de n. Comparer les r´esultats obtenus pour les points ´equir´epartis et les points
de Tchebychev.
1
5. Tester le programme pour la fonction f (x) = 1+x
2 sur [−5, 5], en utilisant toujours
les deux types de subdivisions (r´eguli`ere et Tchebychev). Que se passe-t-il lorsque n
augmente ?