Transcript Exercices : ondes

MP 2014-2015
Parc des loges
Exercices : ondes
1 Cable coaxial
Une tranche innitésimale d'épaisseur dx d'un cable coaxial peut être modélisé par une inductance élémentaire dL = Λdx et une capacité élémentaire dC = Γdx (voir l'exercice sur les équations de Maxwell).
i(x, t) dL
v(x, t)
i(x + dx, t)
v(x + dx, t)
dC
dx
1. Etablir deux équations aux dérivées partielles couplées liant l'intensité i(x, t) et la tension v(x, t). En
déduire que ces grandeurs sont solutions d'une équation de d'Alembert unidimensionnelle et exprimer
la célérité c correspondante.
→
2. Dans le cas d'une onde plane progressive harmonique se propageant selon −
ux , montrer (on pourra
utiliser la notation complexe) que le rapport v/i reste constant et vaut :
√
Zc =
Λ
Γ
On appelle ce rapport impédance de la ligne.
En déduire que c'est également le cas pour un signal non harmonique.
→
Que vaut ce rapport pour une onde se propageant selon −−
ux ?
On considère une ligne semi-innie s'étendant de x = −∞ à x = 0. On place en bout de ligne en
x = 0 une résistance R. A quelle condition sur R une onde plane progressive peut-elle se propager ?
3. On considère le cas de la ligne est fermée en x = 0 sur un court-circuit et où une onde plane progressive
harmonique incidente vi (x, t) = A cos(ωt − kx) est émise en x = −∞. La condition précédente n'étant
pas vériée, l'onde incidente donne naissance à une onde rééchie du type vr (x, t) = B cos(ωt + kx).
Justier la forme de l'onde rééchie et en utilisant la condition limite en x = 0, déterminer la constante
B.
Montrer que l'onde résultante est stationnaire et donner l'expression de v(x, t) et i(x, t) en tout point
de la ligne.
2 Ondes planes progressives
1. Rappeler les équations de Maxwell et en déduire les équations aux dérivées partielles vériées par les
−
→ −
→
champs E et B dans un domaine de l'espace vide de charges et de courants.
2. Quelle est la forme la plus générale de la solution à ces équations. On s'interesse à une composante
dépendant d'une variable d'espace. Interpréter cette solution physiquement (somme de deux ondes
progressives).
3. Déterminer les solutions à ces équations correspondant à des ondes planes progressives harmoniques
en notation complexe. Quel est l'intérêt de l'étude de ces ondes ?
4. Réécrire les équations de Maxwell en notation complexe et montrer que, pour toute onde plane pro−
→ −
→
gressive E et B sont transverses et orthogonaux. Résumer ces propriétés par une égalité vectorielle.
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Exercices : ondes
−
→
E
5. On dénit l'impédance caractéristique de l'onde par la quantité Zc = µ0 −
→ . Déterminer la valeur
B
numérique de Zc et son unité sachant que :
ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1
et µ0 = 4π.10−7 H.m−1
−
→
6. Si u(M, t) est la densité volumique d'énergie électromagnétique et R (M, t) le vecteur de Poynting,
établir la relation locale traduisant la conservation de l'énergie électromagnétique en l'absence de
charges et de courants.
−
→
7. Calculer les valeurs de u et R en fonction du seul champ électrique puis donner une relation simple
→
−
entre R et u.
Interpréter physiquement ce résultat.
3 Ondes stationnaires
Deux plans parfaitement conducteurs sont situés en x = 0 et x = a. On se propose d'étudier une onde
électromagnétique stationnaire, plane, monochromatique, à polarisation rectiligne dans le vide entre ces deux
plans :
→
−
−
→
E = E0 f (x) cos ωtuy
−
→
−
→
−
→
1. Rappeler les relations de passage entre deux milieux vériées par E et B . En déduire que E est nul
en x = 0 et en x = a.
2. Déterminer la fonction f et montrer que la pulsation ω est quantiée.
→
−
3. Calculer le champ magnétique B . Représenter l'allure de E et B pour les 3 premiers modes propres.
4. Calculer le vecteur de Poynting moyen ainsi que l'énergie électromagnétique volumique moyenne.
4 Pression de radiation
Un conducteur parfait,c'est-à-dire de conductivité quasi-innie, occupe toute la partie de l'espace correspondant à z > 0 ; sa surface libre avec l'air assimilé à du vide est représenté par le plan Oxy .
−
→
→
Une onde incidente, plane progressive, monochromatique, de pulsation ω et de vecteur d'onde k i = k−
uz
−
→
(k > 0) est caractérisée par son champ électrique polarisé rectilignement selon ux ; en notation complexe,
→
−
−
→
E i = E0 ej(ωt−kz) ux .
1. L'onde rééchie.−
→ −
→
a) Que valent E et B dans le conducteur parfait ?
−
→
b) Justier l'écriture complète de champ électrique E r de l'onde rééchie.
−
→
c) Donner les champs magnétiques puis représenter à un instant donné en z = 0, les vecteurs ki ,
−
→ →
− −
→ →
−
−
→
kr , E i , E r , B i et B r .
d) Rappeler les relations de passage et en déduire les densités surfaciques de charge σ et de courant
−
→
j s.
2. Onde stationnaire résultante.
−
→
−
→
a) Exprimer en notation réelle, les champs résultants E (z, t) et B (z, t).
b) Donner l'ensemble des caractéristiques de cette onde.
c) Illustrer sur deux schémas, les diérences de cette onde stationnaire avec une onde progressive.
3. Pression de radiation.
−
→ 1−
→
−
→
La force exercée sur un élément de surface dS de l'interface est : dF = j s dS ∧ B (z = 0). Donner le
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−
→
sens de dF et calculer la pression moyenne ⟨P⟩ à laquelle est soumise la surface. Connaissez-vous des
applications ?
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