Transcript 1 Communiqué du Secrétariat de PGA – Pour diffusion immédiate

1 – DM2
Sciences Physiques MP 2014-2015
Devoir de Sciences Physiques n˚2 pour le 29-09-2014
Probl`
eme no 1 – Photoluminescence
X MP 2014
La photoluminescence est l’´etude de la radiation ´emise, en plus de l’´emission thermique, par un syst`eme physique
soumis `a une excitation optique r´ealis´ee, par exemple, `a l’aide d’un laser. On s’int´eresse ici `a la d´etection du
signal.
La lumi`ere sortant par la face avant de l’´echantillon est envoy´ee dans un monochromateur, qui s´electionne en
sortie la gamme la plus ´etroite possible de longueurs d’onde au voisinage d’une longueur d’onde donn´ee, λ. Cette
longueur d’onde est d´etermin´ee par la position angulaire d’un syst`eme dispersif, θ(t), laquelle varie lentement
dans le temps. Apr`es d´etection, le signal est donc repr´esent´e par une tension lentement variable, s(t), d’o`
u l’on
d´eduit facilement l’intensit´e ´emise `a une longueur d’onde donn´ee, I(λ). La d´etection directe de ce signal pr´esente
des inconv´enients, aux premiers rangs desquels on peut citer le bruit et la d´erive des divers appareils. Le signal
doit donc ˆetre trait´e.
A. D´
etection synchrone
Principe de la d´
etection synchrone
La d´etection synchrone pallie partiellement ces probl`emes. Dans cette m´ethode, le ph´enom`ene physique repr´esent´e par s(t) est modul´e sinuso¨ıdalement en amplitude `a la fr´equence angulaire ω0 choisie de telle mani`ere
que s peut ˆetre consid´er´e comme constant sur la dur´ee T0 = 2π/ω0 ; le signal de sortie s’exprime alors par
S(t) = Γs(t) cosω0 t + b(t), o`
u Γ est un r´eel positif et b(t) est un bruit. Pour extraire s de S, on produit ´electroniquement le produit P (t) = S(t)cos(ω0 t − ϕ), o`
u ϕ est le d´ephasage accordable d’un g´en´erateur pilote. Le
signal P traverse ensuite un filtre s´electif, qui donne en sortie le signal :
m(t, Ti ) =
Z
t
P (u) du
t−Ti
o`
u Ti est le temps d’int´egration du module de sortie du d´etecteur synchrone dont on peut voir le sch´ema a` la
figure 1.
P (t)
S(t)
s(t) + bruit
Γ cos ω0 t
Z
t
P (u) du
sortie
t−Ti
cos(ω0 t − ϕ)
Figure 1 – Sch´ematisation d’un d´etecteur synchrone
1. Justifier qualitativement que, dans un domaine fr´equentiel donn´e, l’on puisse assimiler un filtre passe-bas
a un int´egrateur. Exprimer m(t, Ti ) sous forme de la somme de deux int´egrales, l’une faisant intervenir s(t) et
`
1
l’autre, not´ee B(t), faisant intervenir b(t) ; on rappelle la relation cospcosq = [cos(p + q) + cos(p − q)]. Que
2
peut-on dire de B(t, Ti ) ?
2. La figure 2 repr´esente les spectres fr´equentiels de s(t), du bruit b(t) et de S(t). Repr´esenter qualitativement
les spectres fr´equentiels du signal apr`es passage dans le second multiplieur puis apr`es l’int´egrateur.
3. Quel compromis r´ealiser sur Ti pour que m(t, Ti ) reproduise le plus fid`element possible la forme de s(t) ?
Exprimer m(t, Ti ) dans ces conditions, en fonction de Γ, s(t) et ϕ, en supposant B(t, Ti ) n´egligeable. Comment
choisir ϕ ?
R´
ealisation d’une d´
etection synchrone
Pratiquement, la modulation est r´ealis´ee en utilisant un hacheur m´ecanique, tel que la roue ajour´ee repr´esent´ee
a la figure 3, interpos´ee entre le laser et l’´echantillon.
`
Ce dispositif permet d’obtenir ´electriquement le signal rectangulaire p´eriodique u(t), nomm´e signal de r´ef´erence
dont la d´ecomposition en s´erie de Fourier est :
∞
4U X (−1)n
t
u(t) =
cos 2π(2n + 1)
π n=0 2n + 1
T0
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DM2 – 2
Figure 2 – Le spectre fr´equentiel d’un signal u(t) est d´efini par A(ω) =
Z
∞
u(t) exp iωtdt. Le module du
−∞
spectre de s, |As (ω)|, est repr´esent´e `a gauche ; on lui a donn´e une forme sym´etrique sur la bande ´etroite, centr´ee
en 0, [−Ω, Ω]. Le spectre du bruit est ✭✭ plat ✮✮. La figure de droite repr´esente le spectre de la partie utile de
S(t) : le bruit n’y est pas repr´esent´e.
Figure 3 – La roue du modulateur m´ecanique est perc´ee de p quadrants identiques r´eguli`erement r´epartis et
de largeur ajustable ; une photodiode et un photor´ecepteur plac´es de part et d’autre de cette roue produisent
le signal rectangulaire de r´ef´erence, symbolis´e dans la partie droite de la figure. Si ωr est la vitesse angulaire de
2π
2π
rotation, on note T0 =
=
.
pωr
Ω0
Le signal de photoluminescence s, d’amplitude positive, est ainsi hach´e p´eriodiquement, avec une p´eriode T0 . On
note S(t) le produit (obtenu ´electroniquement) du signal p´eriodique u et du signal s, porteur de l’information
a traiter. La d´emodulation consiste `a extraire ce dernier de S.
`
4. Montrer que tout se passe comme si le signal s ´etait modul´e par une infinit´e de porteuses sinuso¨ıdales, dont
on donnera les fr´equences respectives.
5. Quelle est la nature du filtre de transmittance complexe :
H(jx) = A
2m(jx)
1 + (jx)2 + 2m(jx)
o`
u A et m sont r´eels positifs et x = ω/ωc une fr´equence r´eduite ? Esquisser, pour m < 1, le diagramme de Bode,
en amplitude et en phase, de cette transmittance.
6. La transmittance complexe du filtre Sallen-Kay de la figure 5 est du type de celui de la question pr´ec´edente.
1
et ωc en fonction des composants R1 , R2 , R et C de ce filtre. Pour l’amplificateur
Exprimer A, Q =
2m
op´erationnel, on rappelle ses caract´eristiques sur le sch´ema de la figure 4.
7. Le filtre de la figure 5 est aliment´e par le signal rectangulaire repr´esent´e dans la partie droite de la figure
3. Comment choisir les composants pour une utilisation optimale ?
´
B. Echantillonneur-bloqueur
(num´
erique)
Un signal num´erique est moins sensible aux perturbations qu’un signal analogique et surtout, il se prˆete bien
plus facilement au traitement (num´erique !). Pour ces raisons, on choisit de convertir le signal analogique issu
du d´etecteur en signal num´erique binaire. La chaˆıne de transmission des donn´ees est repr´esent´ee `a la figure 6.
La conversion analogique num´erique commence par l’´echantillonnage, transformation du signal continu analogique en signal discontinu. L’´el´ement r´ealisant cette transformation (voir la figure 7) est essentiellement un
interrupteur command´e par une tension p´eriodique e(t) de fr´equence Fe = 1/Te (Te est la p´eriode de fermeture
de l’interrupteur). La dur´ee de fermeture est tr`es petite devant Te .
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i−
b
i+ = i− = 0
+
ε
b
b
ε = V+ − V− = 0
i+
V−
us
V+
b
b
b
Figure 4 – Amplificateur op´erationnel id´eal en r´egime lin´eaire
b
b
R
b
b
+
C
b
b
b
b
R
b
b
Vs
C
2R
b
b
b
Ve
R2
b
b
R1
b
b
Figure 5 – Filtre de Sallen-Kay. L’AO, suppos´e parfait, fonctionne en r´egime lin´eaire. La transmittance est
V
jRCω
R1
alors H(jω) = s = K
, o`
u K =1+
.
2
Ve
1 + (3 − K)jRCω + (jRCω)
R2
Le signal de commande e(t) est mod´elis´e par une suite p´eriodique de pics d’amplitude constante et de largeur
temporelle ǫ tr`es petite devant Te (voir la figure 8) ; le pic centr´e sur l’instant t = nTe ´etant not´e δ(t − nTe ), la
∞
X
tension de commande s’exprime alors par e(t) =
δ(t − nTe ).
n=0
8. Exprimer la tension de sortie ve (t).
Le convertisseur analogique num´erique doit conserver (bloquer) la valeur `a convertir pendant le temps n´ecessaire
a cette conversion. On transforme pour cela le circuit de la figure 7 en circuit de m´emorisation formant ainsi un
`
´echantillonneur bloqueur. Le sch´ema ´electrique de principe du dispositif est repr´esent´e dans la partie gauche de
la figure 9.
9. En position ferm´ee, la r´esistance de sortie du g´en´erateur fournissant la tension V (t) (`a laquelle s’ajoute celle
de l’interrupteur de commande) est assimilable `a une r´esistance de valeur Rs . Donner l’expression du temps au
bout duquel la tension aux bornes du condensateur atteint 95% de sa valeur limite, suppos´ee constante pendant
la charge.
10. Que se passe-t-il lorsque l’interrupteur K bascule en position ouverte ?
11. Quel est l’int´erˆet d’intercaler entre la charge Ru et l’´echantillonneur bloqueur un ´etage `a Amplificateur
Op´erationnel (AO), tel que repr´esent´e dans la partie droite de la figure 9 ?
12. Repr´esenter l’allure du signal obtenu a` la sortie de l’´echantillonneur bloqueur. On notera ta le temps
d’acquisition et th le temps de maintien de la charge du condensateur.
C. Restitution du signal apr`
es traitement
On suppose `a pr´esent disposer du signal trait´e num´eriquement, que l’on veut remettre sous forme analogique.
Le Convertisseur Num´erique Analogique (CNA) r´ealise cette op´eration. Le principe d’un CNA est repr´esent´e a`
la figure 10.
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capteur
analogique
S
CAN
traitement
CNA
utilisation
Figure 6 – Chaˆıne de traitement de signal. CAN = Convertisseur Analogique Num´erique. La boˆıte capteur
analogique peut contenir des ´el´ements de traitement analogique.
b
b
b
KC
KC
Ru
ve (t) = K0 e(t)V (t)
V (t)
b
b
V (t)
b
b
e(t)
[Fe ]
e(t)
Figure 7 – Principe d’un ´echantillonneur ; le commutateur KC est un multiplieur command´e de gain K0 entre
e(t) et le signal V (t). Le circuit d’utilisation est mod´elis´e par la r´esistance Ru .
13. Quelle est la r´esistance de l’ensemble du circuit `a la droite du point A1 de la figure 10 ?
14. En d´eduire que le courant imm´ediatement `a droite de ce point est ´egal au i1 de la figure 10.
15. Toujours avec les notations de la figure 10, montrer que :
is =
Vref e0
e1
en−1
en + 1 + . . . + n−1 + n
0
2R 2
2
2
2
16. Quel est, ´ecrit en base 2, le nombre repr´esent´e en base 10 dans la relation ´etablie `a la question pr´ec´edente ?
17. Quelle doit-ˆetre la valeur minimale de n si l’on veut obtenir au moins 250 valeurs diff´erentes de la tension
de sortie ?
18. Quelle est la fonction du circuit encadr´e en pointill´es dans la figure 10 ?
19. Le signal analogique de sortie reste, en r´ealit´e, quantifi´e (voir la figure 11). Par quel genre de traitement
´electronique pourrait-on, `a partir de ce signal constant par morceaux, obtenir une courbe continˆ
ument d´erivable ?
D. Quelques aspects pratiques
Bruit de quantification
La quantification lin´eaire par d´efaut r´ealise la codification du signal e(t) ∈ [nq; (n + 1)q] 7→ nq. La quantit´e
ǫ = e(t) − nq est suppos´ee ˆetre uniform´ement r´epartie entre 0 et q : 0 ≤ ǫ < q. Tout se passe donc comme
si l’on substituait au signal e le signal nq + ǫ, somme du signal d´eterministe nq et d’un signal al´eatoire, d’o`
u
le nomZde bruit de quantification donn´e `a ǫ. La valeur moyenne d’une fonction F (ǫ) est par d´efinition ici :
1 q
F =
F (ǫ)dǫ ; l’´ecart-type σ est donn´e par σ 2 = (F − F )2 .
q 0
20. Apr`es avoir v´erifi´e le r´esultat ´evident ǫ = q/2, calculer l’´ecart-type de ǫ.
21. Dans la quantification lin´eaire centr´ee, on codifie par e(t) ∈ [(2n − 1)q/2; (2n + 1)q/2] 7→ nq ; le bruit de
quantification est uniform´ement r´eparti entre −q/2 et q/2. Calculer la valeur moyenne et l’´ecart type du bruit
de quantification.
22. Lequel de ces deux modes de quantification vous apparaˆıt-il plus avantageux que l’autre ?
Bruits d’origine physique
Il ne saurait y avoir de signal sans fluctuations al´eatoires, que l’on nomme bruit. La valeur moyenne de ce bruit
est nulle ; son ´ecart type ne l’est pas. Un filtre passe bas (ou un passe-bande) a pour effet de couper les hautes
fr´equences, ´eliminant une partie du bruit et diminuant sa valeur efficace. Il est donc n´ecessaire d’indiquer la
bande passante d’analyse du signal. Un concept utile de ce point de vue est la bande passante ´equivalente, Beq ,
d’un filtre de transmittance H(jω) :
Z ∞
1
Beq =
|H(jω)|2 dω
2π|H M |2 0
o`
u |H M | est le maximum de |H|.
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´
Figure 8 – Echantillonnage.
Le cartouche en haut `a droite donne l’allure de ve (t), tension aux bornes de Ru ;
l’allure de la courbe originale est pr´eserv´ee, mais le point´e du sommet est impr´ecis.
R
b
b
b
+
b
b
b
b
-
b
b
e(t)
K
Ru
Ru
b
b
C
b
b
b
vu (t)
b
ve (t)
` gauche : Echantillonneur
´
` droite :
Figure 9 – A
bloqueur ; la r´esistance Ru mod´elise le circuit d’utilisation. A
´
Echantillonneur bloqueur avec AO parfait. La r´esistance R repr´esente l’ensemble des r´esistances en amont,
lorsque l’interrupteur est ferm´e.
23. Interpr´eter le sens de Beq .
1
24. Calculer Beq pour H(jω) =
.
1 + jωτ
Z ∞
x2 dx
π
25. Sachant que
=
, calculer Beq pour le filtre de Sallen-Kay de la question 5..
2
2 + 4m2 x2
(1
−
x
)
4m
0
Pour m ≪ 1, comparer Beq `a la largeur `a mi-hauteur de ce filtre.
Le d´etecteur de lumi`ere est un photomultiplicateur (voir la figure 12) dont la surface sensible (cathode), lorsqu’elle est ´eclair´ee, lib`ere des ´electrons ; ces ´electrons, constituant un courant, (valeur typique pour un signal de
photoluminescence : iK ≃ 10−12 A) sont focalis´es par un dispositif d’optique ´electronique sur des plaques multiplicatrices d’´electrons (dynodes) : le gain G de la chaˆıne est de l’ordre de 106 , de sorte que le courant de signal
au niveau de l’anode (iA ≃ GiK = 10−6 A) est finalement recueilli sur une r´esistance de charge (Ra ≃ 103 Ω).
La tension aux bornes de cette r´esistance est ainsi e ≃ 1 mV.
En r´ealit´e, s’ajoutent `a cette derni`ere tension un certain nombre de signaux de bruit, parmi lesquels : d’une
part un bruit dit de scintillation, isc , qui existe en l’absence de signal et qui est dˆ
u `a des ´emissions d’´electrons
✭✭ dans le noir ✮✮ : isc = G(2eid Beq )1/2 , o`
u id ≃ 10−15 A, d’autre part une tension al´eatoire aux bornes de la
r´esistance de charge, VJ = (4kB T Ra Beq )1/2 (bruit de Johnson).
Dans les formules pr´ec´edentes, e repr´esente d´esormais la charge ´el´ementaire e = 1, 6 × 10−19 C et kB la constante
de Boltzmann kB = 1, 38 × 10−23 J · K−1 .
26. V´erifier l’homog´en´eit´e des relations de d´efinition de isc et de VJ .
1/2
4kB T Beq
27. Le courant associ´e au bruit de Johnson ´etant iJ =
, comparer isc et iJ `a la temp´erature
Ra
ambiante.
28. Au signal de photocathode iK est associ´e le bruit ib = G(2eiK Beq )1/2 . Calculer le rapport signal sur bruit
d´efini par :
Signal
GiK
= 2
Bruit
(ib + i2J + i2sc )1/2
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e0
b
0
b
e1
1
b
0
b
e2
1
b
0
b
b
b
2R
en−1
b
2R
b
2R
b
1
b
in
b
b
b
b
b
b
b
in−1
2R
2R
An
b
i2
2R
b
0
b
i1
R
An−1
A2 i2
b
i0
Vref
R
A1
b
b
R
A0
DM2 – 6
1
b
0
b
en
R
1
b
b
b
is
b
b
b
+
Figure 10 – Un CNA dit `a ´echelle comprend autant de sources qu’il y a de bits dans le signal num´erique ; par
convention, l’´etat de fermeture d’un commutateur correspond `a la valeur binaire ek = 1 et l’´etat d’ouverture
(borne reli´ee `a la masse) `a la valeur ek = 0. Le circuit `a AO fournit en sortie la grandeur analogique ´etudi´ee.
Figure 11 – Un exemple de conversion pour n = 3 du spectre de la figure 8. On obtient en sortie le signal
constant par morceaux repr´esent´e en trait gras. Cet discr´etisation est caricaturalement fruste : on perd a priori
la structure `a deux bosses de l’original, repr´esent´e en pointill´es.
et commenter le r´esultat obtenu, en se donnant une valeur raisonnable de Beq .
Probl`
eme no 2 – Clarinette et saxophone soprano
CCP PSI 2010
Dans tout le probl`eme, on prendra R = 8, 31 J · K−1 · mol−1 pour la constante des gaz parfaits.
La clarinette a ´et´e cr´e´ee vers  par Johann Christophe Denner `a Nuremberg. La clarinette en Si b´emol
en est le mod`ele le plus commun, voir la figure 13. Le tube de la clarinette est mod´elis´e par un cylindre de
longueur Lcla , ferm´e du cˆot´e de l’embouchure (`a gauche) et ouvert du cˆot´e du pavillon (`a droite). Il s’agit d’une
approximation grossi`ere qui a le m´erite de pr´eserver les caract´eristiques physiques les plus importantes. En
r´ealit´e, le tube de la clarinette n’est pas `a section constante et le traitement math´ematique est alors beaucoup
plus compliqu´e. . .
Le saxophone a ´et´e brevet´e en  par Adolphe Sax en Belgique. Parmi les mod`eles utilis´es aujourd’hui,
on trouve le saxophone soprano en Si b´emol, voir la figure 14. Le saxophone est ouvert du cˆot´e du pavillon (`
a
droite), mais il est quasiment ferm´e de l’autre cˆot´e (`a gauche). Le tube du saxophone est approximativement
conique. Nous allons mod´eliser le tube du saxophone soprano par un simple tuyau conique de longueur un peu
plus grande que celle de la clarinette (soit Lsax ) et d’angle au sommet α.
´
A. Equation
de propagation d’une onde sonore dans un tube
On consid`ere un tube ind´eformable de longueur L, d’axe de r´evolution Ox rempli d’air, suppos´e ˆetre un gaz
parfait `a la temp´erature moyenne ambiante T0 et `a la pression P0 . Soit ρ0 la masse volumique moyenne de cet
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Figure 12 – Photomultiplicateur. Un photo´electron arrach´e de la cathode photosensible est d´emultipli´e par une
batterie de dynodes polaris´ees. La r´esistance de charge Ra recueille le courant anodique d’´electrons secondaires
(ES). Source : wikimedia.org/wiki/File :Photomultiplier schema de.png.
b
b
0
Lcla
Figure 13 – La clarinette et son mod`ele
x
air. La section transverse du tube est une fonction de l’abscisse x, soit S(x) cette section. Voir la figure 15.
En pr´esence de l’onde sonore, le champ de vitesse de l’air est le suivant : ~u(x, t) = u(x, t)~ex o`
u u(x, t) est faible.
On note ρ(x, t) la masse volumique de l’air `a l’instant t et `a l’abscisse x. On supposera qu’en pr´esence de l’onde
sonore, la masse volumique de l’air s’´ecrit ρ(x, t) = ρ0 + µ(x, t) o`
u µ(x, t) ≪ ρ0 et que la pression de l’air s’´ecrit
P (x, t) = P0 + p(x, t) avec p(x, t) ≪ P0 .
Bilan de masse sur un syst`
eme ouvert
On s’int´eresse `a l’air compris entre les sections d’abscisses x et x + dx. Ce syst`eme est ouvert.
1. Exprimer la masse dm(t) de ce syst`eme `a l’instant t en fonction de S(x) notamment. Mˆeme question pour
l’instant t + dt.
2. Exprimer la masse δme de fluide entrant dans le syst`eme pendant la dur´ee dt en fonction de ρ(x, t), S(x)
et u(x, t). Exprimer aussi la masse δms de fluide sortant du syst`eme pendant la mˆeme dur´ee.
3. En se limitant `a des termes du premier ordre, montrer que l’on obtient l’´equation de conservation de la
masse suivante :
S(x)
∂ρ
∂(Su)
+ ρ0
=0
∂t
∂x
´
Equation
du mouvement
On rappelle l’´equation d’Euler r´egissant la dynamique des fluides parfaits :
−−→
−−→
∂~u
ρ
+ (~u · grad )~u = −grad P
∂t
Cette ´equation est l’´equivalent en m´ecanique des fluides de la relation de la dynamique pour l’´etude de la
m´ecanique du point.
4. On appelle τ la dur´ee caract´eristique de variation temporelle de la vitesse, L la distance caract´eristique
` quelle
de variation spatiale de la vitesse et U l’ordre de grandeur caract´eristique de la vitesse particulaire. A
−−→
∂~u
condition sur U peut-on n´egliger le terme (~u · grad )~u devant le terme
?
∂t
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DM2 – 8
α
b
b
0
Figure 14 – Le saxophone soprano et son mod`ele
Lsax x
b
x
0
dx
Figure 15 – Petite tranche d’air dans un tube acoustique de section variable
∂u
∂p
en fonction de
.
∂t
∂x
1 ∂ρ
6. On rappelle que le coefficient de compressibilit´e isentropique χs est ´egal `a
. En travaillant a` l’ordre
ρ ∂P s
1, ´etablir une relation entre µ(x, t), χs , ρ0 et p(x, t).
5. Cette condition ´etant r´ealis´ee et en travaillant `a l’ordre 1, exprimer ρ0
´
Equations
de propagation
7. En combinant les r´esultats des questions pr´ec´edentes, montrer que :
∂ 2 p(x, t)
= c2
∂t2
∂ 2 u(x, t)
= c2
∂t2
∂ 2 u(x, t)
+
∂x2
∂ 2 p(x, t)
+
∂x2
1 dS
S(x) dx
1 dS
S(x) dx
∂p(x, t)
∂x
∂u(x, t)
d
+
∂x
dx
1 dS
S(x) dx
´equation E1
u(x, t)
´equation E2
Pr´eciser l’expression de la constante c en fonction de ρ0 et de χs .
8. En supposant que l’air est un gaz parfait, exprimer ρ0 en fonction de la masse molaire de l’air not´ee M , de
la pression P0 , de la temp´erature T0 et de la constante des gaz parfaits R.
9. En supposant que l’air subit une transformation isentropique, la loi de Laplace est v´erifi´ee. Rappeler cette
loi reliant les grandeurs pression P (x, t) et ρ(x, t). On introduira le coefficient d’atomicit´e γ = Cp /CV o`
u Cp et
CV sont les capacit´es thermiques molaires de l’air respectivement `a pression constante et `a volume constant.
Exprimer alors χs en fonction de γ et P0 .
10. Donner alors l’expression de la constante c en fonction de la temp´erature T0 , de la masse molaire de l’air
M , de la constante des gaz parfaits R et du coefficient γ. Faire l’application num´erique avec M = 29 g · mol−1 ,
γ = 1, 4 et T0 correspondant `a une temp´erature de 20 ◦ C.
B. Ondes stationnaires dans une clarinette
Tous les trous de la clarinette sont bouch´es. La clarinette est alors mod´elis´ee par un tube cylindrique de section
constante S.
11. Que deviennent les ´equations E1 et E2 dans le cas de la clarinette ? Que repr´esente alors la constante c ?
12. Que valent la vitesse u(x = 0, t) et la surpression p(x = Lcla , t) ?
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
9 – DM2
Sciences Physiques MP 2014-2015
13. On recherche des solutions stationnaires pour la surpression et la vitesse qui sont donc de la forme
p(x, t) = f (x) cos ωt et u(x, t) = g(x) sin ωt. Montrer que les fonctions f (x) et g(x) doivent ˆetre solutions d’une
´equation diff´erentielle `a pr´eciser.
14. On montre alors que la vitesse u(x, t) est une fonction du type u(x, t) = u1 sin kx sin ωt o`
u u1 est l’amplitude.
Pr´eciser l’expression de k. V´erifier que la condition aux limites en x = 0 est satisfaite.
15. D´eterminer compl`etement la fonction p(x, t) = f (x) cos ωt `a l’aide des grandeurs ρ0 , u1 et c. En d´eduire
aussi que seules des ondes stationnaires de pulsations bien particuli`eres peuvent exister dans la clarinette.
16. Donner l’expression de la fr´equence f1 du mode fondamental existant dans la clarinette en fonction de c
et Lcla . Donner aussi l’expression de la fr´equence du premier harmonique.
17. La musique occidentale est bas´ee sur la gamme temp´er´ee chromatique suivante :
Do Do ♯ R´e R´e ♯ Mi Fa Fa ♯ Sol Sol ♯ La La ♯ Si Do
Quand on passe du premier Do au deuxi`eme Do, on dit qu’on est pass´e `a l’octave, la fr´equence de la note ´emise
est multipli´ee par 2. En admettant qu’entre deux notes cons´ecutives la fr´equence est toujours multipli´ee par le
mˆeme facteur a, ´evaluer ce facteur en l’´ecrivant sous la forme d’une puissance de 2.
18. Sur la clarinette, il existe une cl´e au niveau du pouce appel´ee cl´e de douzi`eme qui permet d’enlever
l’´emission du mode fondamental, mais qui ne compromet pas l’´emission du premier harmonique. Quand tous
les trous de la clarinette sont bouch´es et que l’on n’active pas la cl´e au niveau du pouce, on ´emet un son grave
qui correspond `a R´e (son r´eel entendu par une oreille). On active la cl´e, on ´emet alors un son plus aigu : par
combien est multipli´ee la fr´equence ? En d´eduire la note r´eelle entendue par une oreille.
C. Ondes stationnaires dans un saxophone soprano
Tous les trous du saxophone sont bouch´es. Le saxophone soprano est form´e par un tube conique de hauteur
Lsax , d’origine O et d’angle au sommet α.
19. Calculer S(x) en fonction de x et de α.
20. Montrer que l’´equation E1 s’´ecrit aussi :
1
∂ 2 p(x, t)
= c2
∂t2
x
∂ 2 (xp(x, t))
∂x2
21. On effectue le changement de variable suivant Π(x, t) = xp(x, t). Pr´eciser l’´equation v´erifi´ee par Π(x, t).
Quelles sont les conditions aux limites (en x = 0 puis en x = Lsax ) pour Π(x, t) ?
22. On recherche une solution stationnaire pour π(x, t) sous la forme h(x) cos ωt. Pr´eciser l’´equation v´erifi´ee
` partir des conditions aux limites, montrer que h(x) est de la forme h(x) = E sin kx. En d´eduire
par h(x). A
que seules des ondes stationnaires de pulsations particuli`eres `a d´eterminer peuvent ˆetre engendr´ees dans le
saxophone.
23. Tous les trous du saxophone sont bouch´es : tout le tube est alors le si`ege d’une onde stationnaire. Donner
l’expression de la fr´equence f1′ du mode fondamental existant dans le saxophone soprano en fonction de c et
Lsax . Donner aussi l’expression de la fr´equence du premier harmonique. Comparer au cas de la clarinette.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes