Transcript Plan de prévention des risques naturels

Psi 945 – 2014/2015
http://blog.psi945.fr
Exercices
Séries entières
1
Rayons de convergence
an+1
pour calculer des rayons de convergence : très souvent, il est
an
préférable de penser les choses en termes de « pour quels r la suite (an rn )n∈N est-elle bornée ? »
On retiendra qu’il y a autre chose que
Exercice 1 — CCP 2009
P
P
On suppose que |an | ∼ |bn |. Montrer que les séries entières an z n et bn z n ont le même rayon de convergence.
P i n n2 n
En déduire le rayon de la série entière
z .
n2 + 1
Exercice 2 — Centrale 2010 √
X
n + (−1)n
√
On définit, pour n > 2, an = ln
· Déterminer le rayon de convergence de
an xn .
n+1
n>2
Exercice 3 — Des rayons ; stage 1
P
Déterminer les rayons de convergence des séries entières
an z n , avec an défini des façons suivantes :
n
n
1. an =
;
n!
2
2
2. an = e(n+1) − en ;
√ −√n
;
3. an = (ln n)− ln n puis an = n
√
√
4. an = e n puis an = e−
nα
1
5. an = cosh
;
n
√
6. an = 945
n
n
;
.
Exercice 4 — Des rayons ; stage 2
Same player shoot again.
1. a2n = 944n et a2n+1 = 945n ;
(√
( n)! si n est un carré d’entier
2. an =
0
sinon
(
945p si n = p!
3. an =
0
sinon
4. a0 = 0, a1 = 1 et an+2 = an + an+1 pour tout n ∈ N.
Exercice 5 — Des rayons ; stage 3
Quelques derniers pour la route.
1. (an ) est telle que an −→ 945 ;
n→+∞
2. an =
3. an =
n
X
k 945
k=1
945n
;
n
4. an =
1+
1
1
+ ··· +
2
n
ln n
Dans les situations un peu théoriques, on peut (pour se fixer les idées) remplacer l’hypothèse « R(
1
par « an = n » : ça marche assez bien pour intuiter le bon résultat.
K
1
P
an z n ) = K »
Exercice 6 — Pair-impair
P
P
n
On suppose
a2n+1 z n ont pour rayons de convergence respectifs R > 0 et R0 > 0. Déterminer
P quen a2n z et
celui de
an z .
Exercice 7 — Harmonique alternée
n
+∞
X
X
(−1)k+1
(−1)k+1
On pose, pour n ∈ N∗ : Sn =
et Rn =
· Déterminer les rayons de convergence des
k
k
k=1
k=n+1
P
P
séries entières
Sn z n et
Rn z n .
an
et n!an
Exercice 8 — a2n ,
P n!n
P
P an n
z ?
On suppose que an z a un rayon de convergence R > 0. Que dire de celui de a2n z n ? et de celui de
n!
P
n
Et enfin de celui de
n!an z ?
2
Calculs de somme
Exercice 9 —
x3n
n=0 (3n)!
+∞
P
Calculer de deux façons différentes f (x) =
+∞
X
x3n
:
(3n)!
n=0
– à l’aide d’une équation différentielle ;
– en faisant intervenir exp(x), exp(jx) et exp(j 2 x).
∞ x4n
P
n=0 (4n)!
∞
X
x4n
·
On pose f (x) =
(4n)!
n=0
Exercice 10 —
1. Domaine de définition de f ?
2. Établir une équation différentielle du quatrième ordre vérifiée par f , et la transformer en une équation du
deuxième ordre en considérant f 00 + f .
3. Trouver la valeur de f (x).
Exercice 11 — Mines 2009
+∞
X
1. Calcul de la somme
x2n+2
·
(2n + 1)(n + 1)
n=1
2. Calcul de la somme
+∞
X
4n + 1
xn ·
(2n
−
1)(n + 1)
n=1
Exercice 12 — Des sommes
Calculer les sommes suivantes (en donnant les rayons de convergence) :
1.
+∞
X
n2 xn ;
n=0
+∞
X
2.
xn
;
(n + 1)(n + 3)
n=0
3.
+∞
X
cosh(na) n
x ;
n
n=1
4.
+∞
X
sin2 (nθ) 2n
x ;
n!
n=0
5.
+∞ 5
X
n n
x .
n!
n=0
Exercice 13 — Encore des sommes
Calculer les sommes suivantes (en donnant les rayons de convergence) :
2
+∞
X
1.
xn
;
2n − 1
n=0
2.
+∞
X
n+3 n
x .
2n
+1
n=0
Exercice 14 — Mines 2010
+∞
X
(−1)n
Calculer
·
4n + 1
n=0
Z
1
1
Si jamais on arrive à quelque chose ressemblant à
0
dt
, on n’ira pas plus loin dans les calculs...
1 + t4
Exercice 15 — Centrale 2010
Rayon de convergence, domaine de convergence et somme de
+∞
X
xn
·
2n + 1
n=0
Exercice 16 — Centrale 2010
an−1
·
On définit la suite a par : a0 = a1 = 1, et pour tout n > 1 : an+1 = an +
n+1
+∞
X
1. Trouver le rayon de convergence de la série entière
an z n .
n=0
2. Déterminer la somme de cette série entière à l’aide d’une équation différentielle.
Exercice 17 — CCP 2010
Montrer que pour tout t ∈ [−1, 1[,
+∞ n
X
t
= − ln(1 − t).
n
n=1
Exercice 18 — DES, Arctan...
∞
∞
X
X
(−1)n
1
et
·
Calculer
(4n + 1)(4n + 3)
(4n + 1)(4n + 3)
n=0
n=0
3
Des développements en série entière
Exercice 19 — Mines 2010
Développer en série entière l’application x 7→ e
x2
Z
x
2
e−t dt.
0
Exercice 20 — Des développements en série entière, stage 1
Développer en série entière (en précisant le domaine de validité du développement) les « fonctions » suivantes :
1. ln(x2 − 5x + 6).
2. ln(1 + x + x2 ) (attention : 1 + x + x2 = ···
··· ) ;
r
1−x
3.
(il y a peut-être un produit de Cauchy qui rôde...).
1+x
Exercice 21 — Des développements en série entière, stage 2
Idem (dériver au moins partiellement peut-être une bonne idée) :
√
1. x ln(x + x2 + 1) ;
2. Arctan(x + 1) ;
Z x
ln t2 − 52 t + 1
3.
dt ;
t
0
Z 2x
2
4.
e−t dt ;
x
Exercice 22 — Des développements en série entière, stage 3
Développer gnagnagna... (passer par des équations différentielles) :
Z x
2
2
1. f1 (x) = e−2x
e2t dt ;
0
1. ...
3
√
arcsin x
2. f2 (x) = p
;
x(1 − x)
3. f3 (x) = ex/(1−x) (on admettra que si f est développable en série entière sur ] − r, r[ alors ef l’est aussi au
moins sur cet intervalle).
4
Applications
Exercice 23 — Valeur approchée en 1
Montrer que l’équation 3ty 0 + (2 − 5t)y = t possède une unique solution f développable en série entière au
voisinage de 0. Calculer la valeur de f (1) à 5.10−5 près.
Exercice 24 — CCP 2010
Pour n ∈ N∗ , soit dn le nombre de permutations sans point fixe de {1, 2, ..., n}. On pose de plus d0 = 1.
X dn
xn est supérieur ou égal à 1. On note f (x) sa somme.
1. Montrer que le rayon de convergence de
n!
n X
n
2. Montrer que pour tout n ∈ N, n! =
dk .
k
k=0
3. Si x ∈] − 1, 1[, calculer f (x)ex et en déduire : dn = n!
n
X
(−1)k
k=0
4. Déterminer la limite de
k!
·
dn
lorsque n tend vers +∞.
n!
Exercice 25 — Partitions d’un entier
On définit, pour n ∈ N, Pn le nombre de partitions de [[1, n]], en convenant que P0 = 1
n X
n
Pk .
1. Montrer que pour tout n ∈ N, Pn+1 =
k
k=0
P
2. Montrer que
Pn z n est de rayon de convergence nul.
3. Montrer que
5
∞
X
P Pn n
z
Pn n
z a un rayon de convergence R > 0, et que pour |z| < R, on a
z = ee −1 .
n!
n!
n=0
Récoltes MP 2011 et 2012
Exercice
26 — Mines 2011
P
Soit
an z n une série entière de rayon de convergence infini et de somme f .
Z 2π
1. On fixe r > 0. Calculer
f reiθ e−niθ dθ.
0
2. On suppose qu’il existe une constante M telle que |f (z)| 6 eM |z| pour tout z ∈ C. Montrer que |an |
eM
pour tout n > 1.
n
Exercice 27 — CCP 2011
Soit f la fonction somme de la série entière
X (2n)!
n!2
x2n .
1. Trouver le rayon de convergence R.
2. Montrer que pour tout u ∈] − 1, 1[, √
+∞
X
1
(2n)! u n
=
.
4
1 − u n=0 n!2
3. En déduire f (x) pour x ∈] − R, R[.
Exercice 28 — CCP 2011
1
·
−x2 + x + 2
2. Montrer que f est développable en série entière en 0. Préciser le rayon de convergence.
1. Développer en éléments simples la fraction f (x) =
3. Donner le développement limité de f en 0 à l’ordre 3.
4
1/n
6
Exercice 29 — TPE 2011
n
X
X
1
On définit, pour n > 1 : Hn =
· On considère la série
Hn z n .
k
n>1
k=1
1. Donner le rayon de convergence.
2. Calculer la somme.
Exercice 30 — CCP 2012
P xk
·
k (2k)!
2. Déterminer le développement en série entière de cosh.
+∞
P xk
·
3. Calculer
k=0 (2k)!
1. Calculer le rayon de convergence de
6
Des indications
• Exercice 1 : (|an | rn )n∈N est borné si et seulement si (|bn | rn )n∈N l’est. R = 1
(−1)n
• Exercice 2 : on trouve an ∼ √ , donc R = 1
n
1
2
• Exercice 3 : d’Alembert : ; ∼ e(n+1) : 0 ; an rn = e... : 1 et 1 et 1 et 1 ; même méthode : si α > 3 alors
e
R = 0, si α < 3 alors R = 1 et si α = 3 alors R = e−1/2 ; an rn = e... : 1.
1
1
; 0 ; 1 ; ∼ Kϕn avec K > 0 : R = ·
• Exercice 4 : (an rn ) bornée ? √
ϕ
945
n946
944944
• Exercice 5 : toujours (an rn ) : 1 ; ∼
par comparaison somme/intégrale, donc R = 1 ; d’Alembert :
;
946
945945
an rn : R = 1.
√ √ • Exercice 6 : (|ap | rp )p∈N est-elle bornée ? R = min
R, R0 .
(−1)n
(comparaison somme-intégrale après avoir regroupé les termes par
n→+∞
2n
deux ; classique...) donc les deux rayons de convergence valent 1.
• Exercice 8 : avec |an | rn : R1 = R2 , R2 = +∞ et on ne peut rien dire pour R3 : voir an = 1 (R = 1 et R3 = 0),
1
1
an = √ (R = +∞ et R3 = 0), an =
(R = +∞ et R3 = 1). On peut quand même dire que si R est fini,
n!
n!
alors R3 = 0.
• Exercice 9 : on a f 000 = f , avec les conditions initiales f (0) = 1, et f 0 (0) = f 00 (0) = 0. On peut également
noter que (puisque 1 + !!
j + j 2 = 0) : exp(x) + exp(jx) + exp(j 2 x) = 3f (x). On trouve ainsi : f (x) =
√
1
3
ex + e−x/2 cos
x
·
3
2
• Exercice 7 : Sn −→ ln 2 et Rn ∼
• Exercice 10 : on a bien entendu f (4) = f , équation à laquelle on peut appliquer la théorie vue en première
année (le passage de l’ordre 2 à l’ordre 4 étant naturel...), ou bien comme proposé dans l’énoncé, on pose
1
g = f 00 + f , de sorte que g 00 − g = 0... On aurait pu voir dès le début que f (x) = (cos x + cosh x), par
2
exemple via ex , eix , ... : cf exercice précédent.
1
2
1
• Exercice 11 : Déjà,
=
−
, et ensuite : −x2 + ln(1 − x2 ) + 2xArgth(x). Pour la
(2n + 1)(n + 1)
2n + 1 n + 1
4n + 1
2
1
deuxième :
=
+
· Ensuite, distinguer les x strictement positifs ou négatifs. Pour
(2n − 1)(n + 1)
2n − 1 n + 1
√
ln(1 − x) √
x > 0, on trouve −1 −
+ xArgth x via F (t2 ) ou bien en sommant des intégrales.
x
x(x + 1)
• Exercice 12 : on a n2 xn = n(n−1)xn−2 x2 +nxn−1 x, puis f1 (x) =
, R1 = 1. Décomposition en éléments
(1 − x)3
x(x + 2) + 2(1 − x2 ) ln(1 − x)
simples : f2 (x) =
, R2 = 1. f3 (x) est une partie réelle, et vaut finalement
4x3
1 2
1 2
ex cosh a cosh(x sinh a), avec R3 = +∞. On linéarise pour trouver f4 (x) = ex − ex cos 2θ cos x2 sin 2θ ,
2
2
avec R4 = +∞. Enfin, n5 = n(n
− 1)...(n − 4) + 10n(n − 1)(n − 2)(n − 3) + · · · et finalement f5 (x) =
ex x5 + 10x4 + 25x3 + 15x2 + x avec R5 = +∞.
0
√
√
f (x2 ) + 1
• Exercice 13 : pour x > 0, f1 (x) = xArgth( x) − 1 (considérer
), avec R1 = 1. De même,
x
5
√
1
5Argth( x)
√
+
·
2(1 − x)
2 x
+∞
X
1
(−1)n 4n+1
, puis
Exercice 14 : définissons, pour −1 < x 6 1 : f (x) =
x
· On a sur ] − 1, 1[ : f 0 (x) =
4n
+
1
1
+
x4
n=0
Z x
dt
f (x) =
· La convergence uniforme de la série sur [0, 1] (majoration du reste d’une série alternée) nous
1
+
t4
0
Z 1
dt
2
· Après un calcul fastidieux mais sans finesse particulière :
assure que f (x) −→ f (1), donc f (1) =
1
+
t4
x→1−
0
√
√
√
Z 1
√
dt
2
2
2
S = f (1) =
=
·
·
·
=
2)
−
ln(2
+
ln
2
+
π.
4
1
+
t
4
8
8
0
Z 1
X Z 1
dt
et
t2n dt = · · · =
Exercice 15 : le domaine de convergence est [−1, 1[. Sur ]−1, 1[, f (x) =
xn
2
0
0 1 − xt
n
il reste à distinguer les positifs (Argth) et les négatifs (Arctan). Pour le comportement en −1, on peut justifier
la continuité de f comme toujours en contrôlant le reste d’une série alternée, ce qui fournit une convergence
uniforme, donc la continuité en −1.
1
1
Ou encore : pour x > 0, (xf (x2 ))0 =
et (xf (−x2 ))0 =
···
1 − x2
1 + x2
Exercice 16 : on a facilement, pour n > 1 : 1 6 an 6 n, donc le rayon de convergence vaut 1. Ensuite, pour
e−x
·
x ∈] − 1, 1[ : (1 − x)f 0 (x) = (1 + x)f (x), puis : f (x) =
(1 − x)2
Exercice 17 : c’est du cours sur ] − 1, 1[ (intégrer, dériver...). Trois façons de faire pour étendre la relation
en −1 : la convergence uniforme sur [−1, 0] par contrôle du reste ; le passage par la série harmonique via
ln n + γ + o(1), ou encore la sommation par deux qui prouve la continuité sur [−1, 0] par convergence normale.
Il serait bon de maîtriser ces trois méthodes (la dernière est moins pratiquée mais reste abordable).
π
Exercice 18 : décomposition en éléments simples pour trouver
(on reconnaît Arctan) et après interversion
8
Z 1
2
1−t
Argsh(1)
√
somme/intégrale :
dt =
·
4
1
+
t
2 2
0
X 22n n!
Exercice 19 : je trouve F 0 = 2xF + 1, puis F (x) =
xn .
(2n + 1)!
n∈N
1
1
1
1
1
1
1
0
Exercice 20 : tout d’abord, sur ] − 2, 2[ : f1 (x) = 2
=
+
=−
−
···
x − 5x + 6
x−3 x−2
3 1 − x/3 2 1 − x/2
3
2
3
Ensuite , ln(1 + x + x ) = ln(1 − x ) − ln(1 − x) ; on décompose en éléments simples pour trouver sur ] − 1, 1[ :
R2 = 1, et après une décomposition en éléments simples, pour x > 0 : f2 (x) =
•
•
•
•
•
•
•
f2 (x) =
+∞
1 X
1 + 2.2n/2 (2 cos(3nπ/4) − sin(3nπ/4)) xn .
5 n=0
Il est pratique d’écrire f3 (x) = (1 − x)(1 − x2 )−1/2 , pour obtenir après produit de Cauchy entre des séries
absolument convergentes (pour |x| < 1) :
f3 (x) =
+∞ X
−1/2
n=0
n
(−1)n x2n − x2n+1 .
• Exercice 21 : en dérivant tout ou partie des fonctions proposées, on trouvera d’une part les rayons de conver√ 1
gence R (respectivement 1, 2, et +∞), ainsi que les développements en série entière valables sur ] − R, R[ :
2
2n
+∞ +∞
X
−1/2
x
π X sin(nπ/4)
;
f2 (x) = −
f1 (x) =
√ n (−1)n xn ;
n
2n
−
1
4
n
2
n=1
n=1
f3 (x) = −
+∞ n
X
2 + 2−n n
x ;
n2
n=1
f4 (x) =
+∞
X
22p+1 − 1 2p+1
(−1)p
x
.
p!(2p + 1)
p=0
Au passage, f1 est bien paire comme on l’avait noté dès le début !
• Exercice 22 : seule la première fonction est clairement ( ?) développable en série entière sur R. Pour la
arcsin u
deuxième, la fonction arcsin est développable sur ] − 1, 1[ et est impaire, donc u 7→
est développable
u
2. Préciser !
3. Désolé...
6
√
également sur ] − 1, 1[, et ce développement est pair, donc appliqué à x, il fournit une série... qui (une
fois multiplié par le développement en série entière de (1 − x)−1/2 ) est une série entière et coïncide avec f2
sur ] − 1, 1[. Enfin, le résultat admis permet d’affirmer que f3 est développable en série entière au moins sur
] − 1, 1[.
Dans chaque cas, on établit d’abord une équation différentielle vérifiée par la fonction : on trouve
f10 = −4xf1 + 1;
2x(1 − x)f20 + (1 − 2x)f2 = 1;
(1 − x)2 f30 = f3 .
Quelques calculs plus tard :
f1 (x) =
+∞
X
(−1)p
p=0
et enfin :
f3 (x) =
+∞
X
n=1
an xn
8p p!
x2p+1 ,
(2p + 1)!
f2 (x) =
+∞
X
4n n!2 n
x ,
(2n + 1)!
n=0

1
avec an = 2n − 1
n−2

an−1 −
an−2
n
n
si n 6 1
sinon
pn
The OEIS nous dit même que an =
, avec pn le nombre de « partitions ordonnées » de [[1, n]].
n!
P
1
• Exercice 23 : analyse : si x 7→
an xn est une solution développable en série entière, alors a0 = 0, a1 = et
5
+∞
X
5n−2
pour tout n > 2, (3n + 2)an = 5an−1 , puis f (x) =
xn . Synthèse : la série précédente a un
8.11...(3n
+
2)
n=1
rayon de convergence infini (d’Alembert), et sa somme vérifie bien l’équation différentielle : c’est donc notre
solution recherchée.
Pour majorer le reste 4 , on peut tenter une majoration de an par une série géométrique. Par exemple, an 6
n−2
N −1
+∞
X
55 5
5 5
an 6
pour n > 4, ce qui donne alors
, et il suffit alors de prendre N = 14
8 11
48 11
n=N +1
pour avoir |SN − f (1)| 6 5.10−5 . Accessoirement, S14 ' 0, 40997. Super...
• Exercice 24 : l’encadrement trivial 0 6 dn 6 n! assure que le rayon de convergence de la série définissant f
1
est supérieur ou égal à 1. Par produit de Cauchy : f (x)ex = · · · =
d’après ce qui précède. Ensuite, on
1−x
dn
1
fait le calcul via à nouveau un produit de Cauchy. Enfin :
−→ ·
n! n→+∞ e
• Exercice 25 : choisir le nombre d’éléments qui vont accompagner n+1, puis choisir ces éléments, puis partitionner le reste. La relation de récurrence induit Pn > n! par récurrence immédiate, d’où le rayon de convergence
n
Pn
1 X αk
nul si on ne divise pas par n!. Enfin, en notant αn =
, on a αn+1 =
, relation dont on tire
n!
n+1
n−k
k=0
S 0 (x) = S(x)ex ...
• Exercice 26 : interversion somme/intégrale sans problème grâce à la convergence normale, pour trouver :
Z 2π
f reiθ e−niθ dθ = 2πrn an (relation vue en cours, au passage !). En minimisant le membre de droite de
0
eM r
, on trouve exactement le majorant souhaité.
r
√
Exercice 27 : d’Alembert... f (x) = 1 − 4x sur ] − 1/4, 1/4[.
1
1/3
−1/3
1
1
1
1
Exercice 28 : f (x) =
=
+
=
+
···
−(x − 2)(x + 1)
x+1 x−2
3 1 − (−x) 6 1 − x/2
Exercice 29 : le rayon de convergence vaut bien entendu 1 (an ∼ ln n). Comme produit de Cauchy : f (x) =
ln(1 − x)
·
−
1−x
Exercice 30 : presque fait dans le cours !
1/n
|an |
•
•
•
•
6
4. Ça fleure bon les années 80 !
7