¹E L - Lycée Henri Poincaré PCSI 1 année 2014-2015

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EC4 Circuits linéaires du second ordre en régime
transitoire
PCSI 2014 – 2015
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I Réponse d’un circuit RLC série à un échelon de tension
1. Circuit
1
E
uR (t)
uL (t)
R
L
2
i(t)
+q
C
uG (t)
uC (t)
On ferme l’interrupteur K à t = 0, le condensateur étant déchargé et l’intensité nulle.
2. Équation différentielle en uC (t)
On applique la loi des mailles : uG (t) − uR (t) − uL (t) − uC (t) = 0 avec uG (t) = E, uR (t) = Ri(t),
2
C (t)
uL(t) = L di(t)
et i(t) = C dudt
soit uL (t) = LC d udtL2(t) d’où
dt
b
RC
d2 uC (t)
d2 uC (t) R duC (t) uC (t)
E
duC (t)
+ LC
+
u
(t)
=
E
⇐⇒
+
+
=
C
dt
dt2
dt2
L dt
LC
LC
Équation différentielle du deuxième ordre linéaire à cœfficients constants (qui doivent être tous
du même signe pour que le système soit stable) et avec second membre. Le circuit est donc d’ordre
deux.
3. Retour sur la mécanique
Cette équation ressemble fortement à celle que nous avons vue en mécanique pour l’oscillateur
harmonique. Si on reprend le bilan de force pour l’oscillateur harmonique et que l’on rajoute une
force de frottement visqueux (F~ = −λv), alors l’équation du mouvement s’écrit :
m~a = ΣF~ ⇒ m¨
x = −λx˙ − k(x − l0 ) ⇔ m
dx
d2 x
+
λ
+ kx = kl0
dt2
dt
4. Mise sous forme canonique
On retrouve donc une équation analogue en mécanique. On trouve le même type d’équation dans
d’autres domaines de la physique et, pour faire des analogies entre ces différentes disciplines, on
la met sous forme canonique :
d2 α ω0 dα
+
+ ω02 α = quelque chose
dt2
Q dt
1

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avec ici, pour un RLC série :
d2 uC (t) ω0 duC (t)
+
+ ω02uC (t) = ω02 E
dt2
Q dt
1
ω0 = √
LC
avec
et
Lω0
1
1
Q=
=
=
R
RCω0
R
s
L
C
ω0 est la pulsation propre du circuit (en radian par seconde ; rad.s−1 ) et Q le facteur de qualité,
nombre sans dimension.
ou encore
2
u¨C + u˙ C + ω02 uC (t) = ω02 E
τ
Dans le cas mécanique, on avait : w02 =
avec τ =
k
m
w0
Q
2Q
le temps de relaxation du circuit.
ω0
λ
m
=
5. Résolution de l’équation différentielle : charge du condensateur
Méthode de résolution
Pour la résolution d’une telle équation différentielle :
1. On trouve une solution particulière solP
2. On résout l’équation homogène associée (c’est à dire avec le second membre =0) u¨C + ωQ0 u˙ C +
ω02uC (t) = 0
3. La solution générale est la somme de la solution particulière et de la solution de l’équation
homogène : sol = solP + solH
4. On trouve les constantes d’intégration à l’aide des relations de continuité.
Remarques qualitatives
Même sans résoudre l’équation, plusieurs choses sont à savoir :
1. La solution est stable si les coefficients sont de même signe .
2. Le comportement qualitatif va dépendre de la valeur de Q
(a) Q <
(b) Q >
(c) Q =
1
2
1
2
1
2
: Régime apériodique
: Régime pseudo-périodique
: Régime critique
q
q
Régime apériodique : Q < 12 C’est à dire pour R1 CL > 12 ⇐⇒ R > 2 CL = RC la résistance
critique du circuit.
On pose (justification en cours de maths) :
√
√
s
s
!
!
− ωQ0 + ∆
− ωQ0 − ∆
1
1
1
1
= −ω0
+
− 1 < 0 et z2 =
= −ω0
−
−1 <0
z1 =
2
2Q
4Q2
2
2Q
4Q2
On pose aussi : τ1 = − z11 et τ2 = − z12 , la solution solH est de la forme
− τt
Ae
1
− τt
+ Be
2
On voit que τ1 et τ2 sont homogènes à des durées.
Pour avoir la solution complète, on a besoin d’une solution particulière. On la cherche sous la
forme d’une constante . Si on pose solP = K alors
0 + 0 + ω02 K = ω02 E ⇒ K = E
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D’où la solution complète :
− τt
uC (t) = E + Ae
1
− τt
+ Be
2
Détermination des constantes : il y a deux constantes à déterminer car l’équation différentielle est
du second ordre.
Continuité de la tension aux bornes du condensateur uC (t) : à t = 0,
uC (t) = 0 = E + A + B
− τt
C (t)
Continuité de l’intensité du courant dans la bobine : i = C dudt
= −C( τA1 e
i = 0 = C(
A B
τ1 B
τ1
+ )⇒A=−
⇒A=E
τ1 τ2
τ2
τ2 − τ1
et
1
− τt
+ τB2 e
B = −E
2
) et à t = 0+ ,
τ2
τ2 − τ1
et finalement :
b
"
τ2
τ1
− t
− t
e τ1 −
e τ2
uC (t) = E 1+
τ2 − τ1
τ2 − τ1
#
;
i(t) = C
uR (t)
duC (t)
=
dt
R
et
uL (t) = L
di(t)
dt
q(t) ou uC (t)
E
0
τ1
τ2
t
τ1
τ2
t
i(t) ou uR (t)
0
uL(t)
E
τ2
0
τ1
t
Continuité de uC (t) (donc de q(t)) et de i(t) (donc de uR (t)) et discontinuité de uL (t).
Régimeqcritique : Q = 21 C’est le cas où la résistance R du circuit est égale à la résistance critique
RC = 2 CL .
La solution de l’équation homogène est alors de la forme :
t
A(1 + Bt)e− τ
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avec A une constante de la dimension d’une tension et B une constante de la dimension de l’inverse d’un temps .
D’où la solution complète :
t
uC (t) = E + A(1 + Bt)e− τ
On utilisera les conditions de continuité pour déterminer A et B :
Continuité de la tension aux bornes du condensateur uC (t) : à t = 0,
uC (t) = 0 = E + A ⇒ A = −E
t
b
t
C (t)
Continuité de l’intensité du courant dans la bobine : i = C dudt
= C(ABe− τ − Aτ (1 + Bt)e− τ ) et à
t = 0,
t
t
t
1
E
⇒ uC (t) = E[1 − (1 + )e− τ ] et i(t) = te− τ
i=0⇒B=
τ
τ
L
uC (t)
E
i(t)
0
τ
t
0
τ
t
Même forme mais retour plus rapide à un régime permanent.
q
Régime pseudo-périodique : Q > 21 C’est à dire pour R < RC = 2 CL la résistance critique du
circuit.
q
On pose ω = ω0 1 − 4Q1 2 > 0 homogène à une pulsation, c’est la pseudo-pulsation . T = 2π
est la
ω
pseudo-période du phénomène.
On pose aussi τ = 2Q
, homogène à une durée, c’est le temps de relaxation qui caractérise la durée
ω0
des phénomènes transitoires.
solH peut s’écrire sous une forme réelle :
t
e− τ (A cos ωt + B sin ωt)

La solution complète est :
t
uC (t) = E + e− τ (A cos ωt + B sin ωt)
Détermination des constantes :
Continuité de la tension aux bornes du condensateur uC (t) : à t = 0,
uC (t) = 0 = E + A ⇒ A = −E
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t
C (t)
Continuité de l’intensité du courant dans la bobine : i = C dudt
= C(e− τ [(ωB − Aτ ) cos ωt+(−ωA−
B
) sin ωt)] et à t = 0,
τ
E
A
i = 0 = C(ωB − ) ⇒ B = −
τ
τω
et finalement :
b
t
uC (t) = E[1 − e− τ (cos ωt +
1
duC (t)
CEω02 − t
sin ωt)] et on montre que i = C
=
e τ sin ωt
ωτ
dt
ω
uC (t)
E
0
2T
T
τ
3T
t
4T
i(t)
CEω02
ω
0
−
T
2T
3T
4T
t
CEω02
ω
Remarques :
t
ω0 t
• Ces grandeurs oscillent à l’intérieur d’une enveloppe exponentielle ±e− τ = ±e− 2Q qu’il
faut tracer au préalable.
• La pseudo pulsation ω est inférieure à ω0 et par conséquent, la pseudo-période est supérieure
.
à la pulsation propre T0 = 2π
ω0
T0
T =q
1 − 4Q1 2
• On monte que le nombre d’oscillations correspond environ à la valeur de Q si Q est assez
grand.
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Régime harmonique Q → ∞ On a alors le cas idéal où R = 0, il n’y a pas d’amortissement, c’est
le cas particulier Q ≫ 12 pour lequel la partie réelle des racines est nulles.
L’équation différentielle sans second membre prend alors la forme : u¨C + ω02 uC (t) = 0 soit
u¨C = −ω02 uC (t)
et les solutions sont de la forme :
uC (t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t

soit la solution générale :
uC (t) = E + A cos ω0 t + B sin ω0 t
Détermination des constantes :
Continuité de la tension aux bornes du condensateur uC (t) : à t = 0,
uC (t) = 0 = E + A
b
C (t)
Continuité de l’intensité du courant dans la bobine : i = C dudt
= C(−ω0 A sin ω0 t + ω0 B cos ω0 t)]
et à t = 0, i = 0 = C(ω0 B) d’où
A = −E
⇒ uC (t) = E(1 − cos ωt) et i = ω0 CE sin ω0 t
B=0
uC (t)
2E
E
0
T0
2T0
3T0
4T0
t
i(t)
CEω0
T0
0
2T0
3T0
4T0
t
CEω0
Remarques :
• On est dans le cas Q ≫ 1 ⇐⇒ τ → ∞ et il n’y a pas de décroissance et T = T0 .
• Dans la réalité, le cas R est impossible à obtenir car le circuit contient forcément des éléments
résistifs qui dissipent de l’énergie sous forme de chaleur. On peut néanmoins obtenir R = 0
en ajoutant un circuit contenant un AO qui simule une résistance négative (voir TP).
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II Réponse libre du circuit RLC série
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Si on se place maintenant dans le cas suivant :
1
2
E
uR (t)
uL (t)
R
L
i
+q
C
uG (t) = 0 pour t > 0
uC (t)
Avec le condensateur chargé à l’instant initial (uC (0− ) = E) et on bascule K à t = 0, on obtient les
graphes suivants pour uC (t)(t).
uC (t)
E
0

T
2T
3T
t
4T
Le régime critique est celui pour lequel on atteint le plus rapidement le régime permanent 1 .
Intéressant si on veut limiter la durée du régime transitoire (amortisseurs d’automobiles).
1. Je sais que ce n’est pas ce que vous voyez en SI et cela dépend de la définition exacte que l’on prend plus « plus
rapidement » et de la tolérance que l’on se donne pour dire si le régime permanent est atteint, mais qualitativement,
les régimes pour lesquels le retour est le plus rapide, quelque soit la définition, correspondent à un facteur de qualité
proche de 21 .
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ù ù ù
û

III Cas d’un circuit RLC parallèle
1. Circuit et conditions initiales
iC
+q
C
iR
u R
iL
L
avec par exemple uC (0− ) = E : condensateur chargé.
2. Équation différentielle en uC (t)
D’après la loi des nœuds,
iC + iR + iL = 0
, iR (t) =
avec iC (t) = C. du(t)
dt
u(t)
R
et u(t) = L diLdt(t) ⇒ iL (t) =
du(t) u(t) 1
C.
+
+
dt
R
L
Z
u(t).dt = 0 ⇒ C.
1
L
R
u(t).dt soit
1 du(t) u(t)
d2 u(t)
+
+
=0
2
dt
R dt
L
ou encore, sous forme canonique,
1 du(t) u(t)
d2 u(t) ω0 du(t)
u(t)
d2 u(t)
+
+
=
0
⇐⇒
+
+ ω0 2
=0
2
2
dt
RC dt
LC
dt
Qp dt
LC
3. Comparaison avec le RLC série
On retrouve la même équation canonique donc le même type de solutions selon la valeur des Qp
et des conditions initiales. On a la même fréquence propre ω0 mais avec cette fois
s
ω0
1
C
1
=
⇒ Qp = RCω0 = R
⇒ Qparallèle =
Qp
RC
L
Qsérie
c’est à dire l’inverse de Qsérie . Le facteur de qualité augmente quand R augmente.
C’est cohérent car on retrouve bien un circuit LC série quand R tend vers l’infini, c’est à dire en
remplaçant le résistor par un interrupteur ouvert.
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Table des matières
I
Réponse d’un circuit RLC série à un échelon de tension
1.
Circuit
2.
Équation différentielle en uC (t)
3.
Retour sur la mécanique
4.
Mise sous forme canonique
5.
Résolution de l’équation différentielle : charge du condensateur
II Réponse libre du circuit RLC série
III Cas d’un circuit RLC parallèle
1.
Circuit et conditions initiales
2.
Équation différentielle en uC (t)
3.
Comparaison avec le RLC série
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