Transcript Inégalités Rappels : Une variable aléatoire X ( # R est une

Inégalités
Rappels : Une variable aléatoire X : ! R est une application dé…nie sur un ensemble …ni , où est muni d’une
P
probabilité : ! [0; 1], véri…ant !2 (!) = 1:
P
L’espérance de X est dé…nie par E(X) = !2 (!)X(!) barycentre des X(!) pondérés par les (!):
E(X))2 ) = E(X 2 )
La variance est dé…nie par V (X) = E((X
Remarque : Si A est une partie de
, on note P (A) =
P
E(X)2 :
(!):
!2A
Ainsi, P (A) = E(1A ), où 1A est la fonction caractéristique de A, c’est-à-dire 1A :
Important : P (X
0) = E(1X
0 ),
où 1X
0
!R !7 !
désigne la fonction caractéristique de A = f! 2
(
1 si ! 2 A
0 si ! 2
=A
j X(!)
0g:
1) Propriété de minimalité de la variance
Montrer que pour tout réel a, V (X)
a)2 ):
E((X
a)2 = X 2
Solution : On pose m = E(X): On a (X
2aX + m2 :
a)2 ) = E(X 2 )
Par linéarité de l’espérance, on a E((X
2am + a2 = V 2 + (m
a)2 , minimale lorsque a = m:
2) Inégalité de Markov, de Bienaymé-Tchebychev et de Cantelli
a) Inégalité de Markov : Supposons X à valeurs positives. Montrer que 8 > 0, P (X
b) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Posons m = E(X) et V (X) = E((X
P (jX
mj
)
E(X)
:
m)2 ). Montrer que
V (X)
)
2
c) Inégalité de Cantelli : Soit X une variable aléatoire d’espérance m et de variance V .
m
V + x2
: En déduire que P (X
(" + x)2
")
m
")
V
:
V + "2
Soit " > 0. Montrer que 8x
0, P (X
Remarque : Lorsque V (X)
"2 , cette inégalité est plus …ne que celle de Bienaymé-Tchebychev.
d) On lance n fois une pièce de monnaie bien équilibrée. Déterminer une condition su¢ sante sur n pour que la
fréquence d’apparition de face soit comprise entre
1
2
; 12 +
avec une probabilité au moins égale à p:
Solution :
a) On minore dans la somme E(X) =
Plus formellement, X
b) On a jX(!)
mj
X:1X
P
!2
(!)X(!) les termes X(!) par 0 ou
, donc E(X)
ssi (X(!)
m)
E(X:1X
2,
donc P (jX
On conclut en appliquant l’inégalité de Markov à Y = (X
c) Avec Y = X
m, on a P (X
m
") = P (Y + x
)
E( 1X
mj
) = P ((X
m)2 et
" + x)
) = P (X
=
selon qu’ils sont
):
m)
2:
V (Y + x)
V (Y ) + x2
=
:
2
(" + x)
(" + x)2
En e¤et, on a V (Y + x) = E(Y 2 ) + 2E(xY ) + E(x2 ) = V (Y ) + x2 , car E(Y ) = 0:
L’application x 7 !
2 ):
V + x2
x
1
V
est minimale lorsque
=
, c’est-à-dire x = :
2
2
(" + x)
V +x
"+x
"
ou
:
Remarque : Il existe une autre preuve (basée sur Cauchy-Schwarz, cf paragraphe suivant).
d) P ( Sn
1
2
2
)
n
2
, où
2
1
1
= :, donc on prend n tel que
4
4n
2
1
1
p, c’est-à-dire n
4(1
p)
2
:
3) Inégalité de Cauchy-Schwarz
On munit l’espace des variables aléatoires dé…nies sur
du produit scalaire hX; Y i = E(XY ) =
On a en particulier l’inégalité de Cauchy-Schwarz E(XY )2
a) Montrer que E(jXj)2
b) On suppose E(Y )
E(X 2 )E(Y 2 ):
E(X 2 ), et plus précisement E(jXj)2
0 et Y non identiquement nulle. Montrer que P (Y > 0)
E(X)j
")
!2
(!)X(!)Y (!):
E(X 2 )P (jXj > 0):
c) Inégalité de Cantelli. Soit " > 0. En utilisant b), montrer que P (X
En déduire que P (jX
P
E(X)
E(Y )2
:
E(Y 2 )
")
V (X)
:
V (X) + "2
2V (X)
:
V (X) + "2
Solution :
a) On a E(jXj)2 = E(jXj :1)
E(X 2 )E(1) = E(X 2 ):
Plus précisement, E(jXj) = E(jXj :1jXj>0 ) en supprimant les termes nuls X(!) dans la somme
Par Cauchy-Schwarz, E(jXj)2 = E(jXj :1jXj>0 )2
b) E(Y )
E(X 2 )E(1jXj>0 ) = E(X 2 )P (jXj > 0):
E(Y + ), où Y + = max(0; Y ), et par a), E(Y + )2
P
!2
E(Y 2 )P (Y > 0), donc E(Y )2
(!) jX(!)j :
E(Y + )2
E(Y 2 )P (Y > 0):
Comme Y n’est pas identiquement nulle (et positive), alors E(Y 2 ) > 0, ce qui permet de conclure.
c) On applique b) à Y = X
E(X
m) = 0:
m + ", où m = E(X). Ainsi, on a E(Y ) = " > 0 et E(Y 2 ) = V (X) + "2 , car