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© R. Itterbeek
σ tr =
N
A
τ to =
σ =ε E
Mt
G IO
τ =γ G
θ=
N
E A
ε=
σ t ° = − α ΔT E
Δ lt ° = α l Δ T
Contrainte
Allongement
Re
S
Mt l
G IO
=
C
EI
Mf
EI
1 Mf l
Re
S
Rm
S
σ =ε E
ρ
1
f =
σ fl ≤
σ fl ≤
I v
2
T
A
Résistance des Matériaux - Annexes
τ =γ G
Re
S
Rm
S
τ cis max ≤ 0.58
τ cis max ≤
τ cis max = k τ
Mf
σ fl =
Cisaillement
Flexion
Tableau récapitulatif : contraintes - déformations
Contraintes - Allongements dus à la température :
Loi de Hooke
ϕ=
Nl
E A
Δl =
τ to ≤ 0.58
Re
S
σ tr ≤
Ductiles
Allongement
(Déformations)
τ to ≤
Rm
S
σ tr ≤
Fragiles
Rm
S
M
Mt
ou t
Wt
I0 r
Torsion
Contraintes admissible pour matériaux :
Contraintes
Traction
Résumé (Contraintes - allongements)
ANNEXES - GÉNÉRALITÉS
Re
S
Rm
S
T
A
τ cis tech ≤ 0.8
τ cis tech ≤
τ cis tech =
Cisail. Technolo.
Page - An.1 -
(Version du 12 octobre 2014 (9h37))
ANNEXES - CHAPITRE 1. INTRODUCTION & VECTEURS
Alphabet grec
Lettres
romaines
a
b
g
d
e
z
ê
th
i
k, c
l
m
n
x
o
p
r
s
t
u, y
ph, f
ch
s
o
Lettres
grecques
Majuscules
Minuscules
Appellation
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ ou n
χ
ψ
ω
alpha
bêta
gamma
delta
epsilon
dzêta
êta
thêta
iota
kappa
lambda
mu
nu
ksi
omicron
pi
rhô
sigma
tau
upsilon
phi
khi
psi
oméga
Tableau 1.1. -
Symboles des multiples et des
sous-multiples
Giga
Méga
kilo
hecto
déca
déci
centi
milli
micro
nano
pico
G
M
k
h
da
d
c
m
μ
n
p
109
106
103
102
101
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Tableau 1.2. -
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.2 -
ANNEXES - CHAPITRE 2. INTRODUCTION A LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX
Module d’élasticité E et coefficient de Poisson ν
de divers matériaux
Matériaux
Fer
Aciers
Acier 45SCD6
Aciers Inox 18-10
Fonte grise
Fonte GS
Titane
Alliage de titane TA6V
Aluminium + alliages
Alliages AU4G (2017A)
Alliages AU2GN (2618A)
Zicral AZ8GU
Cuivre et alliages
Laiton
Bronze ordinaire
Bronze au béryllium
Béryllium
Magnésium
Zinc
Nickel
Nickel - Cuivre
Nickel - Chrome - fer
Nickel - fer - Chrome
Plexiglas
Verre
Béton (suivant qualité)
Bois (suivant espèce)
Caoutchouc
Zirconium
*
E (GPa)
ν
200
210
220
203
90
140
105.5
105
70
75
75
72
100
92
106
130
300
46
130
205
0.24
0.30
0.285
0.29
0.25
0.275
0.32
0.34
0.33
0.33
0.34
0.34
0.33
0.33
0.31
0.34
0.05
0.34
0.21
0.31
0.32
0.29
0.34
0.40
0.24
0.15 ... 0.20
0.45 *
0.45 ... 0.50
0.35
2.90
60
25 ... 45
8 ... 13 **
: en compression
**
G=
: parallèle aux fibres
E
2 (1 + ν )
Tableau 2.1. - Module d’élasticité E et coefficient de Poisson ν de divers matériaux.
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.3 -
215
216
207
212
210
Aciers alliés au Cr-Mo (2 % <Cr< 3 %)
Aciers alliés au Cr-Mo (3 % <Cr< 9 %)
Aciers alliés au Cr (12 % < Cr < 27 %)
Inox austénitiques et réfractaires
142
104
98
Cuivre-Nickel (10 % < Ni < 30 %)
Laitons
Bronzes
© R. Itterbeek
106
Zirconium
98
104
88
95
127
108
67
202
190
196
207
205
200
187
196
100
93
100
86
93
124
106
65
199
186
192
205
203
196
184
193
150
88
95
83
90
122
104
62
197
183
189
200
199
193
180
189
200
83
92
81
88
119
102
56
194
179
185
198
196
190
178
187
250
78
87
79
85
116
99
50
192
175
181
194
192
187
175
184
300
73
83
76
82
113
96
190
173
178
190
189
183
171
178
350
68
79
74
80
109
93
186
169
174
184
184
179
167
170
400
Résistance des Matériaux - Annexes
Tableau 2.2. - Module d'élasticité E en GPa en fonction de la température.
107
90
97
130
Titane
94
101
136
110
117
Cuivre
114
70
78
Aluminium et alliages
75
207
195
201
213
211
205
192
201
20
Nickel
204
209
Aciers alliés au Cr-Mo (Cr < 2 %)
!100
202
!200
Aciers alliés au Ni (Ni < 3.5 %)
Température (°C)
207
-
Aciers non alliés au C et C-Mn
Matériau
Module d’élasticité E en GPa en fonction de la température
63
182
164
166
176
179
174
163
160
450
58
179
160
158
171
171
166
157
500
156
140
165
160
155
550
150
125
158
140
600
143
100
150
650
127
750
Page - An.4 -
137
700
Coefficients de sécurité en usage en construction mécanique
Intervalle habituel pour la construction mécanique et
métallique (matériaux ductiles)
(vis-à vis de la limite élastique);
S = 12
. ... 15
. ... 2.5
Intervalle habituel pour les matériaux fragiles
(vis-à vis de la limite de rupture);
S = 15
. ... 2 ... 2.5
Coefficient habituel pour le bois
(vis-à vis de la limite de rupture);
S = 10
Lors d’un calcul au flambage ou au voilement
(vis-à vis de la limite élastique);
Lors de calculs à la fatigue
S = 3 ... 35
. ... 5
S fat = 15
.
º contrainte répétée
S fat = 3
º contrainte alternée
Coefficient de choc
k c = ... 15
. ... 2 ...
Tableau 2.3. -
Coefficient de choc kc
Machines à rotation régulière, moteurs électriques, ventilateurs, pompes centrifuges
Machines à pistons, métiers à tisser, machines-outils rotatives, appareils de levage
Tamis et transporteurs à secousses, cisailles, presses, broyeurs
1 ... 1.2
1.2 ... 1.5
1.5 ... 2
Machines agissant avec chocs, laminoirs
2 ... 3
Tableau 2.4. -
Contrainte admissible en traction :
© R. Itterbeek
σ adm =
Re ou Rm
S × S fat × k c
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.5 -
ANNEXES - CHAPITRE 3. TRACTION - COMPRESSION
Coefficient de dilatation linéaire α en 1/°C
(Les valeurs du tableau sont à multiplier par : 10 ! 6)
Matériaux
α
Aluminium
Aciers
Aciers Inox
Fonte grise
Cuivre
Laiton
Bronze ordinaire
Plomb
Magnésium
Zinc
Nickel
Tungstène
Invar (Fe+36%Ni)
Silicium
Verre
23.7
12.0
17.3
12.0
16.0
18.9
12.0
29.0
23.0
30.0
13.1
4.5
1.5
3.0
9.0
Matériaux
α
Epoxyde
55.0
Nylon 6-6
80.0
Nylon 6-6 +33% fibres de verre
20.0
Polyéthylène
100.0
Polyéthylène +33% fibres de
verre
48.0
Polystyrène
70.0
6.7
Al2O3
10.6
ZrO2 stabilisé
SiC
4.3
3.3
Si3N4
Granite
8.7
Grès
17.1
Tableau 3.1. - Coefficients de dilatation linéaire.
Classe
M4àM8
M 10 à M 16
M 18 à M 30
8.8 - 12.9
60 N/mm2
50 N/mm2
40 N/mm2
Tableau 3.2. - Contraintes dynamiques admissibles pour une contrainte statique moyenne
σm = 0.7 Re
© R. Itterbeek
Matériau
Pression admissible MPa
Acier recuit
Acier structuraux
Acier trempé + revenu
Acier cémenté
Acier inoxydable
Acier NiCr austénitique
Fonte
Fonte à graphite sphéroïdal
Alliage d’aluminium (forgé)
Alliage d’aluminium (moulé)
Alliage de magnésium
Alliage de titane
Composite
240 à 320
400 à 700
750 à 1000
1400 à 1800
210
460 à 860
450 à 550
600 à 900
230 à 260
220 à 380
180 à 210
890
120
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.6 -
Matériau
St37 (acier doux)
St50 (acier mi-dur)
C45v (acier traité)
CDMgA19 (fonte alliée)
GKMgA19 (fonte alliée)
GKAlSi6Cu4 (fonte alliée)
GG22 (fonte lamellaire)
Pression admissible MPa
300
500
900
200
200
300
1000
Tableau 3.3. - Pression admissible de matage.
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.7 -
ANNEXES - CHAPITRE 5. CISAILLEMENT (technologique)
Valeurs couramment admises pour la pression admissible au matage des clavettes
longitudinales (padm mat en N/mm2)
Clavetage fixe
(a)
(b)
(c)
40 à 70
60 à 100
80 à 150
Clavetage glissant sans charge
(a)
(b)
(c)
15 à 30
20 à 40
30 à 50
Clavetage glissant avec charge
(a)
(b)
(c)
3 à 10
5 à 15
10 à 20
(a) :
Conditions de fonctionnement plutôt mauvaises : chocs, grandes tolérances,
etc...
(b) :
Conditions de fonctionnement moyenne (avant-projet)
(c) :
Bonnes conditions de fonctionnement : ajustement parfait, aucun choc, etc...
Remarque : au dessus de 250 N/mm2 le matage est important.
Tableau 5.1. - Pression admissible de matage pour un clavetage longitudinal libre.
Matière du
rivet
τadm rivet
N/mm2
Acier A48
150...200
Z 12 N 05f
320
Cuivre rouge
150
Laiton
100
Aluminium
100
Tableau 5.2. - Contrainte admissible de
cisaillement pour un rivet.
Quelques valeurs de résistance au cisaillement τrupt cis de différentes colles
Loctite 601
Fixation et freinage puissant de bagues, roulements, clavettes
17 ... 22 N/mm2
Loctite 641
Fixation et freinage de puissance moyenne de bagues,
roulements, clavettes
8 ... 12 N/mm2
Loctite 638
Assemblage puissant d’éléments cylindriques lisses qui doivent
subir des efforts dynamiques
25 ... 30 N/mm2
Loctite IS415
Colle métal sur métal, caoutchouc, plastique
20 ... 25 N/mm2
Loctite IS495
Idem Loctite IS415
12 ... 17 N/mm2
Tableau 5.3. - Contrainte admissible dans les colles Loctite.
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.8 -
Métal de base
τ adm MB =
Type d’acier
τe
S
N/mm2
Cas I
Cas II
Cas III
AE 235
S = 1.50
90
S = 1.33
102
S = 1.00
136
AE 355
S = 1.73
118
S = 1.53
133
S = 1.15
177
Tableau 5.4. - Contrainte admissible dans les soudures.
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.9 -
ANNEXES - CHAPITRE 6. TORSION
Comparaison, du point de vue résistance / poids,
de différentes sections en torsion (wt), flexion (wf) et flambement (wfb)
wt =
Section
Wt
A
wf =
3
Wf
A
3
w fb =
I min
A
0.282
0.141
0.282
0.7
0.8
0.9
0.589
0.771
1.171
0.294
0.386
0.586
0.482
0.602
0.871
3
2
(carré). . . . . . . . 1
1/2
1/3
0.154
0.174
0.208
0.174
0.154
0.096
0.118
0.167
0.236
0.289
0.167
0.204
0.289
0.204
0.167
0.05 ... 0.08
0.490 ... 1.733
0.55 ... 0.73
IPE
0.05 ... 0.06
0.947 ... 1.576
0.37 ... 0.46
IPN
... 0.06 ...
0.934 ... 1.160
0.27 ... 0.33
Circulaire
Annulaire
dint/dext =
Rectangulaire
b/h =
HEA
100 Y 450
Tableau 6.1. - Comparaison résistance / poids de différentes sections.
kd
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
kg τ
0.01
0.04
0.08
0.14
0.22
0.30
0.39
0.49
0.61
kg θ
0.01
0.04
0.09
0.15
0.23
0.31
0.41
0.53
0.68
Tableau 6.2. - Gain de poids pour une même contrainte kg τ ou une même déformation kg θ
(arbre creux par rapport à l’arbre plein).
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.10 -
Calcul des arbres
Contraintes
Arbres pleins en torsion
Arbres creux en torsion
Arbre plein + rainure de
clavette en torsion
Arbre plein en torsion +
flexion
d ≥ 172
. 3
d ≥ 172
. 3
Mt
τ adm
d ≥ 179
. 4
Mt
(1 − k ) τ
4
d
d ≥ 2.08 3
Mt
τ adm
d ≥ 2.17 3
Mr
σ adm
d ≥ 179
. 4
adm
Mt
G θ adm
Mt
(1 − k ) G θ
4
d
adm
avec
Mr =
Arbre creux en torsion +
flexion
Déformations
M 2f + 0.75 M t2
d ≥ 2.17 3
Mr
(1 − k ) σ
4
d
adm
Tableau 6.3. - Formules pour la déterminations des diamètres des arbes pleins et creux.
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.11 -
ANNEXES - CHAPITRE 7. FLEXION
Coefficient de forme kτ
(Cisaillement)
Section rectangulaire
3/2
Section carrée
3/2
Section circulaire
4/3
Section annulaire mince
Section triangulaire
2
3/2
Tableau 7.1. -
Flèches admissibles fadm rapportées à la portée l de la poutre
Poutres en général
1/250
Poutres en porte-à-faux
((l) étant ici (2 ×) la longueur du porte-à-faux)
1/200
Planchers en général (solives,...)
1/250
Planchers supportant des poteaux, murs...
1/400
Poutres des planchers d’étages
1/400
Toitures en général
1/200
Toitures supportant fréquemment du personnel
autre que du personnel d’entretien
1/250
Poutres de roulement et fermes :
a) pont manoeuvré à bras, poutres roulantes
b) ponts roulants (Q # 50 T)
c) ponts roulants (Q > 50 T)
1/500
1/600
1/750
Poutres des passerelles d’un bâtiment industriel :
a) en l’absence de rails de roulement :
- poutres maîtresses
- autres poutres
b) en présence d’un chemin de roulement
1/400
1/250
1/600
Tableau 7.2. -
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.12 -
Surcharges surfaciques des planchers en N/m2 ou Pa
Locaux privés (immeubles d’habitation)
Locaux publics (bureaux)
Locaux accessibles au public (banques, grands magasins, ... )
Salles de cours ordinaires
Salles de cours spéciaux (laboratoires, gymnastique, ... )
Salles de réunions, salle de danse non munie de sièges fixes, tribunes de
sports
Théâtres, cinémas, ...
Escaliers et corridors :
a) maisons d’habitations
logements individuels
logements multiples
b) bureaux, écoles, salles de réunions, théâtres, etc...
Locaux pour archives, magasins de librairie. Suivant le cas : minimum
Toitures, terrasses (neige comprise)
a) accessibles pour l’entretien
b) accessibles privées
c) accessibles au public
Balcons de maisons d’habitation
2000
3000
4000
3000
5000
6000
4000
2500
4000
5000
5000
1000
2000
5000
5000
Tableau 7.3. -
Caractéristiques de différents bois
Contraintes N/mm2
Espèces de bois
N/mm2
Re
Rm
E
Chêne
2
z
23
-
100
12
11000
1600
Hêtre
2
-
117
6200
Pin
2
z
16
-
80
5
9000
-
Sapin
2
20
70
10000
Sapin du nord 2
-
110
-
Pitchpin
2
-
140
-
Bambou
2
-
45
-
Tableau 7.4. -
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.13 -
Dimensions des chevrons
d
b 100
125
19
X
X
25
X
X
150
175
X
X
200
225
X
X
32
38
X
X
X
50
X
X
X
X
63
X
75
0
100
0
X
X
Sections préférentielles
d
Largeur mm
0
Autres sections
b
Hauteur mm
Tableau 7.5. -
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.14 -
ANNEXES - CHAPITRE 8. NOTION DE STABILITÉ : FLAMBEMENT
Coefficient de réduction de la
longueur kf (Flambement)
Barre bi-articulée
1
Barre simplement encastrée
2
Barre articulée et encastrée
0.7
Barre doublement encastrée
0.5
Tableau 8.6. -
Quelques valeurs de l’élancement limite
d’Euler λlim Euler
AE 235 - AE 355
94 - 76
Fonte
... 80 ...
Bois
100 ... 110
Tableau 8.7. -
Comparaison, du point de vue résistance / poids,
de différentes sections flambement wfb
Section
w fb =
I min
A
0.282
Circulaire
Annulaire
dint/dext =
Rectangulaire
b/h =
HEA
100 Y 450
0.7
0.8
0.9
0.482
0.602
0.871
3
2
(carré). . . . . . . . 1
1/2
1/3
0.167
0.204
0.289
0.204
0.167
0.55 ... 0.73
IPE
0.37 ... 0.46
IPN
0.27 ... 0.33
Tableau 8.8. -
© R. Itterbeek
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.15 -
Méthode de Rankine - Euler
σ=
0 ≤ λ col < 20
20 ≤ λ col < λ lim Euler
180 ... 200 ≥ λ col ≥ λ lim Euler
Compression simple
Rankine
Euler
N
< σ adm comp
A
σ adm comp =
Re
S comp
σ=
(
σ adm Rankine =
σ=
Re
S Rankine
( S Rankine ≈ 17
. ... 2 ... 2.2 )
. )
( S comp ≈ 15
N adm =
N adm = σ adm comp A
=
)
N
1 + λ 2 ≤ σ adm Rankine
A
(1 + λ )
2
Re
S Euler
( S Euler ≈ 2.5 ... 3 ... 35
. )
N adm =
(
=
σ adm Euler =
σ adm Rankine A
Re A
=
S Rankine 1 + λ 2
Re A
S comp
N 2
λ ≤ σ adm Euler
A
σ adm Euler A
λ2
Re A
=
S Euler λ 2
)
π EA
2

Al 

S Rankine  λ2lim Euler +
I min 

2
f
π 2 E I min
=
S Euler l 2f
Conception
Amin ≥
≥
N S comp
Re
N
Par approximation successive :
i g min ≥
σ adm
l 2f
 2
 λ lim Euler

 σ adm A  
− 1 

 N

I min ≥
≥
N S Euler l 2f
π2 E
N l 2f
Re
π E σ adm
2
Avec :
- longueur de flambement :
lf = k f l
- élancement :
λ col =
- rayon de giration :
i g min =
- élancement limite d’Euler :
λ lim Euler = π
-élancement réduit :
λ =
© R. Itterbeek
lf
ig
I min
A
E
Re
λ col
λ lim Euler
Résistance des Matériaux - Annexes
Page - An.16 -