Transcript Logique des prédicats

Logique des prédicats
Damien Nouvel
Damien Nouvel (INaLCO)
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Histoire et définitions
Plan
1. Histoire et définitions
2. Manipulation de formules
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Histoire et définitions
Propositions vs prédicats
§
Avantages et inconvénients la logique des propositions
+
+
+
-
§
Formalisation logique solide
Possibilité de démonstrations
Monde clos
Pas de fonctions
Pas de catégories
Pas de formules génériques
Exemple
• Jean est le père de Jacques et Alain, et Alain et le père de Tom.
• On sait que le père d’un père s’appelle un grand-père.
• Qui est le grand-père de Tom ?
ñ Raisonnement logique, évident pour un humain
ñ Impossible à formuler correctement en logique des propositions
ñ Logique des prédicats étend la logique des propositions
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Histoire et définitions
Quantité et qualité des formules
§
On peut qualifier les propositions selon
• Leur quantité : universelle vs particulière
• Extension (ou dénotation)
ñ Ensemble d’individus dans le dans le domaine du discours
ñ Par ex. : Homme Ñ Damien _ Pierre _ Paul _ Jacques . . .
• Compréhension (ou intention)
ñ Ensemble de caractères
ñ Par ex. : Hommepx q Ñ Humainpx q ^ Malepx q
• Leur qualité : affirmative ou négative
Carré logique (Aristote)
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Histoire et définitions
Alphabet
§
Élements pour la logique des prédicats :
• Variables et constantes
• V “ x , y , z et C “ a, b, c , Pierre, Paul , Jacques . . .
• Négation et connecteurs logiques
• , ^, _, Ñ, Ø
• Prédicats
• P px q, Q px , z q, mariespx , y q, perepx , y q, cousinpx , y q
• Application dans les valeurs de vérités
• Fonctions
• f px q, g px , y q, mari px q, perepx q
• Application dans le domaine
• Quantificateurs
• @ (universel) et D (existentiel)
• Opérateurs unaires sur les variables, ayant une portée
ñ Exemple de formule : @x , Dy , y ă x
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Histoire et définitions
Définitions
§
Termes
• Toute variable
• Toute fonction f px , y , z q si x, y et z sont des termes
§
Formule atomique
• Si P est un prédicat à n arguments et x1 , x2 , . . . xn sont des termes,
alors P px1 , x2 , . . . xn q est une formule atomique
§
Formule bien formée
• Si F une formule est atomique elle est bien formée
• Récursivité (propositions) : F , pF q, F ^ G, F _ G, F Ñ G, F Ø G
• Si Q est un quantificateur, x une variable et F une formule bien
formée, alors QxF est également bien formée
§
Portée des quantificateurs
• Si Q est un quantificateur, x une variable et F une formule bien
formée, alors dans la formule QxF , la portée de Qx est F
ñ Exemple : P px q ^ Dx pP px , y q ^ @y Q px , y q _ R px , y qq
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Histoire et définitions
Liaison de variables
§
Dans une formule, selon la portée des quantificateurs
• Variable liée : si elle est dans la portée d’un quantificateur
ñ Exemple : @xP px q, @xP px q ^ pDyQ px , y qq
• Variable libre : si elle n’est pas liée
ñ Exemple : P px q, @x pP px q ^ Q px , y qq
§
Une formule peut être
• Close : toutes les variables sont liées
• Ouverte : il existe au moins une variable libre
ñ Nous travaillons sur les formules closes
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Histoire et définitions
Sémantique, domaine et interprétation
§
Une interprétation I est constituée des éléments suivants
•
•
•
•
Domaine D : valeurs que peuvent prendre les constantes
Constantes : élément de D
Prédicats : application de D n dans tV , F u
Fonctions : application de D n dans D
ñ Une interprétation est un modèle pour une formule si elle la rend
§
toujours vraie selon le domaine et l’interprétation des constantes,
prédicats et fonctions
Exemple
• Formule : @x pppx q Ñ q px , f px qq
• Domaine : D “s0, `8r
• Prédicats : ppx q est vrai si x ă 1, q px , y q est vrai si x ą y
• Fonctions : f px q “ x 2
ñ Cette interprétation est un modèle pour la formule
ñ Si l’on change le domaine, ça n’est plus un modèle : D “ r´1, `1s
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Histoire et définitions
Exercices
§
Modélisez selon la logique des prédicats
• Jacques est le fils de Marie
” FilspJacques, Marieq
• Tout le monde a un père
” @px qDpy qPerepy , x q
• Jean aime tout le monde
” @xAimepJean, x q
• Jacques n’aime pas tout le monde
” @x pAimepJacques, x q ” Dx AimepJacques, x qq
• Personne n’aime Jacques
” @x Aimepx , Jacquesq
• Jean aime Marie mais Marie aime quelqu’un d’autre
” AimepJean, Marieq ^ Dx px ‰ Jean ^ AimepMarie, x qq
• Jean aime une personne qui ne l’aime pas
” Dx pAimepJean, x q ^ Aimepx , Jeanqq
• L’ami de mon ami est mon
ami
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Manipulation de formules
Plan
1. Histoire et définitions
2. Manipulation de formules
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Manipulation de formules
Substitution
§
Substitution de variables
• Remplacement d’une variable par un terme (variable ou fonction)
• Pour une proposition A remplacer x par λ se note Arx {λs
ñ Exemple : @x DyP px , y qrx {z s “ @z DyP pz , y q
ñ Utile pour la mise sous forme prénexe et la skolémisation, lorsque
deux sous-formules ont les mêmes variables
§
Ordre des quantificateurs peut être modifié
• @x @y ” @y @x
• Dx Dy ” Dy Dx
• Attention : @x Dy ı Dy @x
• @x DyAimepx , y q : tout le monde aime quelqu’un
• Dy @xAimepx , y q : quelqu’un est aimé de tout le monde
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Manipulation de formules
Mise sous forme normale prénexe
§
Une formule sous forme prénexe s’écrit Q1 x1 Q2 x2 . . . Qn xn F
• Q1 . . . Qn sont des quantificateurs
• x1 . . . xn sont des variables
• F est une formule qui ne contient pas de quantificateur
ñ Amener tous les quantificateurs en début de formule
§
Étapes
• Supprimer les implications et les équivalences
• Former des littéraux par transférer des négations
• DxF ” @x F
• @xF ” Dx F
• Substituer les variables pour éviter les conflits
• Transférer les quantificateurs en tête de formule (G libre de x)
• QxF ^ G ” Qx pF ^ Gq
• QxF _ G ” Qx pF _ Gq
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Manipulation de formules
Exercices
§
Mettre sous forme prénexe
• @xF px q _ @yGpy q
• DxF px q _ DxGpx q
• @xF px q Ñ @xGpx q
• @x pF px q ^ DyGpx , y qq
• Dx pF px q ^ DyGpx , y q Ñ DyH px , y qq
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Manipulation de formules
Forme normale de Skolem
ñ Formule universelle : que des quantificateurs universels
§
En début de formule, une constante satisfait la formule
• Il existe un homme qui a été président des États-Unis
” DxHommepx q ^ President px , USAq
” HommepBillClintonq ^ President pBillClinton, USAq
§
Après une quantification universelle, l’individu est une fonction
• Tout président des États-Unis a un vice président
” @x pPresident px , USAq Ñ DyVicePresident py , x qq
” @x Dy pPresident px , USAq Ñ VicePresident py , x qq
” @x pPresident px , USAq Ñ VicePresident pNominationVP px q, x qq
§
La skolémisation consiste à remplacer tous les D par
• Des constantes s’il n’y a pas de quantification universelle avant
• Sinon des fonctions des variables quantifiées universellement
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Manipulation de formules
Exercices
§
Modélisez puis mettez sous forme prénexe skolémisée conjonctive
• Il existe une capitale où est construite la Tour Eiffel
” DxCapitalepx q ^ ConstruitApTourEiffel , x q
Ñ Skolémisation par substitution rx {Pariss
” CapitalepParisq ^ ConstruitApTourEiffel , Parisq
• Tout monument a été conçu par une personne
” @x pMonument px q Ñ DyConceptionpx , y qq
” @x Dy p Monument px q _ Conceptionpy , x qq
Ñ Skolémisation par substitution ry {Architectepx qs
” @x p Monument px q _ ConceptionpArchitectepx q, x qq
• La plus grande ville (d’un pays) est une capitale
” @x pVillepx q ^ @y pVillepy q Ñ PlusPetitepy , x qq Ñ Capitalepx qq
” @x pVillepx q ^ @y p Villepy q _ PlusPetitepy , x qq Ñ Capitalepx qq
” @x p Villepx q _ @y p Villepy q _ PlusPetitepy , x qq _ Capitalepx qq
” @x p Villepx q _ Dy pVillepy q ^ PlusPetitepy , x qq _ Capitalepx qq
” @x Dy p Villepx q _ pVilleLogique
py q ^
PlusPetitepy , x qq _ Capitalepx qq
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Manipulation de formules
Résolution
§
Clause
• Disjonction de littéraux
• Conjonction de clauses : forme normal conjonctive
§
Forme standard
• Forme prénexe
• Forme normale de Skolem
• Forme normale conjonctive (clausale)
ñ Conjonction de clauses
§
Résolvant de Robinson (1965)
• Si deux clauses F et G sont sous la forme
• F “ F1 _ F2 . . . Fi . . . Fn
• G “ G1 _ G2 . . . Gj . . . Gn
• Et si Fi ” Gj alors la clause H résultant de la disjonction de F et
G après suppression de Fi et Gj est la clause résolvante de F et G
• H “ F1 _ F2 . . . Fi ´1 _ Fi `1 . . . Fn _ G1 _ G2 . . . Gj ´1 _ Gj `1 . . . Fn
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