Transcript Activités – Mon Journal (volume 73, hiver 2015

Orthonormalisation de Gram-Schmidt
MPSI
Orthonormalisation de Gram-Schmidt
Pierre B ERNARD
Mai 2014
Dans ce document, E désigne un espace vectoriel réel muni d’un produit
­
®
p
scalaire 1 (x, y) 7→ x, y . Pour tout x ∈ E , on pose kxk = 〈x, x〉. On rappelle que
k•k est une norme. On dit que deux vecteurs x, y ∈ E sont orthogonaux lorsque
­
®
x, y = 0. Une famille F = (v 1 , . . . , v n ) de vecteurs de E est dite orthonormée si :
­
®
∀(i , j ) ∈ ‚1, nƒ, v i , v j = δi , j
­
®
Rappelons enfin que la relation x, y ≥ 0 peut s’interpréter géométriquement
en disant que les vecteurs x et y forment un angle aigu.
Table des matières
1 L’existence
1
2 L’unicité
4
1 L’existence
Quand on énonce le théorème d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, on
ne connaît pas toujours la notion de projection orthogonale. Pourtant, cette notion rend la démonstration du théorème de Gram-Schmidt beaucoup plus facile
à comprendre.
Aussi, on va commencer par une lemme qui présente de façon minimaliste 2
la notion de projection orthogonale. Ce lemme se comprend et se mémorise
grâce au dessin fourni.
Lemme. Soit F = (v 1 , . . . , v n ) une famille orthonormée de vecteurs de E . Soit u ∈
E . On pose :
n
X
〈u, v i 〉 v i ,
p F (u) =
q F (u) = u − p F (u)
i =1
1. On dit que (E , 〈•, •〉) est un espace préhilbertien réel.
2. Une des choses que le lemme ne dit pas est que le projeté orthogonal p F (u) ne dépend pas
de la famille orthonormée F mais seulement du sous-espace vectoriel Vect(F ) qu’elle engendre.
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q F (u)
u
Vect(F )
p F (u)
Alors :
1. p F (u) ∈ Vect(F )
2. q F (u) ∈ Vect(F )⊥
­
®
3. p F (u), q F (u) = 0
°
°2 °
°2
4. kuk2 = °p F (u)° + °q F (u)°
°
°
5. °p F (u)° ≤ kuk
°
°
6. °q F (u)° ≤ kuk
­
®
7. u, p F (u) ≥ 0
­
®
8. u, q F (u) ≥ 0
Démonstration.
1. Résulte immédiatement de la définition de p F (u).
2. Soit k ∈ ‚1, nƒ. On a :
*
­
®
q F (u), v k = 〈u, v k 〉 −
n
X
+
〈u, v i 〉 v i , v k
= 〈u, v k 〉 −
n
X
i =1
i =1
〈u, v i 〉 〈v i , v k 〉 = 0
| {z }
δi ,k
Comme k était quelconque, on a q F (u) ∈ F ⊥ = Vect(F )⊥ .
3. Résulte de (1) et (2).
4. Résulte de (3) et du théorème de Pythagore.
5. Résulte de (4).
6. Résulte de (4).
7. On a :
*
+
n
n
X
X
­
®
〈u, v i 〉2 ≥ 0
u, p F (u) = u, 〈u, v i 〉 v i =
i =1
i =1
8. On a :
­
°
°
®
­
®
u, q F (u) = kuk2 − u, p F (u) ≥ kuk2 − kuk °p F (u)° ≥ 0
C-S
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(5)
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Théorème. Soit F = (u 1 , . . . , u n ) ∈ E n une famille libre. Alors il existe une famille
G = (v 1 , . . . , v n ) ∈ E n telle que :
1. G est orthonormée.
2. ∀k ∈ ‚1, nƒ, Vect(v 1 , . . . , v k ) = Vect(u 1 , . . . , u k )
3. ∀k ∈ ‚1, nƒ, 〈v k , u k 〉 ≥ 0
Démonstration. On raisonne par récurrence sur n. L’énoncé est évident lorsque
n = 0 (la famille vide est bien orthonormée, etc.). Supposons l’énoncé vrai pour
un certain entier naturel n, et soit F = (u 1 , . . . , u n+1 ) ∈ E n+1 une famille libre.
La famille F 0 = (u 1 , . . . , u n ) est libre (comme sous-famille d’une famille libre), on peut lui appliquer l’hypothèse de récurrence. On obtient ainsi une famille
G 0 = (v 1 , . . . , v n ) telle que :
– G 0 est orthonormée.
– ∀k ∈ ‚1, nƒ, Vect(v 1 , . . . , v k ) = Vect(u 1 , . . . , u k )
– ∀k ∈ ‚1, nƒ, 〈v k , u k 〉 ≥ 0
On peut alors poser, avec les notations du lemme :
w := u n+1 − p G 0 (u n+1 ) = q G 0 (u n+1 )
Montrons que w n’est pas nul en raisonnant pas l’absurde. Si w était nul, on
aurait :
u n+1 = p G 0 (u n+1 ) ∈ Vect(G 0 ) = Vect(F 0 )
(2)
Mais cela est absurde car la famille F est libre.
On peut donc poser :
v n+1 :=
w
,
kwk
G = (v 1 , . . . , v n+1 )
On va maintenant vérifier que G vérifie les trois conditions du théorème :
1. On sait déjà que G 0 est orthonormée. Pour montrer que G est orthonormée, il suffit de montrer deux choses :
(a) kv n+1 k = 1
(b) v n+1 est orthogonal aux vecteurs v 1 , . . . , v n .
Le point (a) est évident. Le point (b) résulte du fait que v n+1 est colinéaire
à w et que, d’après le point (2) du lemme, w ∈ Vect(G 0 )⊥ .
2. On sait déjà que la deuxième relation du théorème est vraie pour k ∈ ‚1, nƒ.
Pour k = n + 1, on écrit :
Vect(v 1 , . . . , v n+1 ) = Vect(v 1 , . . . , v n , w)
= Vect(v 1 , . . . , v n ) + Vect(w)
= Vect(u 1 , . . . , u n ) + Vect(w)
= Vect(u 1 , . . . , u n , u n+1 −
| {z }
F0
p 0 (u n+1 )
| G {z }
)
∈Vect(G 0 )=Vect(F 0 )
= Vect(u 1 , . . . , u n+1 )
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3. On sait déjà que la troisième relation du théorème est vraie pour k ∈ ‚1, nƒ.
Et pour k = n + 1, on a :
〈v n+1 , u n+1 〉 =
®
1 ­
q G 0 (u n+1 ), u n+1
≥
0
kwk
lemme (8)
2 L’unicité
Théorème. La famille G du théorème 1 est unique.
Démonstration. On raisonne par récurrence sur n. L’énoncé est évident lorsque
n = 0 Supposons l’énoncé vrai pour un certain entier naturel n, et soit F =
(u 1 , . . . , u n+1 ) ∈ E n+1 une famille libre. Soient G1 = (v 1 , . . . , v n+1 ) et G2 = (z 1 , . . . , z n+1 )
deux familles de vecteurs vérifiant les trois conditions du théorème 1 vis à vis
de F . Alors l’hypothèse de récurrence s’applique aux sous-familles (u 1 , . . . , u n ),
(v 1 , . . . , v n ) et (z 1 , . . . , z n ) :
∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, v i = z i
Il ne reste plus qu’à montrer que v n+1 = z n+1 . Comme Vect(G1 ) = Vect(G2 ), on
peut écrire :
v n+1 = λ1 z 1 + · · · + λn z n + λn+1 z n+1
(avec λ1 , . . . , λn+1 ∈ R)
La famille G1 est orthonormée donc v n+1 est orthogonal aux vecteurs v 1 , . . . , v n .
Or Vect(v 1 , . . . , v n ) = Vect(z 1 , . . . , z n ), donc v n+1 est orthogonal aux vecteurs z 1 , . . . , z n :
n
X
〈z
∀i ∈ {1, 2, . . . , n}, 〈v n+1 , z i 〉 =
λ 〈z , z 〉 + λ
,z 〉
| {z } k=1 k | k{z i } | n+1 {zn+1 i }
δi ,k
0
0
On en déduit que λ1 = · · · = λn = 0 et donc :
v n+1 = λn+1 z n+1
De plus, on sait que kv n+1 k = 1 = kz n+1 k, donc :
λn+1 = ±1
Enfin :
〈v n+1 , u n+1 〉 = λn+1 〈z n+1 , u n+1 〉
|
{z
}
|
{z
}
≥0
≥0
Donc λn+1 = 1 et donc v n+1 = z n+1 .
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