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Série :
produit scalaire
Exercice 1 :
Soit un triangle ABC tel que : ACˆ B 
Niveau
3 math
ème
Enseignant
Boukadida Tahar

et AC = BC 2 .
4
Montrer (par deux méthodes différentes) que le triangle ABC est rectangle en B.
Exercice 2 :
Dans un plan (P) ;on considère un rectangle ABCD tel que AB=2 et BC=1 (en cm)
Soit J le point du segment [CD] tel que CJ=0,5
(BJ) coupe (AC) en I et coupe (AD) en K.
I) 1) Faire une figure illustrant les données ci-dessus puis vérifier que AC= 5 .
2) Calculer : CB.CA et CA.CJ ;
3) En déduire que (BJ)  (AC).
II)1) Calculer BJ , BI et déduire le produit scalaire BC.BJ
2) Démontrer que AK .BC  4
Exercice 3 :
Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB=a (a ∈ *+) et soit I le point tel que = 2
1. Calculer , en fonction de a, les réels suivants : .
;
.
;
.
; . et
. .
2
2
2
2. Calculer IA , IB et IC en fonction de a. En déduire la valeur de cos (B I).
3. Soit D le point du plan tel que
. Calculer AD en fonction de a.
4. Soit G le barycentre des points pondérés (A,2) et (B,1)
a. Montrer que pour tout point M du plan on a : 2MA2+MB2=3MG2 + a2
b. Déterminer et construire l’ensemble (P) des points M du plan tels que 2MA2+MB2=a2
Exercice 4 :
Une unité de longueur étant choisie, soit un triangle ABC telque : AB=8 ;AC=7 et BC= 9 2 .
1) Soit I le milieu du segment [BC].calculer IA.
2) Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
81
a) Montrer que pour tout point M du plan, MB.MC = MI2
.
2
211
b) En déduire que MA2 + 2MB.MC = 3MG2
;
3
14
c) Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan tels que : MA2 + 2MB.MC =
.
3
1
3) La droite (AI) est muni du repère (A, AI )
4
a) Montrer que pour tout point M du plan ; 2MA 2-(MB2+MC2)= 16 OH -81
avec O =A*I et H le projeté orthogonal de M sur la droite (AI).
b) Déterminer l’ensemble (E’) des points M du plan tels que : 2MA2-MB2-MC2= -33.
Exercice 5:
Soient A(-1 ;2) ,B(1 ;1) et C(3 ;-1) trois points du plan muni d’un repère orthonormé ( o; i; j ).
1)a)calculer AB. AC puis calculer cos( BAˆ C ).
b) les points A,B et C sont –ils alignés ?justifier.
2) Soit (Δ) la droite d’équation : 2x-y+1=0
a) Calculer la distance de A à (Δ).
b) soit ( ξ ) le cercle de centre I(1 ;2) et de rayon 5.
Etudier la position relative de (Δ) et ( ξ ).
3) Déterminer l’ensemble des points M(x ;y) tels que : MA2+MB2=16.
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Exercice 6 :
Dans le plan P ; on considère un triangle ABC tel que : AB= 4 ; AC=5 et BC= 6( unité :cm).
On pose : I= A  B et J= B  C.
1
1) Montrer que AB. AC = {AB2+AC2-BC2} et déduire AB. AC
2
2)a) Soit l’ensemble (  )={M  P ; MA2+MB2=61}. Vérifier que C  (  ).
b) Rappeler le théorème de la médiane.
c) Déterminer et construire l’ensemble (  ).
3)a) Soit (  )= { M  P ; MA2-MB2=-11}. Vérifier que C  (  ).
b) Montrer que M  (  ) signifie 2 BA.MI =-11.
c) Déduire que M  (  ) signifie BA.MC = 0
d) Déterminer alors et construire l’ensemble (  ).
4) (  ) recoupe (  ) en C’. Montrer que le triangle ACC’ est isocèle.
Exercice 7 :
CD un Trapèze rectangle en C et D . E est un point de [ DC] défini comme l’indique la figure cidessous (AD=3 ; DE=1 et DC=BC =4)
1) Montrer que ED D
EC C
ED. EC D . C
2) a) Calculer ED. EC et D . C . En déduire que E . E = 9
b) Montrer que EA =
et EB=5 puis calculer cos E
c) Montrer que AB =
3) Soit H la projeté orthogonal de A sur (BC)
Montrer C . C = 12 et C . CE = 12.En déduire que (CA) ⊥ (BE)
4) On considère l’ensemble Δ
∈ P tel que
C
. C
. Soit I=B*C et J=A*C
a) Verifier . C = 4, puis Montrer que
. C=
C .
b) En déduire que
=
, puis vérifier que J ∈ ∆
c) Montrer que pour tout M ∈ ℘ on a :
d) Montrer que
=2
+
+
C
. C = 2(
)+
, en déduire l’ensemble ∆.
Exercice 8 :
1. Soit ABCD un parallélogramme
a. Montrer que AC2+BD2 = 2AB2+2AD2
b. On suppose que AB =3 , AD=2 et A C = . Calculer BD et AC.
2. Soit O le centre du parallélogramme ABCD et Ck = { M ∈P, MA2+MB2 +MC2+MD2 =2k, k є }.
a. Montrer que MA2+MB2 +MC2+MD2 =4 MO2+13
b. En déduire suivant le réel k la nature de l’ensemble Ck
Exercice 9 :
On considère un carré ABCD de centre O et de côté a, a ∈ *+ .
arquer les points E et F tels que E ∈ [ ] et F ∈ [ D] et F
E
a.
1. Montrer que
.
=
.
et déduire que
⊥
2
2. Montrer que .
= a puis déduire cos(E F)
3. a. Montrer que pour tout point M du plan on a : 2MA2+MB2=3ME2+ a2
b. déterminer l’ensemble 1={ M ∈P tel que MA2+MB2 =a2}.
4. Déterminer l’ensemble 2={ M ∈P tel que
.(
)=0}.
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